2_两个计数原理及其综合应用(

当 A 与 E 种植相同植物或不同植物时 F 的种法有区别， 不全是2种． [正解] 分3类考虑，第一类：A，C，E种同一种植物，有4种种法， 当A，C，E种好后，B，D，F从余下3种植物中选1种，各有3种种
法，一共有4×3×3×3＝108(种)种法；
第二类：A，C，E种两种植物，有12种种法，当A，C种同一种植 物时，B有3种种法，D，F有2种种法，若C，E和E，A种同一种植 物，种法相同，因此，共有12×3×(3×2×2)＝432(种)种法；
解
分别用 a，b，c 代表 3 种作物，先安排第一块试验田，
有 3 种方法，不妨设种 a，再安排第二块试验田种 b 或 c， 有 2 种方法，同理第三，四，五块试验田也有 2 种方法，
共有 3×2×2×2×2=48 种种法．
其 中 形 如 cacac,
ababa,
babab cbcbc
acaca,
两个计数原理第二节
兆麟中学高二数学组
1．分类计数原理计算公式：N＝m1＋m2＋…＋mn. 分步计数原理计算公式：N＝m1×m2×…×mn.
2．分类计数原理针对的是分类问题，每一种方法都能达到 完成这件事的目的 分步 ；分步计数原理针对的是 问题， 依次完成 各个步骤 才算完成这件事．
【例1】 (1)有5本书全部借给3名学生，有多少种 不同的借法？
【例4】 用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规
定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种 不同的涂色方案？
A
Leabharlann Baidu
B C
D
A
B
D
C
[规范解答]
第一步涂c有5种方法； 第二步涂B有4种方法；
第三步涂C有3种方法；
第四步涂D有3种方法， 则共有5×4×3×3＝180(种)方法
【变式3】 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一 种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，则不同的种植方法 共有多少种(以数字作答)?
第三类：A，C，E种3种植物，有4×3×2＝24(种)种法，这时B，
D ， F 各有 2 种种法，一共有 24×23 ＝ 192( 种 ) 种法．由分类加法计 数原理知，共有108＋432＋192＝732(种)种法． 答案 732
7、用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位偶数；
例3用计数原理求72的正约数 (包括 1和 72) 共有多少个？ 72 ＝ 23×32 ， ∴ 2m·3n(0≤m≤3,0≤n≤2 ， m ，
n∈N) 都是 72 的正约数， m 的取法有 4 种， n
的取法有3种，共有4×3＝12(种)．
＝45(种)不同的取法； 10×9 第二类：两个奇数相加，由分步乘法计数原理，共有 ＝ 2 45(种)不同的取法． 由分类加法计数原理得，共有 45＋45＝90(种)不同取法．
【练习2】
(1)4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每
人报一项，共有多少种报名方法？ (2)4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共 有多少种可能的结果？ 解 (1) 34＝81 (2) 43＝64
bcbcb,
不满足条件的共有 3×2=6 种 故所求种法 48-6=42 种
分类标准不恰当致误
【示例】 有一个圆形区域被 3条直径分成6块(如图所示)，在每一
块区域内种植植物，相邻的两块区域种植不同的植物，现有 4 种不同的植物选择，一共有________种不同的种植方法． [错解] A块地有4种种法，B，C，D，E都有3种种法，F有2种种 法，由分步乘法计数原理可知，一共有4×34×2＝648(种)不同 的种法．
作
业
3、用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数； 4、在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多
少个？
5、若直线方程ax+by=0中的a,b，可以从0，1，2，3，5这5个数 中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少 条. 6、从1到200的自然数中，有多少个个位数上不含有5的数。
(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社
会实践，有多少种不同的分配方案？
【例2】 由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数 字可以重复，最多只能是四位数)?
【练习 1】 从 1～20 共 20 个整数中任取两个相加，使其和 为偶数的不同取法共有多少种？
解 10×9 第一类： 两个偶数相加， 由分步乘法计数原理， 共有 2