深圳万科城实验学校初中部九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测(答案解析)

一、选择题
1．方程(2)2x x x -=-的解是（ ）
A ．2
B ．2-，1
C ．1-
D ．2，1- 2．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为
（ ）
A ．12
B ．15
C ．12或15
D ．18 3．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜－2
B ．a ＞－2
C ．－2＜a ＜0
D ．－2≤a ＜0 4．用配方法解方程23620x x -+=时，方程可变形为（ ）
A ．21(3)3x -=
B ．21(1)33x -=
C ．21(1)3-=x
D ．2(31)1x -=
5．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A ．15%
B ．40%
C ．25%
D ．20%
6．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．x 2+65x-350=0
B ．x 2+130x-1400=0
C ．x 2-130x-1400=0
D ．x 2-65x-350=0 7．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．
A ．6
B ．3532
C ．532
D ．535 8．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．0
9．方程23x x =的解为（ ） A ．3x =
B ．3x =-
C ．10x =，23x =
D ．10x =，23x =- 10．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一个人传染
了（ ）人．
A ．40
B ．10
C ．9
D ．8
11．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．0m ≠ B ．14m C ．14m < D ．14m > 12．实数,m n 分别满足方程2199910m m ++=和219990n n ++=，且1mn ≠，求代数式41mn m n
++的值（ ） A ．5- B ．5 C ．10319- D ．10319
二、填空题
13．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．
14．已知x a =是方程2350x x --=的根，则代数式234a a -++的值为________． 15．已知关于x 的一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______．
16．已知x ＝2是关于x 一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根，则另一根是_____． 17．三角形两边长分别为3和5，第三边满足方程x 2-6x+8=0，则这个三角形的形状是__________．
18．当m =___________时，方程(21350m m x mx --+=是一元二次方程．
19．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______ 20．为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x ，可列方程．为____________．
三、解答题
21．某校园有一块正方形的空地，若从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分为花带），横向花带宽为2m ，纵向花带宽为1m ，栽种鲜花后剩余空地面积为42m 2，求原正方形空地的边长．
22．解方程：
（1）x 2+10x +9＝0；
（2）x 2﹣3x ＝14
． 23．某种品牌的衬衫，进货时的单价为50元．如果按每件60元销售，可销售800件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元? 24．某公司一月份营业额为10万元，若二、三月份增长率相同，到三月份时，营业额达到12.1万元．求二、三月份的平均增长率．
25．用适当的方法解方程：
（l ）2(3)26x x +=+
（2）2810x x -+=．
26．如图,为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种两种不同的花卉，墙外宽度无限，墙的最大可用长度是11.5m ，现有长为21m 的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的长方形花圃．
（1）若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB 的长应是多少？
（2）花的面积能否达到39平方米？若能，求出边AB 的长；若不能，请说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先移项得到x（2﹣x）+（2﹣x）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
解：x（2﹣x）+（2﹣x）＝0，
（2﹣x）（x+1）＝0，
2﹣x＝0或x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
2．B
解析：B
【分析】
首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【详解】
解：解方程x2-9x+18=0，得x1=3，x2=6，
当3为腰，6为底时，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
3．C
解析：C
【分析】
由关于x的一元二次方程ax2＋2x－1
2
＝0（a＜0）有两个不相等的实数根可得
2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭
，解不等式即可求出a 的取值范围． 【详解】
∵关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －
12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根， ∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-
=+> ⎪⎝⎭
， 解得：a >−2，
∵a <0，
∴−2<a <0．
故选C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键． 4．C
解析：C
【分析】
先移项得到2362x x -=-，再把方程两边都除以3，然后把方程两边加上1即可得到()2113
x -=． 【详解】
移项得：2362x x -=-，
二次系数化为1得：2223x x -=-
， 方程两边加上1得：222113x x -+=-
+， 所以()2113
x -=
． 故选：C ．
【点睛】 本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．D
解析：D
【分析】
设平均每次降价的百分率为x ，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x ，
依题意，得：100（1-x ）2=64，
解得：x 1=0.2=20%，x 2=1.8（不合题意，舍去）．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．A
解析：A
【分析】
本题可设长为（80+2x ），宽为（50+2x ），再根据面积公式列出方程，化简即可．
【详解】
解：依题意得：（80+2x ）（50+2x ）=5400，
即4000+260x+4x 2=5400，
化简为：4x 2+260x-1400=0，
即x 2+65x-350=0．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．
7．D
解析：D
【分析】 仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为52
，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．
【详解】
解：如图2，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为2
55045025752⎛⎫+⨯=+= ⎪⎝⎭
，
∴5252⨯=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
把0x =代入，求出a 的值即可．
【详解】
解：把0x =代入可得210a -=，
a=±，
解得1
∵一元二次方程二次项系数不为0，
a≠，
∴1
a=-，
∴1
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，注意二次项系数不为0．
9．C
解析：C
【分析】
方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
解：方程变形得：x2-3x=0，
分解因式得：x（x-3）=0，
可得x=0或x-3=0，
解得：x1=3，x2=0．
故选：C．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．D
解析：D
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x人，则一轮传染后共有（1+x）人被传染，两轮传染后共有[（1+x）+x(1+x)]人被传染，由题意列方程计算即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
由题意，得：（1+x）+x(1+x)=81，
即x2+2x﹣80=0，
解得：x1=8，x2=﹣10（不符合题意，舍去），
故每轮传染中平均一个人传染了8人，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
11．B
解析：B
【分析】
由方程有实数根即△＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解之可得．
【详解】
解：根据题意得，△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0， 解得：14m
， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 12．A
解析：A
【分析】
由219990n n ++=可得211199910n n
⋅
+⋅+=，进而可得1,m n 是方程2199910x x ++=的两个根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解．
【详解】 解：由219990n n ++=可得211199910n n ⋅
+⋅+=， ∴1,m n
是方程2199910x x ++=的两个根， ∴19911,1919m m n n +
=-⋅=， ∴4119914451919
mn m m m n n n ++=+⋅+=-+⨯=-； 故选A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题
13．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解
解析：1+x+x 2=91
【分析】
如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．
【详解】
解：依题意得支干的数量为x 个，
小分支的数量为x•x=x 2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，
故答案为：1+x+x 2=91．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
14．-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解：∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为
解析：-1
【分析】
利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】
解：∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根，
∴a 2-3a-5=0，
∴a 2-3a=5，
∴()
223434541a a a a -++=--+=-+=-．
故答案为-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15．且【分析】根据题意一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式据此解一元一次不等式即可解题注意二次项系数不为零【详解】关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根即且故答案为：且【点睛】本题考查一元二 解析：13a >-且0a ≠．
【分析】
根据题意，一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，可知根的判别式2=40b ac ∆->，据此解一元一次不等式即可解题，注意二次项系数不为零．
【详解】
关于x 的一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，
2=40b ac ∴∆->
即2
24(3)0a -⨯-> 4120a +>
13
a ∴>-且0a ≠
故答案为：13
a >-且0a ≠．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、一元一次不等式、一元二次方程的定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．-3【分析】设方程的另一个根为x2根据两根之积列出关于x2的方程解之可得答案【详解】解：设方程的另一个根为x2则2x2＝﹣6解得x2＝﹣3故答案为：﹣3【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c
解析：-3．
【分析】
设方程的另一个根为x 2，根据两根之积列出关于x 2的方程，解之可得答案．
【详解】
解：设方程的另一个根为x 2，
则2x 2＝﹣6，
解得x 2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a
⋅=． 17．直角三角形【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=4x2=2再利用三角形三边的关系得到x=4然后根据勾股定理的逆定理进行判断【详解】解：x2-6x+8=0（x-4）（x-2）=0x-4=0或x-2=
解析：直角三角形
【分析】
先利用因式分解法解方程得到x 1=4，x 2=2，再利用三角形三边的关系得到x=4，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．
【详解】
解：x 2-6x+8=0，
（x-4）（x-2）=0，
x-4=0或x-2=0，
所以x 1=4，x 2=2，
∵两边长分别为3和5，
而2+3=5，
∴x=4，
∵32+42=52，
∴这个三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法、勾股定理的逆定理和三角形三边的关系，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
18．【分析】根据一元二次方程的定义解答【详解】∵是一元二次方程∴且解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程一般形式是（且）特别要注意
【分析】
根据一元二次方程的定义解答．
【详解】
∵(2150m m x mx -+-+=是一元二次方程，
∴
212m -=且0m +≠，
解得m =，
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20ax bx c ++=（且0a ≠）．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
19．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知：即有：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的 解析：6-
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．
【详解】
因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2，
由二次方程根与系数的关系可知：128x x +=-，即有：
228x -+=-
解得：26x =-．
故答案为：6-．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，如果方程2
0x px q ++=的两个根是 1x ，2x ，那么12x x p +=-， 12·
x x q =，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
20．48(1-x)2=30【分析】本题的等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价
占第一次降价的百分比=30由此即可求解【详解】解：设平均每次降价的百分率为x 则第一次降价后的价格为48(1-x)第二次降
解析：48(1-x)2=30
【分析】
本题的等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=30，由此即可求解．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格为48(1-x)，第二次降价后的价格为48(1-x)(1-x)，
由题意，可列方程为：48(1-x)2=30．
故答案为：48(1-x)2=30．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．
三、解答题
21．原正方形空地的边长为8m ．
【分析】
观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，列方程解决问题．
【详解】
解：设正方形空地的边长为xm ，由题意得
()()2142x x --=， 化简得23400x x --=，
解得1285x x ==-，，
因为0x ＞，故8x =，
答：原正方形空地的边长为8m ．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用—图形面积类问题，观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，由此列方程解决问题的思路是解题的关键．
22．（1）121,9x x =-=-；（2）1222,22
x x =
= 【分析】
（1）运用因式分解法求解即可
（2）运用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）∵x 2+10x +9＝0，
∴（x +1）（x +9）＝0，
则x +1＝0或x +9＝0，
解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣9；
（2）x 2＝14
整理，得：x 2﹣
14＝0， ∵a ＝1，b c ＝﹣1
4
， ∴△
2﹣4×1×（﹣
14）＝4＞0，
则x ＝2b a
-±＝22，
即x 1＝22，x 2＝22
-． 【点睛】
此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键． 23．每件的售价为70元或80元．
【分析】
要求衬衫的单价，就要设每件的售价为x 元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．
【详解】
解:设每件的售价为x 元，
根据题意，得()()50800206012000 ,x x ⎡⎤⎣⎦---=
化简整理，得
215056000x x -+=
()70800()x x --=
1270,80x x ∴==
答:每件的售价为70元或80元．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．这两个月营业额的平均增长率是10%
【分析】
用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），即可表示出三月份的营业额，根据三月份营业额达到12.1万元，即可列方程求解．
【详解】
解：设这两个月营业额的平均增长率是x ，
由题意可得：10（1＋x ）2＝12.1，
解得x 1＝0.1；x 2＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两个月营业额的平均增长率是10%．
【点睛】
此题主要考查了求平均变化率的问题．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2＝b ．
25．（1）13x =-，21x =-；（2）1x =，24x =【分析】
（1）用因式分解法求解可得；
（2）用配方法求解即可．
【详解】
解：（1）∵（x+3）2-2（x+3）=0，
∴（x+3）（x+1）=0，
∴x+3=0或x+1=0，
解得：x=-3或x=-1；
（2）2810x x -+=
281x x -=-
28+1615x x -=
2(4)15x -=
4x -=
∴1x =，24x =【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
26．（1）AB 的长应是4米；（2）花的面积不能达到39平方米．
【分析】
（1）设AB=x 米，根据题意列一元二次方程，解方程，把不合题意的解舍去即可求解； （2）设AB=x 米，根据题意列一元二次方程，方程无实数根，即可求解．
【详解】
解：（1）设AB=x 米，
由题意得 x （21-3x ）=36，
整理得 27120x x -+=，
解得123,4x x ==，
当x=3时，21-3x=12＞11.5，不合题意，舍去；
当x=4时，21-4x=9＜11.5，符合题意．
答：若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB 的长应是4米．
（2）设AB=x 米，
由题意得 x （21-3x ）=39，
整理得 27130x x -+=，
()2
247411330
∆=-=--⨯⨯=-＜
b ac
∴方程无实数根，
∴无法围成总面积为39平方米的花圃．
答：无法围成总面积为39平方米的花圃．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键，解题时注意根据题意检验根的合理性．。