高考数学-指数函数图像和性质及经典例题

高考数学-指数函数图像和性质及经典例题

【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s

r r a

a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs

s

r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>；

（3）s

r

r

a a a

b =)(

),0,0(Q r b a ∈>>．

正数的分数指数幂的意义

)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m

)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

二、指数函数

1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x

≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质

1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y

= （2）x )2

1

(y = （3）x

2y = （4）x

3y = （5）x

5y =

【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数，

2

()()21

x f x a x R =-

∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则

12()()f x f x -12

22()()2121

x x a a =-

--++ 21222121

x x =

-

++ 121

22(22)(21)(21)

x x x x -=++， 由于指数函数2x

y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x

x <

即1

2220x

x -<，

又由20x

>， 得1

1

20x +>，2120x +>，

∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <，

所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数．

例2.已知函数2

()1

x

x f x a x -=+

+(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根．

证明：（1）设121x x -<<， 则1212121222

()()11

x

x x x f x f x a a x x ---=+

--++ 121212*********()

11(1)(1)

x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+

-=-+++++， ∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<， ∴

12123()

0(1)(1)

x x x x -<++；

∵121x x -<<，且1a

>，∴1

2

x x a a <，∴1

2

0x x a a -<，

∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则0

002

01

x x a

x -+

=+， 即0

0000023(1)3

1111

x x x a

x x x --+=

==-+++， ① 当010x -<<时，0011x <+<，∴0331x >+，∴03

121

x ->+，而由1a >知01x a <， ∴①式不成立；

当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111

x -<-+，而00x a >， ∴①式不成立．

综上所述，方程()0f x =没有负数根．

针对性练习

1. 已知函数f (x )=a x ＋b 的图象过点(1，3)，且它的反函数f －

1(x )的图象过(2，0)点， 试确定f (x )的解析式．

2. 已知,32

12

1=+-x x 求

3

2

12

32

3++++--

x x x x 的值．

3. 求函数y =33

22++-x x 的定义域、值域和单调区间．

4. 若函数y =a 2x ＋

b ＋1(a ＞0且a ≠1，b 为实数)的图象恒过定点(1，2)，求b 的值．

5. 设0≤x ≤2，求函数y =12

24

2

2

1++⋅--a a x

x 的最大值和最小值．

针对性练习答案

1解析： 由已知f (1)=3，即a ＋b =3 ①

又反函数f －

1(x )的图象过(2，0)点 即f (x )的图象过(0，2)点．即f (0)=2 ∴1＋b =2

∴b =1代入①可得a =2 因此f (x )=2x ＋1 2解析：由,9)(2

212

1=+-

x x

可得x ＋x －

1=7

∵27)(3

212

1=+-

x x

∴2

31

2

12

12333-

--++⋅+x

x x x x x =27

∴2

32

3-+x

x =18，

故原式=2

3解析：(1)定义域显然为(－∞，＋∞)．

(2)u

y x x x x f u 3.4)1(423)(2

2

=∴≤--=-+==Θ是u 的增函数，

当x =1时，y max =f (1)=81， 而y =3

223

++-x x ＞0．

∴]81,0(,3304

即值域为≤

(3) 当x ≤1 时，u =f (x )为增函数，

u

y 3=是u 的增函数，由x ↑→u ↑→y ↑

∴即原函数单调增区间为(－∞，1］； 当x ＞1时，u =f (x )为减函数，

u y 3=是u 的增函数， 由x ↑→u ↓→y ↓ ∴即原函数单调减区间为［1，＋∞).

4解析：∵x =－

2

b

时，y =a 0＋1=2