物理：万有引力定律

F 9.8(牛頓)
范例4-1 (2)若自由释放1.0千克的物体，所产生的加速度为
多少？(地球半径＝ 6.4 ×106 米，地球质量＝ 6.0 ×1024 千克) ■ 概念 (2)牛顿第二运动定律 F ＝ ma
■ 解 (2) 任何地表上的物体自由释放后所受的 外力仅有地球引力（或称为重力），
1.0 千克的物体，所受的重力为 9.8 牛顿， 9.8 = 1.0×a，a = 9.8(米/秒2)
● 万有引力定律
● 之后，第谷 (Tycho Brahe) 以及 克卜勒 (Johannes Kepler) 对天体运动的详细观察和 精准的数学分析，开拓并奠定了行星运行的 丰富知识，天体运行之现象愈来愈明朗。
● 克卜勒于1609 年发表的新天文学著作，提出
行星绕太阳运行的面积定律(参考基础物理
在地球表面所受到的地球引力有多大？
(2)若自由释放此物体，所产生的加速度为多少？
(地球半径＝ 6.4 ×106 米，地球质量＝ 6.0 ×1024 千克)
■
概念
(1)万有引力定律
F
GMm R2
■ 解 (1) 1.0 千克的物体与地球间之万有引力
F GMm R2
F (6.67 1011 )(6.0 1024 )(1.0) (6.4 106 )2
GMm G(81M )m ;
(d a)2
a2
a2 81 ; (d a)2 1
a 9; da 1
交叉相乘 a 9(d a) ; 10a 9d ; a 9 d 10
答:(E)
比例常数G 称为重力常数（gravitational constant）。 ● 万有引力定律适用于两星体之间，而每个星体可视
为很多的小质点所组成， 两星体会相互吸引，也可 以说，是星体内部这些小质点彼此相互吸引所致。
● 万有引力定律
● 万有引力定律适用于两星体之间，而每个星体可视 为很多的小质点所组成， 两星体会相互吸引，也可 以说，是星体内部这些小质点彼此相互吸引所致。
1.0 千克物体自由释放，加速度为9.8米/秒2。
习题12
地球质量为月球
的81倍，两者相
距 d。一火箭在
地球与月球的连心在线，当与地心相距 a 时，火箭 受两引力之合力为 0 ，则 a 之值为何？
d
(A) 1 (B) 80 (C) 8 (D)10 (E) 9
2 81 9
பைடு நூலகம்
9 10
解：设火箭质量为 m、月球质量为 M、地球质量为 81M
第 3 章) ，已蕴含着向心力的存在。
● 接着，1619 年克卜勒再完成了世界的和谐一书
， 提出行星运动周期的定律：行星环绕太阳
一周所需的时间 T 和行星轨道的半长轴 R 满足
R3 K T2
(4.1)式
此处 K 为定值，而此
定值与个别的行星无
关，适用于围绕太阳
运动的每颗行星。
● 克卜勒行星运动定律
动第三定律(周期定律) 结合，牛顿于1686年写下 了万有引力定律(law of universal gravitation)：
宇宙中的每一个星体均会吸引任何其他的星 体，吸引力的量值与此两星体的质量乘积成 正比，并与它们之间的距离平方成反比。
哥白尼
第谷
克卜勒
牛顿
● 向心力与克卜勒行星运动第三定律的推导细节：
(1)椭圆定律： 太阳系的每个行星都以 椭圆轨道运行，太阳位 于该椭圆的一个焦点上。
(2)面积定律： 同一个行星与太阳的联机 ，在相等的时间内扫过的面积相等。
(3)周期定律： 任一行星环绕太阳周期 T 的平方 ，与行星 至太阳平均距离 R 的立方，其比值皆相同。
● 当牛顿运动定律所描述的向心力与克卜勒行星运
万有引力定律
● 于1990年所发射的哈伯太空望远镜为天文史 上最重要的仪器，它所收集到的资料为人类 太空探测的努力，跨出重要一步。发射火箭， 使此仪器进入其运行轨道所依循的原理，也 证实了“万有引力”定律的正确性与普遍性。
造物者用数字、重量与测量创造万物。 ------ 牛顿
对牛顿而言，科学是由只阐述自然行为的数学 定律所构成，这些定律可从现象中清楚地推导 出来，并得到严格证实。这样一来科学便成为 关于物理世界行为的一个绝对确定之真理体系。
● 万有引力定律
● 人类曾经深信“地球是宇宙中心”，直到1543 年哥白尼(Nicolaus Copernicus)完成天体运行 论，提出了革命性的“日心地动说”，虽然当 时未得到高度重视，但日心说揭示“宇宙背后 隐含着简单和谐之结构，远胜于 长期习以为常的经验认知”， 唤起了一流物理学家的支持。
GMm m 4 2R R3 GM 定值(此定值與M有關)
R2
T2
T 2 4 2
● 万有引力定律，显示任何两质点之间都具有相吸的 作用。然而，由于重力常数 G 值太小，只有由巨大 质量的星体所产生的万有引力，才较易呈现出效果。
● 万有引力定律，开启了人类的视野，让人类得以重 新检视宇宙中的行星运动。
● 两星体之间的引力，可以推广至两质点之间的吸引 力，即质量各为 m 和 M 的两个质点，相距R 时，
它们彼此之间的引力为 F GMm R2
● 重力常数G 英国物理学家卡文迪西 (Henry Caven)于1978年测得， 目前的公认值为 G ＝6.67×10－11 米3／千克．秒2 。
● 太阳 M 与行星 m 相距 R，行星所受的太阳引力， 作为圆周运动的向心力，可以导出克卜勒周期定律。
● 克卜勒是地动说的拥护者，其中虽得力于第谷 丰富的天文信息，但更关键的是克卜勒修正太 阳的位置，更进而发现行星运行的椭圆轨迹， 太阳则位于椭圆焦点。
● 牛顿认为，月球运转的向心力和地表上物体 下落的力，皆是同一种作用力。 牛顿曾设想，在高山上若水平发射炮弹，因 地球引力作用而以拋物线轨迹往下落，若继 续加大炮弹的速度，最后炮弹将不至于落于 地面，而会如同月球运转一般，环绕地球做 周期运动。
R2
R2
● 行星所受向心力指向太阳， 可说行星受到太阳的吸引，
根据牛顿第三运动定律，太阳也会受行星吸引，
该力量值 F 会与太阳质量M 成正比，
即F Mm
綜合上述 可得F GMm，G為比例常數 R2
● 哥白尼提出，地球与所有行星均环绕着一个 共同的几何中心，作圆形运转的日心理论， 这就是有名的地动说。
⋯⋯⋯ 英国科学哲学家 柏 特
● 引言
●“太阳绕着地球转动，我们是宇宙中心”，这个看 来似乎合理的谬思，一直禁锢了人类的科学心灵。 虽然最初曾有人质疑地心说，但中间经历近两千 年之久，直到哥白尼日心说与牛顿万有引力定律 出现，才如一把利剑划开了千古迷雾，轰然一声， 配浩瀚宇宙的神秘规律跃然纸上，一切因此豁然 开朗。 时至今日，伴随着快速发展的科技所发明的哈伯 望远镜，一方面为万有引力下了强而有力的脚注， 另一方面也让人类得以更清晰地一窥无垠的宇宙。
● 以现代方法重做卡文迪西实验﹕ 长 L 的轻杆两端连结小铅球，小铅球受两个 大铅球的引力，造成力矩使悬线扭转。
扭在线平面镜偏转，以反射雷射光测出扭转角度θ， θ 与所受力矩 τ (τ = dF )成正比， 即θ与引力量值 F 成正比，藉以测出重力常数 G。
范例4-1
(1)根据万有引力公式，计算质量1.0 千克的物体，
● 牛顿获得距离平方反比的万有引力形式，并 藉由数学推导出受此引力的周期运动是椭圆 形轨迹， 哈雷因此找到76年造访地球一次的 彗星，现已命名为哈雷彗星。
● 万有引力定律
质量分别为 M 与 m 的两星体 (视为均匀球体)，球心相距 R， 两星体之间的万有引力量值
F F GMm 式(4.2) R2
(4.1)式 : R3 T2

K
1 T2

K R3
代入(3.14)式
(3.14)式 : a 4 2R 4 2R K (4 2K ) 1
T2
1 R3
R2
● 根据牛顿第二运动定律：
F m a m(4 2K ) 1
R2 Fm 且F 1
R2
● 根据牛顿第二运动定律：
F m a m(4 2K ) 1 F m 且 F 1