20171125高考复习专题9立体几何

第9讲 立体几何
一、填空题
1、正四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于
E
C
D
P
A
B
2、圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为
3、如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为
半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、
EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为
4、右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，
MN 与CG 所成角的大小为 .
5、已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23
π的扇形，则该圆锥体的表面积是
6、若圆锥的侧面积是底面积的4倍，则其母线与轴所成角的大小是____________（结果用反三角函数值表示）．
7、如图所示，在长方体ABCD –EFGH 中，AD =2，AB=AE=1，M 为矩形AEHD 内的一点，如果∠MGF =∠MGH ，MG 和平面EFG 所成角的正切值为
1
2
，那么点M 到平面EFGH 的距离是
▲
A
B
C
N
E
G
M D
F
8、如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为
6
π
，则该四棱锥的体积是 .
9、如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .
10、如图，正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则直线C B 1与底面ABC 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）
.
11、在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60︒，则1BC 与AC 所成的角为 （结果用反三角函数表示）．
12、若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD
与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）
13、如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是
P
A
B
C
D
E
A B
C
D P
二、选择题
1、在空间中，设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊂≠，n β⊂≠，则下列命题正
确的是 （ ）
A ．若n m //，则βα//
B ．若m 、n 异面，则α、β平行
C ．若m 、n 相交，则α、β相交
D ．若n m ⊥，则βα⊥
2、设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是（ ）. （A ）若,,a b a b αα⊥⊥⊄ ，则b //α （B ）若,,a b a b αβ⊥⊥⊥ ，则αβ⊥ （C ）若,a βαβ⊥⊥ ，则a //α或 a α≠
⊂ （D ）若 a //,ααβ⊥ ，则a β⊥
3、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推
出m β⊥的是 （ ）
（A ）αβ⊥且m α⊂≠
（B ）αβ⊥且α//m
（C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β
三、解答题
1、如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1所成角的大小为2
1
arctan
，求正四棱柱1111D C B A ABCD -的体积.
2、如图，在四棱锥P ABCD -的底面梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AB =，3AD =，45ADC ∠=︒．又已知PA ⊥平面ABCD ，1PA =．
求：（1）异面直线PB 与CD 所成角的大小. （2）四棱锥P ABCD -的体积．
P
D
C
B
A 第26题
3、如图，四棱锥P ABCD -的侧棱都相等，底面ABCD 是正方形，O 为对角线AC 、BD 的交点，
PO OA =，求直线PA 与面ABCD 所成的角的大小．
4、一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的
3
16
，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r . （1）试确定R 与r 的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比； （2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.
5、在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示． (1)求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)； (2)求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积．
P
A
B
C
D O
A
B
O
1
O R
r
6、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，21===AA AC AB ，点E 、F 分别为棱
AC 与11B A 的中点．
（1）求三棱锥11EFC A -的体积；
（2）求异面直线C A 1与EF 所成角的大小．
7、如图，在四棱锥P –ABCD 的底面梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB =2，AD=3，∠ADC =45︒.已知P A ⊥平面ABCD ，P A =1．
求：(1)异面直线PD 与AC 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示)；
(2)三棱锥C –APD 的体积．
8、如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2==AD AB ，41=AA ，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N . （1）设x AP =，将PN 长表示为x 的函数；
（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11C A 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）
F C
A
E
B
A 1
C 1
B 1
P D
C
B
A
A B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
M
N
D
C
B
A
D 1
A 1
C 1B 1
M
第11题图
9、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，
14CC =，M 为棱1CC 上一点.
（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值； （2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .
10、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。

如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
2
3
(细管长度忽略不计)． （1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm 3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？
（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm ）．
h
23
h
11、如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60︒，求：
（1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积。

A1A
C1
C
B1
B
D1
D
12、如图：三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为
3
π
．若M 是BC 的中点，求： （1）三棱锥ABC P -的体积；
（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
M
A B
C
P
参考答案
一、填空题 1、
33 2、π103 3、32π 4、3arccos 3
5、36p
6、41arcsin
7、22
8、21
9、
42arccos
（7arctan ） 10、21arctan 11、2arccos 4
12、arctan 5 13、0
60
二、选择题 1、C 2、D 3、C
三、解答题 1、
所成的角、为C B AA B CB BB AA 1111
1//∠∴
且21tan 1=∠B CB
………………………………………4分
2
=BC
4
1=∴BB ………………………………6分
16
==∴sh V ………………………8分 2、解：（1）在梯形ABCD 中，过B 作CD BE //，交AD 于E ，则PBE ∠就是异面直线PB 与CD 所成
角。

计算得：AE=AB=1，连PE ，则AP=AB=AE ， 所以，3
π
=
∠PBE ，即异面直线PD 与AC 所成角的大小为
3
π。

（2）BC=2 25=ABCD S Sh V 31==6
5 3、ABCD 为正方形，O ∴为AC 、BD 的中点，
又
,,,PA PC PB PD PO AC PO BD ==∴⊥⊥， 2分
因为AC 与BD 交于一点O ，
PO ∴⊥平面ABCD ， 4分 PAO ∠∴为直线PA 与平面ABCD 所成的角， 5分 在Rt PAO PA PO ∆=中， 45PAO ∴∠=︒， 6分
所以直线PA 与平面ABCD 所成的角为45︒． 7分
4、（1）解：2
23416r R ππ=
⨯，3
2
r R =；::3:1V V h h ==大小大小； （2）解：222323
21143():()::3338
h r V V V r h r h R r h R R R πππ+=+==⋅
=小大小球大小小； 5、解(1)联结AC ，在长方体1111ABCD A BC D -中，有AC
EF .
又1CAC ∠是直角三角形1ACC 的一个锐角，
∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角. 由14,3AB AA BC ===，可算得225AC AB BC =+=.
∴114tan 5CC CAC AC ∠=
=，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4
arctan 5
. (理) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等．
∴11
3P AEF AEF V S AA -∆=
⋅． ∵1133
22222AEF S AE BF ∆=⋅=⋅⋅=，
∴1113
=4=2332
P AEF AEF V S AA -∆=⋅⋅⋅．
6、（1）3
2
21313111111111111=⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--AA F A C A AA S V V FC A FC A E EFC A ． ……（5分）
（参考答案只给出最后结果，如果结果错误，可视中间步骤适当给分）
（2）取1AA 中点G ，联结EG ，FG ，则EG ∥C A 1， ………（1分） 所以，FEG ∠是异面直线C A 1与EF 所成的角（或其补角）， …………（2分） 在△EFG 中，2=
=FG EG ，6=EF ， ………………………（4分）
所以，2
3
2cos 222=
⋅⋅-+=∠EG EF FG EF EG FEG ，故6π=∠FEG ． ……（6分） 所以，异面直线C A 1与EF 所成角的大小为6
π
． ………………………（7分）
7、解：(1) 过点C 作CF ∥AB 交AD 于点F ，延长BC 至E ，使得CE=AD ，连接DE ，则AC ∥DE ，所以∠PDE 就是异面直线PD 与AC 所成的角或其补角，………………2分
因为∠ADC =45︒，所以FD=2，从而BC=AF =1，且DE=AC=5，AE=20，PE=21，PD=10，
在△PDE 中，10
23cos -=∠PDE ，所以，异面直线PD 与AC 所成角
的大小为10
2
3arccos
…………………………………………8分 (2) 因为V C –APD =V P –ACD ， S △ACD =
2
1
⨯CF ⨯AD =3 P A ⊥底面ABCD ，三棱锥P –ACD 的高为P A =1，V P –ACD =
3
1
⨯ S △ACD ⨯ P A =1， 所以，三棱锥C –APD 的体积为1.……………………………………………14分
P D C
B
A F
E
8、（1）在△APM 中，5
52x
PM =
，55x AM =； ………………………（ 2分）
其中520<<x ； ………………………（ 3分） 在△MND 中，)5
5
2(22x MN -=
， …………………………（ 4分） 在△PMN 中，25
52109PN 2+-=x x ，)52,0(∈x ……………………………（ 6分） （2）当952=
x )52,0(∈时，PN 最小，此时3
4
=PN ．……………………………（8分） 因为在底面ABCD 中，BD AC B M ⊥⊥,D N ，所以AC MN //，又AC C A //11，∠PNM 为异面直线PN 与11C A 所成角的平面角，…………………（ 11分）
在△PMN 中，∠PMN 为直角，42tan =
∠PNM ，所以42
arctan =∠PNM ， 异面直线PN 与11C A 所成角的大小42arctan （或3
1
arcsin 等）……………（ 14分）
9、解:（1）由题意，1111,2C M B C BC ===，111B C C M ⊥，得15B M =………… 1分
1111//A B C D ，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为1A M 和11A B 所成角 ………… 3分
长方体1111ABCD A B C D -中，
1111111A B B C A B B B ⊥⊥，，11A B ∴⊥面11B BCC ，
111A B B M ∴⊥，故可得11B A M ∠为锐角且111115
tan 2
B M B A M B A ∠=
=
…………………… 6分 （2）由题意，112BC B C ==，12C M =，14CC =2CM ∴=
22211BB BM B M =+，190BMB ∴∠=，即1BM B M ⊥ ……………………………… 8分
又由11A B ⊥面11B BCC 可得11A B BM ⊥ ………………………………………… 10分 故BM ⊥平面11A B M . ………………………………………………………………12分 10、解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为216833H =
⨯=，底面半径为28
433
r =⨯=……………2分 2
211816
3333
V r H ππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭39.71……………5分
198602.0=÷V （秒）
所以，沙全部漏入下部约需1986秒。

……………7分
h
23
h
超级名师工作室
（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，……………9分 设高为H '
2110244381
V H ππ'=⨯⨯=……………12分 64 2.37 2.427
H '==≈ 锥形沙堆的高度约为2.4cm. ……………14分22． 11、解：（1）
//AD BC ， ∴1CBC ∠为异面直线AD 与1BC 所成角，∴160CBC ∠=︒ …………2分 正四棱柱1111ABCD A B C D -，111//A B ABCD BB ABCD ∴⊥面，面 1BB ∴线段的长为线段1A 1B 到底面ABCD 的距离， …………4分 1RT BCC ∆中，1BC =，160CBC ∠=︒，113BB CC ∴== 线段1A 1B 到底面ABCD 的距离为3 …………6分 （2）1111--=B ABC A BB C V V …………8分
1111332⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
…………10分 36=
…………12分 12、（1）因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π 所以 3π
=∠PBA ………2分 因为2=AB ，所以32=PB …………4分 23244
33131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA S V ABC ABC P ………………6分 （2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN // 所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角 ………………7分 计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ………………9分 10
1515213
151cos =-+=∠PMN ………………11分 异面直线PM 与AC 所成的角为1015arccos
………………12分。