高考数学复习空间向量与立体几何省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件

|mn
| m .|| n
| |
(2)直线与平面所成角:设直线AB与平面α所成角为θ,平面α法向
量为n,则有sin
θ=|cos<
A,Bn>|=
| A.B注 n意| ,直线和平面所成角取值
| AB || n |
范围为
0,
π.
2
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(3)二面角:设二面角平面角为θ,两个半平面法向量分别为m,n,求出 cos<m,n>= | mm|,|依nn |据图形判断θ是锐角、直角,还是钝角,从而得出θ与 <m,n>是相等还是互补.
2>或θ=π-<n1,n2>(需要依据详细情况判断相等或互补),其中cos<1 | | n2 |
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方法技巧
方法 用空间向量求解空间角方法
用空间向量求角大小惯用方法:
(1)线线角:设两异面直线a,b所成角为θ,m,n分别是a,b方向向量,则
有cos
θ=|cos<m,n>|=
解析 (1)因为PA⊥平面ABCD,且AB,AD⊂平面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AD,
又因为∠BAD=90°,所以PA,AB,AD两两相互垂直.
以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),
高考数学
第十七章 空间向量与立体几何
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知识清单
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2.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); λa=(λa1,λa2,λa3); a·b=① a1b1+a2b2+a3b3 ; a∥b(b≠0)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3; a⊥b⇔② a1b1+a2b2+a3b3=0 . 3.设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则 AB=③ (x2-x1,y2-y1,z2-z1) . 这就是说,一个向量在空间直角坐标系中坐标等于表示这个向量有 向线段终点坐标减起点坐标.
M=N(-1,λ-1,-2),
易得
BC=(0,2,0),
P=B(2,0,-4),
设平面PBC法向量m=(x,y,z),
则
m
B即C
0,
m PB 0,
2y 0, 2x 4z 0.
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令x=2,解得y=0,z=1,
所以m=(2,0,1)是平面PBC一个法向量.
因为直线MN与平面PBC所成角正弦值为 4,
|n|
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(2)线面距离转化为点面距离; (3)面面距离转化为点面距离; (4)异面直线距离公式:设n为异面直线l1、l2公垂线上方向向量,a 为l1、l2上两点连线向量(a与n不共线),d为l1、l2距离,则d=|a||cos
<a,n>|= | a n. |
|n|
6.空间角计算 (1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2方向向量,θ为异
(2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则|
AB|=
=A④B
AB
,这就(x是1 空x2间)2 两(y1 y2 )2 (z1 z2 )2
点间距离公式. 5.空间距离 (1)点面距离公式:P为平面α外一点,a、n分别为平面α斜向量 (OOP∈
α)和法向量,d为P到α距离,则d=|a|·|cos<a,n>|= |;a n |
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例 (江苏苏北四市期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=∠BAD=90°, AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC中点. (1)求异面直线AP,BM所成角余弦值; (2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角正弦值为 4 ,求λ值.
5
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面直线所成角,则cos θ=|cos <a,b>|=⑤
|ab|
| a || b |.
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(2)线面角公式:设l为平面α斜线,a为l方向向量,n为平面α法向量,θ
为l与α成角,则sin θ=|cos<a,n>|=
| a n |
|.a || n |
(3)面面角公式:设n1、n2分别为平面α、β法向量,二面角为θ,则θ=<n1,n
5
所以|cos<
M,Nm>|=
| M=N m=|
| MN || m |
, | 2 2 |
5 (λ 1)2 5
4 5
解得λ=1,所以λ值为1.
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4.两个向量夹角及两点间距离公式
(1)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|= a=2 , a12 a22 a32 |b|= b=2 , b12 b22 b32
cos<a,b>= (aa1b,b1 ≠ a02)b.2 a3b3
a12
a
2 2
a
2 3
b12 b22 b32
因为M为PC中点,所以M(1,1,2).
则
BM=(-1,1,2),
A=P(0,0,4),
所以cos<
AP,
B>M=
=AP B=M , 0 (1) 0 1 4 2 6
| AP || BM |
4 6
3
所以异面直线AP,BM所成角余弦值为 . 6
3
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(2)因为AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则