2023-2024学年广东省深圳外国语学校龙华中学高中部高一(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年广东省深圳外国语学校龙华中学高中部高一（上）期
末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知A ={−1,0,1,3,5}，B ={x|2x−3<0}，则A ∩∁R B =( )
A. {0,1}
B. {−1,1,3}
C. {−1,0,1}
D. {3,5}
2.设命题p ：∀n ∈N ，n 2≤2n ，则￢p 为( )
A. ∀n ∈N ，n 2>2n
B. ∃n ∈N ，n 2≤2n
C. ∃n ∈N ，n 2>2n
D. ∀n ∈N ，n 2≥2n
3.函数f(x)=x ⋅sinx cosx +2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.若a =e 0.5，b =ln2，c =log 20.2，则有( )
A. a >b >c
B. b >a >c
C. c >a >b
D. b >c >a
5.已知关于x 的不等式2x 2−mx +n <0的解集是(2,3)，则m +n 的值是( )
A. −2
B. 2
C. 22
D. −22
6.某工厂产生的废气过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为中P =P 0e −kt ，其中P 0，k 是常数，已知t =5时，污染物含量将为过滤前的25%，那么k =( )
A. −15ln4
B. ln3−ln45
C. 15ln4
D. ln4−ln35
7.已知函数f(x)=log 2(−x 2+2x +3)，下列结论正确的是( )
A. 单调增区间为(−∞,1]，值域为(0,2]
B. 单调减区间是[1,+∞)，值域为(−∞,2]
C. 单调增区间为(−1,1]，值域为(−∞,2]
D. 单调减区间是[1,3)，值域为(0,2]
8.函数f(x)=(12)x −x 3−2在定义域内的零点个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若a >b >0，d <c <0，则下列不等式成立的是( )
A. ac >bc
B. a−d >b−c
C. 1d <1c
D. a 3>b 310.已知函数f(x)=3cos(π4−2x)，则( )
A. f(x)的最小正周期为π2
B. f(x)的对称轴方程为x =π8+12kπ,k ∈Z
C. f(x)在[0,π4]上是增函数
D. f(x)的图像关于点(7π8,0)对称
11.已知函数f(x)=lnx +ln (2−x)，则( )
A. f(x)在其定义域内单调递增
B. f(x)在其定义域内存在最大值
C. y =f(x)有两个零点
D. y =f(x)的图像关于直线x =1对称12.已知f(x)={x 2+2x−3,x ≤0lnx−2,x >0，则下列结论正确的是( )
A. f(f(1))=−3
B. 函数f(x)单调递增区间为(−1,0)∪(0,+∞)
C. 当−4<k ≤−3时，方程f(x)=k 有三个不等实根
D. 当且仅当k >−3时，方程f(x)=k 有两个不等实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数y = 4−x 2
|x|−x 的定义域是______．
14.若扇形的面积为9，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．15.sin (α+π2)+cos (32π−α)sin (π+α)+cos (−α)
=__________．16.若x >0，y >0，x +2y =1，则xy
2x +y 的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)
已知集合A ={x|a−1<x <2a +3}.B ={x|x 2−2x−8≤0}．
(Ⅰ)当a =2时，求A ∪B ；
(Ⅱ)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)已知0<α<π2，sinα=45，求tanα的值；
(2)若tanα=4，求sin (α+π)−2cos(π2+α)−sin (−α)+cos (π+α)的值．19.(本小题12分)
已知函数f(x)=12sin (2x +π4)，x ∈R ．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)当x ∈[0,π6]时，求f(x)的最大值和最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=log 6(x +3)−log 6(3−x)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)用定义法证明f(x)是定义域内的增函数．
21.(本小题12分)
为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元．根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得)．
(1)求函数y =f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=−2x 2+2ax +2a +1，a ∈R ．
(1)若函数f(x)在区间(0,1)上有且仅有1个零点，求a 的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间(−1,1)上的最大值为12，求a 的值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.A
5.C
6.C
7.C
8.B
9.BD
10.BD
11.BD
12.ACD
13.[−2,0)
14.6
15.1
16.19
17.解：(Ⅰ)当a =2时，A ={x|1<x <7}，B ={x|x 2−2x−8≤0}={x|−2≤x ≤4}，A ∪B ={x|−2≤x <7}；
(Ⅱ)∵A ∩B =A ，∴A 是B 的子集，
①当A =⌀时，a−1≥2a +3，解得a ≤−4；
②当A ≠⌀时，{
a−1<2a +3a−1≥−22a +3≤4
，解得−1≤a ≤12，综上所述，a ∈(−∞,4]∪[−1,12]. 18.解：(1)∵0<α<π2，sinα=45，
∴cosα= 1−sin 2α=35，∴tanα=sinαcos α=43．
(2)若tanα=4，
则sin (α+π)−2cos(π2
+α)−sin (−α)+cos (π+α)=−sinα+2sinαsin α−cos α=sinαsin α−cos α=tanαtan α−1=43．
19.解：(1)f(x)的最小正周期T =
2π2=π．(2)由−π2+2kπ≤2x +π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，得−3π8+kπ≤x ≤π8+kπ，k ∈Z ．
所以函数f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ]，k ∈Z ．
(3)∵0≤x ≤π6，
∴π4≤2x +π4≤7π12．
当2x +π4=π2，即x =π8时，f(x )max =12sin π2=12；
当2x +π4=π4，即x =0时，f(x )min =12sin π4= 24． 20.解：(1)根据题意，函数f(x)=log 6(x +3)−log 6(3−x)，
则有{x +3>03−x >0，解可得−3<x <3，即函数的定义域为(−3,3)，
又f(−x)=log 6(3−x)−log 6(3+x)=−f(x)，
故函数f(x)为奇函数；
(2)证明：f(x)=log 6(x +3)−log 6(3−x)=log 6x +33−x ，其定义域为(−3,3)，
设−3<x 1<x 2<3，
则f(x 1)−f(x 2)=log 6x 1+33−x 1−log 6x 2+33−x 2
=log 6(x 1+3)(3−x 2)(x 2+3)(3−x 1)=log 69−x 1x 2+3(x 1−x 2)
9−x 1x 2−3(x 1−x 2
)，易知(x 1+3)(3−x 2)>0,(x 2+3)(3−x 1)>0，
又由−3<x 1<x 2<3，则x 1−x 2<0，则有0<9−x 1x 2+3(x 1−x 2)9−x 1x 2−3(x 1−x 2)<1，
则有f(x 1)−f(x 2)=log 69−x 1x 2+3(x 1−x 2)9−x 1x 2−3(x 1−x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，
则f(x)是定义域内的增函数． 21.解：(1)当x ≤5时，y =60x−120，令60x−120>0得，x >2，又∵x ∈N ∗，∴3≤x ≤5，当x >5时，y =[60−2(x−5)]x−120=−2x 2+70x−120，令[60−2(x−5)]x−120>0，得x 2−35x +60<0，又∵x ∈N ∗，∴1≤x ≤33，∴5<x ≤33，
综上所述，y =f(x)={60x−120,(3≤x ≤5,x ∈N ∗)−2x 2+70x−120,(5<x ≤33,x ∈N ∗)；
(2)当3≤x ≤5时，f(x)=60x−120，显然x =5时，f(x)的值最大，最大值为f(5)=180，当5<x ≤33时，f(x)=−2x 2+70x−120=−2(x−352)2+12252−120，∴x =17或18时，f(x)的值最大，最大值为f(17)=492，
综上所述，当每辆电动观光车的日租金为17元或18元时，才能使一日的净收入最多． 22.解：(1)当Δ=4a 2−4×(−2)⋅(2a +1)=0，解得a =−2± 2，
则此时f(x)=0的解为x =a 2=−1± 22
∉(0,1)；又f(x)在(0,1)连续，且f(x)的图象为抛物线，
由f(0)f(1)<0，即(2a +1)(4a−1)<0，
解得−12<a <14，
所以a 的取值范围是(−12,14)；
(2)f(x)=−2x 2+2ax +2a +1的对称轴为x =a 2，
当a 2≥1即a ≥2时，f(x)在[−1,1]递增，可得最大值为f(1)=4a−1=12，解得a =38不成立；当a 2≤−1即a ≤−2时，f(x)在[−1,1]递减，可得最大值为f(−1)=−1不成立；
当−1<a 2<1，即−2<a <2时，f(x)的最大值为f(a 2)=a 22+2a +1=12，解得a =−2+ 3(−2− 3舍去)，
所以a =−2+ 3．。