作差法解题

比较两个数的大小时，经常会用到“作差法”。

“作差法”的原理非常简单，即
不要小看“作差法”，作差法可以解决大问题.
请看下面的问题
例1.已知M=x2-3x-2，N=x2-4x-1，比较M与N的大小.
解：∵M-N=(x2-3x-2)-(x2-4x-1) =x2-3x-2-x2+4x+1=x-1，
∴当x>1时，M>N，
当x=1时，M=N，
当x<1时，M<N.
例2.已知a1,a2,…a1999都是正数，M=(a1+a2+…a1998)(a2+a3+…+a1999)，
N=(a1+a2+…+a1999)(a2+a3+…+a1998)，试比较M、N.
解：设a1+a2+…+a1998=x，a2+…+a1998=y
∴M-N=x(y+a1999)-(x+a1999)y=xy+a1999·x-xy-a1999·y=a1999·(x-y) =a1999·a1.
∵a1999，a1均为正数，
∴M-N=a1999·a1>0.
∴M>N.
例3.某游泳馆对学生在寒假期间优惠开放，发售A、B两种优惠票卡，A卡每次打75折，B卡第一次按原票价，但从第二次起，每次打7折，请问游泳的同学购买哪一种票卡更合算？
解：设原票价每张a元，游泳b次，则用A卡购票总支出为：
0.75ab元（1）
用B卡购票总支出为：
a+0.7a(b-1)元（2）
（1）-（2）得
0.75ab-[a+0.7a(b-1)]=0.75ab-a-0.7ab+0.7a=0.05ab-0.3a=0.05a(b-6).
当b=6时，即游泳6次时，两卡一样，
当1≤b<6时，用A卡合算，
当b>6时，用B卡合算.
从以上三个小题中，你一定对“作差法”的作用有所体会了吧！
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