大学数学高数微积分第一章多项式第十节课件课堂讲义

问题的讨论是方便的.
同样地，为了便于以后的讨
论，我们对于多元多项式也引入一种排列顺序的方
法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而
x x x k1 k2 12
kn 都对应于一个 n
(k1 , k2 , … , kn ) ,
其中 ki 为非负整数.
这个对应是一一对应.
而
(p1+q1 , p2+q2 , … , pn+qn)>(p1+k1 , p2+k2 , … , pn+kn)
与
(p1+q1 , p2+q2 , … , pn+qn)>(l1+q1 , l2+q2 , … , ln+qn) 是显然的.
同样有
(l1+q1 , l2+q2 , … , ln+qn)>(l1+k1 , l2+k2 , … , ln+kn).
那么，我们就称 n 元数组(k1 , k2 , … , kn )先于 n 元
数组 (l1 , l2 , … , ln ) , 并记为 (k1 , k2 , … , kn ) > (l1 , l2 , … , ln ) .
例如
(1 , 3 , 2) > (1 , 2 , 4) .
由定义立即看出，对于任意两个n 元数组 (k1 , k2 , … , kn ) 和 (l1 , l2 , … , ln ) ，关系
二、多元多项式的排列法
虽然多元多项式也有次数，但是与一元多项
式的情况不同，我们并不能对多元多项式
a x x x k1 k2
kn
k1k2kn 1 2
n
k1 ,k2 ,,kn
中的单项式按次数给出一个自然排列的顺序，因为
不同类的单项式可能有相同的次数.
我们看到，一
元多项式的降幂排列法(或者升幂排列法)对于许多
如果
l
g(x1,x2, ,xn) gj(x1,x2, ,xn) j0
是一个 l 次多项式，
那么乘积
h(x1 , x2 , … , xn) = f (x1 , x2 , … , xn)g(x1 , x2 , … , xn)
的 k 次齐次成分 hk (x1 , x2 , … , xn) 为
hk(x1,x2, ,xn)
由传递性即得
(p1+q1 , p2+q2 , … , pn+qn)>(l1+k1 , l2+k2 , … , ln+kn).
这就证明了，
abx x x p 1q 1 p2q2 12
pnqn不可能与乘 n
积中其他的项同类而相消，且先于其他所有的项，
因而它是首项.
用数学归纳法立即得出
证毕
推论 1 如果 fi 0 , i = 1 , 2 , … , m , 那么
事实上，
f (x1 , x2 , … , xn) g (x1 , x2 , … , xn)
中其他单项式所对应的有序数组是
或者
(p1 + k1 , p2 + k2 , … , pn + kn),
或者 其中
(l1 + q1 , l2 + q2 , … , ln + qn),
(l1 + k1 , l2 + k2 , … , ln + kn), (p1 , p2 , … , pn ) > (l1 , l2 , … , ln ) ， (q1 , q2 , … , qn ) > (k1 , k2 , … , kn ).
的结论显然包含着
推论 2 如果
f (x1 , x2 , … , xn) 0 , g (x1 , x2 , … , xn) 0 ,
那么
f (x1 , x2 , … , xn) g (x1 , x2 , … , xn) 0 .
三、齐次多项式
多项式
f(x 1 ,x 2 , ,x n )
a xx x k 1k 2 k n k 1 ,k 2 , ,k n12 n
a cc c k 1k 2 k n k 1 ,k 2 , ,k n12 n
k 1 ,k 2 , ,k n
为 f (x1 , x2 , … , xn) 在 x1 = c1 , x2 = c2 , … , xn = cn
处的值. 显然，当
f (x1 , x2 ,…, xn) + g(x1 , x2 ,…, xn) = h(x1 , x2 ,…, xn),
为了给出单项式之间一个排列顺序的方法，我 们只要对于 n 元数组 (k1 , k2 , … , kn ) 定义一个先后
顺序就行了.
如果数 k1 - l1, k2 - l2 , … , kn - ln
中第一个不为零的数是正的，也就是说，有 i n 使
k1 - l1 = 0 , … , ki-1 - li-1 = 0 , ki - li > 0 ,
和一元多项式一样，n 元多项式也可以定义相
等、相加、相减、相乘.
例如 (5x13x2x32 + 4x12x22x3) + (2x12x22x3 - x14x2x3) = 5x13x2x32 + 6x12x22x3 - x14x2x3 , (5x13x2x32 + 4x12x22x3) (2x12x22x3 - x14x2x3) = 10x15x23x33 - 5x17x22x33 + 8x14x24x32 - 4x16x23x32
x13 + x12x2 + 2x1x22x32
的首项为 x13 .
注意 首项不一定具有最大的次数.
当 n = 1 时，字典排列法就归结为以前的降幂 排列法.
对于字典排列法，我们有
定理 14 当多项式
f (x1 , x2 , … , xn) 0 , g (x1 , x2 , … , xn) 0 时，乘
任何一个 m 次多项式 f (x1 , x2 , … , xn) 都可以
唯一地表示成
m
f(x1,x2, ,xn) fi(x1,x2, ,xn), i0
其中 fi (x1 , x2 , … , xn) 是 i 次齐次多项式.
fi (x1 , x2 , … , xn) 称为 f (x1 , x2 , … , xn)的 i 次齐次 成分.
f (x1 , x2 ,…, xn) g(x1 , x2 ,…, xn) = p(x1 , x2 ,…, xn)
时，我们有
f (c1 , c2 ,…, cn) + g(c1 , c2 ,…, cn) = h(c1 , c2 ,…, cn), f (c1 , c2 ,…, cn) g(c1 , c2 ,…, cn) = p(c1 , c2 ,…, cn) .
f1 , f2 , … , fm 的首项等于每个 fi 的首项的乘积.
定 理 14 当 多 项 式 f (x1 , x2 , … , xn) 0 , g (x1 , x2 , … , xn) 0 时 ， 乘 积 f (x1 , x2 , … , xn) g (x1 , x2 , … , xn) 的 首 项 等 于 f (x1 , x2 , … , xn) 的 首 项 与 g(x1 , x2 , … , xn) 的 首 项 的乘积.
* 第十节 多元多项式
主要内容
定义
多元多项式的排列法 齐次多项式
一、定义
在前面我们讨论了一元多项式的基本性质.
但
是除去一元多项式外，还有含多个文字的多项式，
即多元多项式，如 x2 - y2 , x3 + y3 + z3 -3xyz 等.
现
在就来简单地介绍一下有关多元多项式的一些概
念.
定义11 设 P 是一个数域，x1 , x2 , … , xn 是 n
(k1 , k2 , … , kn ) > (l1 , l2 , … , ln ) ， (k1 , k2 , … , kn ) = (l1 , l2 , … , ln ) ，
(k1 , k2 , … , kn ) < (l1 , l2 , … , ln )
中有一个且仅有一个成立.
同时，关系“>”具有
积 f (x1 , x2 , … , xn) g (x1 , x2 , … , xn) 的首项等于
f (x1 , x2 , … , xn) 的首项与 g(x1 , x2 , … , xn) 的首项
的乘积.
证明
设 f (x1 , x2 , … , xn) 的首项为
a1 p1 xx2 p2 xn pn,a0,
的结论.
因之，这样的确给出了 n 元数组之间的一
个顺序.
相应地，单项式之间也就有了一个先后顺
序. 例如多项式
2x1x22x32 + x12x2 + x13
按字典排列法写出来就是
x13 + x12x2 + 2x1x22x32 .
按字典排列法写出来的第一个系数不为零的
单项式称为多项式的首项.
例如多项式
定义 12 所有系数在数域 P 中的 n 元多项式 的全体，称为数域 P 上的 n 元多项式环，记为
P[ x1 , x2 , … , xn ] .
k1 + k2 + … + kn 称为单项式
ax1k1
xk2 2
xkn n
的次数. 当一个多项式表成一些不同类的单项式
的和之后 , 其中系数不为零的单项式的最高次数就
fi(x1,x2, ,xn)gj(x1,x2, ,xn) ijk
特别地， h(x1 , x2 , … , xn) 的最高次齐次成分为
hm+l (x1 , x2 , … , xn)
= fm (x1 , x2 , … , xn) gl (x1 , x2 , … , xn) .
由此可知，对于多元多项式，也有乘积的次数等于
个文字. 形式为
ax1k1
xk2 2
xkn n
的式子，其中 a 属于 P，k1 , k2 , … , kn 是非负整数,
称为一个单项式.
如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么
它们就称为同类项.
一些单项式的和
a x x x k1 k2
kn
k1k2kn 1 2
n
k1 ,k2 ,,kn
就称为 n 元多项式，或者简称多项式.
传递性，即，如果
(k1 , k2 , … , kn ) > (l1 , l2 , … , ln ) ， (l1 , l2 , … , ln ) > (m1 , m2 , … , mn ) ， 那么 (k1 , k2 , … , kn ) > (m1 , m2 , … , mn ) .
事实上，由 ki - mi = (ki - li) - (li - mi) 即得上面
称为这个多项式的次数.
例如
5x13x2x32 + 4x12x22x3 是 6 次 多 项 式 ； 3x13x22x32 + 6x12x22x3 - x14x2x3 是 7 次 多 项 式 ； 10x15x23x33 - 5x17x22x33 + 8x14x24x32 - 4x16x23x32 是 12 次 多 项 式 .
g (x1 , x2 , … , xn) 的首项为
b1 q1 xx2 q2 xn qn,b0,
为了证明它们的积
为 f g 的首项，
abx x x p 1q 1 p2q2 12
pnqn n
只要证明
(p1 + q1 , p2 + q2 , … , pn + qn)
先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了.
k 1 ,k 2 , ,k n
称为 m 次齐次多项式，如果其中每个单项式全
是 m 次的.
例如
f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) 2 x 1 x 2 x 3 2 x 1 2 x 2 2 3 x 1 4
是一个 4 次齐次多项式.
显然，两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式,
它的次数就等于这两个多项式的次数之和.
本本若请若请若本 本若本本请若若请本请请请节节想若单想若单本想节节想节请单想本想若单请单单节单想内内结请结本击想击若本节结内 内结内请单结结击节击想击若击单若内请击结容容束本束单节本返想结返内节束击容 容束容束若请束单返内返想返返结若击请想容本束单返节本本请已已本内结击若节回回束容若本内返想本本单已 已本本已击回结回请回回容束想返单节本结若已击内本回堂节容请束结单结堂想按返内按已本结想节回堂击堂容若堂结 结本请按堂束按结按返单若按已本结内本堂击回想束请容结若 本本节返课本若已内按单结钮束若束击课请请请回结本容若本钮束堂按请课想结返课节内钮本若钮单课束 束已钮课若束 束请击回想束本本堂钮请结容课节返已按单结本内束,想 节堂节回结击想容钮束.想单返单,单束节本按节想已.钮结课内,回.,单堂.击束容!想!,.结想,单返节节本按已结,单课内.束!!结回击!!束钮容课堂束返结 内内按结已本结.内击堂击击回内!结钮束容.结课按,击返!结本已结束内内结击回堂击束钮,容束按返,已本.课回堂束 容容!束结束钮容课返返返!本已按容,束.钮束回返束束容堂容结束课返按返本已.回钮结!堂!按,课本已本束,本已已.堂结回回回已本钮.按回已本已本课束,回回钮结!堂!按束.课钮,结堂堂课堂 结结束按按按结堂.钮!结结按堂堂按,按束.课钮!,.束课!,课课 束束钮钮钮束课.!束束课钮课钮钮,.!,,!,...,,.!!,.!!!.
因子次数的和.
最后我们指出，与一元多项式一样，多元多项
式也可以看作函数的表达式.
设
f(x 1 ,x 2 , ,x n )
a xx x, k 1k 2 k n k 1 ,k 2 , ,k n12 n
k 1 ,k 2 , ,k n
并设 c1 , c2 , … , cn 是数域 P 中的数，我们称
f(c 1 ,c 2 , ,c n )