(常考题)人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测题(答案解析)(1)

一、选择题
1．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3
y x π
=+，则错误的是（ ）
A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6
π
个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56
π
个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动
3
π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动
6π
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，得到曲线C 2
2．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312
ππ
⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递减，则ω=（ ） A ．3
62
k -，k ∈N B ．3
62
k +，k ∈N C ．
32
D ．3
3．已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性
D ．函数()f x 的值域为R
4．如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．
D ．5．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫
=+>>-
<< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()f x =（ ）
A ．sin 6x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
B ．sin 3x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
C ．sin 6x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．sin 3x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
6．已知函数()()π2tan 010,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<
⎪⎝
⎭，()2303
f =，π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①π
6
ϕ=
；②2ω=；③函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增；④函数()f x 的最小正周期为π4．则上述说法正确的序号为（ ） A ．①④ B ．③④
C ．①②④
D ．①③④
7．已知3πin 3
25
s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0απ<<，则tan α=（ ） A ．43-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
8．已知()1
sin 2
=
-f x x x ，则()f x 的图象是（ ）． A ． B ．
C ．
D ．
9．下面函数中最小正周期为π的是（ ）． A ．cos y x = B ．π2sin 3y x ⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭
C ．tan
2
x
y = D ．22cos sin 2y x x =+
10．若函数sin 3y x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（ ） A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
11．3tan 26tan 34tan 26tan 34++=（ ） A ．
33
B ．3-
C ．3
D ．3-
12．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．
A ．()2sin 12f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
B ．()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．()2sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．()32sin 34
f x x π=-
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
二、填空题
13．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为75°，则山高h =______米.
14．已知角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则cos ϕ=__________________．
15．已知()sin()cos()1f x a x b x παπβ=++-+，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若()20202f =，则()2021f =________.
16．已知ABC ∆不是直角三角形，45C =︒，则(1tan )(1tan )A B --=__. 17．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()f x =______.
18．设α、β都是锐角，且()53
cos ,sin 55
ααβ=+=，则cos β=____________. 19．若函数()πsin 26g x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π4,6a ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦上均递增，则实数a 的取值范围是______．
20．将函数()y f x =图象右移6
π
个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到sin 3y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则6f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
______． 三、解答题
21．已知向量2(cos ,sin )m x a x =，(3,cos )n x =-，函数3()2
f x m n =⋅-. （1）若1a =，当[0,]2
x π∈时，求()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求方程3
()4
f x =-在区间[,]-ππ上的解. 22．已知函数31
()sin 2cos 24
f x x x =
+ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间50,
12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域. 23．已知m =(b sin x ，a cos x )，n =(cos x ，﹣cos x )，()f x m n a =⋅+，其中a ，b ，x ∈R .且满足()26
f π
=，(0)23f '=.
（1）求a 和b 的值；
（2）若关于x 的方程3()log 0f x k +=在区间[0，23
π
]上总有实数解，求实数k 的取值范围.
24．如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A ，点B ，P 在单位圆上，且525,B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，AOB α∠=.
（1）求
4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα
的值；
（2）若四边形OAQP 是平行四边形，
（i ）当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；
（ii ）设0)2(POA θθπ∠=≤≤，点(,)Q m n ，且()3f m n θ=+.求关于θ的函数()
f θ的解析式，并求其单调增区间. 25．已知02
a π
<<
，02
π
β<<
，4sin 5
α
，5
cos()13αβ+=. （1）求cos β的值；
（2）求2sin sin 2cos 21
αα
α+-的值.
26．已知函数2
()2sin )sin ()2f x x x x x ππ⎛⎫
=+-+
∈ ⎪⎝
⎭
R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间20,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】
A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12
倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π
个单位长度，得
到2sin 2+
=2sin 2+63y x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π
个单位长度，
得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26
333y x x x x πππππ⎛
⎫⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=---+=+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，正
确； C. 1C 向左平移
3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝
⎭，再把各点横坐标缩短到原来的
1
2倍，得到2sin 2+3y x π⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，正确；
D. 1C 向左平移
6π
个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
，错误. 故选：D
2．C
解析：C 【分析】 由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，可求得3
62
k ω=+
，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，所以
23
2
k π
π
ωπ⋅=+
，k Z ∈.得
362
k ω=+，k ∈N .
因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-
⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ
⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上递减，所以312πππω≥+且
5123
πππ
ω≥-， 解得1205
ω<≤.因此32ω=.
故选：C.
3．B
解析：B 【分析】
根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；
对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；
对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以
()f x 不具有周期性，故C 错误；
对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以
()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.
故选：B
4．C
解析：C 【分析】
先计算三角函数值得(1,P ，再根据三角函数的定义sin ,y
r r
α=
=
可. 【详解】
解：由题意得(1,P ，它与原点的距离2r ==，
所以sin 22
y r α===-
. 故选：C.
5．C
解析：C 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【详解】
解：由图象可得1A =，再根据3
513
4362
T =-=，可得2T =， 所以22
π
ωπ=
=， 再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯
+=∈，求得6πϕ=-， 故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. 故选：C.
6．D
解析：D 【分析】
根据()03
f =
，代入数据，结合ϕ的范围，即可求得ϕ的值，即可判断①的正误；根据对称中心为π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入公式，可解得ω的表达式，结合ω的范围，即可判断②的正误；根据()f x 解析式，结合x 的范围，即可验证③的正误；根据正切函数的周期公式，即可判断④的正误，即可得答案. 【详解】
对于①：由()0f =
知2tan ϕ=，即tan ϕ=π2ϕ<，解得
π
6
ϕ=．故①正确；
对于②：因为π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
为()f x 图象的一个对称中心，故πππ,1262k k Z ω+=∈，解得
62,k k Z ω=-∈，因为010ω<<，所以4ω=，故②错误；
对于③：当5ππ,243x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，π3π4π,62x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递
增，故③正确；
对于④：因为4ω=，所以()f x 的最小正周期π
4
T =，故④正确． 综上，正确的序号为①③④． 故选：D ．
7．A
解析：A 【分析】
根据诱导公式，可得cos α的值，根据同角三角函数的关系，结合α的范围，可求得
sin α的值，即可求得答案. 【详解】
因为3πin 3
25
s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=-，
所以4sin 5
α===±， 又0πα<<，所以α为第二象限角，所以4
sin 5
α 所以sin tan s 4
3
co ααα==-． 故选：A ．
8．B
解析：B 【分析】
先判断函数的奇偶性，然后计算特殊点的函数值确定选项. 【详解】
()()1
sin 2
f x x x f x -=-+=-，()f x ∴为奇函数，
∴图象关于原点对称，故排除A ，D ；
当π
2x =
时，ππ1024
f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C ． 故选：B. 【点睛】
根据函数解析式选择函数图象问题的一般可从以下几点入手： （1）判断函数的定义域；
（2）判断原函数的奇偶性，根据图象的对称性排除某些选项；
（3）代入特殊点求函数值，排除某些选项.
9．D
解析：D 【分析】
根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】
()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意；
π2sin 3y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的周期为2π，故B 不符合题意；
画出函数tan
2x y =的图象，易得函数tan 2
x
y =的周期为2π，故C 不符合题意； 2π2cos sin 2cos 21sin 22sin 214x x x x x ⎛
⎫+=++=++ ⎪⎝
⎭，周期为π，故D 符合题
意． 故选：D
10．A
解析：A 【分析】
先求解出sin 3y x πω⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
右移
6
π
个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出ω的可取值. 【详解】 因为sin 3y x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
右移
6π
个单位后得到sin 63y x ωππω⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭， 又因为sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭与cos sin 2y x x πωω⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭的图象重合，
所以令2,6
3
2
k k Z ωπ
π
π
π-
+
=
+∈，所以121,k k Z ω=--∈，
所以ω可取1-，此时0k =， 故选：A. 【点睛】
思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数ω或ϕ的思路： （1）先根据诱导公式将函数名统一； （2）然后分析三角函数初相之间的关系；
（3）对k 进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的ω或ϕ的值.
11．C
解析：C 【分析】
利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解． 【详解】
26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒
26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒
26tan 34tan 26tan 34)=︒︒+-︒︒
26tan3426tan34=︒︒︒︒
=
故选：C ．
12．B
解析：B 【分析】
根据函数图象得到3532,
41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T T
ππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
求解. 【详解】
由函数图象知：3532,41234
T A πππ
⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T T
π
πω==
=， 又函数图象过点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以 522,122
k k Z ππ
ϕπ⨯
+=+∈， 解得 2,3
k k Z π
ϕπ=-
∈，
又因为 0πϕ-<<，
所以3
π
ϕ=-
，
所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】求出在两个直角三角形中表示出再在直角梯形中建立等量关系解得【详解】首先山高为长度根据图可得∴解得故答案为：
解析：150
【分析】
PQ h =，求出CQ ，在两个直角三角形中表示出,BC AQ ，再在直角梯形AQCB 中建立
等量关系，解得h ． 【详解】
首先sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒
122224=
⨯-=
， cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin30︒=︒-︒=︒︒+︒︒
12=
+=
，
1tan 45tan 30tan 75tan(4530)21tan 45tan 303
+
︒+︒︒=︒+︒===+-︒︒ 山高h 为PQ 长度，根据图可得，
200sin1550CQ =︒=，
tan 60h AQ ==︒，
tan 75PC
BC =
︒
50h
-=
(
(250h =--
，
∴
(
(
250200cos15503
h h --+=︒=
，
解得150
h =
.
故答案为：150
.
14．【分析】由题意可得：利用已知条件可以求出利用即可求解【详解】因为角和角的始边均与轴正半轴重合终边互相垂直所以若角的终边与单位圆交于点所以则故答案为：
解析：1
3
±
【分析】
由题意可得：,2k k Z π
ϕθπ=++
∈，利用已知条件可以求出1
sin 3
θ=，利用 cos sin ϕθ=±即可求解.
【详解】
因为角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直， 所以,2
k k Z π
ϕθπ=++
∈，
若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，所以1sin 3
θ=， 则1cos sin 3
ϕ
θ=±=±
， 故答案为：13
±
15．0【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解【详解】由题意所以所以故答案为：0
解析：0 【分析】
由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解. 【详解】
由题意，()sin(2020)cos(2020)1sin cos()12020a b a b f παπβαβ++-++-=+=
sin cos 12a b αβ=++=，
所以sin cos 1αβ+=a b ，
所以()sin(2021)cos(202)201211f a b παπβ++-+=
sin()cos()1sin cos 1110a b a b παπβαβ==++-+-+=-+=-.
故答案为：0.
16．2【分析】由已知可得利用正切函数的和角公式即可求解【详解】因为所以则整理得所以故答案为：2
解析：2. 【分析】
由已知可得135A B +=︒，利用正切函数的和角公式即可求解. 【详解】 因为45C =︒， 所以135A B +=︒， 则tan tan tan()11tan tan A B
A B A B
++=
=--，
整理得tan tan tan tan 1A B A B +=-，
所以(1tan )(1tan )tan tan 1(tan tan )A B A B A B --=+-+，
tan tan 1(tan tan 1)A B A B =+--，
2=，
故答案为：2.
17．【分析】由图可得利用周期求出又函数过点解得进而得出函数的解析式【详解】由图可得：解得又函数过点则解得故答案为：
解析：sin 23x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
【分析】
由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，解得3π
ϕ=，进而得出函数的解
析式． 【详解】
由图可得：1A =，373
41264
T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫-
⎪⎝⎭
，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
故答案为：sin 23x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
18．【分析】由α是锐角求出的值再由β是锐角得出的值将角转化成利用两角和差的余弦公式化简计算并验证即可【详解】因为α是锐角所以因为β是锐角所以又所以所以当时此时即与矛盾舍去当时符合要求故答案为：【点睛】本
解析：
25
【分析】
由α是锐角，cos α=
求出sin α的值，再由β是锐角，()3sin 5αβ+=得出
()cos αβ+的值，将β角转化成()αβα+-，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验
证即可. 【详解】
因为α是锐角，cos 5α=，所以sin α==， 因为β是锐角，所以0αβ<+<π，
又()3sin 5αβ+=，所以()4cos 5αβ+==±， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++
当()4cos 5αβ+=
时， 43cos +55555
β=⨯⨯=，此时cos sin βα=，即2
π
αβ+=
，与()3
sin 5
αβ+=
矛盾，舍去，
当()4cos 5αβ+=-时， 43cos +555525
β=-⨯⨯=，符合要求.
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.
19．【分析】由的范围求出的范围结合正弦函数性质得不等关系【详解】时时由题意又解得故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性在中则的单调性与的单调性一致因此对一个区间我们只要求得的范围它应
解析：π7π,624⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
由x 的范围求出26
x π
+的范围，结合正弦函数性质得不等关系．
【详解】
0,3a x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，22,6636a x πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，7π4,6x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦时，528,662x a πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，
由题意23623862a a ππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，又03
746a a π⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得7624a ππ≤<．
故答案为：π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭
．
【点睛】
方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性，在sin()y A x ωϕ=+中，0,0A ω>>，则sin()y A x ωϕ=+的单调性与sin y x =的单调性一致，因此对一个区间[,]a b ，我们只要求
得x ωϕ+的范围，它应在sin y x =的单调区间内，那么sin()y A x ωϕ=+在[,]a b 上就有相同的单调性．这是一种整体思想的应用．
20．【分析】把的图象反过来变换可得的图象得然后再计算函数值【详解】把的图象上点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变得的图象再向左平移个单位得∴故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查三角函数的图象变换三角函数的图
解析：
2 【分析】 把sin 3y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象反过来变换可得()f x 的图象，得()f x ，然后再计算函数值． 【详解】 把sin 3y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象上点的横坐标缩小为原来的
1
2
，纵坐标不变得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再向左平移6π
个单位得sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
∴()sin 2f x x =．
sin 63f ππ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
【点睛】
结论点睛：本题考查三角函数的图象变换，三角函数的图象中注意周期变换与相位变换的顺序不同时，平移单位的变化．
()y f x =向右平移ϕ个单位，再把横坐标变为原来的
1
ω
倍得图象的解析式为
()y f x ωϕ=+，
而()y f x =的图象的横坐标变为原来的
1
ω
倍，纵坐标不变，所得图象再向右平移ϕ个单
位得图象的解析式为[]()y f
x ωϕ=+．
三、解答题
21．（1）[-；（2）75,1212
x ππ=±
±. 【分析】
（1）将()f x 化为()cos(2)6
f x x π
=+，然后可得答案； （2）由()f x 为偶函数可求出0a =，然后可得答案. 【详解】
（1）2()sin cos 2sin 2222
a f x x a x x x x =--=-
当1a =，1()cos 2sin 2cos(2)226
f x x x x π
=-=+
由7[0,
],2[,],cos(2)[1,2
66662
x x x π
π
πππ∈∴+
∈∴+∈-
所以()f x 的值域为[-
（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立
2sin 22sin 222
a a x x x x +=-成立，整理得sin 20,0a x a =∴=
所以由3()cos 224f x x =
=-得cos 22
x =-
又752[2,2],,1212
x x ππ
ππ∈-∴=±
± 22．（1）π；（2）10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）利用辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再利用周期公式即可求解； （2）由50,12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求出26x π+的范围，再利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】
（1）因为1111()2cos 2sin 2cos 2sin 24422226f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 所以()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=，
（2）因为5012
x π≤≤， 所以5026x π
≤≤
，所以266x πππ≤+≤
所以0sin 216x π⎛
⎫
≤+≤ ⎪⎝
⎭
， 所以110sin 2262x π⎛
⎫≤
+≤ ⎪⎝
⎭， 所以()f x 在区间50,
12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.
23．（1）2a =，b =2）1
[,1]27
. 【分析】
（1）化简函数()sin 2cos 2222b a a f x x x =
-+，由()26
f π
=，解得8a =，再由
(0)f '=，进而求得,a b 的值；
（2）由（1）化简得()2sin(2)16
f x x π
=-+，根据2[0,
]3
x π
∈，得到0()3f x ≤≤，结合方程3()log 0f x k +=在区间2[0,
]3
π
上总有实数解，转化为3()log f x k =-在区间2[0,
]3π
上成立，列出不等式，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数2()sin cos cos f x m n a b x x a x a =⋅+=-+
1cos 2sin 222b x x a a +=-+sin 2cos 2222
b a a x x =-+，
由()26
f π
=得，8a =，
因为()cos 2sin 2f x b x a x '=+，又(0)f '=，所以b =2a =.
（2）由（1）得()2cos 212sin(2)16
f x x x x π
=-+=-+，
因为2[0,]3x π
∈，所以72[,
]666
x πππ-∈-， 所以1sin(2)126
x π
-
≤-≤，所以02sin(2)136x π≤-+≤，即0()3f x ≤≤，
又因为方程3()log 0f x k +=在区间2[0,
]3
π
上总有实数解，
所以3()log f x k =-在区间2[0,
]3
π
上成立， 所以30log 3k ≤-≤，33log 0k -≤≤，3333log 3log log 1k -≤≤
所以
1127k ≤≤，所以实数k 的取值范围为1
[,1]27. 【点睛】
利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程()0f x =的根就是函数()f x 与x 轴的交点的横坐标，方程
()()f x g x =的根据就是函数()f x 和()g x 图象的交点的横坐标；
利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 24．（1）10-；（2）（i ）22(1)1x y -+=；（ii ）()2sin 16f πθθ⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
；增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【分析】
（1）由三角函数定义得tan 2α，再弦化切代入计算，即可求
4cos 3sin 5cos 3sin -+αα
αα
的
值；
（2）（i ）设PA 中点为H ，()11,P x y ，(),Q x y ，则22
111x y +=，111,2
2x y H +⎛⎫
⎪⎝⎭，由此可求点O 的轨迹方程；
（ii
）确定()cos 12sin 16f πθθθθ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭，即可求其单调增区间.
【详解】
解：（1
）由三角函数定义得tan 2α==-，
所以
44cos 3sin 5cos 3si 3tan 10
10tan 1
n 53αααααα-===-+--+.
（2）∵四边形OAQP 是平行四边形，∴PA 与OQ 互相平分，
（i ）设PA 中点为H ，()11,P x y ，(),Q x y ，
则22
11
1x y +=，111,2
2x y H +⎛⎫ ⎪⎝⎭，
又,22x y H ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以11
1x x y y =-⎧⎨=⎩，
代入上式得点Q 的轨迹方程为2
2
(1)1x y -+=. （ii ）因为0)2(POA θθπ∠=≤≤，所以11
cos sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩，
又由（i ）知111
x m y n =-⎧⎨
=⎩，∴
cos 1
sin m n θθ=+⎧⎨
=⎩
，
∴()cos 12sin 16f πθθθθ⎛
⎫
=+=+
+ ⎪⎝
⎭
∵22,26202k k k ππππθπθπ
⎧
-≤+≤+∈⎪⎨⎪≤≤⎩Z ， ∴03
π
θ≤≤或
423
π
θπ≤≤， ∴()f
θ的增区间为0,3π
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
和4,23ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
. 【点睛】
方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程. 25．（1）63
65
；（2）54-.
【分析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，sin()αβ+的值，进而根据
()βαβα=+-，利用两角差的余弦函数公式即可求解．
（2）利用二倍角公式可求sin 2α，cos2α的值，进而即可代入求解．
【详解】
（1）因为02π
α<<，4sin 5α
所以3cos 5α==
又因为02πβ<<，5cos()13
αβ+=
所以12sin()13αβ+==
所以[]
cos cos ()ββαα=+- cos()cos sin()sin βααβαα=+++
53124135135=⨯+⨯ 6365
= （2）因为3cos 5α=，4sin 5α 所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯
= 2237cos 22cos 12()1525
αα=-=⨯-=- 所以22
424()sin sin 255257cos 214125
ααα++==---- 【点睛】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．
26．（1）最小正周期为π；（2）单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z ；（3）[0,3].
【分析】
（1）逆用二倍角公式化简整理可得()2sin 216f x x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭
，再利用2T ωπ=即可求得()f x 的最小正周期； （2）令26
z x π
=-，利用函数2sin 1y z =+的图像与性质，列出不等式，即可求得()
f x 的单调递减区间；
（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，结合正弦函数的图像与性质，即可求得()f x 的取值范围.
【详解】
（1）由已知可得
()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭. 所以()f x 的最小正周期为22T ππ=
=. （2）令26z x π
=-，
函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦，k ∈Z . 所以
3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z 得536
k x k π
πππ+≤≤+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦，k ∈Z . （3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 所以()[0,3]f x ∈，
即()f x 在区间20,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[0,3]. 【点睛】
本题考查二倍角公式的逆用，辅助角公式的应用，正弦型函数的单调区间、周期和值域问题，综合性较强，考查计算化简，数形结合的能力，考查整体性的思想，属基础题.。