高代重因式
高等代数知识点总结
次多项式之和
，
fn≠对0称，多且其项中式f基i是本0或定i次理齐次每多个项对式称，多0≤项i式≤，n，都f可i称唯为f
的一地i次表齐示次成分初量等. 对称多项式的多项式
高等代数知识点总结
10
高等代数知识点总结
11
运算及其关系
转置
加 法
(A+B)T=AT+BT
数 乘
(kA)T= k AT
取逆
(kA)1= k1A1
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
• 因式分解唯一定理
次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之 积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.
• 标准分解定理
每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
倍法变换
统称线性
|...+...| = |......| + |......|
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)
=r(PAQ)
高等代数知识点总结
12
转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
则f(x)是有理数域上的既约多项式. • 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常 数项
高等代数知识点总结
9
《高等代数(上)》课程标准
《高等代数（上）》课程标准1.课程说明《高等代数（上）》课程标准课程编码〔 37008 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022.11.20 〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是数学教育专业的专业基础课程之一，是本专业的核心课程，也是必修课程。
本课程是初等代数的延续与提高, 它的知识，技能，思想方法，对中小学数学教学有直接的指导作用，特别是数学能力的培养和提升发挥着不可替代的作用，可以增强学生的数学思维品质和提高学生的数学素养，为未来的数学教师生涯和今后的再学习奠定良好的专业理论基础。
（2）课程任务：本课程主要针对中小学数学教育教师及相关等岗位开设，主要任务是培养学生在中小学数学教育教师岗位的数学课程教学能力，要求学生掌握中小学数学教师在代数方面的专业理论基础知识、基本技能及思想方法和解决相关问题的能力。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有中学数学，后续课程有《高等代数（下）》、《解析几何》、《概率统计基础》、《数论》等。
2.学习目标通过本课程的学习，使学生掌握《高等代数（上）》的基础知识、基本理论、基本方法。
提高学生的逻辑推理能力，提高学生的数学思维能力，提高学生的再学习的能力。
培养学生实事求是、诚实守信、爱岗敬业、团结协作的职业精神，培养学生善于沟通、勇于合作的良好品质，为发展职业能力奠定良好的基础。
使学生成为具备从事中小学数学教育职业的高素质劳动者和教学高级技术人才。
（1）知识目标掌握一元多项式理论、线性方程组、行列式与矩阵及二次型的基本知识、基本理论。
熟练掌握行列式、矩阵的运算。
熟练掌握运用初等变换求解线性方程组、求可逆矩阵的逆矩阵等基本方法。
（2）素质目标培养良好的思想品德、心理素质。
培养良好的职业道德，包括爱岗敬业、诚实守信、遵守相关的法律法规等。
培养学生踏实、认真、求实的做事态度，使学生形成勇于承担责任、实事求是的工作作风。
培养良好的团队协作、协调人际关系的能力。
高等代数§1.6 重 因 式
f ( x) 故 f ( x ) 与 ( f ( x ), f ( x )) 有完全相同的不可约因式， f ( x) 且 的因式皆为单因式. ( f ( x ), f ( x ))
例2
解:
f ( x ) x 5 15 x 3 10 x 2 60 x 72 在 求 f '( x ) 5 x 45 x 20 x 60
f ( n1) ( x ) 0.
基本公式:
( f ( x ) g( x ))' f '( x ) g '( x ) (cf ( x ))' cf '( x ) ( f ( x ) g( x ))' f '( x ) g( x ) f ( x ) g '( x )
称多项式 n1 n 2 f '( x ) nan x ( n 1)an1 x a1 为 f ( x )的一阶微商(导数).
归纳地,可定义 f ( x )的高阶微商.
( k 1)
f ''( x ) ( f '( x ))',, f
(k )
( x) ( f
( x ))',,
若 k 1, 则称 p( x )为 f ( x )的单因式.
若 k 1, 则称 p( x )为 f ( x )的重因式. （若 k =0， p( x ) 不是 f ( x ) 的因式.)
例1
2 2 2 设 f ( x ) ( x 2) , p( x ) x 2.
问: p( x ) 是否为 f ( x ) 的重因式? 在 [ x ]中,p( x )是 f ( x )的2重因式. 在 [ x ]中,p( x ) 不是 f ( x )的重因式.
高等代数北大第四版1-1
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数 §8 复、实系数多项式
的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 * §11 对称多项式 *
云
南 财
一、数域
经
大 学
二、数域性质定理
§1.1 数域
Hale Waihona Puke 数的范围云 按照所研究的问题，常常要明确规定所考虑的
云
b
南
或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
财
经 大
c d 2 (c d 2)(a b 2)
学 a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q.
Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
§1.1 数域
附:
云 南
数环 设P为非空数集，若
财
经
a,b P, a b P, a b P
大
学 则称P为一个数环．
例如，整数集Z 就作成一个数环．
§1.1 数域
财 外，在作代数问题时，不但要考虑一些数，而且
经 往往要对这些数作加减乘除四种运算。因此所考
大 虑的数集还必须满足条件：其中任两个数的和差
学 积商仍在这个集合内。
关于数的加、减、乘、除等运算的性质称为 数的代数性质。
§1.1 数域
一、数域
云 定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括
高等代数第章多项式重因式与重根
p k 1 x k p x g x p x g x
px gx,px p x,
px pxgx, 从而 p x k p x g x p x g x ,
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
2、 cf x cfx;
3、 fx g x fxg x fxg x;
4、 fmxm fm1xfx.
定理1.6.1： 若不可约多项式 p x 是 f x
的k重因式（k>1），则 p x 是 f x 的k-1重因
式，特别多项式 f x 的单因式不是 f x 的因
式。
证： fxpkxgx,
一、多项式函数
1. 定义：设 fx a 0 a 1 x L a n x n F x ,对
c F , 数 fc a 0 a 1 c L a n c n F称为当
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。
2. 定义（多项式函数）：设 f xFx, 对
的最大公因式 d x , f x 的重因式的重数恰好是 d x
中重因式的重数加1。此法不能求 f x 的单因式。 2、分离重因式，即求 f x 的所有不可约的单
因式：
fxa nffx x ,fxp 1xp 2xLp sx
例1.6.1 在 Q x 中分解多项式
fx x 4 2 x 3 1 1 x 2 1 2 x 3 6
fxx22x32
例1.6.2：求多项式 f x3pxq有重因式的条件。
p0 3x 9q
2p
3x2 p
3x2 9q x 2p
高等代数 第4章多项式 4.6 重因式与重根
k 1 k p p x f x , x 而 k N , 如果
f x。
p x 就称 f x 的单因式， 当k=1时， 当k>1时，p x 称为 f x 的重因式。
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2 去除 f x x5 x3 2x2 8x 5 的商式和余式。 解：由综合除法
1 0
2 2
1
2
10
8
16
5
48
2
1
4 5
8
24
53
4 3 2 q x x 2 x 5 x 8x 24 因此
一阶导数 f x 的导数称为 f x 的二阶导数， 记为
f x
2018/10/5 高等代数
f x 的导数称为 f x 的三阶导数，记为 f
x
…………
f x 的k阶导数记为f
1、
(k )
x
多项式的求导法则：
f x g x f x g x ;
c f c F
映射f确定了数域F上的一个函数 f x , f x 被称 为F上的多项式函数。
2018/10/5 高等代数
当F=R时，f x 就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若 u x f x g x , v x f x g x , 则 u c f c g c , v c f c g c . 二、余式定理和综合除法 用一次多项式x-c去 定理1.7.1（余式定理）： 除多项式 f x , 所得的余式是 f c 。 则 r f c 。
高等代数课程标准
《高等代数》课程标准一、课程概述高等代数是高等师范院校数学教育专业的一门重要基础课程，本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论.此外,还介绍群丶环丶域的基本概念。
通过本课程的教学,应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法,并能处理中学数学的有关教材内容。
同时,培养学生的科学思维丶逻辑推理和运算的能力,以及学生的辩证唯物论观点。
在教学中应注意理论联系实际,联系中学教学。
二、课程目标1、知道《高等代数》这门学科的性质、地位、研究对象及内容、研究方法、知识架构、学科进展及未来发展方向。
2、理解该学科的主要概念、基本原理。
如多项式、行列式、矩阵、向量空间、二次型等。
3、掌握该课程的基本方法和计算与证明技巧。
4、学会应用该学科的原理和基本方法解决实际问题，为学习其它课程打下必要的基础，高观点解决中学数学实际问题。
三、课程内容和教学要求本课程主要内容:基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型以及群、环和域简介。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型第十章群丶环和城简介*四、课程实施(一) 课时安排与教学建议高等代数是数学专业的基础必修课,系主干课程。
一般情况下,每周安排5课时,共165课时.具体课时安排如下:(二) 教学组织形式与教学方法要求教学组织形式：采用以教学班为单位进行授课的教学形式。
教学方法要求：以课堂讲授结合多媒体和讨论为主，辅以课外作业、单元测验、答疑等,有条件的话，可以进行专业调查和课程设计，或组织课外兴趣小组，培养学生对该课程知识综合运用能力和发现问题、分析问题、解决问题的能力。
五、教材编写与选用《高等代数》，张禾瑞、郝鈵新。
高等代数第一章答案(多项式)
若()()()x m x l x h +=，且()()x m x p |，()()x l x p |/，则()()x h x p |/。
证法1： 由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。
由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。
于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。
因()0≠x r ，故()()x h x p |/。
证明2：用反证法。
若()()x h x p |，即()()()()x m x l x p +|， 又()()x m x p |，故()()()()()x m x m x l x p -+|，即()()x l x p |，矛盾。
问：若()()()()x g x h x f x h |,|//， 则()()()()x g x f x h +|成立吗？试举例说明。
答：不一定。
例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，但()()()()x g x f x h +|。
例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h ， 则()()()()x g x h x f x h |,|//，且()()()()x g x f x h +/|。
例 求m l ,， 使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。
解法1：因()()3=∂x f ，()()2=∂x g ，故商()x q 满足()()1=∂x q ，且设()p x x q +=，则由 ()()()x g x q x f =，可得()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323，l m p pm p =+=+=,51,2，从而 4,2,2===l m p 。
高等代数-1讲解
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 ai x i
i 0
m
g( x ) bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0 b j x j
j 0
是数域P上的多项式且 n m . 1.多项式相等
f ( x ) g( x ) f (x)与g (x)中，除去系数为零的
f ( x ) g( x )
(a1b0 a0b1 ) x a0b0
anbm x n m (anbm 1 an1bm ) x n m 1
其中s次项的系数为
as b0 as 1b1
所以 f ( x ) g( x )
n m s0
a1bs 1 a0bs
二. 数域的性质
任何数域P 都包含有理数域Q. 即有理数域是最小的数域.
§1
数
域
三. 作业
1. 判断下列数集是否为数域.
P1 a bi | a Q , b R , i 2 1 ,
P a b
4
m P2 n m , n Z 2
,
P3 a 5 | a Q ,
a1 x a0
其中 a 0 , a1 ,, a n为数域P中的数， 称 f(x)为系数在数域P中的一元多项式， 或简称为数域P上的一元多项式. 注1 称 ai x 为f(x)的i次项, a i 为i次项系数. 特别， a0 称为f(x)的常数项.
i
§2
一元多项式
n a 0, a x 注2 若 n 称为f(x)的首项, a n 为首项系数, n
n称为f(x)的次数,记为 ( f ( x )) n. 注3 当 n 0, a0 0 时，f(x)= a0 称为零次多项式. 注4 当f(x)的所有系数全为0时，f(x)=0 称为零多项式, 零多项式不定义次数！
高代第一章
一个公因式。 最大公因式: 设 d（x）如果它同时满足 d（x）是 f（x） ，g（x）的因式，f，g，的公因式是 d 的因式，那它就是 f 与 g 的最大公因式。 最大公因式的求法:如果有等式 f（x）=q（x）g（x）+r（x）成立，那么 f，g 和 g，r 有相同的公因式。即 g，r 的最大公因 式同样是 f，g 的最大公因式。其中辗转相除法参考课本 p15. 最大公因式的表示：对于一元多项式环中两个多项式 f（x） ，g（x） ，在环中存在一个最大公 因式 d（x） ，即有环中多项式 u（x） ，v（x）使 d（x）=u（x）f（x）+v（x）g（x）.(3) （f（x） ，g（x） ）表示首项系数是 1 的最大公因式。 互素：P[x]中两个多项式 f（x） ，g（x）称为互素（也成为互质）的，如果（f（x） ，g（x） ） =1 互素的判定：两多项式互素的充要条件是，存在 p[x]中的多项式 u（x） ，v（x） ，使 u（x）f（x）+v（x）g（x）=1 互素应用一：如果 f，g 互素，且 f 整除 g（x）h（x） ，那么 f 整除 h。 互素应用二：如果 f1 整除 g，f2 整除 g，且 f1，f2 互素，那么 f1f2 整除 g。 不可约多项式：数域 P 上次数≥1 的多项式，p（x）称为 P 上的不可约多项式，如果它不 能 ． 表示成数域 P 上两个次数比 p（x）的次数低的多项式的乘积。 不可约多项式性质：如果 p（x）是一个不可约多项式，那么对于任意两个多项式 f（x） ，g （x） ，由 p（x）整除 f，g 的乘积一定推出 p 整除 f 或者 p 整除 g。 因式分解及唯一性定理:数域 P 上的每一个次数≥1 的多项式 f（x）都可以唯一地分解成数 域 P 上一些不可约多项式的乘积，所谓的唯一性是说，如果有两个分解式 f（x）=p1（x）p2（x）…ps（x）=q1（x）q2（x）…qt（x）, 那么必有 s=t，并且适当排列因式的次序后有 Pi（x）=ciqi（x）,i=1,2,…,s, 其中 ci（i=1,2…s）是一些非零常数。 标准分解式：在多项式 f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使 它们成为首项系数为 1 的不可约多项式，再把相同的不可约因式合并，于是 f（x）的分解式 成为 f（x）=cp1r1（x）p2r2（x）…psrs（x）, 其中 c 是 f（x）的首项系数，p1（x） ，p2（x）…ps（x）是不同的首项系数为 1 的不可约多项 式，而 r1,r2,…,rs 是正整数，这种分解式称为标准分解式。 重因式：不可约多项式 p（x）称为多项式 f（x）的 k 重因式，如果 pk（x）整除 f（x） ，而 k+1 p （x）不整除 f（x） 。 如果 k=0，那么 p（x）根本就不是 f（x）的因式；如果 k=1，那么 p（x）称为 f（x）的单因 式，如果 k＞1，那么 p（x）称为 f（x）的重因式。 微商：也称导数。 重因式性质：如果不可约多项式 p（x）是 f（x）的 k 重因式（k≥1） ，那么它是微商 f ’（x） 的 k-1 重因式。 性质推论 1：如果不可约多项式 p（x）是 f（x）的 k 重因式（k≥1） ，那么 p（x）是 f（x） ， （k） (k-1) f ’（x）,…,f （x）的因式，但不是 f （x）的因式。 性质推论 2：不可约多项式 p（x）是 f（x）的重因式的充分必要条件为 p（x）是 f（x）与 f ’ （x）的公因式。 性质推论 3：多项式 f（x）没有重因式的充分必要条件是 f（x）与 f ’（x）互素。
《高等代数》数分高代定理大全
数分高代定理大全《髙等代数》第一章帶余除法对于P[x]中任意两个多项式/'(兀)与g(x),其中g(x)HO, —定有P[A]中的多项式q(x), r(x)存在，使/(x) = g(x)g(x) + r(x)成立，其中d(r(x)) < d(g(x)) 或者心)=0,并且这样的<?(x),r(x)是唯一决定的.定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x)9g(x),其中g(x)H0,g(x)I/*(x)的充分必要条件是g(x)除/(x)的余式为零.定理2对于P[X]中任意两个多项式/(A), g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表示成f (x), g(x)的一个组合,即有P[x]中多项式M(X),V(A)使d(x) = w(x)/(x) + y(x)g(x).定理3 P[x]中两个多项式/(A-), g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式/心),v(x)使«(x)/(x) + v(x)g(x) = 1 .定理 4 如果(f(x),g(x)) = l,且/(x)I g(x)h(x),那么f(x)I h(x).定理5如果“(X)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式/(x),g(x),由p(x) I f(x)gM一定推出p(x) I f(x)或者p(x)\ g(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数XI的多项式/(X)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式f(X)= Pl (x)p2 (x)•- p s (x) = 4 (x)§2 (x) ••q (x),那么必有s = t ,并且适当排列因式的次序后有Pi(x) = c i q i(x),i = 1,2,•••,$,其中Cf(i = 1,2,…,s)是一些非零常数. 定理6如果不可约多项式"(x)是/(X)的k重因式(k>\)，那么它是微商广(x)的—1重因式.定理7 (余数定理)用一次多项式A-6Z去除多项式/(X),所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值/(&).定理8 P［x］中n次多项式(// > 0)在数域P中的根不可能多于〃个，重根按重数计算.定理9如果多项式/(x), g(x)的次数都不超过川，而它们对幵+ 1个不同的数弘冬,•••£+］有相同的值，即/g)= g(e),i = 1,2,•••/1 + 1,那么f(x) = g(x). 代数基本定理每个次数21的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数XI的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10 (高斯(Gauss)引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理12设/(朗=唧+%的+・•• +如是一个整系数多项式,而二是它的有理S根，其中互素,那么必有s\a n,r\a0.特别地,如果/(x)的首项系数"” =1 , 那么/(x)的有理根是整根，而且是心的因子.I定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法)设f(x) = a…x n + a…_x x n~x + • • •+a0是一个整系数多项式，如果有一个素数"，使得1. p I a n ;2・PI勺_］，%_2昇・・，°0；3・ p 2 / a （）那么/(x)在有理数域上是不可约的.第二章定理1对换改变排列的奇偶性.定理2任意一个"级排列与排列12・."都可以经过一系列对换互变，并且所作 对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.立:a kA\ + % 人2 + ••• +a kn A m Cl \l A \ j + Cl 2!A 2 丿 + …+ 勺/帀定理4 （克拉默法则）如果线性方程组 a [X x A +a n x 2+-- + a Xn x n =b r“2內 + «22X 2 + ・・・ + a 2n X n = b 2，<°"內+°”2兀2+••• + %"="“ 4如…"J 的系数矩阵A=如如…①”♦ • • ♦ • •.a n\ Cl n2 …%.的行列式〃=国H 0 ,定理3设d =5 ('：2 ,州表示元素®的代数余子式，则下列公式成〃，当《 =二 飞当kHi那么该线性方程组有解， 并且解是唯一的，解可以通过系数表为旦,… d=佥, 其中©是把矩阵A 中第丿•列换成方程组的常数项所成的行列式，即定理5如果齐次线性方程组4內+如七+•••+"],耳=°, 。
高等代数多项式46重因式与重根
2x
2
x
1
x2
2
由于 f x, f x x 12 ,
故 x 1 是 f x的3重因式，x2 2是 f x 的单因式，
故 f x 在Q上的标准分解式为
f x x 13 x2 2
2020/7/12
高等代数
问题：多项式 f x 在 F x 中没有重因式， f x 在 F x 中是否也没有重因式？
因而不是f (k) x的因式。
推论2：不可约多项式 p x 是 f x 的重因式的
充要条件是 p x 是 f x与 f x 的公因式。
证：必要性由推论1立得。
充分性，若p x是 f x 与 f ' x 的公因式，则
p x不是 f x 的单因式（否则，由推论1知 p x 不是 f x 的因式），故 p x 是 f x 的重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
（k>1），则 p x 是 f x, f ' x, , f (k1) x 的因式，但 不是 f (k) x 的因式。
证： p x 是 f x 的k-1重因式，
p x 是 f x 的k-2重因式，
……………
2020/7/12
高等代数
p x 是f (k1) x的（k-(k-1)=1）单因式，
f x x5 3x4 x3 5x2 6x 2
在Q上的标准分解式。
2020/7/12
高等代数
解： f ' x 5x4 12x3 3x2 10x 6,
利用辗转相除法求得：
f x, f ' x x2 2x 1 x 12
把 f x单因式化，得
f
f x,
x f
x
高等代数第章多项式重因式与重根
定理1.7.2（因式定理）：多项式 f x 有一个 因式 x c 的充要条件是 f c 0。
证明：设 fxxcqxr, 若 f c 0, 即 r 0 ,
故 x c 是 f x 的一个因式。
若f x 有一个因式 x c , 即 xc f x, 故r 0 , 此即 f c 0 。
推论2：不可约多项式 p x 是 f x 的重因式的
充要条件是 p x 是 f x 与 f x 的公因式。
证：必要性由推论1立得。
充分性，若p x 是 f x 与 f ' x 的公因式，则
p x 不是 f x 的单因式（否则，由推论1知 p x 不是 f x 的因式），故 p x 是 f x 的重因式。
定义1： 不可约多项式 p x 称为 f x 的k重因式
k N , 如果pk x f x,而 pk1x f x。 当k=1时，p x 就称 f x 的单因式，
当k>1时，p x 称为 f x 的重因式。 如果 f x 的标准分解式为：
fx a n p 1 k 1x p 2 k 2x L p s k sx , 则 p1x,L,psx分别是 f x 的因式，且分别为
（k>1），则 p x 是 fx,f'x,L,f(k 1 )x的因式，但
不是 f (k ) x 的因式。
证： p x 是 f x 的k-1重因式，
p x 是 f x 的k-2重因式，
……………
p x 是f (k1) x 的（k-(k-1)=1）单因式，
因而不是f (k ) x 的因式。
的最大公因式 d x , f x 的重因式的重数恰好是 d x
中重因式的重数加1。此法不能求 f x 的单因式。 2、分离重因式，即求 f x 的所有不可约的单
高等代数课件--§1.6 重因式
k(k1)重因式, 则p(x)是f (x), f (x),…,
f (k1)(x)的因式, 但不是f (k)(x)的因式．
推论2
不可约多项式p(x)是f(x)的重因式
的充分必要条件是p(x)是f(x)与f (x)的公因式 推论3 多项式f (x)没有重因式的充分必
二、重因式的判别和求法
如果我们知道多项式的标准分解式，则
其重因式就非常容易知道是什么，但是多
项式的标准分解式并不容易得到，因此，
我们需要考虑其它的方法求重因式。
导数
设多项式为f(x)=anxn+ an1xn1+…+ a1x+a0， 称多项式 nanxn1+(n1) an1xn2+…+ 2a2x+a1 为f (x)的导数，记为f (x)。
4x8。
解：因为f (x)=4x3＋15x2＋12x4, 由辗转
相除法得
( f(x), f (x))= x2+4x+4=(x+2)2
所以 f(x)=(x+2)2(x2+x2) =(x+2)3(x1)例3ຫໍສະໝຸດ 设f(x)P[x], 证明
f (x)| f(x) f(x) =a(xb)n,a,b P
要条件是( f(x), f (x))=1.
推论4
设f(x)P[x], 若
m1
( f1 x , f 2 ( x )) p1
x p2 x ps x
m2 ms
其中p1(x), p2(x),…, ps(x)是互不相同的首项系 数为1的不可约多项式 ，则pi(x)为f(x)的mi+1 重因式, i =1,2,…, s .
重因式定理和推论证明
重因式定理和推论证明以重因式定理和推论证明为标题，本文将详细介绍重因式定理和其推论证明的相关知识。
一、重因式定理的概念重因式定理是代数学中的重要定理之一，它表明任何一个多项式都可以被唯一地分解成若干个一次或多次幂的不可约多项式的乘积。
具体地说，对于任意一个多项式P(x)，存在唯一的一组不可约多项式f1(x), f2(x), ..., fn(x)使得P(x) = f1(x) * f2(x) * ... * fn(x)。
二、重因式定理的证明为了证明重因式定理，首先需要定义什么是不可约多项式。
不可约多项式是指不能再被分解为更小次数多项式乘积的多项式。
例如，x^2 + 1就是一个不可约多项式。
证明的核心思想是反证法。
假设存在一个多项式P(x)不能被分解为不可约多项式的乘积，即P(x)无法满足重因式定理。
那么我们可以推导出矛盾的结论。
我们假设P(x)是次数最高为n的多项式，且无法被分解为不可约多项式的乘积。
那么P(x)至少有一个因式g(x)，且次数小于n。
接下来，我们可以用P(x)除以g(x)，得到商式Q(x)和余式R(x)。
根据带余除法，我们有P(x) = g(x) * Q(x) + R(x)，其中R(x)的次数小于g(x)。
现在我们来观察余式R(x)。
如果R(x)为0，则P(x)可以被分解为不可约多项式的乘积，与我们的假设相矛盾。
所以我们得出结论，R(x)不能为0。
因为R(x)的次数小于g(x)，所以我们可以继续重复上述步骤，将g(x)替换为R(x)进行除法运算。
每次运算后，我们可以得到一个次数更低的余式，且不能为0。
由于多项式的次数是有限的，所以这个过程必定会停止。
最终我们会得到一个次数为0的余式，即一个常数。
我们得到了一个矛盾的结论：多项式P(x)可以被分解为不可约多项式的乘积。
三、推论证明基于重因式定理，我们可以得出一些重要的推论。
1. 唯一性：根据重因式定理，多项式的分解是唯一的。
也就是说，如果将一个多项式分解为不可约多项式的乘积，那么这个分解是唯一的。
高等代数（二）预习——4、唯一因式分解定理
⾼等代数（⼆）预习——4、唯⼀因式分解定理4、唯⼀因式分解定理 上⼀篇介绍到了公因式的问题，为探索多项式最重要的问题之⼀——因式分解问题，做了很好的准备。
下⾯我们就来介绍这个问题。
因式分解问题与整数的质因数分解问题很相似，我们先来介绍基本的不需要分解的多项式：⼀、不可约多项式 不可约多项式的定义是类⽐质数做出的，实际上在因式分解问题⾥，它们也是基本的因式，因为它们不能被继续分解。
定义：⼀个多项式p∈K[x]是不可约多项式，当且仅当deg p>0，且它在K[x]中的因式只有零次多项式或者它⾃⾝的相伴式。
即若q|p，则q∼1或q∼p。
如同质数，不可约多项式有⼀些基本的性质：1、K[x]中，若p不可约，则对任意的f∈K[x]，或者(p,f)=1，或者p|f。
证明：由于(p,f)|p，则或者(p,f)=1，或者(p,f)∼p，从⽽由传递性，p|(p,f)|f。
2、K[x]中，若p不可约，且p|fg，则或者p|f，或者p|g。
证明：不妨设p∤f，那么由于不可约，(p,f)=1，⼜由于p|fg，可知p|g。
性质2可以推⼴到多个多项式的情形，即若p|f1f2...f s，则⾄少存在i=1,2...或s，使p|f i。
3、多项式p不可约当且仅当p不可表⽰为两个次数更低（但是次数为正）的多项式之积。
证明：必要性是显然的，充分性⽤反证法即可。
性质3⽴刻告诉我们，每个1次多项式都是不可约的。
有了这三条性质，我们就可以介绍此篇最重要的定理了。
⼆、唯⼀因式分解定理定理：K[x]中的任意⾮零多项式f可以唯⼀地表⽰为若⼲个K[x]中不可约多项式的乘积：f=p1p2...p s。
注意，定理中的唯⼀是指，若存在f=p1p2...p s=q1q2...q t，则s=t，且调整过顺序后，有p i∼q i,i=1,2,...,s。
证明：先来证存在性。
对f的次数做数学归纳法。
1° n=1时，显然存在分解式。
2° 假设次数⼩于n时定理均成⽴，那么对次数为n的多项式f，若其是不可约多项式，分解式显然存在，否则，由性质3，我们可以找到次数更低但是为正的f1、f2，使得f=f1f2，从⽽由归纳法，f的分解式也存在。
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§1.6 重因式
推论1 推论 若不可约多项 p( x )是 f ( x )的 k 重因式 ( k ≥ 1) ,
p( x )是 f ( x ), f ′( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f ( k −1) ( x ) 的因式，但不是 则 的因式， f (k ) ( x) 的因式. 的因式
说明： 说明： 重因式都是不可约多项式，所以和系数域有关. 重因式都是不可约多项式，所以和系数域有关
§1.6 重因式
二、重因式的判别和求法
1. 若 f ( x ) 的标准分解式为： 的标准分解式为：
f ( x ) = cp r1 1 ( x ) p r2 1 ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ p rs s ( x )
提供网站：
§1.6 重因式
作业
P45 16（1） （ ） 17 21 26
提供网站：
§1.6 重因式
∴ f ′( x ) = p k −1 ( x ) ( kg ( x ) p′( x ) + p( x ) g′( x ) )
⇒ p k −1 ( x ) | f ′ ( x ) .
§1.6 重因式
令 h( x ) = kg ( x ) p′( x ) + p( x ) g′( x ) ,
Q p( x ) | g( x )且 p( x ) | p′( x ) ,
∴ p( x ) | kg ( x ) p′( x ) , ⇒ p( x ) | h( x )
⇒ p k ( x ) | f ′( x )
∴ p( x ) 是 f ′( x ) 的 k − 1重因式
注意 定理6的逆命题不成立， 定理6的逆命题不成立，即
p( x ) 为 f ′( x ) 的 k − 1 重因式，但 p( x )未必是 f ( x ) 重因式，
一、k 重因式 二、重因式的判别和求法 三、重因式因素
提供网站：
一、k 重因式
定义 设 p( x )为数域 的不可约多项式，f ( x ) ∈ P[x ] , 为数域P的不可约多项式 的不可约多项式，
§1.6 重因式
2. 定理 定理6
若不可约多项式 p( x ) 是 f ( x ) 的 k 重因式 ( k ≥ 1 ), 重因式. 则它是 f ( x )的微商 f ′( x ) 的 k − 1重因式
证: 假设 f ( x ) 可分解为
f ( x ) = pk ( x ) g( x ) ,
其中 p( x ) | g ( x ) .
推论2 推论 不可约多项式 p( x )是 f ( x )的重因式
⇔ p( x ) 是 f ( x ) 与 f ′( x ) 的公因式 的公因式.
§1.6 重因式
注 不可约多项式 p( x )为 f ( x ) 的 k ( k ≥ 2) 重因式
⇔ p( x ) 是 f ( x ) 与 f ′( x ) 的公因式，且 的公因式， p( x ) 为 f ′( x ) 的 k − 1 重因式. 重因式.
则 pi ( x ) 为 f ( x ) 的 ri重因式 . i = 1,2, ⋅ ⋅ ⋅ s
ri = 1 时， pi ( x ) 为单因式 ; ri > 1 时, pi ( x ) 为重因式 .
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p k ( x ) | f ( x ) ，但 p k + 1 ( x ) | f ( x ) , 若
重因式. 则称 p( x ) 为 f ( x )的 k 重因式 重因式. 若 k >1, 则称 p( x ) 为 f ( x ) 的重因式 单因式. 若 k ＝1, 则称 p( x ) 为 f ( x ) 的单因式 （若 k =0， p( x ) 不是 f ( x ) 的因式) =0， 的因式)
⇔ p( x )为 ( f ( x ), f ′( x )) 的 k − 1 重因式. 重因式.
f ( x ) ∈ P[x ] ，若 ( f ( x ), f ′( x )) = p1r1 ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ ps rs ( x ) ,
为不可约多项式， 其中 pi ( x ) 为不可约多项式， 则 pi ( x ) 为 f ( x ) 重因式. 的 ri + 1 重因式.
§1.6 重因式
推论3 推论 多项式 f ( x )没有重因式 ⇔ ( f ( x ), f ′( x )) = 1 . 说明 根据推论2、 可用辗转相除法 可用辗转相除法， 根据推论 、3可用辗转相除法，求出 ( f ( x ), f ′( x )) 是否有重因式． 来判别 f ( x )是否有重因式．若有重因式 ，还可由 ( f ( x ), f ′( x )) 的结果写出来 的结果写出来. 有无重因式. 例1. 判别多项式 f ( x ) 有无重因式
f ( x ) = x − 10 x − 20 x − 15 x − 4
5 3 2
§1.6 重因式
三、重因式分离
f ( x) f ( x ) 与 ( f ( x ), f ′( x ))有完全相同的不可约因式， 有完全相同的不可约因式， f ( x) 的因式皆为单因式. 且 ′( x )) 的因式皆为单因式 ( f ( x ), f