上海市2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题(含解析)

2024－2025学年上海市高二年级上学期
12月月考数学试卷
2024.12一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．1．抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为_______．
2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a₂=1，a₁₁=7，则S₁₂=．
3．事件A、B互斥，它们都不发生的概率为2
，且P（A）=3P（B），则P（B）=_______．
5
π，则该圆锥的体积为_______．
4．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为6
5
5．某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为_______．
6．已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则．x²＋y²的值为_______．
7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组的下限为153．5，则组数为_______．
8．某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为86π，则圆柱的表面积为_______．
9．如图，在正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，记平面AD₁E与平面ABCD的交线l₁，平面AD₁E与平面ABB₁A₁的交线l₂，若直线AB与l₁所成角为α，直线AB与l₂所成角为β，则sin（2α－β）的值是_______．
10．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式在_______种．
11．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为a₁，a₂，a₃，则事件a₁，a₂，a₃，“|a₁―a₂|＋|a₂―a₃|＋
|a₃―a₁|=6”发生的概率为_______．
12．将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以P n 表示没有出现连续2次正面的概率，则P₁₂=．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，……，50．从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
若从表中第1行第7个数字开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（）．A ．09
B ．05
C ．65
D ．71
14．设无穷等比数列{a n }的首项为a ₁，公比为q ，前n 项和为S n ，则“a 1＋q =1”是“"成立（）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
15．在数列{a n }中，如果存在正整数T ，使得a m ＋T =a m ，对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．已知数列{x ₙ}满足．xₙ₊₂=|xₙ₊₁―xₙ|，如果x₁=1，x₂=a (a ∈R ,a ≠0)，当数列{x ₙ}的周期最小时，该数列前2024项的和是（）A ．674
B ．1348
C ．1350
D ．2024
16．如图，在三棱锥A －A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∠A₁B₁C₁=90°．A₁B₁=2A₁A =2B₁C₁=2，P ：为线段AB₁的中点，M ，N 分别为线段AC₁和线段B₁C₁上任意一点，则5PM ＋MN 的最小值为（）
A ．3
52
B ．5
2c ．5
D ．2
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S₁₀=110，且a ₁，a ₂，a ₄成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若bₙ=aₙ＋3a ，求数列{bₙ}的前n 项和．18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在直三棱柱ABC ―A₁B₁C₁中，D ，E ，F ，G 分别为AA₁，AC ，A₁C₁，BB₁的中点，AB
=BC
=22
lim 1n x S →∞
=
，∠ABC =π
3，AC =AA 1．
（1）求证：AC ⊥GF ；
（2）求异面直线FG 与BD 所成角的余弦值．19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某类型题目需要从A ，B ，C ，D 四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分．
（1）有一道考试甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD ，求考生甲本题得4分的概率；
（2）现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为1
4，得3分的概率为1
2；考生丙得6分的概率为1
6，得3分的概率为1
3．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如图1，四面体ABCD 中，△ABC 为等边三角形，且AB=2，△ADC 为等腰直角三角形，且∠ADC=90°．
（1）当BD =7时，求二面角D －－AC －B 的正弦值：
（2）当BD =7时，当P 为线段BD 中点时，求直线AD 与平面APC 所成角正弦值；
（3）当BD=2时，若DP =λDB （0<λ<1），且PH ⊥平面ABC ，H 为垂足，CD 中点为M ，AB 中点为N ；直线MN 与平面APC 的交点为G ，当三棱锥P －ACH 体积最大时，求MG
GN 的值．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等．一般地，若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式其中a n ，a n―1，⋯a 1，a 0∈{0,1,2,⋯,k ―1}，并
110(),n n k a a a a -⋅⋅⋅
且最高位aₙ≠0，k 进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如
例如十进制数25=2×3²＋2×3＋1，所以25在三进制下可写为221（3）．（1）设正整数m 在三进制下的各位数字之和为S （m ）：
①将满足S （m ）=3的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数；②在十进制1至2025中任选一个正整数m ，求S （m ）为3的倍数的概率．
（2）已知正整数a ≤31，设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=a
2，且SₙSₙ₋₁＋(Sₙ₋₁＋2a )aₙ=a²，求证：a =|a 1＋1
2]＋|a 2＋1
2]⋯[a n ＋1
2
]＋⋯（其中[x ]表示不大于x 的最大整数）．
1110()110(10)
[]n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+
2024－2025学年上海市高二年级上学期
12月月考数学试卷
2024.12
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1．【答案】
【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），基本事件总数，
观察两枚骰子出现“两个点数相等”包含的基本事件有：，（6，6），共6个，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为．2．【答案】48【解析】．
3．【答案】
【解析】根据题意，设，则，事件、互斥，它们都不发生的概率为
，则，则有，解可得，即．
4．【答案】【解析】设圆锥底面的半径为，根据题意得，解得，所以圆锥的高，所以圆锥的体积．
5．【答案】7
【解析】，则是数据从小到大排列后的第四位数是87，则．6．
【答案】65
【解析】因为．它的平均数为8，所以
，解得，
由，得，
则，即．
1
6
6636n =⨯=()()()()()1,1,2,2,3,3,4,4,5,5∴61
366
P ==()
()
()112211121212617482
2
a a a a S ++==
=+=320
()P B x =()3P A x =A B 25()23155
P A B +=-=()()3
45
P A P B x +==
320x =()3
20
P B =96π
r 6
π102π5
r ⨯=6r =8h ==22
11ππ6896π33
V r h ==⨯⨯=1425% 3.5⨯=7x =,,8,10,11x y 81011
85
x y ++++=11x y +=()()()5
2222
11188813655i i s x x y =⎡⎤=-=-+-+=⎣
⎦∑()()228817x y -+-=()2
2
2
2
161664641612817x y x y x y x y +--++=+-++=22
65x y +=
7．【答案】7
【解析】，则组数为7．8．【答案】【解析】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为，圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为，
利用球的体积公式可得：
，解得：，再由圆柱的表面积公式得：
．
9．
【解析】延长与直线相交于，连接，则平面与平面的交线为，即为直线，故即为，又，
是棱的中点，且，
，又为锐角，且，则，又平面平面平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，又，
153.56
5183.5186,153.575188.5186+⨯=<+⨯=>36π
r r 2r 3
4π3
r =r =22π22π26π6π636πS r r r r =⨯+⋅==⨯=1D E CD F AF 1AD E ABCD AF 1l AF BAF ∠α,AB CD AFD BAF α∴∠=∠= ∥E 1CC 11DD CC ∥1
,tan 2
AD CD CF DF α∴=∴=
=α2
2sin sin
cos 1,tan cos α
αααα
+==
sin α=
11CDD C ∥111,A ABB D E ⊂11CDD C 1D E ∥11A ABB 1D E ⊂1A DE 1A DE 112A ABB l =12D E l ∥CD AB ∥
故直线与所成角为，又，故，所以
10．【答案】50
【解析】由题意可分为两类
（1）若乙只完成工作，即甲、丙二人完成A ，B ，C ，D ，四项工作，则一共有
种安排方式；（2）若乙不止完成工作，即甲、乙、丙三人完成A ，B ，C ，D ，四项工作，则一共有
种安排方式．综上共有种安排方式．11．【答案】
【解析】所有投掷结果共有种，
由事件“”，可得，
，
设，则，还有一个数为，
由题意得．
当时，三个数为对应，有种方法，
当时，三个数为对应有种方法，
当时，三个数为对应有种方法，
当时，三个数为对应有种方法，
一共有种，
AB 2l 1D FD β=∠1D FD DFA ≌△△αβ=()sin 2sin αβα-==E 2213242432
2214C C C C P P ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭E 2113421
32
2
36C C C P P ⨯=361450+=1
4
361223316a a a a a a -+-+-={}{}1231232max ,,min ,,6a a a a a a ⎡⎤-=⎣⎦{}{}123123max ,,min ,,3a a a a a a ∴-={}123min ,,a a a x ={}123max ,,3a a a x =+x d +{1,2,3},{0,1,2,3}x d ∈∈0d =,,3x x x +123,,a a a 3
322
3P P =1d =,,3x x x +123,,a a a 3
36P =2d =,2,3x x x ++123,,a a a 3
36P =3d =,3,3x x x ++123,,a a a 3
322
3P P =∴()3366354⨯+++=
事件“”发生的概率为
．12．【答案】
【解析】由题意知，设首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，则首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
所以，设，则有，解得，
即设，解得，
所以有，
即数列
为公比的等比数列，依次代入，即可得．二、选择题（本大题共有4题，满分
18分，第13、14题每题4分，第15
、16题每题5分）
每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．【答案】A
【解析】依次读取的数据依次是37，
14，05，11
，09，则得到的第5个样本编号是09，故选A ．14．【答案】B
【解析】当时，，则，
∴1223316a a a a a a -+-+-=3541
64
=3774096
2335,48
P P =
=n n a n b n n b n n b a +1n +n b n n b a +1n +n n b a +2n n b a +2n +n n b a +2n n b a +2n +2n n b a +32n n b a +1
12335351,2222n n n n n n n n n n n a b a b a b P P +++++=
==⨯11123535585811,,
222242
n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b P P ++++++++==⨯==⨯12n n n P xP yP ++=+355
2,23242
x y x y +=+=2,4x y =-=12
24n n n P P P ++=-+()11224n n n n P xP x P P ++++=-++1x =))))
1121211411n n n n n n P P P P P P +++++⎡⎤++=
+=
+
+⎣
⎦
){}
11n n P P ++
+)
)
1
1
12311,2,,n n n n P P P P n n Z --+⎡⎤+
+=++=≥∈⎣
⎦3,4,5,n = 12377
4096
P =
10a <1q >lim 1n n S →∞
=-∞≠
故“”是“”不充分条件，
若“”，则，即“”，
故“”是“”必要条件，
综上可得：“”是“”成立必要非充分条件，
故选：B ．15．【答案】C
【解析】因为，所以，因为数列是周期数列，而，
当时，可得，则，即，不满足题意，当时，则，即，解得或（舍去），则，不满足题意，
当时，则，即，则或，当时，，即，解得（舍去），当时，，此时，即，又，即，则或，
当时，，此时，即，
当时，，即，解得（舍去），所以且，故，
此时，，
，满足题意，
所以数列的周期最小值为3，
此时；；…，故此时数列的前2024项和是．故选：C ．16．【答案】C
11a q +=lim 1n n S →∞
=lim 1n n S →∞
=11a q =-11a q +=11a q +=lim 1n n S →∞
=11a q +=lim 1n n S →∞
=()12211,,0,n n n x x a a R a x x x ++==∈≠=-31x a =-{}n x *T N ∈1T =211x x ==3210x x x =-=32x x ≠2T =31x x =11a -=2a =0a =243222,121x a x x x x ===-=-=≠3T =41x x =3211x x a a -=--=11a a --=11a a --=-1a a --=11a a -=+()()2
2
11a a -=+0a =11a a --=-11a a -=-10a -≥1a ≥52x x =4311
x x a a -=--=11a a --=11a a --=-11a a --=()11a a -=--10a -≤1a ≤11a a --=-11a a -=+()()2
2
11a a -=+0a =1a ≥1a ≤1a =123214325436541,1,0,1,1,0x x x x x x x x x x x x x x ===-==-==-==-= {}n x 1231102x x x ++=++=4561102x x x ++=++=()674110111350⨯++++=
【解析】平面，
，又，平面，，
在中，．
过点分别作，垂足分别，
，
，
，
故选：C ．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．【答案】
（1）；（
2）【解析】（1）设等差数列的公差为
．由，且成等比数列，
得
，解得：，
数列的通项公式为．
（2）由（1）知，得
，
1AA ⊥ 1
11111,90A B C A B C ∠=︒111111,AA A B AA B C ∴⊥⊥111111190,A B C A B B C ∠=∴⊥︒1111,AA A B A = 11B C ∴⊥11AA B 111B C AB ∴⊥11Rt AA B △1AB =
=M 1111,MM A B MN B C ''⊥⊥,M N ''111C MN C AB ' △△∽11111C N MN C B A B ''∴
=1C N '∴=)1MN PM MM MM C N '''+=+≥+=+=2n a n =()199
18
n n n +-++
{}n a 0d ≠10110S =124,,a a a ()()121
111091101023a d a d a a d ⨯⎧=+⎪⎨⎪+=+⎩122a d =⎧⎨=⎩∴{}n a 2n a n =2n a n =232329n a n n
n n b a n n =+=+=+
．18．【答案】（1）见解析；（2
【解析】（1）证明：在直三棱柱中，D ，E ，F ，G 分别为，的中点，．在直三棱柱中，平面，
四边形为矩形，
又，分别为
，的中点，，且，
，，
，，平面，
平面，平面．
（2）由（1）知，
平面，平面，
平面，，
，，，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
由题意得，，，
，，，(
)()212212
999n
n n
T b b b n ∴=++⋯+
=⨯+++++++
()
()
()191919
92
12198
n
n n n n
n +-+-=⨯+=++
-
111ABC A B C -111,,AA AC AC 1BB 1π,3
AB BC ABC AC AA ==∠== 111ABC A B C -1CC ⊥ABC ∴11A ACC E F AC 11AC AC EF ∴⊥1EF BB ∥AB BC = AC BE ∴⊥BE EF E = BE EF ⊂BEFG AC ∴⊥BEFG FG ⊂ ,BEFG AC GF ∴⊥1,,AC EF AC BE EF CC ⊥⊥∥1CC ⊥ ABC EF ∴⊥ABC BE ⊂ ABC EF BE ∴⊥AB BC == π3
ABC ∠=BE ∴=1AA AC ==E EA EB EF x y z ()B D (0,0,F (G BD ∴= (FG =
，异面直线所成角的范围为，异面直线与
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
【答案】（1）；（2）【解析】（1）甲同学所有可能的选择答案有10种：，，，，，，，，，，设事件表示“猜对本题得4分”，
则，有3个样本点，
所以．（3）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙、丙总分刚好得18分的情况包含：
事件：乙得12分有一种情况，丙得6分有三种情况，
则，事件：乙得9分有两种情况，丙得9分有两种情况，
则，事件：乙得6分有三种情况，丙得12分有一种情况，
则，所以乙、丙总分刚好得18分的概率．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
【答案】（1）；（2
；（3）1【解析】（1）取的中点，连接，，
cos ,BD FG BD FG BD FG
⋅∴<>===⋅ π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
∴FG BD 310118
AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD N {,,}N AB AD BD =()310
P N =1111244-
-=1111632--=A 66+60,06,33+++()11111111544622633288
P A ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭B 63,36++63,36++()1111111114224633636P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C 60,06,33+++66+()1111111114444226696
P C ⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭5111()()()288369618P P A P B P C =++=
++=12
AC O DO OB
因为为等腰直角三角形，且，所以，则，所以，又因为，
所以，则，又因为，
所以为二面角的平面角，
，所以
，所以二面角的正弦值为
．（2）过点作轴垂直平面，又因为，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，
设平画的法向量为，
则，取
，可得
，设直线与平面所成角为，
，直线与平面
．ADC △90ADC ∠=︒AD DC ==
DO AC ⊥1DO =2AB BC BD ===BO AC ⊥BO BD ===DO AC ⊥DOB ∠D AC B --222cos 2DO OB DB DOB DO OB +-∠===⋅1sin 2
DOB ∠=D AC B --12O z ABC OB AC ⊥11(1,0,0),(1,0,0),0,,24A C D B P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
111,,(2,0,0),24AD AC AP ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ APC ()122,,m x y z = 222220104m AC x m AP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
21y =220,x z ==1(0,1,1,2m AD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭
AD APC θ||sin |cos ,|||||m AD m AD m AD θ⋅=〈〉=== AD APC
（3）取的中点，连接，，
因为为等腰直角三角形，且，
所以，则，所以，
又因为，所以，
则，又因为，
所以，又因为平面，
所以平面，
因为，，两两相互．垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，设，因为，
所以由，可得：，
所以，
由（1）知，平面，又平面，
所以在上，
因为，所以，
，所以，即，所以，所以，
三棱锥
体积为：，AC O DO OB ADC △90ADC ∠=
︒AD DC ==DO AC ⊥1DO =2AB BC
BD ===BO AC
⊥BO BD ===222BO DO BD +=DO BO ⊥,,,DO AC AC BO O AC BO ⊥=⊂ ABC DO ⊥ABC OC OD OB (1,0,0)A
(1,0,0)C -(0,0,1)
D
B ()111
,,P x y z (
)111,,1,1)DP x y z DB =-=- (01)DP DB λλ=<< 1110,,1x y z λ===-+,1),(1,0,1),(2,0,0),(,1)P AD AC AP λλ-+=-=-=--+ DO ⊥ABC PH ⊥ABC ,PH DO H ∥BO (01)DP DB λλ=<< ||||2DP DB λλ== 22PB λ=-PH BP BH PO BD BO ==2212PH λ-==1,)PH BH λλ=-=-)OH OB BH λ=-=--=P ACH -11113323
P ACH ACH V S PH AC OH PH OH PH -=⋅=⨯⋅⋅⋅=⋅△2
211(1)32λλ⎫=⋅-==-⎪⎭
因为，当时，三棱锥
，此时，分别为，的中点，所以，
，，，
，，设，设因为，所以，
所以，因为在平面上，所以设，
所以，所以解得，所以
，所以．21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
【答案】（1）5，7，11，13；（2）
；（3）见解析【解析】（1）①由，01λ<<12
λ=P ACH -P H BD OB 1,2P H ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(1,0,0)A (1,0,0)C -(0,0,1)
D B 11,0,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭12N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
(01)MG MN μμ=≤≤ ()
333,,G x y z 233111,,,222MG x y z MN ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
333111,,222
x y z μμμ=-==-+111,222G μμμ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭
G PCA GP mGC nGA =+ 11111,,,,22222GP GC μμμμμ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
311,,222GA μμ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
113222,1111122222m n m n m n μμμμμμμ⎧⎛⎫⎛⎫-=--+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎛⎫⎛⎫⎪=-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
12μ=
12MG MN = 1MG GN =6742025
3111012021102201120210=++=++=++=++=++=++=++
可得，
可得该列数的前四个数为5，7，11，13。

（2）设，
若为3的倍数，则为3的倍数，即，
所以，，所以当为3的倍数时，中恰有一个是3的倍数，所以都不是3的倍数．
而，这2022个数中，有
个是3的倍数，所以为3的倍数的概率为．（3）由时，，可得，
由正项数列的前项和为，且，可得，可得，
因为为正项数列，所以，所以，因为所以，结合时，，
两式作差得，所以是以为首项，为公比的等比数列，可得，因为，所以设，
则，(3)(3)(3)(3)0125,0217,10211,11113====1110333n n n n m a a a a --=++⋯++m 0a 00a =11(3)0n n m a a a -=⋯11(3)11n n m a a a -+=⋯11(3)22n n m a a a -+=⋯1111(),(1)1
n n n n S m a a a S m a a a --=++⋯++=++⋯++11(2)2
n n S m a a a -+=++⋯++m (),(1),(2)S m S m S m ++(3)(1)1,(2)2,20252210000,(2025)5
S S S ====(1)1,(2)2,(2025)S S S ==(3),(4),,(2024)S S S ⋯20226743=()S m 6742025
2n ≥1n n n n a S S S -=--1n n n S S a -=-{}n a n ()1,*,312
n a S a a N a =∈≤()2112n n n n S S S a a a --++=()()()2222,n n n n n n n n S S a S a a a a S a a -+-+==-n n S a a =-{}n a n n n S a a a ≥>-(2)n n S a a n =-≥()
*1111,,(2)2n n n n a S a S a a n N S a a n --===-∈=-≥2n ≥1n n n n a S S S -=--112n n a a -=
{}n a 2a 122
n n a a =31a ≤()43243210012342222,,,,{0,1}a x x x x x x x x x x =++++∈43232432100143212222111222222x x x x x x a x x x x ⎡⎤++++++⎡⎤⎡⎤+==++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
当时，，当时，，所以，即，，当时，，当时，，所以，即，同理可得，当时，，所以，所以．00x =0102x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦01x =0112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
0012x x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
3214321012222a x x x x x ⎡⎤+=++++⎢⎥⎣⎦()()432432101022432222222121122222x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++++++⎡⎤+==+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
10x =()1002212024x x x ⎡⎤+++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦11x =()1002214124x x x ⎡⎤+++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦()1012212x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦
2243211222a x x x x ⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦3432443541112222a x x x a x x a x ⎡
⎤⎡⎤⎡⎤+=+++=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
6n ≥113111222642n n a a +=+≤+<102n a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦125111{]222M a a a ⎡⎤
⎡⎤=++++⋯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()32243210222112211(211)(11)x x x x x =++++++++++++++432432102222x x x x x a =++++=。