2021年广西壮族自治区桂林市莲花中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2021年广西壮族自治区桂林市莲花中学高二数学理上
学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 展开式中的常数项为（）
A．第5项 B．第6项 C．第5项或第6项 D．不存在
参考答案：
B
略
2. 在的展开式中，含的项的系数是（）
A. －832
B. －672
C. －512
D. －192
参考答案：
A
【分析】
求出展开式中的系数减2倍的系数加的系数即可.
【详解】含的项的系数即求展开式中的系数减2倍的系数加的系数
即含的项的系数是．
故选A.
3. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣3，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别为( )
A．2，B．4，3 C．4，D．2，1
参考答案：
B
考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
专题：计算题．
分析：本题可将平均数和方差公式中的x换成3x﹣2，再化简进行计算．
解答：解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5=2×5=10．
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是：′===4，
S′2=×，
=×=9×=3．
故选B．
点评：本题考查的是方差和平均数的性质．设平均数为E（x），方差为D（x）．则E （cx+d）=cE（x）+d；D（cx+d）=c2D（x）
4. 函数的定义域为, ,对任意的，则
的解集为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
5. 已知关于x的不等式的解集为，则等于（）
A. －1
B. 1
C. －3
D. 3
参考答案：
A
【分析】
由题得、2为方程的根，将代入，即得解.
【详解】由题得、2为方程的根，
将代入，得，
即，
故选：A.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为
A. 4
B.
C. 2
D.
参考答案：
A
．
因为在点处的切线方程为，
，
所以在点处切线斜率为4．
本题选择A选项.
点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
7. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
C
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在1，2，3，4中任选3个，作为a，b，c，
②、结合“凹数”的定义，将取出的3个数中最小的作为b，剩余2个数全排列，作为
a、c；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、在1，2，3，4中任选3个，作为a，b，c，有C43=4种情况，
②、由于“凹数”要求a＞b，b＜c，将取出的3个数中最小的作为b
，剩余2个数全排列，作为a、c，
有A22=2种情况，
则一共有4×2=8种情况，即有8个“凹数”；
故选：C．
8.
为使关于实数的不等式的解集是空集, 则实数的
取值范围
是
( )
A. ＞1
B. 1＜＜0
C.0＜＜
1 D. 1＜＜2
参考答案：
C
9. 函数的图象经描点确定后的形状大致是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
判断的奇偶性即可得解。

【详解】记
则，
所以为奇函数，它的图象关于原点对称，排除B,C,D.
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及奇函数图象的特征，考查分析能力及观察能力，属于较易题。

10. 在四边形ABCD中，若，，则四边形ABCD 是（）
A．平行四边行 B．矩形 C．正方
形 D．菱形
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________．
参考答案：
6.42
12. 已知双曲线，A1、A2是它的两个顶点，点P是双曲线上的点，且直线PA1
的斜率是，则直线PA2的斜率为______.
参考答案：
2
【分析】
设P（x0，y0），则，，由A1（﹣1，0），A2（1，0），知
k1k2，由此能求出直线PA2的斜率．
【详解】设P（x0，y0），则，
∴，
∵A1（﹣1，0），A2（1，0），设直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，
∴k1k2，
∵k1，
∴k2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查两直线的斜率之积的求法，考查曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考查了分析问题的能力，属于基础题．
13. 设、是平面直角坐标系（坐标原点为）内分别与轴、轴正方向相同的两
个单位向量，且，，则的面积等
于 .
参考答案：
14. 已知某一多面体内接于球构成一个简单的组合体，如果组合体的正视图、侧视图、俯视图均如下图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积
是 .
参考答案：
12π
15. 已知i为虚数单位，复数z满足，则．
参考答案：
由题意，复数满足，则，
所以.
16. 用5，6，7， 8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为.
参考答案：
略
17. 我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形（如图）．
由此可推得第n个正方形数是．
参考答案：
n2
【考点】归纳推理．
【分析】根据12=1，22=4，32=9，可得第n个正方形数．
【解答】解：∵12=1，22=4，32=9，
∴第n个正方形数就是n2．
故答案为：n2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设p：函数f(x)＝x2－2x－a在x [0,3]内有零点；q：函数g(x)＝x2＋(2a－1)x＋1在(－∞,上是减函数．若p和q有且只有一个为真，求实数a的取值范围．
参考答案：
解：函数f(x)＝x2－2x－a在x?[0,3]内有零点等价于a在函数y＝x2－2x(x?[0,3])的值域内．……2分
而函数y＝x2－2x在x?[0,3]值域为[－1,3],
∴p：a?[－1,3]．……5分
函数g(x)＝x2＋(2a－1)x＋1在(－∞,上是减函数，∴≥，即a≤0．
∴q：a?(－￥,0]．……7分
当p真q假时，a?[－1,3]∩(0,＋￥)＝(0,3]；
当p假q真时，a?(－￥,－1)∪(3,＋￥)∩(－￥,0]＝(－￥,－1)．……11分综上，a的取值范围为(－￥,－1)∪(0,3]．……12分
19. 已知为等差数列，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列满足，，求的前项和公式.
参考答案：
（Ⅰ）设等差数列的公差
因为
所以解得
所以-------------------6分
（Ⅱ）设等比数列的公比为
因为
所以即=3 ----------------------------10分
所以的前项和公式为 --------------12分
20. 在直角坐标系中，圆的圆心在坐标原点，与交于点，且，定直线垂直于正半轴，且到圆心的距离为4，点是圆上异于的任意一点，直线分别交于点.
(1)若，求以为直径的圆的方程；
(2) 当点变化时，求证：以为直径的圆必过圆内一定点.
参考答案：
(1)略(2)
略
21. 在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1．Q点在圆周上运动，O为极点．求圆C的极坐标方程．
参考答案：
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】设M（ρ，θ）是圆C上任一点，根据|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1，∠COM=|θ﹣
|，能够进一步得出得出ρ，θ的关系．
【解答】解：设M（ρ，θ）为圆C上任意一点，
如图，在△OCM中，|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1，∠COM=|θ﹣|，
根据余弦定理，
得1=ρ2+9﹣2?ρ?3?cos|θ﹣|，化简整理，
得ρ2﹣6?ρcos （θ﹣）+8=0为圆C的轨迹方程．
22. (本题满分10分)
如图，已知平面，∥，是正三角形，且. （1）设是线段的中点，求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
参考答案：
解：（I）证明：取CE中点N,连接MN,BN
则MN∥DE∥AB且MN=DE=AB
∴四边形ABNM为平行四边形∴AM∥BN
∴AM∥平面BCE
（Ⅱ）解：取AD中点H,连接BH，
∵是正三角形，∴CH⊥AD
又∵平面∴CH⊥AB ∴CH⊥平面ABED ....10分
∴∠CBH为直线与平面所成的角…
设AB=a,则AC=AD=2a , ∴BH= a BC= a
cos∠CBH= .。