一阶常系数线性微分方程组解法举例
第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-2的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军3这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x xxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解 它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--4即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道，求解方程组dYAY dx= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军5111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明 因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.6证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军7这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是8111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军9显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型10121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素，而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J (3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY （3.26） 中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定陇东学院数学系常微分方程精品课程教案1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C eλλ=+= 这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x te t x t e t x te t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y陇东学院数学系常微分方程精品课程教案11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P 的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=，其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=, 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则(1) V 的子集合 {()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间，并且(2) V 有直和分解 12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，则得到(3.20)的一个基本解组.证明 由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k xe x x e λλλ----+++-++++R R R R R R 1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER （3.35）注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 解 系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15，可设其解形如22012()()xx x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点：1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。
本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可别离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。
关键词：变量别离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法Solution of first-order differential equationAbstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method1. 引言一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量别离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2. 一般变量别离 2.1 变量可别离方程形如()()dyf xg y dx= 〔1.1〕 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = 〔1.2〕 的方程，称为变量可别离方程。
常系数线性微分方程组的解法
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
常系数微分方程通解
广东省佛山市高三毕业班语文综合测试（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共1题；共6分)1. （6分） (2020高三上·芜湖期末) 阅读下面的文字，完成下面小题。
宜兴手工紫砂陶技艺是指分布于江苏省宜兴市丁蜀镇的一种民间传统制陶技艺，迄今已有600年以上的历史。
紫砂陶制作技艺，每件紫砂陶制品都是以特产于宜兴的一种具有特殊团粒结构和双重气孔结构的紫砂泥料为原料，采用百种以上的自制工具，经过的步骤制作完成的。
用这种技艺制作的宜兴紫砂陶成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
紫砂器内外一般均不施釉，以纯天然质地和肌理为美。
作为上品茶具，（），因此紫砂器与中国传统的茶文化相契合，成为茶文化的重要组成部分。
代表性的陶刻是由诗文、金石、书画等艺术与紫砂制作技艺完美结合而成的，符合中华民族传统的审美标准，尤与文人阶层的审美情趣相___________。
但由于紫砂制陶的原料是一种稀缺矿产资源，目前已被过度开发和滥用，加之紫砂制陶精品越来越少，如何这一优秀的民间手工技艺已成为一个亟待解决的课题。
（1）依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A . 独一无二繁冗融合传承B . 独占鳌头繁冗契合继承C . 独占鳌头繁复融合继承D . 独一无二繁复契合传承（2）下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是（）A . 有良好的透气性，能使人尽享茶之色香味B . 其良好的透气性能使人尽享茶之色香味C . 其透气性良好，茶之色香味能使人尽享D . 它能使人尽享茶之色香味，透气性良好（3）文中画线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A . 宜兴紫砂陶用这种技艺制作的成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
B . 用这种技艺制作的宜兴紫砂陶成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
常微分方程常见形式及解法
(在的r1≠r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：
常微分方程 毕文彬
7
一般通解
常微分方程 毕文彬
通解
9
历史ⅱ岳麓版第13课ห้องสมุดไป่ตู้通与通讯 的变化资料
精品课件欢迎使用
[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中
华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化
进
程的里程碑。
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
常微分方程 毕文彬
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
常微分方程 毕文彬
5
01一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
常微分方程 毕文彬
一阶微分方程解法
一阶微分方程解法微分方程（differential equation）是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
它是描述物理、化学、生物、经济等问题的数学模型，对于研究和解决实际问题有着重要意义。
一阶微分方程（first-order differential equation）是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程。
本文将介绍一些一阶微分方程的常见解法方法。
一、可分离变量法（Separable Variables Method）可分离变量法是一种常见的解一阶微分方程的方法。
对于形如dy/dx = f(x)g(y)的分离变量方程，我们可以将其重新排列为g(y)dy =f(x)dx，并进行变量分离的积分求解。
具体步骤如下：1. 将方程重新排列为g(y)dy = f(x)dx；2. 对两边同时积分，得到∫g(y)dy = ∫f(x)dx；3. 对左右两边的积分进行求解，得到方程的通解。
二、线性微分方程的求解方法线性微分方程（linear differential equation）是指未知函数和其导数出现在线性组合中的微分方程。
对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性微分方程，我们可以利用常数变易法（Method of Variation of Parameters）解得其通解。
具体步骤如下：1. 假设原方程的通解为y = u(x)y1(x)，其中y1(x)为已知的齐次方程的解，u(x)为待定的函数；2. 根据常数变易法，将u(x)代入方程中，并得到u(x)满足的方程；3. 求解u(x)满足的方程，并代入通解表达式中，得到方程的通解。
三、恰当微分方程的求解方法恰当微分方程（exact differential equation）是指存在一个原函数F(x, y)，使得该方程可以写成dF(x, y) = 0的形式。
对于形如M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0的一阶微分方程，我们可以利用其恰当条件进行求解。
一元微分方程与常系数线性微分方程
一元微分方程与常系数线性微分方程一元微分方程是微积分中的重要概念，常系数线性微分方程是其中的一种特殊形式。
本文将首先介绍一元微分方程的基本概念和解法，然后详细讨论常系数线性微分方程及其解析解。
最后，我们将通过一个实际例子来说明这些概念和解法的应用。
一、一元微分方程的基本概念和解法一元微分方程是指只含有一个未知函数及其导数的方程。
一元微分方程的一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
解一元微分方程的方法有很多种，常见的方法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法等。
这里我们主要介绍一阶线性常微分方程。
二、常系数线性微分方程及其解析解常系数线性微分方程是指未知函数的导数与其本身线性相关的微分方程。
一般形式可以表示为：dy/dx + ay = b其中，a和b是常数。
为了求解这类微分方程，我们先研究其特征方程，特征方程的解对应着齐次线性微分方程的通解。
对于一阶常系数线性微分方程，特征方程的解即为根式：r + a = 0解出r之后，我们可以根据特征方程的解，得到齐次线性微分方程的通解：y = C * e^(-ax)其中，C是常数。
接下来，我们需要找到特解来得到原方程的通解。
特解的形式可以根据b的类型来确定，若b为常数，则特解形式为：y = K将特解和齐次线性微分方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
三、实例应用假设某地天气预报显示，某一天的温度随时间的变化满足一元微分方程：dy/dt + y = 10其中，y表示温度，t表示时间。
这是一个一阶常系数线性微分方程。
我们可以先求解其特征方程：r + 1 = 0解得r = -1。
根据齐次线性微分方程的通解公式，我们得到：y = C * e^(-t)接下来，我们需要找到特解。
特解的形式可以设为：y = K代入方程，得到：K + K = 10解得K = 5。
将特解和齐次线性微分方程的通解相加，得到原方程的通解：y = C * e^(-t) + 5通过这个例子，我们可以看到一元微分方程的求解过程，以及常系数线性微分方程的特解和齐次线性微分方程的通解如何组合成原方程的通解。
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法
一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法[摘要] 微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
[关键词] 齐次线性方程组非齐次线性方程组通解特解微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
下面，我们首先研究常系数齐次线性微分方程组的解法。
对于常系数非齐次线性方程组（1）的求解问题，可以先求出它对应的齐次方程组（2）的通解，再求出它本身的任何一个特解，叠加起来就是它的通解。
我们记得阶线性非齐次微分方程组为（1）它所对应的齐次方程组为（2）其中是维向量，A是矩阵，在某个区间上连续.当A是常矩阵时，称为常系数线性微分方程组。
1.常系数齐次线性方程组我们通常采用以下三种方法来解答常系数齐次线性微分方程组：待定系数法、消元法和拉氏变换法。
1.1待定系数法待定系数法又称欧拉法，是解常系数齐次线性微分方程组的常用方法.其具体步骤是：（1）写出特征方程，算出特征根及重数，是互不相同的特征根，重数分别为；（2）对每一特征根作形式解代入方程组（2），比较t的同次幂的系数，得的代数方程组，解之可（比例地）确定它们，从而得到个线性无关解，若A是实数矩阵，是虚根时，所得的解要转换为实解；（3）对一切，我们共得个线性无关解，它们构成（2）的基本解组，线性组合之，即得（2）的通解。
1.2消元法消元法的基本思想是先设法消去方程组中的某些变元，得到只含一个变元的一个方程（在这里是一个高阶常系数齐次线性微分方程），求出这个方程的解，再回原方程组，求出变元的解。
第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法（1）
第三章⼀阶线性微分⽅程组第四讲常系数线性微分⽅程组的解法（1）第四讲常系数线性微分⽅程组的解法（4课时）⼀、⽬的与要求: 理解常系数线性微分⽅程组的特征⽅程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分⽅程组的基本解组的求法.⼆、重点：常系数线性微分⽅程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分⽅程组的特征⽅程式, 特征根, 特征向量的概念.四、教学⽅法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学⼿段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1 新课引⼊由定理3.6我们已知道，求线性齐次⽅程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于⼀般的⽅程组(3.8)，如何求出基本解组，⾄今尚⽆⼀般⽅法. 然⽽对于常系数线性齐次⽅程组dYAYdx(3.20)其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这⼀问题得到彻底解决. 本节将介绍前⼀种⽅法，因为它⽐较直观.由线性代数知识可知，对于任⼀n n ?矩阵A ，恒存在⾮奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对⽅程组(3.20)引⼊⾮奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij Tt i j n == det 0T ≠,将⽅程组(3.20)化为1dZ T ATZ dx-= (3.22)我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征⽅程 111212122212det()0nn n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-的根的情况有关. 上述⽅程也称为常系数齐次⽅程组(3.20)的特征⽅程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下⾯分两种情况讨论.(⼀) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-=⽅程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ=(3.23)易见⽅程组(3.23)有n 个解1110(),00x Z x e λ??=??220010(),,()0001n xx n Z x e Z x e λλ==把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到⽅程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i ini t t Y x e e T t λλ==(1,2,,)i n =这⾥i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性⽅程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的⼀个基本解组，因为它们的朗斯基⾏列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果⽅程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x x x n n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是⽅程组(3.20)的⼀个基本解组.例1 试求⽅程组353dxx y z dt dyx y z dtdzx y z dt ?=-+=-+-=-+??的通解.解它的系数矩阵是311151313A -=--??-特征⽅程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--即321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c =??,,a b c 满⾜⽅程1111()1310111a a A E b b c c λ--=--=-??????即0300a b c a b c a b c -+=??-+-=??-+=?可得,0a c b =-=. 取⼀组⾮零解，例如令1c=-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ??=- 211,1T = 3121T =-故⽅程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t=++--????????(⼆) 常系数线性微分⽅程组的解法复特征根从上⼀讲我们已经知道，求解⽅程组dYAYdx= （3.20）归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是⼀对共轭根，由定理3.11，对应解是111(),xY x e T λ= 222()xY x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出⽅程组（3.20）的实值解，这可由下述⽅法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次⽅程组()dYA x Y dx= 有复值解()()(Y x U x i V x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x = 12()()()()n v x v x V x v x ??=??证明因为()()()Y x U x iV x =+是⽅程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx +≡+()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx= ,()()()dV x A x V x dx =即()U x ,()V x 都是⽅程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n个线性⽆关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x +212[()()],b Y x Y x -3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性⽆关的.证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性⽆关，从⽽11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，⽭盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根⼀定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，⽅程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it +++++===+????1Y1112212212(cos sin )ax n n t it t it e bx i bx t it +??+??=++??11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx e ie t bx t bx t bx t bx -+-+=+-+这⾥1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是⽅程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述⽅法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx --??+=-??12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx ++??-=+??12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是⽅程组(3.20)的解，并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解⽅程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ?=--=+??=+解它的系数矩阵为111110301--=??A特征⽅程是111det()11031λλλλ----=--A E即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011=??-T 再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满⾜⽅程组2211((12))120302i a i i b i c ----+=-=-A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ?---=??-=??-=?? ⽤2i 乘上述第⼀个⽅程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ?--=??-=??-=?? 显见，第⼀个⽅程等于第⼆与第三个⽅程之和. 故上述⽅程组中仅有两个⽅程是独⽴的，即20320a bi a ci -=??-=?求它的⼀个⾮零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-=+=+故原⽅程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -=++-(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当⽅程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然⽽，当矩阵A 的特征⽅程有重根时，定理3.11不⼀定完全适⽤，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性⽅程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性⽆关特征向量的个数i γ, ⼀般将⼩于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对⾓阵，其求解⽅法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性⽆关的特征向量，通常称为⼴义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型121m =-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零⽆素，⽽1010i ii i λλλ=J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下⽅程组(3.20)化成 12m d dx =J J Z ZJ (3.25)根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的⼩⽅程组.为了说清楚这个问题，我们通过⼀个具体重根的例⼦，说明在重根情形下⽅程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于⼀般情形，其推导是相似的.设⽅程组d Dx=YAY （3.26）中A 是5.5矩阵，经⾮奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将⽅程组(3.26)化为d dx =Z JZ(3.27) 我们假定1112210000100000000010000λλλλλ??=?J 这时，⽅程组(3.27)可以分裂为两个独⽴的⼩⽅程组1112212313dz z z dx dz z dx dz z dx λλλ?=+==??(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ?=+=(3.29)在(3.28)中⾃下⽽上逐次⽤初等积分法可解得11123121232332!()xx xC z x C x C ez C x C e z C eλλλ??=++ =+=同样对(3.29)可解得2245455()xxz C x C e z C eλλ=+=这⾥125,,,C C C 是任意常数.由于在⽅程(3.28)中不出现45,,z z在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到⽅程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000xxx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ===??Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ==Z Z 从⽽1111112222002!000()00000000000x x xx xxx x xx e xe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ=Z (3.31)是⽅程组(3.27)的⼀个解矩阵. ⼜det (0)10=≠Z ,。
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程的解法在数学中，一阶线性微分方程是指形如$y'+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数。
这种微分方程的解法方法非常多样，这篇文章将会介绍三种较为常见的解法方法。
方法一：分离变量法分离变量法是解一阶微分方程最基础的方法，它的核心思想是将微分方程中的未知函数和自变量分别放到方程两侧，并将所有包含未知函数的项移到一侧，包含自变量的项移到另一侧，然后对方程两侧进行积分即可得到解。
例如，对于微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，我们可以将其改写为$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$，然后将$y$和$q(x)$的项分别移到方程两侧，得到$\frac{dy}{dx}=q(x)-p(x)y$。
然后对两侧同时积分，得到$$y=\frac{1}{p(x)}\left[c+\int p(x)q(x)dx\right]$$ 其中$c$是积分常数。
需要注意的是，上式中$p(x)$不能为零，否则分母为零无法得到有意义的解。
此外，在$y$的通解中，$c$是任意常数，可以通过初始条件来确定。
方法二：常数变易法常数变易法是一种适用于非齐次线性微分方程的解法方法。
它的思想是假设未知函数$y$可以表示为其对应的齐次方程的通解$y_c$和一个特解$y_p$的和，即$y=y_c+y_p$，然后通过对$y_p$的猜测来求解$y_p$，并将其代入原方程。
对于一阶非齐次线性微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，对应的齐次方程是$y'+p(x)y=0$，它的通解为$y_c=ce^{-\int p(x)dx}$。
我们假设特解的形式为$y_p=u(x)e^{-\int p(x)dx}$，其中$u(x)$是待求函数。
将$y_p$带入原方程，得到$$u'(x)=q(x)e^{\int p(x)dx}$$ 我们可以通过对$u'(x)$进行积分来求出$u(x)$，从而求出特解$y_p$，最终方程的通解即为$y_c+y_p$。
常系数线性微分方程组的解法
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明：由上面讨论知，每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩，・阵…・，,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关， de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2，…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的，则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵，且①
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解，其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。
其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。
在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。
这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以将它改写为$$dy=f(x,y)dx$$然后对两边同时积分，得到$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$其中C为常数。
这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。
举个例子，考虑方程$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$我们将它改写为$$\frac{dy}{y}=x^2dx$$然后对两边同时积分，得到$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$最终解为$$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$其中C为常数。
二、齐次方程如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那么这个方程就是齐次方程。
对于这类方程，我们可以利用变量替换来把它转化为分离变量的形式。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。
因此，$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$将其带入原方程，得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$将u视为自变量，x视为函数，可转化为$$\frac{dx}{du}=\frac{1}{f(u)-u}$$然后对两边同时积分，得到$$x=\int \frac{1}{f(u)-u}du+C$$最后将u替换成y/x即可。
一阶与二阶常系数线性微分方程与其解法
证毕。
返回
退出
*例2-1 求一阶非线性微分方程
dy 2xy dx x2 y2 的通解。
解
dy 2xy Q dx x2 y2 ,
(x2y2)dy2xydx,
2xydxx2dyy2dy,
yd(x2)x2dyy2dy;
可见，
yd(x2) x2dy
y2
dy ,
x2 d( ) dy ;
y d( x2 y) 0 .
积函数的某个原函数而非全体原函数。
显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述
采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过于简单的做法要严谨。
返回
退出
**例2-9 求一阶线性微分方程 (y x )d y (x y )d x 0
d(2arctanyln(x2y2)0. x
故原方程的通解为
Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）
------ Francis Hutcheson（哈奇森）
退出
常微方程基本概念与几种一阶和二阶线性方程的
一 二
三
四
五
专题
退出
1. 何谓常微分方程
返回
退出
**例2-8的求解结果实际上给出了一阶线性微分方程
yP(x)yQ (x) 的通解求算公式：
x
u
yeaP (t)dt[ xeaP (t)dtQ (u )duC]. a
该公式在教材的P237的公式(6)中借不定积分的形式表述为
y e p (x )d x [ep (x )d x Q (x )d x C ]. 但应强调指出的是，其中的不定积分 p( x)dx 仅用以特指 P ( x ) 的某一 而非全体原函数。 类似地，不定积分 ep(x)dxQ(x)dx 也仅用以特指被
12-13常系数线性微分方程组的解法举例
练习题
一、求下列微分方程组的通解：
1.
dx ddxt dt
dy dt dy dt
x
x y
y
3, 3;
2.
dx dt
2x
dy dt
y
t,
5 x
dy dt
3
y
t
2
.
二、求下列微分方程组满足所给初始条件的通解：
1.
d 2
dt
x
2
2
dy dt
x
0,
x t0 1,
dx dt
y
0,
y t0 0;
方程组通解为
x 3C1et 3C2et 3C3 cost
3C4 sint 2et
y
C1e t
C2et
C3 cost
C4 sint
et
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
三、小结
１．注意微分算子D的使用；
２．注意求出其中一个解，再求另一个解时， 宜用代数法，不要用积分法．避免处理两次 积分后出现的任意常数间的关系．
２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数.
３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
例1
解微分方程组
dy
dx
dz
3 2
y y
2z, z.
(1) (2)
dx
解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
y
1 2
dz dx
z
(3)
两边求导得，
dy dx
x
,
z (C1 C2 x)e x
用 D 表示对自变量 x求导的运算 d ,
线性代数案例19(一阶常系数线性齐次微分方程组的求解)
案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P 0(1, 0)处. 如果知道虫子在点P (x , y )处沿x 轴正向的速率为4x − 5y , 沿y 轴正向的速率为2x − 3y . 如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程?图31 虫子爬行的轨迹【模型假设】设t 时刻虫子所处位置的坐标为(x (t ), y (t )). 【模型构成】由已知条件和上述假设可知d 45,d d 23,d x x y t y x y t⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩而且(x (0), y (0)) = (1, 0). 现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程.【模型求解】令A =4523−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠, 则|λE −A | =4523λλ−−+= (λ+1)(λ−2). 可见A 的特征值为λ1 = −1, λ2 = 2.(−E −A )x = 0的一个基础解系为: ξ1 = (1, 1)T ;(2E −A )x = 0的一个基础解系为: ξ2 = (5, 2)T .令P = (ξ1, ξ2), 则P −1AP =1002−⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 记X =x y ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, Y =u v ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, 并且作线性变换X = PY , 则Y = P −1X , d d t Y = P −1d d t X = P −1AX = P −1APY =1002−⎛⎞⎜⎟⎝⎠Y , 即d d d d u t v t ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=1002−⎛⎞⎜⎟⎝⎠u v ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, 故u = c 1e −t , v = c 2e 2t , 即Y =122t t c e c e −⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 因而 12c c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠= Y |t =0 = P −1X |t =0 =2/35/31/31/3−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠10⎛⎞⎜⎟⎝⎠=2/31/3−⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 于是xyO 1何去何从?Y =22313t t e e −⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠, X = PY =1512⎛⎞⎜⎟⎝⎠22313t t e e −⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠=2225332233t t t t e e e e −−⎛⎞−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟−+⎜⎟⎝⎠. 这就是说, 虫子爬行的轨迹的参数方程为2225,3322.33t t t t x e e y e e −−⎧=−+⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩如果在Matlab 命令窗口输入以下命令>>ezplot('-2/3*exp(-t)+5/3*exp(2*t)','-2/3*exp(-t)+2/3*exp(2*t)',[0,1]) >> grid on;>> axis([0, 12, 0, 5])Matlab 执行后得图32 Matlab 绘制的虫子爬行轨迹 【模型分析】从图32可以看出虫子爬行的轨迹接近一条直线.Matlab 实验题一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P 0(0, 1)处. 如果知道虫子在点P (x , y )处沿x 轴正向的速率为x + y , 沿y 轴正向的速率为2x − y . 求虫子爬行的轨迹的参数方程, 并绘制虫子爬行的轨迹.。
45一阶常系数线性微分方程组解法举例
d2y
dy dz 即 cosx 2 2sinx ， dx dx
∴
d2y
dx2 dy 2cosx C1 ， dx
2sinx ，
y 2sin x C1 x C 2 ，
z sinx 2(2sinx C1 x C2 )(2cosx C1 )
3sin x 2cos x 2C1 x ( 2C 2 C1 ) 。
若 g i ( x ) 0 ( i 1, 2, , n ) ，则称方程组（1）为齐次的， 否则称为非齐次的。 若 a ij ( x ) ( i , j 1, 2, n )为常数 ，则称方程组（1）为 一阶常系数线性微分方程组。
4.5.1 消元法—转化为高阶线性微分方程
dy dx sinx 2 y z 例 1．求微分方程组 的通解。 dz cosx 4 y 2z dx
dy dz cosx 2 ， 解：对第一个方程求导，得 2 dx dx dx
dy 由第一个方程得 z sinx 2 y ， dx dz dy 代入第二个方程，得 cosx 4 y 2(sinx 2 y ) dx dx dy cosx 2sinx 2 , dx
2t
即 x C 3e
y C 3e
2t
2t
1 (C 2 2C1 )e t ， 3
1 (C1 C 2 )e t ， 3
1 (C1 2C 2 )e t 。 3
z C 3e
2t
作
业
习 题 七 （P249）
1（2）（8）；2 （3）。
总 习 题 （P259）
1（奇序号）；（18）；2 ；3（2）；8 。
一阶线性微分方程组常系数线性微分方程组的解法1
第四讲常系数线性微分方程组的解法(4课时)一、冃的与要求：理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学于段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组.但是对于一般的方程组(3.8), 如何求岀基本解组，至今尚无一般方法.然而对于常系数线性齐次方程组dx(3.20)下面分两种情况讨论.(-)矩阵A的特征根均是单根的情形.设特征根为人，入,…，人,这时入0T~[AT0 A, 方程组(3.20)变为(3.23)易见方程组(3.23)有〃个解Z](兀)=0 严，Z2(x) =■■0010•■乙(兀)= 0■■A..x eH ■■1把这〃个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的舁个解5hi(Z = h Z…加这里7；是矩阵丁第例向豊它恰好是矩阵A关于特征根人的特征向量，并且由线性方程组(A-4E)£=0所确定.容易看岀，y,(X),§(X),…比(x)构成(3.20)的一个基本解组,因为它们的朗斯基行列式W (x)在x = 0时为W(0) = det T工0・于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的〃个特征根入，希，…，人,彼此互异，且7；込,…卫分别是它们所对应的特征向量，则Z (劝=尹7],场(劝=/込，…比(X)= e A"x T n是方程组(3.20)的一个基本解组.例1试求方程组的通解.解它的系数矩阵是4 = 特征方程是det(A-2E)=3-1 1 _-15-13-13-2-11-15-2-1=0 3-13-2dxdt= 3x- y + zdzdt=x- y + 3z23-lU 2+362-36 = 0所以矩阵A 的特征根为人=2,人=3,入=6.先求A =2对应的特征向量，仅C 满足方程a■ 1-1 1 _Cl（A-人 E ） b —— -1 3 -1 b =0c1 -1 1 c即a-b + c = 0 < -a + 3b-c = 0 a-b + c = Q可得a = —c,b = °.取一组非零解，例如令° = 一1 ,就有 d = l,b =0,c = —1.同样，可求出另两个特征根所对应的 特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是故方程组的通解是_1 -■f■ 1 ■W)=C {e 2t 0 + C 2e 3f1 + Ge" -2 z(f)-111（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dY 二AYdx(3.20)归结为求矩阵4的特征根和对应的特征向量问题.现在 考虑复根情形.因为4是实的矩阵，所以复特征根是共辘出 现的，设\2=a±i 0是一对共辘根，由定理3.11,对应 解是Y x (x) = e^x T x , Y 2 (%) = e^xT 2其中£兀是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们 希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现.定理3・12如果实系数线性齐次方程组罕=A(X)Y ax 有复值解Y(%)=U(X)+ iV(x)其中L/(x)与卩(兀)都是实向量函数，则其实部和虚部坷(兀)t/(x) =w2(x)■■■，VW =认)■叫(X) 也)证明因为Y(兀)=U(x) + iV(兀)是方程组(3.8)的解，所以dx v ] dx dx=A(x)[U (x) + iV (x)] = A(x)U (x) + iA(x)V (x)由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：dx，dx即g),«)都是方程组(3.8)的解•证毕.定理3・13如果Z (x), Y2 (x),…,人(x)是区间(恥)上的« 个线性无关的向量函数，也厶是两个不等于零的常数，则向量函数组卅(劝+如],^KW-^(x)],5(劝,・・・,匕(劝(3.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.证明(反证法)如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在〃个不全为零的常数g…,c“,使得对区间(小上的所有兀皆有Cp][X(x) + §(x)] + C2b2[Y{(X)-Y2(X)]+C3Y3O) + …+ C n Y n(x)三0所以(C、b\ + C2b2)Y.(x) + (CQ\ — C2b2)Y2(x) + (x) + …+C n Y n O)三0因为乙(兀)卫(劝,…,乞(兀)线性无关,从而CQ] + C2b2 = 0, C\b[ — C2b2 =0, C3 = 0,…,C” = 0从上式可知，C {b { =C 2Z?2 =0,因为％/?2鼻0,故 6=0=°.即所有常数g …c 都等于零，矛盾.证毕.由代数知识知，实矩阵4的复特征根一定共辘成对地岀 现•即，如果a = a +ib 是特征根，则其共^A = a-ib 也是 特征根.由定理3.11,方程组(3.20)对应于^ = a + ib 的复 值解形式是"1 +"12 Y](x)二严初7二严也■ ■ ■『21 +”22 ■t n□ +心2这里E 是对应于^ = a + ib 的特征向量.由于矩阵A 是实 的，所以上述向量的共辘向量是方程组(3.20)对应于特征根=e ax (cos bx + i sinbx)+ "12 ■ h\ +"22G cos bx-t n sinbxt n cosbx + t n sinbxcos bx -sinbx・ClX4 cosbx + q sinbx■ ■+ ie■■t nl cosbx-t n2 sinbxt n2 cosbx + f 川 sinbx+ lt n2A = a-ib 的解，记作丫2(兀)=严沥工，•现将上述 两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为t n cosbx + 帚 sinbx 切 cosbx + Q sinbx■t n2 cosbx + g sinbx由定理3.12和定理3.13,它们分别是方程组(3.20)的解，并 且由此得到的n 个解仍组成基本解组.|[Y 1(X ) + Y 2(X )] = ^cos bx-t n sinbxZ 21 cos bx-12? sinbx■ ■ ■t ni cosbx-t n2 sinbx1[Y 1(X )-Y 2W] = ^2z例2求解方程组dxdt -x-y-z dt 二兀+ydz = 3x + zdt解它的系数矩阵为-1 1-Z 0-1 0 1-A(2-1)(22-22+5) = 0特征方程是-1 -11-2det(A -AE)=特征根为人=1，育 3 = 1 ± 2Z先求人=i对应的特征向量为~0_T.= 1-1再求人=1 + 2,所对应的特征向量丁2.它应满足方程组~-2i-1-T a(A-(1+2Z)E)T2=1-2i0b=030-2i c-2ia-b-c二0< a — 2bi — 03a-2ci = 0用力乘上述第一个方程两端，得4a-2bi-2ci = 0< a - 2bi = 0 3a —2c 心 0显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程 组中仅有两个方程是独立的，即a — 2bi = 0 3a — 2ci = 0求它的一个非零解.不妨令" = 2.贝ljb = l,c = 3・于是人= 1 + 2/对 应的解是故原方程组的通解为_0_-2 sin It2 cos 2?=C0 1 +cos2r + C 3e ，sin 2t z(x) -13 cos It3 sin 2t(三)矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11,我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这 些特征根所对应的特征向量.然而，当~2i~~2i ~-2 sin 2t2cos2r 1 =e r (cos 2t + i sin 2f)1 =e r cos 2tsin 2t333 cos 2t3sin2fe (l+2/)/矩阵A的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若人是A 的出重特征根，则由齐次线性方程组(A - 4E)!；二0所决定的线性无关特征向量的个数人，一般将小于或等于特征根人的重数匕若幷半，那么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同•若齐＜«,由线性代数的知识，此时也可以求岀匕个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T的列向量，可将矩阵A化成若当标准型J.TAT=山■_ J加-其中未标岀符号的部分均为零无素，而是化阶约当块，/+©+…+灯=仏"…，九是(3.20)的特征根, 它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成JZ~cbc(3.25)根据(3.25)的形式，它可以分解成为〃7个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子, 说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构.对于一般情形，其推导是相似的.设方程组Dx(3.26)中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换Y=TZ 其中T =(G (L_/ = 1,2,...,5)且 delTHO,将方程组(3.26)化为(3.27)dx我们假定1 0 0 o -0 A 1 0 0J = 00 A 0 00 0 010 0 0 0这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组(3.28)(3.29)在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得(C AZ[ = — x2 + C^x + C, e A[X12! ~ JZ2 = (C3x + C2)e z,A同样对(3.29)可解得z4=(C5x + C4)^x这里GG ，…,G 是任意常数•由于在方程(3.28)中不出现“5, 在(3.29)中不岀现辟2好 我们依次取C )= 1, C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = 0C] = o, = h = C4 = q = o Cj = C 2 = 0, C 3 = 1,C 4 = C 5 = 0 q = C] = C y = 0, C 4 = 1,C 5 = 0 q = q = C3 = C4 = o. C5 = 1可以得到方程组(3.27)的五个解如下从而(3.31)是方程组(3.27)的一个解矩阵•又detZ(0) = 1^0zi =e 0 0 ,z° = - Xj.v ■ xe 1/X Z3 = 2!xe^x /X■ 0 ■ 0，厶= 0€ 9_ 00 00XZ(x) = 00 02!兀戶0 00 0 0严所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27) 的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y"Z 中可得原方程组(3.26)的五个解，（寸，+r 12x + r 13>z,A （才兀2 +3 +Q ）□ （毎兀2 +/32兀 +/33）0 （才F +3 +心）穴 （毎F+l + S*而且这五个解构成方程组的一个基本解组•这是因为，若把上 面五个解写成矩阵形式Y(x) = [X (x), Y 2 (x), Y 3 (x), Y 4 (x), Y 5 (x)]则显然有detY(0)= T HO.I”（⑺+心）/"(切兀+切対(『34兀+(35)/"(切兀+切)/'（『54*+ ‘55）八 _(加+氐沖 (护+山才 (“沁+切)/" (⑺+心才Y 4至此我们已清楚地看到，若J中有一个三阶若当块，仏是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解,PiMY(x)= p3i(x) d,2,3(3.32)其中每个必CM = 1,2,3,£ = 1,2,3,4,5)是x的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式(R o + Rd+R2X2)/'都是五维常向量•而对于J中的二阶若当块，易是其中R(J.R P R2(3.26)的二重根，它所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式(R3+R4X)^X其中R“出也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20),若厶是A的一个出重特征根，则人所对应的若当块可能不是一块而是几块, 但是它们每一块的阶数都小于或等于化，而且这些阶数的和恰好等于化.这样，由以上分析我们得到定理3. 14设人虫,…，血是矩阵A的加个不同的特征根，它们的重数分别为也,…人・那么，对于每一个八方程组(3.20)有人个形如X (x) = I> (x)e^x, Y2(X) = E (x)e^x，…，兀(劝=P k (卅的线性无关解，这里向量EG)(i = l,2,・・・,心)的每一个分量为无的次数不高于心-1的多项式.取遍所有的人(,=1,2,・・・,加)就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3・1设邪介矩阵互不相同的特征根为加=1,2,…,〃7), 其重数分别是，蛀2,…W+/+…+灯=砒，记〃维常数列向量所组成的线性空间为V,则(1) V的子集合V7. ={R|(A-学卢R = O,ReV}是矩阵A的nz维不变子空间，并且(2) v有直和分解V = V1®V2®---®V m；现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组. 定理3・15如果勺是(3.20)的勺重特征根，则方程组(3.20)有个匕形如Y(兀)=(R o +R］兀------ 巴_¥厂")/“(3.33)的线性无关解，其中向量R（）,R H由矩阵方程(A-/lyE)R0 = R](A-2y E)R1=2R2(A-学)％_2 = (k. - 1)R『(A — 2y.E)^ R()= 0(3.34)所确定.取遍所有的A.（J = 1,2,则得到（3.20）的一个基本解组.证明由定理3.14知，若厶是（3.20）的匕重特征根，则对应解有（3.30）的形式•将（3.33）代入方程组（3.20）有[R1+2R2x + ... + (^-l)R^_I//_2]€V+/l.(R0 + R1x+...+R Jti_I/?_，)/ =A(R(> + R|X + • • • + R—]/" 消去/尸，比较等式两端兀的同次幕的系数（向量），有(A — 2;-E)R0 = Rj(A-A7E)R, =2R2(A -2;.E)R^_2 =代- 1)R®_] ・(A-A.E)R V1=O注意到方程组(3.35)与(3.34)是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同.(3.35)与(3.34) 同解的证明请见教材.这样，在方程组(3.31)中，首先由最下而的方程解出出，再依次利用矩阵乘法求岀R P R2•由引理3.1得知，线性空间V可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的40 = 1,2,...,肋，就可以由(3.34)最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的〃个解.记这Q个解构成的解矩阵为丫⑴，显然，Y(O)是由(3.34) 最下面的方程求岀的n个线性无关常向量构成，由引理3.1 的2)矩阵Y(O)中的各列构成了斤维线性空间v的一组基，因此det Y(0) 0 ,于是Y(x)是方程组(3.20)的一个基本解组.例3求解方程组卞=儿+儿＜于=X +儿诗二必+旳解系数矩阵为「o 1 rA二1 0 11 1 0特征方程为(2-2)(2 + 1)2=0特征根为人=2,人=〈=-1.其中人=2对应的解是TY,(x)= 1 訂1下面求—-1所对应的两个线性无关解.由定理3.15,其解形如Y(x) = (R o + Rd)*'并且RoR满足f(A + E)R0 = R][(A+E)2R O=O由于_i 1 r「3 3 3'(A + E)二 1 1 1,(A+E)2 = 3 3 31 1 1 3 3 3那么由(A+EFR J =0可解出两个线性无关向量将上述两个向量分别代入(A + E)R0=R1中，均得到R] 为零向量•于是A=A=-1对应的两个线性无关解是最后得到通解-1丫2(兀)=1 厂,-1丫心)=0厂1例4求解方程组石T + 2宀解系数矩阵是「3 1 -1 A= -1 211 1 1特征方程为(2-2)3=0 ,有三重特征根人2.3 =2 由定理3.15,可设其解形如Y(x) = (R° ++R 2X 2)e 2xR o R, R 2满足方程组(A-2E)R 0=R, (A-2E)2R ( =R 2(A-2E)3R O =O■f■~r1 + C 2e'x1+ C 3e~x0 1iY(x) = C&s由于"1 1 -1__-I o r「0 0 o-(A — 2E) =-1 0 1,(A-2E)2 =0 0 0,(A-2E)3 =0 0 01 1 -1-1 0 10 0 0故R°可分别取再将它们依次代入上面的方程，相应地求得弘为R2为丄~2丄~2于是，可得原方程组三个线性无关解最后方程的通解口J写成l + x ——jr2X丄9-x + — X2cy2M=e2x—x1c2_y3W_ 1 2x- — x^L 2X 1 - X + — x22 _本讲要点:1 2 0]_ 21.常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。
一阶常微分方程解法总结
一阶常微分方程解法总结第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程: ①、形如)()(y g x f dxdy= 当0)(≠y g 时,得到dx x f y g dy)()(=,两边积分即可得到结果; 当0)(0=ηg 时,则0)(η=x y 也就是方程的解。
例1、1、xy dxdy= 解:当0≠y 时,有xdx ydy=,两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y +=所以)(11212C x e C C eC y ±==为非零常数且0=y 显然就是原方程的解;综上所述,原方程的解为)(1212为常数C eC y x =②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时,可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=,两边积分可得结果; 当0)(0=y N 时,0y y =为原方程的解,当0(0=）x P 时,0x x =为原方程的解。
例1、2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解:当0)1)(1(22≠--y x 时,有dx x xdy y y 1122-=-两边积分得到)0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C Cy x ,所以有)0()1)(1(22≠=--C Cy x ;当0)1)(1(22=--y x 时,也就是原方程的解; 综上所述,原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。
⑵可化为变量可分离方程的方程:①、形如)(x yg dx dy = 解法:令x y u =,则udx xdu dy +=,代入得到)(u g u dxdux =+为变量可分离方程,得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =。
②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解法:令by ax u +=,则b du adx dy +=,代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程,得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。
一阶线性微分方程及其解法
例3
求方程 1 e
y
ydx
y
x
dy
0
的通解
解：这是一个齐次方程。先将方程变形为
1
e
x y
dx dy
1
x y
0
令u x y
,即
x yu
，故 dx u y du
dy
dy
代入得：
1 eu
1 x
ex x
x
d
x
C
1 e x d x C 1 e x C .
x
x
由 y x1 0 得
C 1, 2
因此方程满足初始条件的特解为
11 1 y
2 x 2x2
(讲)求以下方程在 y |x1 e 下的特解
(x ln y)dy y ln ydx 0
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
将 y 和 y 代入原方程, 得
C( x)e P( x)d x Q( x), 可分离变量方程
11 C 2 x x2
(不)例4 求方程 y 1 y e x 的通解. xx
解 P(x) 1 , x
Q(x) ex , x
通解：y
e
1 x
d
x
ex x
e
1d x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作业
习 题 七 （P249）
1（2）（5）（8）； 2 （3）。
总 习 题 （P219）
1（奇序号）；（18）； 2 ；3（2）；8 。
2
y1
)
dy1 dx
2y1，源自即d 2 y1 dx2
dy1 dx
2
y1
0
，
特征方程为r 2 r 20 ，r11 ，r2 2 ，
∴ y1c1e x c2e2x ，
y2 c3e2x ，
y3
dy1 dx
2
y1
y2
c1e x 2c2e2x 2(c1e x c2e2x )c3e2x
sinx2 cos x 4
yz y2z
的通解。
dx
解：对第一个方程求导，得
d2y dx2
cos x 2 dy dx
dz dx
，
由第一个方程得 zsinx2 y dy ， dx
代入第二个方程，得 dz cosx4 y2(sinx2 y dy )
dx
dx
cosx2sinx2dy , dx
(4c2 c3 )e2x c1e x .
例
3．求微分方程组
dx y z dt dy z x dt dz x y dt
的通解。
解：由第一个方程和第二个方程得： d( x y) ( x y) ， dt
x y3C1et ，
同理得 xz3C2et ，
即 cosx2dy dz 2sinx ， dx dx
∴
d2y dx2
2sinx
，
dy dx
2cosx
C1
，
y2sinxC1xC2 ，
zsinx2(2sinxC1xC2 )(2cos xC1)
3sinx 2cos x 2C1 x (2C2 C1 ) 。
例
2．求微分方程组
dy1 dx
2
y1
y2
y3
dy2 dx
2
y2
dy3 dx
4
y1
y2
3
y3
的通解。
解：
d 2 y1 dx2
2dy1 dx
dy2 dx
dy3 dx
2
dy1 dx
4
y1
3
y2
3
y3
2dy1 dx
4
y1
3(
dy1 dx
dy1
dx dy2
dx
a11( x) a21( x)
y1 y1
a12 ( a22(
x) x)
y2 y2
a1n( x) yn a2n( x) yn
g1( x) g2 ( x)
(1)
dyn dx
an1
(
x)
y1
an2
(
x
)
y2
ann
(
x
)
yn
gn
由上面两式得
dx dt
2
x
3(C1
C2
)e t
,
解得 x e2t [ 3(C1 C2 )et e2t dt C3 ]
e2t [(C1C2 )e3t C3],
即 xC3e2t (C1C2 )et ， yC3e2t (C2 2C1)et ， zC3e2t (C12C2 )et 。
(
x
)
若 gi ( x)0 (i1, 2, , n) ，则称方程组（1）为齐次的，
否则称为非齐次的。
若 aij ( x) (i, j1, 2, n)为常数 ，则称方程组（1）为
一阶常系数线性微分方程组。
4.5.1 消元法—转化为高阶线性微分方程
例
1．求微分方程组
dy
dx dz
§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例
一阶微分方程组的一般形式
dy1
dx dy2
dx
f1( x, y1, y2 ,, yn ) f2( x, y1, y2 ,, yn )
dyn dx
fn(
x,
y1 ,
y2
,,
yn
)
一阶线性微分方程组