第一讲不等式和绝对值不等式章末复习方案课件人教A选修4-5

x≤3， 解不等式组x>7－2 a，
得7－2 a<x≤3，∴a>1.
综合①②③可知当 a>1 时，原不等式有解，从而当 0<a≤1
时，原不等式解集为空集．
由(1)(2)两种情况可知不等式|x－4|＋|3－x|<a 的解集是
空集时，a 的取值范围是 a≤1.
法二：令 y＝|x－4|＋|3－x|. 2x－7， x≥4，
则 y＝1， 3<x<4， －2x＋7， x≤3.
作出图象如图，由图象观察可知，要使不等式|x－4|＋|3 －x|<a 的解集为空集，显然 a≤1.
一、选择题 1．已知 y＞x＞0，且 x＋y＝1，那么 A．x＜x＋2 y＜y＜2xy B．2xy＜x＜x＋2 y＜y C．x＜x＋2 y＜2xy＜y D．x＜2xy＜x＋2 y＜y
若不等式对于给定区间内的任意值都成立，我们称它为 不等式恒成立问题，常用的解决方法有：
(1)实根分布法 涉及到指定区间上一元二次不等式的恒成立问题时，应 根据“三个二次”的辩证统一关系，按照二次三项式有无实 根分类讨论去解决问题． (2)最值法 运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决 恒成立中的参数范围问题．
答案：C
4．已知|α＋β|＝|α|＋|β|，|α|＞2 2，|β|＞2 2，则下列结论：
①|α－β|≤|α＋β|；②|α－β|＞|α＋β|；③|α＋β|＞5；
④|α＋β|≤5.其中正确的有
()
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
解析：由|α＋β|＝|α|＋|β|知 α，β 同号，
∴|α－β|≤|α＋β|成立．∵|α|＞2 2，|β |＞2 2，
()
解析：可以代入 x＝14，y＝34，验证x＋2 y＝12，2xy＝38，显然
x＜2xy＜y＋2 x＜y. 答案：D
2．若1＜a＜3，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是 ( )
A．(－1,3)
B．(－3,6)
C．(－3,3)
D．(1,4)
解析：∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4，
∴－4＜－|b|≤0.
(2)每批去 x 名同学，共需去48× x 4批， 总开支又分为：①买卡所需费用 240x，②包车所需费用 48× x 4×40. ∴y＝240x＋48x×4×40(0＜x≤48，x∈Z)．
∴y＝240(x＋3x2)≥240×2 x×3x2＝1 920 2， 当且仅当 x＝3x2，即 x＝4 2时取等号． 但 0＜x≤48，x∈Z，
[解析] 结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较大 小，或用特殊值法判断．
a＞b 并不能保证 a、b 均为正数，从而不能保证 A、B 成 立．又 a＞b⇔a－b＞0，但不能保证 a－b＞1，从而不能保证 C 成立．显然只有 D 成立．事实上，指数函数 y＝(12)x 是减函 数，所以 a＞b⇔(12)a＜(12)b 成立．
[例 3] 若 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1. 求证：a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥92. [证明] ∵a、b、c∈R＋且 a＋b＋c＝1， ∴2＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)． ∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·(a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a)
≥33 a＋bb＋cc＋a×3 3 a＋1 b·b＋1 c·c＋1 a＝9. ∴原式得证．
[例7] 解下列关于x的不等式： (1)|x－x2－2|＞x2－3x－4； (2)|x＋1|＞|x－3|； (3)|x2－2|x|－2|≤1； (4)|x－2|－|2x＋5|＞2x； (5)|2x－1|＜|x|＋1. [解] (1)法一：原不等式等价于
x－x2－2＞x2－3x－4 或 x－x2－2＜－(x2－3x－4)，
本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结
论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式) 大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等
知识综合进行考查． [例 1] 若 a、b 是任意实数，且 a＞b，则
()
A．a2＞b2
B.ab＜1
C．lg(a－b)＞0
D．(12)a＜(12)b
2．求函数的最值 在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三 个条件：①x、y为正数．②“和”或“积”为定值．③等 号一定能取到，这三个条件缺一不可．
[通一类] [例 4] 已知 0＜x＜13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值． [解] y＝x(1－3x)＝13×3x×(1－3x)，
∵0＜x＜13，∴1－3x＞0，x＞0.
⇒
|x|－3|x|＋1 ≤0 |x|－1＋ 2|x|－1－
2≥0
⇒
|x|≤3， |x|≥1＋
2.
∴1＋
2≤|x|≤3.
∴原不等式解集为[－3，－1－ 2]∪[1＋ 2，3]．
(4)分段讨论：①当 x＜－52时，原不等式变形为 2－x＋2x＋5＞2x，解得 x＜7，∴解集为{x|x＜－52}． ②当－52≤x≤2 时， 原不等式变形为 2－x－2x－5＞2x，解得 x＜－35. ∴解集为{x|－52≤x＜－35}． ③当 x＞2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5＞2x， 解得 x＜－73，∴原不等式无解． 综上可得，原不等式的解集为{x|x＜－35}．
∴y＝x(1－3x)＝13×3x×(1－3x) ≤13×[3x＋21－3x]2＝112.
当且仅当 3x＝1－3x 即 x＝16，y 有最大值112.
[例 5] 当 0<x<π2时，函数 f(x)＝1＋cossi2nx2＋x8sin2x的最小值为()A．2B．2 3
C．4
D．4 3
[解析] 利用二倍角公式和同角三角函数关系，将函数式转
[解] 设买 x 张游泳卡，总开支为 y 元，则 (1)每批去 x 名同学，共需去48× x 8批， 总开支又分为：①买卡所需费用 240x， ②包车所需费用48× x 8×40. ∴y＝240x＋48x×8×40(0＜x≤48，x∈Z)．
∴y＝240(x＋6x4)≥240×2 x×6x4＝3 840， 当且仅当 x＝6x4，即 x＝8 时取等号． 故每人最少应交3 48840＝80(元)．
[例 6] 某游泳馆出售冬游泳卡，每张 240 元，其使用规定： 不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有 48 名同 学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡 外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的 包车费均为 40 元．
(1)若使每个同学游 8 次，每人最少应交多少元钱？ (2)若使每个同学游 4 次，每人最少应交多少元钱？
法二：分段讨论： 当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈∅； 当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3， 即x＞1，∴此时1＜x≤3； 当x＞3时，有x＋1＞x－3成立，∴x＞3. ∴原不等式解集为{x|x＞1}．
(3)∵x2＝|x|2，∴原不等式化为
－
1≤|x|2
－
2|x|
－
2≤1
，
即
|x|2－2|x|－3≤0 |x|2－2|x|－1≥0
[答案] D
1．证明不等式 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析， 运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟 记一些变形形式，放缩的尺度要把握好．
[例 2] 已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求证：(1＋1x)(1 ＋1y)≥9.
[证明] 法一 ∵x＋y＝1， ∴1x＝x＋x y＝1＋xy， ∴1y＝x＋y y＝1＋xy， ∴(1＋1x)(1＋1y)＝(2＋xy)(2＋xy) ＝5＋2(xy＋xy)
化变形，再用基本不等式求解．
f(x)＝2c2ossi2nx＋xc8ossinx2x＝ta1n x＋4tan x.
∵x∈0，π2，∴tan x>0.
故 f(x)＝ta1n x＋4tan x≥2
1 tan
x·4tan
x＝4，故选
C.
[答案] C
3．解决实际问题 由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限 制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些 分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次 数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出类似函数 y＝ x＋ax的结构，然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值．这 种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的．
(3)更换主元法 不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困 难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可 得到简捷的解法． (4)数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示 问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优 势，可直观地解决问题．
[例8] 若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x恒成立， 求实数a的取值范围．
(5)当 x＜0 时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1， 解得 x＞0， 又∵x＜0，∴x 不存在； 当 0≤x＜12时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1， 解得 x＞0， 又∵0≤x＜12，∴0＜x＜12； 当 x≥12时，原不等式可化为 2x－1＜x＋1，即 x＜2， ∴12≤x＜2. 综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}.
≥5＋2×2 xy·xy＝9. 当且仅当xy＝xy，x＋y＝1， 即 x＝y＝12时等号成立． 法二：∵x＞0，y＞0，x＋y＝1， ∴xy≤x＋4 y2＝14，∴x1y≥4. ∴(1＋1x)(1＋1y)＝1＋x1y＋1x＋1y ＝1＋x1y＋1＋xy＋1＋xy
＝3＋x1y＋xy＋xy≥3＋4＋2 xy·xy＝9. 当且仅当xy＝xy，x＋y＝1， 即 x＝y＝12时等号成立．
解得 1－ 2＜x＜1＋ 2或 x＞－3，
∴原不等式的解集为{x|x＞－3}．
法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2| ＝x2－x＋2(x2－x＋2＞0)， ∴原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4⇔x＞－3. ∴原不等式的解集为{x|x＞－3}． (2)法一：|x＋1|＞|x－3|， 两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1， ∴原不等式的解集为{x|x＞1}．
(2)当 a>0 时，先求不等式|x－4|＋|3－x|<a 有解时，a
的取值范围．
令 x－4＝0，得 x＝4，令 3－x＝0，得 x＝3. ①当 x≥4 时，x－4＋x－3<a，即 2x－7<a，
x≥4， 解不等式组x<a＋2 7，
得 4≤x<a＋2 7，∴a＞1.
②当 3<x<4 时，有 4－x＋x－3<a，即 a>1. ③当 x≤3 时，有 4－x＋3－x<a，即 7－2x<a.
又1＜a＜3，
∴－3＜a－|b|＜3.
答案：C
3．下列命题正确的是
()
A．a＞b⇒ac2>bc2
B.ac＞bc⇒a＞b
C. aa3b＞＞b03⇒1a＜1b
D. aab2＞＞b02⇒1a＜1b
解析：∵ab＞0，∴a，b 同号．又 a3＞b3，
∴a＞b.∴aab＞abb.∴1b＞1a.
又当 x1＝5 时，y1＝240×(5＋352)＝2 736； 当 x2＝6 时，y2＝240×(6＋362)＝2 720. ∵y1＞y2，∴当 x＝6 时，y 有最小值， 即 ymin＝2 720.
故每人最少应交2 47820≈56.67(元).
1．公式法 |f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)； |f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)． 2．平方法 |f(x)|＞|g(x)|⇔[f(x)]2＞[g(x)]2. 3．零点分段法 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个 含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值 依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨 论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号， 转化为不含绝对值的不等式去解．
[解] 设y＝|x－a|＋|x－2|，则ymin＝|a－2|. 因为不等式|x－a|＋|x－2|≥1对∀ x∈R恒成立， 所以|a－2|≥1，解得：a≥3或a≤1.
[例9] 若不等式|x－4|＋|3－x|<a的解集是空集，求a
的取值范围．
[解] 法一：(1)当 a≤0 时，
不等式|x－4|＋|3－x|<a 的解集是空集．