江苏省南京市梅村中学高三数学文上学期期末试题含解析

江苏省南京市梅村中学高三数学文上学期期末试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若x＞2，则当y= 取最小值时，此时x,y分别为（）
A． 4 ，3 B. 3, 4 C. 3、3D．4 、4
参考答案：
B
2. 复数为虚数单位)在复平面内所对应的点在__________.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
略
3. 已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，x1≠x2总
有＞0且f（1）=1．若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立，则实数t的取值范围是( )
A．﹣2≤t≤2 B．t≤﹣1﹣或t≥+1
C．t≤0或t≥2D．t≥2或t≤﹣2或t=0
参考答案：
D
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）2﹣2at﹣1成立，构造函数g（a）即可得到结论．
min≤t
【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
∴当x1、x2∈[﹣1，1]，且x1+x2≠0时，有＞0，
∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．
∵f（1）=1，
∴f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，最大值为f（1）=1，
若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立，
即t2﹣2at﹣1≥﹣1对所有a∈[﹣1，1]恒成立，
∴t2﹣2at≥0，
设g（a）=t2﹣2at=﹣2ta+t2，
则满足，
即，
∴t≥2或t≤﹣2或t=0，
故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．
4. “a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；I7：两条直线平行的判定．
【分析】先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论．
【解答】解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线
平行成立
反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=﹣2，
a=﹣2时，两条直线都为x﹣y+3=0，重合，舍去
∴a=3
所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”的充要条件．
故选：C．
5. 已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，
其中A（2，3）（点A为图象的一个最高点），B（﹣，0），则函数f（x）= ．
参考答案：
3sin（x﹣）
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】首先通过A为最高点得到M，然后根据A，B的水平距离求得周期，通过图象经过的点求φ
【解答】解：由已知图象得到M=3，，所以T=6=，所以ω=，又图象
经过B（﹣，0），所以sin（﹣+φ）=0，|φ|＜），所以φ=﹣，
所以f（x）=3sin（x﹣）．
故答案为：3sin（x﹣）．
【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式部分；注意最高点、最
低点、零点等关键点．
6. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则（）
A. B.
C. D. 与关系不确定
参考答案：
C
试题分析：，内切圆与x轴的切点是A，
∵，由圆切线长定理有，
设内切圆的圆心横坐标为x，则，即，
∴，即A为右顶点，
在中，由条件有，
在中，有，
∴.
考点：双曲线的标准方程、向量的运算、圆切线长定理.
7. 在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内恰有两个点在圆
(r>0)上，则
A．＝0，＝ B．＝1，＝1
C．＝－1，＝ D．＝－1，＝
参考答案：
D
8. 已知两条直线和互相平行，则等于
（）
A.1或-3
B.-1或3
C.1或
3 D.-1或3
参考答案：
B
略
9. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于
，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则
是减函数的区间
为 ( )
A． B． C．
D．
参考答案：
【答案解析】D解析：因为=，由图象与轴的两个相邻交点的距离等于，所以其最小正周期为π，则，所以，
对于A,B,C,D四个选项对应的2x的范围分别是，所以应选D.
【思路点拨】研究与三角相关的函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答.
10. 在中，，M为AC中点，则的值为（）
A. 0
B. 1
C.
D. 2
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若实数x，y满足且的最小值为4，则实数b的值为
______
参考答案：
3
12. 已知一条抛物线的焦点是直线l：y=﹣x﹣t（t＞0）与x轴的交点，若抛物线与直线l
交两点A，B，且，则t= ．
参考答案：
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】当y=0，求得焦点坐标求得抛物线方程，将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得t的值．
【解答】解：当y=0时，x=﹣t，则抛物线的焦点F（﹣t，0），
则抛物线方程y2=﹣4tx，设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
由，整理得：x2+6tx+t2=0，
则x1+x2=﹣6t，
则丨AB丨=丨x1+x2﹣2t丨=8t=2，
∴t=，
故答案为：．
13. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，则此球的表面积等于________.
参考答案：
14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
参考答案：
2
由知是的中点，，又是的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对
称，，所以，.
15. 向量a=(2，o），b=(x，y），若b与b一a的夹角等于，则|b|的最大值为．
参考答案：
4
16. 已知函数在x＝－1时有极值0，则m+n＝_________；
参考答案：
m＝2，n＝9. m+n=11
f'(x)＝3x2＋6mx＋n；由题意，f'(－1)＝3－6m＋n＝0 f(－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0 解得或但m＝1，n＝3时，f'(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立即x＝－1时不是f(x)的极值点，应舍去
17. 4cos–= _____________。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
(12分)某城市从南郊某地乘坐公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分)服从正态分布N(50，102)；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60，42)．
(1)若只有70分钟可用，问应走哪一条路线？
(2)若只有65分钟可用，又应走哪一条路线？
[已知(Φ(3.9)=1.000，Φ(2)=0.9772，Φ(2.5)=0.9938，Φ(1.5)=0.9332，Φ(1.25)=0.8944]参考答案：
解析：设为行车时间，
(1)走第一条路线及时赶到的概率为
走第二条路线及时赶到的概率为
因此在这种情况下应走第二条路线； (6分)
(2)走第一条路线及时赶到的概率为
走第二条路线及时赶到的概率为
因此在这种情况下应走第一条路线． (12分)
19. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始作边两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于、两点，已知、的横坐标分别为、．
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）求的值．
参考答案：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
解：（Ⅰ）∵在单位圆中，
，，
，，∴，
，
．
（Ⅱ）∵，
，
为钝角，故，
，
∴
，
为钝角，
∴．
20. 设，且．
（1）求的值及的定义域；
（2）求在区间上的值域．
参考答案：
(1) ；(2) .
试题分析：(1)由可求出，由对数的真数为正数，即可求函数的定义域；
(2)由及复合函数的单调性可知，当
时，是增函数；当时，是减函数，由单调性可求值域.
考点：1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性.
21. 设函数.
（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数，求图像与轴的正半轴、y轴、直
线所围成图形的面积。

参考答案：
解（Ⅰ），（2分）∴. 由，得.
故函数的单调递减区间是. （4分）
（2）当时，原函数的最大值与最小值的和，
.（8分）
（3）由题意知（10分）
=1 （12分）
略
22. 为了比较“传统式教学法”与我校所创立的“三步式教学法”的教学效果．共选100名学生随机分成两个班，每班50名学生，其中一班采取“传统式教学法”，二班实行“三步式教学法”
（Ⅰ）若全校共有学生2000名，其中男生1100名，现抽取100名学生对两种教学方式的受欢迎程度进行问卷调查，应抽取多少名女生？
（Ⅱ）下表1，2分别为实行“传统式教学”与“三步式教学”后的数学成绩：
表1
数学成绩90分以下90—120分120—140分140分以上
频数15 20 10 5
表2
数学成绩90分以下90—120分120—140分140分以上
频数 5 40 3 2
完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为这两种教学法有差异.
班次120分以下(人数) 120分以上(人数) 合计(人数) 一班
二班
合计
参考公式:,其中
参考数据:
解：（Ⅰ）设女生为x，则
，………2分
解得名，∴女生抽取人．………4分
（Ⅱ）列联表如下：
班次120分以下(人数) 120分以上(人数) 合计(人数) 1班35 15 50
2班45 5 50
合计80 20 100
………7分
K2=Ks5u
………10分
由此可知，有99%的把握认为这两种教学法有差异．
………12分
略。