人教版初二数学全等三角形角平分线辅助综合模拟测评检测试题(1)

人教版初二数学全等三角形角平分线辅助综合模拟测评检测试题(1)
一、全等三角形角平分线辅助
1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,)a ，点B 的坐标(,0)b 且a ，b 满足212360a a a b -++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）如图（1），点C 为x 轴负半轴一动点，OC OB <，BD AC ⊥于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分CDB ∠．
（3）如图（2），点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，AFH FBG S S -△△的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．
2．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．
（1）求证：CD 平分ACB ∠；
（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；
（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．
3．（特例感知） （1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离． （类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．
（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，72BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．
4．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角∠DCM 的平分线CF 于点F ．
（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．
①AE=EF 是否一定成立？说出你的理由；
②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax 2+x+c 经过A 、D 两点，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在此抛物线上，求此时点F 的坐标．
5．如图，∠D ＝∠C ＝90°，点E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB ，∠DEA ＝28°，求∠ABE 的大小．
6．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于点D ，试说明：BF ＝2CD ．
7．如图所示，90B C ∠=∠=，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠．
（1）求证：AE 是DAB ∠的平分线；（2）若2cm,BAD=60CD =∠，求AD 的长．
8．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：
180B D ∠+∠=．
9．如图，在四边形OACB 中，CE OA ⊥于E ，12∠=∠，CA CB =.求证：34180∠+∠=︒；2OA OB OE +=.
10．如图，已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB=AD ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于E.求证：AB+AC=2AE.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、全等三角形角平分线辅助
1．（1）6(0)A ，
，0(6)B ，；（2）证明见解析；（3）不变化，9AFH FBG S S -=．
【分析】
（1）由非负性可求a ，b 的值，即可求A 、B 两点的坐标；
（2）过点O 作OM BD ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）由于点F 是等腰直角三角形AOB 的斜边的中点，所以连接OF ，得出
OF =BF ．∠BFO =∠GFH ，进而得出∠OFH =∠BFG ，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．
【详解】
解：（1）∵212360a a a b ++--＝
∴2(6)0a a b -+-＝，
∴600
a a
b -=⎧⎨-=⎩ ，即6a b ==． ∴6(0)A ，
，0(6)B ，． （2）如图，过点O 作OM BD ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，
根据题意可知=90ACO CAO ∠+∠︒．
∵BD AC ⊥，
∴=90BCD CBE ∠+∠︒，
∴=CAO CBE ∠∠．
∵6(0)A ，
，0(6)B ，， ∴OA ＝OB ＝6．
在AOC △和BOE △中，90CAO EBO OA OB AOC BOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴AOC BOE ASA ≅（）
．
∴OE OC ＝，AC BE ＝ ，=AOC BOE S S ． ∴1122
AC ON BE OM =， ∴＝OM ON ，
∴点O 一定在∠CDB 的角平分线上，
即OD 平分∠CDB ．
（3）如图，连接OF ，
∵AOB 是等腰直角三角形且点F 为AB 的中点，
∴OF AB ⊥，OF FB ＝，OF 平分∠AOB ．
∴90OFB OFH HFB ∠∠+∠︒＝＝．
又∵FG FH ⊥，
∴90HFG BFG HFB ∠=∠+∠=︒，
∴OFH BFG ∠∠＝．
∵1452
FOB AOB ∠=∠=︒， ∴4590135FOH FOB HOB ∠=∠+∠=︒+︒=︒．
又∵180********FBG ABO ∠=︒-∠=︒︒=︒﹣， ∴FOH FBG ∠=∠．
在FOH △和FBG △中OFH BFG OF BF FOH FBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴FOH FBG ASA ≅（）
．
∴FOH FBG S S ＝， ∴11116692224AFH FBG AFH
FOH FOA AOB S S S S OA OB S S -====⨯=⨯⨯=﹣． 故不发生变化，且9AFH FBG S
S -=．
【点睛】 本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；
（2）作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠，通过证明SQD TFD △≌△和QDP FDP △≌△得到22.5PDC PCD ∠=∠=︒，从而根据等角对等边判断即可；
（3）延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ，通过证明AFC AFM △≌△得到AC AM =，再结合CE EB =即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，
∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，
∴DG DH DK ==，
∴CD 平分ACB ∠；
（2）证明：如图，作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠． ∵CD 平分ACB ∠，
∴DS DT =，
∵67.5QDP FDP ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，
∴13545180QDF ACB ∠+∠=︒+︒=︒，
在四边形QDFC 中，180CQD DFC ∠+∠=︒，
又∵180DFT DFC ∠+∠=︒，
∴CQD DFT ∠=∠，
在SQD 和TFD △中，
90CQD DFT DS DT
DSQ DTF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴SQD TFD △≌△，
∴QD FD =，
在QDP △和FDP 中
QD FD QDP FDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴QDP FDP △≌△，
∴45QPD FPD ∠=∠=︒
又∵QPD PCD PDC ∠=∠+∠，22.5PCD ∠=︒，
∴22.5PDC PCD ∠=∠=︒，
∴CP PD =；
（3）证明：延长AB 至M ，使BM
BF =，连接FM ． ∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线， ∴22180BAF ABE C ∠+∠+∠=︒，
又∵23180BAF ABE ∠+∠=︒，
∴C ABE CBE ∠=∠=∠，
∴CE EB =，
∵BM BF =，
∴BFM BMF ABE CBE C ∠=∠=∠=∠=∠，
在AFC △和AFM △中，
C BMF CAF BAF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴AFC AFM △≌△，
∴AC AM =，
∴AE CE AB BM +=+，
∴AE BE AB BF +=+，
∴BE BF AB AE -=-．
【点睛】
本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．
3．（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（3）5． 【分析】 （1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题； （2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；
（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842
AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；
【详解】
解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．
图①
BD 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，
DF DE ∴=，
BC 是直径，
90BDC ∴∠=︒，
2222435BC BD CD ∴=++=，
11
22
BC DE BD DC =，
125DE ∴=
， 125
DF DE =∴=． 故答案为125 （2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．
图②
理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ．
BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，
DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，
180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC EDF ∠+∠=︒，
ADC EDF ∴∠=∠，
FDA CDE ∴∠=∠，
90DFA DEC ∠=∠=︒，
()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，
AF CE ∴=，
BD BD =，DF DE =，
Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，
BF BE ∴=，
2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．
（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．
图③
72BD =，
∴正方形BEDF 的边长为7，
由（2）可知：28BC BE AB =-=， 226810AC ∴=+=， 由切线长定理可知：610842
AN +-==， 541ON ∴=-=，
设内切圆的半径为r ，
则
11111068682222
r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ， 即2MN =，
在Rt OMN ∆中，2222215OM MN ON =+=+=．
故答案为5．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．（1）见解析；（2）①见解析；②点F 的坐标为F （
，）
【解析】
试题分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB ，而E 是BC 中点，从而只需取AB 点G ，连接EG ，则有AG=CE ，BG=BE ，∠AGE=∠ECF ，易得△AGE ≌△ECF ；
（2）①由于AB=BC ，所以只要AG=EC 就有BG=BE ，就同样可得△AGE ≌△ECF ，于是截取AG=EC ，证全等即可；
②根据A 、D 两点的坐标求出抛物线解析式，设出F 点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将F 点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标．
解：（1）如图1，取AB 的中点G ，连接EG ．△AGE ≌△ECF ．
（2）①若点E 在线段BC 上滑动时AE=EF 总成立．
证明：如图2，在AB 上截取AG=EC ．
∵AB=BC，
∴BG=BE，
∴△GBE是等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°﹣45°=135°，
∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF．
②由题意可知抛物线经过A（0，1），D（1，1）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，
过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a﹣1，
∴点F的坐标为F（a，a﹣1），
∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，
∴a﹣1=﹣a2+a+1，
∴a=（负值不合题意，舍去），
点F的坐标为F（，）.
考点：二次函数综合题．
5．28°
【分析】
过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．
【详解】
如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
【点睛】
考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．
6．见解析
【分析】
作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD 平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．
【详解】
解：取BF的中点E，连接AE，AD，
∵∠BAC＝90°，
∴AE＝BE＝EF，
∴∠ABD ＝∠BAE ，
∵CD ⊥BD ，
∴A ，B ，C ，D 四点共圆，
∴∠DAC ＝∠DBC ，
∵BF 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠DBC ，
∴∠DAC ＝∠BAE ，
∴∠EAD ＝90°，
∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝45°，
∴∠ABD ＝∠DBC ＝22.5°，
∴∠AED ＝45°，
∴AE ＝AD ，
在△ABE 与△ADC 中，
ABE DAC BAE ACD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ADC ，
∴BE ＝CD ，
∴BF ＝2CD ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．（1）详见解析；（2）8cm.
【解析】
【分析】
（1）过点E 分别作EF AD ⊥于F ，由角平分线的性质就可以得出EF=EC ，根据HL 得AEB AEF ∆∆≌，即可得出结论；
（2）根据角平分线和平行线的性质求出30CED DAE ∠=∠=︒ ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.
【详解】
（1）证明：过点E 分别作EF AD ⊥于F ，
∴∠DFE=∠AFE=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．
∴CB ⊥AB ，CB ⊥CD ．
∵DE 平分∠ADC ．
∴∠EDC=∠EDF ，CE=EF ．
∵E 是BC 的中点，
∴CE=BE ，
∴BE=EF ．
在Rt △AEB 和Rt △AEF 中，
EB=EF AE=AE ⎧⎨⎩
， ∴Rt △AEB ≌Rt △AEF （HL ），
∴∠EAB=∠EAF ，
∴AE 是∠DAB 的平分线；
（2）解：∵∠B=∠C=90°，
∴AB ∥CD ，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=60°，DE 平分ADC ∠，AE 是∠DAB 的平分线，
60ADE CDE ∠=∠=︒∴ ，30DAE ∠=︒ ，A 90DE =︒∠，
∵∠C=90°
∴ A 30D E =︒∠，C 30DE =︒∠ ，
248AD DE CD cm ∴===.
故答案为（1）详见解析；（2）8cm.
【点睛】
本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键．
8．详见解析
【解析】
【分析】
过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出△CDF ≌△CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．
【详解】
证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，
∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF AD ⊥于F ，
∴CF=CE ，
在Rt △CDF 与Rt △CEB 中，CF=CE CD=CB ⎧⎨
⎩
∴CBE CDF ∆∆≌， CBE CDF ∴∠=∠，
180ADC CDF ∠+∠=︒，
A C 180
B D ∴∠+∠=︒ .
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△CDF ≌△CEB 进而得出∠B=∠FDC ．
9．详见解析
【分析】
过点C 向OA 、OB 作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.
【详解】
如图，过点C 作CF OB ⊥与点F ，则∠F=∠CEO=90°，
12∠=∠，OC=OC ，
FOC EOC ∴∆≅∆，
CE CF ∴=，OE OF =，
CA CB =，90CEA CFB ∠=∠=︒，
()R t t CAE R CBF HL ∴∆≅，
4CBF ∴∠=∠，AE BF =，
∵3180CBF ∠+∠=︒，34180∴∠+∠=︒，
()()2OA OB OE AE OF BF OE OF OE ∴+=++-=+=.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键. 10．详见解析
【分析】
延长AE 到M ，使ME=AE ，连接CM ，求出AC=CM ，求出DM=MC ，即可得出答案．
【详解】
延长AE 到M ，使ME=AE ，连接CM ，
则AM=2AE ，
∵CE ⊥AE ，
∴AC=CM，
∴∠M=∠CAD=∠DAB，
∴AB∥MC，
∴∠B=∠MCD，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠ADB=∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MC=MD，
∴AM=2AE=AD+MD=AB+AC，
即AB+AC=2AE.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出DE=EC，有一定的难度．。