蒙日圆圆锥曲线的圆问题整理去答案

椭圆中的若干个同心圆的探究
引题（2019年11月温州一模）如图，P为椭圆和存+ £-1（心心0）上的一动点，过点P作椭圆</■ /?"£.:^ + ^ = 4（0<2<1）的两条切线E4, PB,斜率分别为总・若为定值，则心（）a~ h~
B.逼
4
f蒙日圆
例I、（广东商考第2。

题）已知椭圆C手+善+—>0）的-个焦点为（点0）,离心率；4
⑴求椭圆C的标准方程；
（2）若动点PgJb）为椭圆C外一点，且点F到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
这道高考题的背景就是蒙日圆・
普通高中课程标准实验教科书《数学2 •必修• A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8 次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G. Monge, 1745-1818)作了介绍.以上离考题第(2)问的一般情形是定理1曲线r：4 + 4 = *的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆＜+r=tr+/r.
a- ir
推论⑴双曲吟-召十宀。

)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆宀宀宀几
(2)抛物线r = 2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.
定理2⑴椭畤+讣"＞心。

)的两条斜率之积是-*的切线交点的轨迹方程吟+『2；
2 2 ＞2 2 2
⑵双曲线厂产SOQ。

)的两条斜率之积是疋的切线交点的轨迹方程是厂产2.
例2.在直角坐标系中，曲线G的点均在G： G-5)2 + y2=9外，且对G上任意一点氐M到直线XA2的
距离等于该点与圆G上点的距离的最小值•
(1)求曲线C|的方程;
(2)设P为圆G外一点，过P作圆C的两条切线，分别与曲线q相交于A. B和C、D.证明：当P在直
线XA4上运动时，四点A、Bs C、D的纵坐标之积为定值。

例3.(北京高考)己知0O:x- + y- = \.若直线y = kx + 2上总存在点几使得过点P的0。

的两条切线互相垂直，则实数£的取值范围是.
ah
定理3：已知椭圆口汀Fsz上有两点P、Q,且"丄。

0则两+两为定儆推论：抛物线y-=2px上有两点P、Q,且OP丄O0 则PQ通过定点。

（双曲线有类似的性质）
、r=a的圆
1 1
定”已知椭圆C：尹上有两焦点分别为7心P为椭圆上的动点，当点P不在X 轴上时，过仟作乙F'PF?的外角平分线斤M ,垂足为M.则点H的轨迹方程为/ + r = «
推讼已知椭圆C：务+Fs"。

）上有两焦点分别为7检为椭圆上的动点，是以弘为宜径的圆，则当圆总是与圆%- + y-=tr相切。