二项分布与正态分布 练习题
高中数学：二项分布、正态分布及其应用练习
高中数学:二项分布、正态分布及其应用练习1．设X ～N (μ1,σ21),Y ～N (μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( C )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ,P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ,P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) 解析:由题图可知μ1<0<μ2,σ1<σ2, ∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1),故A 错 ； P (X ≥σ2)>P (X ≤σ1),故B 错； 当t 为任意正数时,由题图可知 P (X ≤t )≥P (Y ≤t ),而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t ),P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t ), ∴P (X ≥t )≤P (Y ≥t ),故C 正确,D 错．2．(福建厦门模拟)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( D )A.25B.35C.18125D.54125解析:袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率P 1＝35,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125. 3．(河北唐山模拟)甲乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是( D )A.29 B.49C.23 D.79解析:甲不跑第一棒共有A13·A33＝18种情况,甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类:(1)乙跑第一棒,共有A33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒,共有A12·A12·A22＝8种情况,∴甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D.4．(山东淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X～N(800,502)．则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为(A)(参考数据:若X～N(μ,σ2),有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6,P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4,P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4)A．0.977 2 B．0.682 6C．0.997 4 D．0.954 4解析:∵X～N(800,502),∴P(700≤X≤900)＝0.954 4,∴P(X>900)＝1－0.954 42＝0.022 8,∴P(X≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.故选A.5．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位:分)．甲组:76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙组:82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B,则P(AB),P(A|B)的值分别是(A)A.14,59 B.14,49C.15,59 D.15,49解析:由题意知,P(AB)＝1020×510＝14,根据条件概率的计算公式得P(A|B)＝P(AB)P(B)＝14920＝59.6．为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设,则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析:记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ,B i ,C i ,i ＝1,2,3.由题意,事件A i ,B i ,C i (i ＝1,2,3)相互独立,则P (A i )＝3060＝12,P (B i )＝2060＝13,P (C i )＝1060＝16,i ＝1,2,3,故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.7．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是516.解析:由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P 必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516. 8．(江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为35.解析:口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,设事件A 表示“第一次取得红球”,事件B 表示“第二次取得白球”,则P (A )＝26＝13,P (AB )＝26×35＝15,∴第一次取得红球后,第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1513＝35.9.如图,四边形EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”,则P (B |A )＝14.解析:由题意可得,事件A发生的概率P(A)＝S正方形EFGHS圆O＝2×2π×12＝2π.事件AB表示“豆子落在△EOH内”,则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π,故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝12π2π＝14.10．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为3 8.解析:设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝12,∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B＋A B＋AB)C,∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P＝⎝⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.11．(2014·新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布,求P(187.8＜Z＜212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果,求E(X)．附:150≈12.2.若Z～N(μ,σ2),则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6,P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4.解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200,s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(ⅰ)由(1)知,Z～N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6,依题意知X～B(100,0.682 6),所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.12．(广东顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列．(1)求a ,b ,c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应将w 定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的月用水量,将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ,求其分布列及均值．解:(1)∵前四组频数成等差数列, ∴所对应的频率组距也成等差数列,设a ＝0.2＋d ,b ＝0.2＋2d ,c ＝0.2＋3d ,∴0.5(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1, 解得d ＝0.1,∴a ＝0.3,b ＝0.4,c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25. (2)由题图及(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8, ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米, 应规定w ＝2.5＋0.10.15×0.5≈2.83.(3)将频率视为概率,设A (单位:立方米)代表居民月用水量, 可知P (A ≤2.5)＝0.7, 由题意,X ～B (3,0.7),P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027, P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189, P (X ＝2)＝C 23×0.3×0.72＝0.441, P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343.∴X 的分布列为X12 3P 0.0270.1890.4410.343∵X～B(3,0.7),∴E(X)＝np＝2.1.13．(广东茂名一模)设X～N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是(D)(注:若X～N(μ,σ2),则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%,P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.44%)A．7 539 B．6 038C．7 028 D．6 587解析:∵X～N(1,1),∴μ＝1,σ＝1.∵P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%,∴P(0<X<2)＝68.26%,则P(1<X<2)＝34.13%,∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D.14．(金华一中模拟)春节放假,甲回老家过节的概率为13,乙、丙回老家过节的概率分别为14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为(B)A.5960 B.35C.12 D.160解析:“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A,B,C,则P(A)＝13,P(B)＝14,P(C)＝15,所以P(A)＝23,P(B)＝34,P(C)＝45.由题知A,B,C为相互独立事件,所以三人都不回老家过节的概率P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝23×34×45＝25,所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－25＝35.15．甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是②④.(写出所有正确结论的序号)①P(B)＝2 5；②P(B|A1)＝5 11；③事件B与事件A1相互独立；④A1,A2,A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定,它与A1,A2,A3中哪一个发生都有关．解析:由题意知A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(A1)＝510＝12,P(A2)＝210＝15,P(A3)＝310,P(B|A1)＝12×51112＝511,由此知,②正确；P(B|A2)＝411,P(B|A3)＝411,而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922.由此知①③⑤不正确；A1,A2,A3是两两互斥事件,④正确,故答案为②④.16．(河北石家庄新华模拟)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ,σ2),利用该正态分布,求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ,求X 的分布列和数学期望．附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95； 若ξ～N (μ,σ2),则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6,P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.解:(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z 服从正态分布N (μ,σ2),且μ＝26.5,σ≈11.95,∴P (14.55<Z <38.45)＝P (26.5－11.95<Z <26.5＋11.95)＝0.682 6, ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6. ②根据题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12,P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116； P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14； P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38； P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14； P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116. ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P116143814116∴E (X )＝4×12＝2.。
第10章 §10.7 二项分布、超几何分布与正态分布 2024届高考数学一轮复习拔高冲刺练
1．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E (ξ)为( ) A.45 B.910 C ．1 D.652．(2023·盐城模拟)某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得，数学成绩X ～N (110,100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P (|X －μ| ≤σ)≈0.682 7，P (|X －μ|≤2σ)≈0.954 5)( ) A ．16 B ．10 C ．8 D ．23．(2022·安庆模拟)高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是( )A.532B.516C.316D.3324．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ改编)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等5．(多选)下列说法正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.9，则P (0<X <2)＝0.4C ．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是17D ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3，D (2X ＋3)＝2D (X )＋36．(2022·宁波模拟)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中有1个红球、2个黑球，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则( ) A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) B ．E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2) C ．E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)7．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则合格的概率为________． 8．(2023·泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10 000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替)，则μ＝________.若σ＝12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数约为 ________.(结果四舍五入精确到个位)参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.9．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为35，每位选手每次编程都互不影响．(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X 的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．10．“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了降低风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表所示.消费金额(千元)[3,5) [5,7) [7,9) [9,11) [11,13) [13,15] 人数305060203010(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比例分配的分层随机抽样方法在消费金额在区间[9,11)和[11,13)内的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和均值；(2)将频率视为概率，假设该大型校外培训机构2022年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N (μ，σ2)，μ，σ2分别为前200名报名学员消费的平均数x 以及方差s 2(同一区间的数据用该组区间的中点值替代)．①试估计该机构学员2022年消费金额ε在区间[5.2,13.6)内的概率(保留一位小数)； ②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额在区间[5.2,13.6)内的人数为η，求η的方差．参考数据：2≈1.4；若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.11．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5(例如10 100)，其中A 的各位数a k (k ＝2,3,4,5)中，出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5，则当程序运行一次时，下列选项正确的是( )A ．X 服从二项分布B ．P (X ＝1)＝481C ．X 的均值E (X )＝83D ．X 的方差D (X )＝8312．(2022·天津模拟)某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是 ________；若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E (X )＝________.13．柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X 服从柯西分布为X ～C (γ，x 0)，其中当γ＝1，x 0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f (x )＝1π(1＋x 2).已知X ～C (1,0)，P (|X |≤3)＝23，P (1<X ≤3)＝112，则P (X ≤－1)等于( )A.16B.23C.14D.1214．(2023·开封模拟)已知随机变量ξ～N (1，σ2)，且P (ξ≤1)＝P (ξ≥a －3)，则1x ＋9a －x (0<x <a )的最小值为________.。
高考数学(人教a版,理科)题库：二项分布与正态分布(含答案).
第8讲二项分布与正态分布一、选择题1．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )A．0.6 B．0.7C．0.8 D．0.66解析甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，∴P(B|A)＝P ABP A＝0.120.2＝0.6.答案 A2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B级要求．由题意得P(A)＝12，P(B)＝16，则事件A，B至少有一件发生的概率是1－P(A)·P(B)＝1－12×56＝712.答案 C3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()．A．[0.4,1] B．(0,0.4]C．(0,0.6] D．[0.6,1]解析设事件A发生的概率为p，则C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.答案 A4．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( )． A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2. 答案 B5．在正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )．A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.0026 解析 ∵μ＝0，σ＝13∴P (X ＜1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案 D6．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则 ( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D 二、填空题7．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.答案 0.098．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，则P(－1<X<0)＝________.解析∵P(X≤1)＝0.841 3，∴P(X>1)＝1－P(X≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7.∵X～N(0,1)，∴μ＝0.∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.158 7，∴P(－1<X<1)＝1－P(X<－1)－P(X>1)＝0.682 6.∴P(－1<X<0)＝12P(－1<X<1)＝0.341 3.答案0.341 39．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是________．答案①②③10．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．解析P(9.8<X<10.2)＝P(10－0.2<X<10＋0.2)＝0.954 4.答案0.954 4三、解答题11．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P(X＞90)＝12[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x.则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.∴x0＝60＋2×10＝80(分)．13．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意，知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23， 由于A ＝B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ， 根据事件的独立性和互斥性，得 P (A )＝P (B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ) ＝P (B C － D －)＋P (B －C D －)＋P (B － C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P (X ＝0)＝P (B － C － D －) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136； P (X ＝1)＝P (B C － D －)＝P (B )P (C －)P (D －)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112；P (X ＝2)＝P (B － C D －＋B － C － D )＝P (B － C D －)＋P (B － C －D ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19； P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D ) ＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13；P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.。
11-3 二项分布与正态分布
11.3 二项分布与正态分布1.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,4)若随机事件A,B 满足P(A)=13,P(B)=12,P(A+B)=34,则P(A|B)=( )A.29B.23C.14D.16答案 D 因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=13+12-34=112,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=16,故选D.2.(2022届昆明一中双基检测三,8)某同学从家到学校要经过三个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14,则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为( )A.124B.1124C.23D.34答案 D 该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为1-(1−12)×(1−13)×(1−14)=34,故选D.3.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,7)已知随机变量X~B(n,p),E(X)=2,D(X)=23,则P(X ≥2)=( )A.2027B.23C.1627D.1327答案 A 由题意知E(X)=np=2,D(X)=np(1-p)=23,联立解得n=3,p=23,所以P(X ≥2)=C 32×(23)2×(1−23)+C 33×(23)3=2027,故选A. 4.(2022届河南重点中学模拟一,7)2021年国庆节期间,小李报名参加市电视台举办的“爱我祖国”有奖竞答活动,活动分两轮回答问题.第一轮从5个题目中随机选取2个题目回答,若2个回答都正确,则本轮得奖金500元;若仅有1个回答正确,则本轮得奖金200元;若两个回答都不正确,则没有奖金且被淘汰.有资格进入第二轮者,最多回答两个问题,先从5个题目中随机选取1个题目回答,若回答错误,则本轮奖金为零且被淘汰;若回答正确,则本题回答得奖金2 000元,再从剩余4个题目中随机选1个,回答正确,本题得奖金3 000元,回答错误,本题没有奖金.已知小李第一轮5个题目中3个能回答正确,第二轮每个题目回答正确的概率为25(每轮选题相互独立),则小李获得2 500元的概率为( ) A.54625 B.9125 C.18125 D.925答案 B 若小李获得2 500元奖金,则第一轮2个题目回答都正确,第二轮第1个题目回答正确,第2个题目回答错误,所以所求概率为C 32C 52×25×(1−25)=9125,故选B.5.(2021安徽宣城调研,8)围棋起源于中国,据先秦典籍《世本》记载:“尧造围棋,丹朱善之”.围棋至今已有四千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制,即先胜三局的一方获得比赛冠军(假设没有平局),比赛结束.假设每局比赛乙胜甲的概率都为23,且各局比赛的胜负互不影响,则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为( ) A.19 B.1781 C.827 D.1627答案 A 在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况: ①甲前三局全胜,概率为P 1=(13)3=127;②前三局甲两胜一负,第四局甲胜,概率为P 2=C 32(13)2×23×13=227.∴在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为P=P 1+P 2=127+227=19.6.(2022届长春外国语学校期中,4)已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别约为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服,经统计,学生的身高(单位:cm)服从正态分布N(165,52),则适合身高在155~175 cm 范围内的校服大约要定制( ) A.683套 B.954套 C.972套 D.997套答案 B 因为学生的身高(单位:cm)服从正态分布N(165,52),所以μ=165,σ=5,身高在155~175 cm 范围内即在(μ-2σ,μ+2σ)内,可知概率约为95.4%,所以身高在155~175 cm 范围内的校服大约要定制1 000×95.4%=954套.故选B.7.(2022届河南部分名校阶段测,10)已知随机变量X,Y,Z 满足X~N(3,σ2),Y~N(1,σ2),Z=Y-1,且P(X>4)=0.1,则P(Z 2<1)的值为( )A.0.1B.0.2C.0.8D.0.9答案 C 因随机变量X,Y 满足X~N(3,σ2),Y~N(1,σ2),则随机变量X 和Y 所对应的正态曲线的形状相同,曲线的对称轴分别为直线x=3和x=1,因此,P(Y>2)=P(X>4)=0.1,而Z=Y-1,则P(Z>1)=P(Y-1>1)=P(Y>2)=0.1,于是得P(Z 2<1)=P(-1<Z<1)=1-0.1×2=0.8,所以P(Z 2<1)的值为0.8.故选C.8.(2021安徽蚌埠二模,6)已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2),且P(X<1)·P(X>3)=19,则P(1<X<2)=( )A.16B.14C.13D.12答案 A 由正态分布X~N(2,σ2)知,对称轴为μ=2,由对称性,知P(X<1)=P(X>3)=13,则P(1<X<2)=12P(1<X<3)=12×(1−13-13)=16.9.(多选)(2021山东青岛调研,12)在国家精准扶贫政策的支持下,某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰,若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是( )附:若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7)A.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280]的概率是0.682 7,则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在(280,320]的概率约为0.341 35答案ABD 对于A,由μ+30=280,得μ=250,故A 正确;对于B 和C,σ越小数据越集中,因为30<40,所以红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中,故B 正确,C 不正确.对于D,P(280<X ≤320)≈0.682 7×12=0.341 35,故D 正确,故选ABD.。
2020届高考数学一轮复习第十篇 第7节二项分布与正态分布课时作业理(含解析)新人教A版
第7节 二项分布与正态分布课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )＝( )(A)12 (B)14 (C)16(D)18A 解析：事件A 的概率为P (A )＝12，事件AB 发生的概率为P (AB )＝14，由公式可得P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12，选A. 2．已知ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.2，则P (ξ≤4)等于( ) (A)0.2 (B)0.3 (C)0.7(D)0.8D 解析：由ξ～N (3，σ2)，得μ＝3，则正态曲线的对称轴是x ＝3，所以P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.8.故选D.3．若某人每次射击击中目标的概率均为35，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )(A)81125 (B)54125 (C)36125(D)27125A 解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35；若三次都击中，其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125，故选A. 4．(2019江西鹰潭一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )(A)5960 (B)35 (C)12(D)160B 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C →)＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A →)P (B )P (C →)＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.5．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )(A)1 (B)12 (C)13(D)14B 解析：设事件A ：第一次抛出的是偶数点，B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P ABP A ＝12×1212＝12.故选B. 6．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )(A)0 (B)1 (C)2(D)3C 解析：根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得： C k 512k×125－k ＝C k ＋1512k ＋1×124－k ， 解得k ＝2.故选C.7．(创新题)某电脑配件公司的技术员对某种配件的某项功能进行检测，已知衡量该功能的随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ≤4)＝0.9，该变量X ∈(0,4)时为合格产品，则该产品是合格产品的概率为( )(A)0.1 (B)0.2 (C)0.9(D)0.8D 解析：∵P (X ≤4)＝0.9，∴P (X ＞4)＝1－0.9＝0.1，又此正态曲线关于直线x ＝2对称，故P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝0.1，∴P (0＜X ＜4)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥4)＝0.8，故该产品合格的概率为0.8，故选D. 8．(2019济宁一中)已知随机变量X ～N (2,2)，若P (X ＞t )＝0.2，则P (X ＞4－t )＝( ) (A)0.1 (B)0.2 (C)0.7(D)0.8D 解析：P (X ＞4－t )＝1－P (X ＜4－t )＝1－P (X ＞t )＝1－0.2＝0.8.故选D. 9．我国的植树节定于每年的3月12日，是我国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．为宣传此活动，某团体向市民免费发放某种花卉种子．假设这种种子每粒发芽的概率都为0.99，若发放了10 000粒，种植后，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：根据题意显然有X 2－B (10 000,0.01)，所以E (X2)＝10 000×0.01＝100，故E (X )＝200.答案：20010．某高三毕业班的8次数学周练中，甲、乙两名同学在连续统计解答题失分的茎叶图如图所示．(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．解析：(1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316，X 的所有可能取值为0,1,2 .依题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162－k，k ＝0,1,2， 则X 的分布列为：X 的均值E (X )＝2×316＝38.能力提升练(时间：15分钟)11．已知ξ～Bn ，12，η～Bn ，13，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( )(A)5 (B)10 (C)15(D)20B 解析：因为ξ～Bn ，12，所以E (ξ)＝n2，又E (ξ)＝15，则n ＝30. 所以η～B 30，13，故E (η)＝30×13＝10.故选B.12．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )(A)1127 (B)1124 (C)827(D)924C 解析：设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49， 所以P (AB )＝P (B |A |)·P (A )＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为827，故选C.13．设随机变量X －N (3，σ2)，若P (X ＞m )＝0.3，则P (X ＞6－m )＝________. 解析：∵随机变量X ～N (3，σ2)，∴P (X ＞3)＝P (X ＜3)＝0.5， ∵P (X ＞m )＝0.3，∴P (X ＞6－m )＝P (X ＜m )＝1－P (X ＞m )＝1－0.3＝0.7. 答案：0.714．(2019林州一中质检)某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．解析：由P (0＜ξ＜3)＝P (ξ＞9)＝0.2，可得在9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2，因此在9年内这个部件不能正常工作的概率为0.83＝0.512，故该部件能正常工作的概率为1－0.512＝0.488.答案：0.48815．(2019南昌模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X ＜75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解：(1)由题知，P (80≤X ＜85)＝12－P (X ＜75)＝0.2，P (85≤X ＜95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P (75≤X ≤85)＝1－2P (X ＜75)＝0.4， 所以ξ服从二项分布B (3,0.4)，P (ξ＝0)＝0.63＝0.216，P (ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064E (ξ)＝3×0.4＝1.2.16．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作多少个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)的数据，得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，(ⅰ)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N *)的函数解析式； (ⅱ)在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率． (2)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决策依据，判断应该制作16个还是17个？解：(1)(ⅰ)当n ≥17时y ＝17×(100－50)＝850； 当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850n ≤16，n ∈N *，850n ≥17，n ∈N *.(ⅱ)设当天的利润不低于750元为事件A ，当天需求量不低于18个为事件B ， 由(ⅰ)得，日利润不低于750元等价于日需求量不低于16个，则P (A )＝710，P (B |A )＝P AB P A ＝0.15＋0.13＋0.10.7＝1935.(2)蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，X 表示当天的利润(单位：元)，X 的分布列为X 550 650 750 850 P0.10.20.160.54E (X )＝550×0.1＋650×0.2＋750×0.16＋850×0.54＝764.若蛋糕店一天制作16个生日蛋糕，Y 表示当天的利润(单位：元)，Y 的分布列为：Y 600 700 800 P0.10.20.7E (Y )＝600×0.1＋700×0.2＋800×0.7＝760.由以上的计算结果可以看出，E (X )＞E (Y )，即一天制作17个生日蛋糕的利润大于一天制作16个生日蛋糕的利润，所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．。
高考数学一轮复习 10.10二项分布、超几何分布、正态分布练习 理
第十节 二项分布、超几何分布、正态分布题号 1 2 3 4 5 6 答案1．(2013·大庆模拟)设ξ是服从二项分布B(n ，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝454，则n 与p 的值为 ( ) A ．60，34 B ．60，14 C ．50，34 D ．50，14解析：由ξ～B(n ，p)，有E(ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np(1－p)＝454，所以p ＝14，n ＝60.答案：B2．(2013·许昌模拟)设随机变量X ～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a －2＝2，所以a ＝4，选A. 答案：A3．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235 B.1235 C.335 D.235解析：设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能的取值为0，1，2，相应的概率为P(X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.故选B.答案：B4. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 52⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 53⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 52C 53⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为P ＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123.故选B 答案：B5．一个袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于（n －m ）A m2A n3的是( ) A ．P(ξ＝3) B ．P(ξ≥2) C．P(ξ≤3) D．P(ξ＝2) 解析：P(ξ＝2)＝A 2m C 1n －m A 3n ＝（n －m ）A 2mA 3n . 故选D. 答案：D6．正态总体的概率密度函数为f ()x ＝18πe －x28()x∈R ，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2 答案：C7．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k 次正面的概率与出现k ＋1次正面的概率相同，则k 的值是________．解析：由C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝ C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫124－k ，得k ＝2. 答案：28．已知ξ～N(4，σ2)，且P(2＜ξ≤6)＝0.682 6，则P(ξ≤10)＝________． 解析：∵P(4－2＜ξ≤4＋2)＝0.682 6， ∴σ＝2，P(－2＜ξ≤10)＝P(4－2×3＜ξ≤4＋2×3)＝0.997 4， P (ξ≤10)＝P(－2＜ξ≤10)＋12[1－P(－2＜ξ≤10)]＝0.997 4＋12(1－0.997 4)＝0.998 7.答案：0.998 79．(2013·揭阳二模)某个部件由两个电子元件按右图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_____________．解析：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)，得：两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为p ＝12，则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为：p 1＝1－(1－p)2＝34.答案：3410．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93× 0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号)．解析：“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C 34×0.93×0.1，②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14，故至少击中目标1次的概率是1－0.14，③正确．故选①③.答案：①③11．甲、乙两人参加知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲先抽一题，乙再抽一题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是多少？ (3)甲抽到选择题的条件下，乙抽到选择题的概率是多少？解析：(1)记A ＝“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，则P(A)＝6×410×9＝415；∴所求的概率是415.(2)记B ＝“甲、乙没有谁抽到选择题”，则B 为所求事件， ∴P(B)＝1－P(B)＝1－4×310×9＝1315；∴甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是1315.(3)记C ＝“甲抽到选择题”，D ＝“乙抽到选择题”， 则P(C)＝610＝35，P(CD)＝6×510×9＝13，∴P(D|C)＝P （CD ）P （C ）＝59.因此，所求的概率是59.12．设在一次数学考试中，某班学生的分数服从ξ～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共有54人，求这个班的这次数学考试中及格(不小于90分)的人和130分以上的人数．解析：∵ξ～N(110，202)， ∴μ＝110，σ＝20，∴P(90＜ξ≤130)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ＝0.682 6)， P (ξ＞130)＝12[1－P(90＜ξ≤130)]＝0.158 7，∴P (ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3， 因此，及格的人数为54×0.841 3≈45(人)， 130分以上的人数54×0.158 7≈9(人)．13．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解析：(1)设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P(A)＝23×23×23＝827，P(B)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P(C)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0，1，2，3， 则P(X ＝0)＝P(A)＋P(B)＝1627，P(X ＝1)＝P(C)＝427，P(X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×13＝19，所以X 的分布列为P1627 427 427 19所以E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.14.近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．(1)求至少有1天需要人工降雨的概率； (2)求不需要人工降雨的天数X 的分布列和期望． 解析：(1)5天全不需要人工降雨的概率是P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝225， 故至少有1天需要人工降雨的概率是1－P 1＝2325.(2)X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，5. P(X ＝5)＝225，P(X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×45×15＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝725， P(X ＝3)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×15×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝73200， P(X ＝2)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×15×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝43200， P(X ＝1)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×45×15＝11200， P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝1200. 所以不需要人工降雨的天数X 的分布列是X 0 1 2 3 4 5 P1200112004320073200725225E(X)＝0×1200＋1×11200＋2×43200＋3×73200＋4×725＋5×225＝3.1.15．某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.视觉听觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常听觉记忆能力偏低 0 7 5 1中等 1 8 3 B偏高 2 a 0 1超常 0 2 1 1且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.(1)试确定a ，b 的值；(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；(3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．解析：(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10＋a 人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则P(A)＝10＋a 40＝25，解得a ＝6.所以b ＝40－(32＋a)＝40－38＝2.(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人． 方法一 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以P(B)＝1－P(B)＝1－C 332C 340＝1－124247＝123247.方法二 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以P ()B ＝C 18C 232＋C 28C 132＋C 38C 340＝123247. (3)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C 340，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k24C 3－k16， 所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P （ξ＝k ）＝C k24C 3－k16C 340，k ＝0，1，2，3.ξ的可能取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 024C 316C 340＝14247，P (ξ＝1)＝C 124C 216C 340＝72247，P (ξ＝2)＝C 224C 116C 340＝5521 235，P (ξ＝3)＝C 324C 016C 340＝2531 235.所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P14247722475521 2352531 235所以E(ξ)＝0×14247＋1×72247＋2×5521 235＋3×2531 235＝2 2231 235＝95. 16．(2013·揭阳二模)某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．(1)在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；(2)在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次(每次一件)，恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，故P(A)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252×35＝36125.(2)ξ可能的取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 24C 23C 25C 25＝18100＝950，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 25C 25＋C 24C 13C 12C 25C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 13·C 12C 25C 25＋C 24C 22C 25C 25＝1550＝310，P (ξ＝3)＝C 14C 22C 25C 25＝125.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P95012251550125数学期望为E(ξ)＝1×1225＋2×1550＋3×125＝1.2.17．为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)由题意知众数为4.6和4.7；中位数为4.75.(2)设A i 表示所选3人中有i 个人是“好视力”，至少有2人是“好视力”记为事件A ， 则P(A)＝P(A 2)＋P(A 3)＝C 24C 112C 316＋C 34C 316＝19140.(3)X 的可能取值为0，1，2，3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14. P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P(X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P(X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，X 的分布为X 0 1 2 3 P27642764964164故X 的数学期望E(X)＝3×4＝4.。
高考数学专题 二项分布、超几何分布与正态分布问题(学生版)
高考数学专题 二项分布、超几何分布与正态分布问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ) 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【知识总结】 1．二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝m ，m＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．E (X )＝n ·MN.3．正态分布解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x ＝μ. (2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．【题型突破】1．2021年3月6日，习近平总书记强调，教育是国之大计、党之大计．要从党和国家事业发展全局的高度，坚守为党育人、为国育才，把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域，体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面，培根铸魂、启智润心．某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下：在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机变量为X，求X的分布列与均值．2．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．3．某市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2 000名学生的视力情况。
二项分布与正态分布
2、二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，设 事件A发生的次数为X，在每次试验中事 件A发生的概率为p，那么) C n
k
p (1 p)
k
nk
k=0，1，2，…，n
此时称随机变量X服从二项分布，记 作X~B (n，p)，并称p为成功概率.
例1、某人射击一次击中的概率为0.6， 经过3次射击，此人至少有两次击中目标 的概率为 A A、81/125 B、54/125 C、36/125 D、27/125
例2、某单位为绿化环境，移栽了甲、乙 两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的
1 2 成活率分别为 和 ，且各株大树是否成 2 3
活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； 2/9 （Ⅱ）成活的株数的分布列．
X P
0 1/36
1 1/6
2 13/36
3 1/3
4 1/9
针对训练： 1、甲、乙两人各进行3次射击，甲每 次击中目标的概率为1/2，乙每次击中目 标的概率2/3， （I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的 概率分布； （II）求乙至多击中目标2次的概率； （III）求甲恰好比乙多击中目标2次的 概率．
2、某学生在上学路上要经过4个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立 的，遇到红灯的概率都是1/3，遇到红灯 时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三 个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到 红灯停留的总时间的分布列及期望.
3、甲、乙二人进行一次围棋比赛，约 定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛 结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果 相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1 局. （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设X表示从第3局开始到比赛结束 所进行的局数，求X的分布列及数学期望.
推荐 二项分布、正态分布、数学期望、方差 真题练习
1，已知随机事件ξ服从正态分布()2σμ，N ，且()8.04=<ξP ，则()=<<40ξPA ．6.0B ．4.0 C. 3.0 D ．2.02，已知随机事件ξ服从正态分布()13，N ，且()6826.040=<<ξP ，则()=<4ξP A ．1588.0 B ．1587.0 C. 1586.0 D ．1585.03，从中5,4,3,2,1任取两个不同的数，事件A ：取到的两个数之和为偶数；事件B ：取到的两个数都是偶数。
则()=A B P /A ．81B ．41 C. 52 D ．21 4，若随机变量个概率分布密度函数为()()82,2221+-=x e x πϕσμ，则()=-12x E _________5，设随机变量⎪⎭⎫ ⎝⎛21,6~B X ，则==)3(X P A ．165 B ．163 C. 85 D ．83 6，小王通过英语测试的概率是31，他连续测试三次，那么其中恰有一次通过的概率为 A ．94 B ．92 C. 274 D ．272 7，国庆节放假，甲去北京旅游的概率为31，乙、丙去北京旅游的概率分别为5141，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么期间至少一人去北京旅游的概率为A ．6059B ．53 C. 21 D ．6018，设554432110,1010=≤<<<≤x x x x x ，随机变量1ξ的取值54321,x x x x x ，，，的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++，，，，的概率也均为2.0，若记21,ξξD D 分别为1ξ，2ξ的方差，则A ．21ξξD D >B ．21ξξD D = C. 21ξξD D < D ．无法确定 9，若()p n B X ,~，且3,6==DX EX ，则()1=X P 的值为（ ）A ．2-23⋅B ．4-2 C. -1023⋅ D ．8-210，签盒中有编号为6,54,3,2,1，的六只签，从中任意取出3支签，设X 为这三支签中号码最大的一个，则X 的数学期望为（ ）A ．5B ．25.5 C. 8.5 D ．6.411，设随机变量的概率分布规律为()()()()R a n n n a n X P ∈=+==4,3,2,11，则⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2521X P 的值为 A ．32 B ．43 C. 54 D ．65。
概率论三大分布例题
概率论三大分布例题概率论中，三大分布是指二项分布、泊松分布和正态分布。
这三种分布在实际应用中非常常见，下面我们来看看它们的例题。
1. 二项分布例题某工厂生产的产品中有 5% 是次品。
现在从这个工厂中随机抽取20 个产品，求其中恰好有 2 个次品的概率。
解：由于每个产品的质量独立，且每个产品有 5% 的概率是次品，因此该问题可以用二项分布来描述。
设 p 为每个产品是次品的概率，则有：P(恰好有 2 个次品) = C(20,2) * (0.05)^2 * (0.95)^18 其中，C(20,2) 表示从 20 个产品中选择 2 个的组合数。
计算可得：P(恰好有 2 个次品) ≈ 0.285因此，从这个工厂中随机抽取 20 个产品，恰好有 2 个次品的概率约为 0.285。
2. 泊松分布例题某地区每天平均发生 3 起交通事故，求该地区某天发生 5 起交通事故的概率。
解：由于交通事故的发生属于独立事件，且在单位时间内发生的次数符合泊松分布，因此该问题可以用泊松分布来描述。
设λ为每天发生交通事故的平均次数，则有：P(某天发生 5 起交通事故) = (e^-3 * 3^5) / 5!其中，e 表示自然对数的底数。
计算可得：P(某天发生 5 起交通事故) ≈ 0.1008因此，该地区某天发生 5 起交通事故的概率约为 0.1008。
3. 正态分布例题某次考试的总分数满分为 100 分，平均分数为 70 分，标准差为 10 分。
求得分在 60 分以上的考生所占的比例。
解：由于考试总分数满分为 100 分，平均分数为 70 分，标准差为 10 分，因此考试成绩近似服从正态分布。
设 X 为考试成绩，则有：P(X > 60) = P(Z > (60-70)/10) （其中 Z 表示标准正态分布）根据标准正态分布表可得：P(Z > -1) = 0.8413因此，得分在 60 分以上的考生所占的比例约为 0.8413。
二项分布与超几何分布、正态分布
一、基础小题
1．设随机变量 X～N(1,52)，且 P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数 a 的值
为( ) A．4 C．8
B．6 D．10
答案 A
解析 x＝0 与 x＝a－2 关于 x＝1 对称，则 a－2＝2，a＝4.故选 A．
2．设随机变量 X～B6，12，则 P(X＝3)＝(
10．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次 随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X) ＝________.
答案 1.96 解析 由题意，得 X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝ 1.96.
答案 32
解析 根据正态曲线的对称性知，要使误差 εn 在(－0.5，0.5)内的概率 不小于 0.9545，则(μ－2σ，μ＋2σ)⊆(－0.5,0.5)，又 μ＝0，σ＝ 2n，所以 0.5≥2 2n⇒n≥32.
17．(2020·天津南开高三一模)甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各 射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为87，若第一 次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙 进行第三次射击，射击的命中率为12.乙若射中，则不再继续射击．则甲三 次射击命中次数的期望为________，乙射中的概率为________.
14．(多选)(2020·山东济南二模)已知在某市的一次学情检测中，学生
的数学成绩 X 服从正态分布 N(100,100)，其中 90 分为及格线，120 分为
优秀线．下列说法正确的是( )
附：随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，
课时作业2：4.2.5 第一课时 二项分布与正态曲线
4.2.5 正态分布第一课时 二项分布与正态曲线基础达标一、选择题1.正态分布N (0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为p 1，p 2，则二者大小关系为( )A.p 1＝p 2B.p 1＜p 2C.p 1＞p 2D.不确定解析 根据正态曲线的特点，图像关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率p 1，p 2相等.答案 A2.已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2).若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( )A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于直线x ＝0对称.又P (ξ>2)＝0.023，∴P (ξ<－2)＝0.023，∴P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954.答案 C3.若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，则该随机变量的方差等于( )A.10B.100C.2πD.2π解析 由正态分布密度曲线上的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12知12π·σ＝12，即σ＝22π，∴D (X )＝σ2＝2π.答案 C4.设随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋X 不存在零点的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析 ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋X 不存在零点，∴Δ＝4－4X <0，∴X >1，∵X ～N (1，σ2)，∴P (X >1)＝12.答案 C5.设随机变量X 服从正态分布N (0，1)，若P (X >1)＝p ，则P (－1<X <0)＝( ) A.12＋pB.1－pC.1－2pD.12－p解析 因为随机变量X 服从正态分布N (0，1)，所以正态分布曲线关于直线x ＝0对称，所以P (X >0)＝P (X <0)＝12，P (X >1)＝P (X <－1)＝p ，所以P (－1<X <0)＝P (X <0)－P (X <－1)＝12－p .答案 D二、填空题6.若随机变量X ～N (2，100)，若X 落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于________.解析 由于X 的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2.所以k ＝2.答案 27.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ>3)＝P (ξ<－1)，则E (ξ)＝________. 解析 根据题意ξ～N (μ，σ2)，∴μ＝3＋（－1）2＝1，∴E(ξ)＝μ＝1.答案18.已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R，给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N(108，100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝12，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)解析画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图：由图可得①图像关于x＝μ对称，故①正确；②随着x的增加，F(x)＝P(X<x)也增加，故②正确；③如果随机变量X服从N(108，100)，那么X的期望是108，标准差是10；④由图像的对称性，可得④正确.故填①②④.答案①②④三、解答题9.某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩X～N(105，100)，若已知P(90<X≤105)＝0.36，则从该校理科生中任选一名学生，求他的数学成绩大于120分的概率.解∵学生成绩X服从正态分布N(105，100)，∴P(X>105)＝0.5，∵P(90<X≤105)＝0.36，∴P(105<X≤120)＝P(90<X≤105)＝0.36，∴P(X>120)＝0.5－P(105<X≤120)＝0.5－0.36＝0.14.综上，学生数学成绩大于120分的概率为0.14.10.若X～N(μ，σ2)，根据P(μ≤X≤μ＋σ)＝0.341 3，P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝0.135 9，写出下列各概率值：(1)P(μ－σ≤X≤μ)；(2)P(μ－2σ≤X≤μ).解(1)根据对称性，P(μ－σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)＝0.341 3.(2)P(μ－2σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)＋P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝0.341 3＋0.135 9＝0.477 2.能力提升11.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，则P(2≤ξ<4)等于()A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7解析∵P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，∴μ＝2＋62＝4.又P(2≤ξ≤6)＝1－P(ξ<2)－P(ξ>6)＝0.7，∴P(2≤ξ<4)＝P（2≤ξ≤6）2＝0.35，故选B.答案B12.某商场经营的某种包装的大米质量X(单位：kg)服从正态分布N(10，σ2)，且P(X<10.5)＝0.8，从该商场中任意抽取一袋该种大米，求其质量在9.5～10.5之间的概率.解∵X～N(10，σ2)且P(X<10.5)＝0.8，∴P(10<X<10.5)＝P(X<10.5)－P(X<10)＝0.8－0.5＝0.3.∴P(9.5<X<10.5)＝2P(10<X<10.5)＝2×0.3＝0.6.∴大米质量在9.5～10.5之间的概率为0.6.创新猜想13.(多选题)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中不正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≥P(X≤σ1)C.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)解析由正态分布密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图像可得，μ1<0<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错误.又X～N(μ1，σ21)的密度曲线较Y～N(μ2，σ22)的密度曲线“瘦高”，所以σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，B错误.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正确，D错误.答案ABD14.(多空题)随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，则μ＝________，D(ξ)＝________.解析根据对称性，∵P(ξ<2)＝P(ξ>4)，∴μ＝3，D(ξ)＝σ2＝7.答案37。
高中数学选择性必修三 专题05二项分布、超几何分布与正态分布(含答案)高二数学下学期期中专项复习
专题05二项分布、超几何分布与正态分布一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设X 表示向上一面出现6点的次数，则X 的数学期望()E X 的值为（ ）A ．13 B ．49C ．59D ．23【答案】D 【详解】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为16()112(4,)4663XB E X ∴=⨯=故选：D2．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数X 的数学期望是（ ） A ．43 B ．119C ．1D ．89【答案】A 【详解】由题意可知：2~(2,)3X B ，因此面试结束后通过的人数X 的数学期望是242=33⨯. 故选：A3．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））已知~(20,)X B p ，且()6E X =，则()D X =（ ） A ．1.8 B ．6C ．2.1D ．4.2【答案】D 【详解】因为X 服从二项分布~(20,)X B p ，所以()206==E X p ，得0.3p =，故()(1)200.30.7 4.2=-=⨯⨯=D X np p ．故选：D.4．（2021·山东德州市·高二期末）已知随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，若()54E X =，()1516=D X ，则p =（ ） A ．14B ．13C ．34D ．45【答案】A 【详解】由题意5415(1)16np np p ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．故选：A ．5．（2020·全国高二课时练习）已知圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为14,4XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =的值为（ ） A ．23 B ．35C ．13D ．2764【答案】D 【详解】由题意，知圆心坐标为()1,4，圆心到直线()10kxy k +-=∈Z 的距离为=17k =-或1k =．因为k Z ∈，所以1k =． 因为14,4XB ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()141141127114464P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．6．（2021·辽宁大连市·高三期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（ ）A ．1128B ．7128C ．21128D ．35128【答案】C 【详解】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为12，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为2527112122128P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：C.7．（2020·江苏省苏州中学园区校高二月考）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，若(21)(1)P m P m ξξ<+=>-，则实数m 的值是（ ）A ．23B ．43C ．53D ．2【答案】B 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，(21)(1)P m P m ξξ<+=>-， 根据正态分布的特征，可得21122m m ++-=，解得43m =.故选：B ．8．（多选）（2021·全国高二课时练习）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( ) A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B ．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128【答案】ACD 【详解】由题得小汽车的普及率为34， A. 这5个家庭均有小汽车的概率为53()4=2431024，所以该命题是真命题； B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为332531135()()44512C =,所以该命题是假命题；C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4455313()()()444C +=81128,所以该命题是真命题. 故选：ACD.9．（多选）（2020·全国高三专题练习）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =（例如10100）其中A 的各位数中()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，则当程序运行一次时（ ）A ．X 服从二项分布B ．()8181P X ==C ．X 的期望()83E X = D ．X 的方差()83V X =【答案】ABC 【详解】解：由于二进制数A 的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类： ①后4个数出现0，X 0=，记其概率为411(0)()381P X ===；②后4个数位只出现1个1，1X =，记其概率为134218(1)()()3381P X C ===； ③后4位数位出现2个1，2X =，记其概率为22242124(2)()()3381P X C ===， ④后4个数为上出现3个1，记其概率为3342132(3)()()3381P X C ===，⑤后4个数为都出现1，4X =，记其概率为4232(4)()381P X ===，故2~(4,)3X B ，故A 正确；又134218(1)()()3381P X C ===，故B 正确；2~(4,)3X B ，28()433E X ∴=⨯=，故C 正确；2~(4,)3X B ，X ∴的方差218()4339V X =⨯⨯=，故D 错误．故选：ABC ．10．（2020·江苏南京市·南京田家炳高级中学高三期中）下列命题中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E x =，()20D x =，则23p =B ．已知34n n A C =，则27n =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8X =时概率最大. 【答案】BCD 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，故选项A 错误； 对于选项B ：根据排列数和组合数的计算公式可得，()()()3!213!n n A n n n n ==---，()()()()4321!4!4!24n n n n n n C n ---=-=，因为34n n A C =，所以有()()()()()3212124n n n n n n n -----=，即3124n -= 解得27n =，故选项B 正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，即()1102P p ξ-<<=-，故选项C 正确； 对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ， 当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP x k C -==⨯0.8⨯，所以当1k时，()()()101011101104110.80.210.80.2kk kk k k P x k k C P x k C k----+=-⋅⋅===-⋅⋅， 由()()()41111P x k k P x k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈， 即8k时，概率()8P x =最大，故选项D 正确．故选：BCD . 二、填空题11．（2021·江西高三其他模拟（理））已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，()60.84P ξ≤=，则()0P ξ≤=______.【答案】0.16 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，所以(0)(6)P P ξξ≤=≥， 又(6)0.84P ξ≤=，所以(0)1(6)10.840.16P P ξξ≤=-≤=-=.故答案为：0.1612．（2020·福建三明市·高二期末）已知某批零件的长度误差X 服从正态分布()2,N μσ，其密度函数()()222,12x x e μσμσϕπσ--=的曲线如图所示，则σ=______；从中随机取一件，其长度误差落在()3,6内的概率为______.（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，()220.9544P μσξμσ-<≤+=，()330.9974P μσξμσ-<≤+=.）【答案】3 0.1359 【详解】解：由图中密度函数解析式，可得3σ=；又由图象可知0μ=，则长度误差落在(3,6)内的概率为： 1(36)[(22)()]2P X P P μσξμσμσξμσ<<=-<+--<+1(0.95440.6826)0.13592=-=． 故答案为：3；0.1359． 三、解答题13．（2021·全国高二课时练习）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100]，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率； （3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）180人（2）0.1（3）详见解析 【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人 ∴估计总体中女生人数45400180100⨯=人 （2）设“不及格”为事件A ,则“及格”为事件A ∴()1()1(0.20.40.20.1)0.1P A P A =-=-+++=（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+= 依题意可知：~(3,0.3)X B3(0)0.7P B ==,1123(1)0.30.7P X C == 22133(2)0.30.7,(3)0.3P X C X P ====所以,X 的分布列为 X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.027()30.30.9E X np ==⨯=14．（2020·全国高三专题练习（理））袋子中有1个白球和2个红球． （1）每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列；（2）每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列； （3）每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【详解】（1）由题意，X 可能取值1，2，3. 则()113P X ==，()2112323P X ==⨯=，()211133213P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为（2）X 可能取值为1，2，3，4，5.则()113P X ==，()2122339P X ==⨯=，()221433327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()321843381P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()42165381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X 的分布列为（3）由题意可得，15,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()551233kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5k =，则()320243P X ==，()801243P X ==，()802243P X ==，()403243P X ==，()104243P X ==，()15243P X ==， 所以X 的分布列为15．（2021·全国高三其他模拟）某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率． （2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算． 【答案】（1）825；（2）选择方案一更划算． 【详解】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A ，则()232615C P A C ==．∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为()()22118[1]215525P C P A P A ⎛⎫=⋅⋅-=⨯⨯-=⎪⎝⎭． （2）若小勇选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为360，480，600．则()232613605C P X C ===，()11332634805C C P X C ===，()232616005C P X C ===． 故X 的分布列为∴()131360480600480555E X =⨯+⨯+⨯=（元）．若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则600100Z Y =-． 由已知，可得12,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()1212E Y =⨯=， ∴()()()600100600100600100500E Z E Y E Y =-=-=-=（元）．由上知：()()E X E Z <，故小勇选择方案一更划算．16．（2021·全国高二课时练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA -V 200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，25 ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数). （2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为()f p .（i ）求出f (p )的最大值点0p ;（ii ）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列.参考数据:ζ ~N (u ，2σ)，则p (μ-σ<X <μ+σ)≈0.6826，p (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.【答案】（1）140；（2）（i ）034p =；（ii ）分布列见解析. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270，25 )，所以()0.96440.68262602650.14092P ξ-<<==， 所以质量指标在(260，265]内的排球个数为10000.1409140.9140⨯=≈个；（2）（i ）()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2'2331+13334p p f p p p p ⎡⎤=-⨯-=-⎣⎦令()0f p '=，得34p =， 当3(0,)4p ∈时，()0f p '>，()f p 在3(0,)4上单调递增； 当3(,1)4p ∈时，()0f p '<，()f p 在3(,1)4上单调递减；所以()f p 的最大值点034p =； （ii ）X 的可能取值为0，1，2，3.212313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=；223427(1)(1)512P X C p p ==-=； 222481(2)(1)512P X C p p p ==-=；2223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=； 所以X 的分布列为。
第十章 §10.6 二项分布、超几何分布与正态分布-2025届高中数学大一轮复习练习
一、单项选择题1．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ＝0)＝49，则D (Y )等于()A.23B.43C.49D.892．(2023·福建名校联盟大联考)甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则甲以2∶1获胜的概率为()A.827 B.427 C.49 D.293．(2023·枣庄模拟)某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布N (72,82)，则数学成绩位于(80,88]的人数约为()参考数据：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9973.A ．455B ．2718C ．6346D ．95454．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E (ξ)为()A.45B.910C ．1 D.655．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为13，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为14，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为()A ．24B ．25C ．26D ．276．(2024·赤峰模拟)某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有()A ．1张B ．2张C ．3张D ．4张二、多项选择题7．(2023·莆田模拟)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N (8，σ2)，且P (ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7,9)的个数记为X，则() A．P(7<ξ<9)＝0.8B．E(X)＝1.8C．E(ξ)>E(5X)D．P(X≥1)>0.98．(2023·汕头模拟)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，均值和方差分别为E(X1)，D(X1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，均值和方差分别为E(X2)，D(X2)，则()A．E(X1)＝E(X2)B．E(X1)>E(X2)C．D(X1)>D(X2)D．D(X1)<D(X2)三、填空题9．(2023·石家庄模拟)某市中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．10．(2023·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品．设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出．则至少有3个季度的收益为正值的概率为________．11．(2024·南开模拟)一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品．若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为________；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品________次．12．(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值x i(i＝1,2,3，…，100)，经计算错误!i＝7200，错误!2i＝100×(722＋36)．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ，σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________．(用百分数作答，精确到0.1%)参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.四、解答题13．某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折，其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从均值的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？14．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获得三等奖，得分在[80,90)内的学生获得二等奖，得分在[90,100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)；(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.。
专题11.7---二项分布、正态分布--教师版
专题11.7二项分布、正态分布练基础1．（2015·全国高考真题（理））投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312【答案】A 【解析】该同学通过测试的概率为，故选A．2.（2020·湖北十堰·期末）设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：)mm 服从正态分布(75,16)N ，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在(79，83]内的个数约为()附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+= ．A．134B．136C．817D．819【答案】B 【解析】由题意，75μ=，4σ=，则1(7983)[(22)()]2P X P X P X μσμσμσμσ<=-<+-+<+1(0.95450.6827)0.13592=⨯-=．故直径在(79，83]内的个数约为0.135********.9136⨯=≈．故选：B ．3.（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X 表示取得次品的次数，则(2)P X ≤=（）A ．38B ．1314C ．45D ．78【答案】D 【解析】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为4182=．从中取3次，X 为取得次品的次数，则13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()3102323331(2)(2)(1)0111722228P X P X P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫≤==+=+==⎛⎫+= ⎪⎝⎭⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选择D 答案．4．（2021·全国·高二课时练习）抛掷骰子2次，每次结果用()12,x x 表示，其中1x ，2x 分别表示第一次､第二次骰子朝上的点数.若设(){}1212,10A x x x x =+=，(){}1212,B x x x x =>，则()P B A =______.【答案】13【分析】利用条件概率的公式直接求解即可【详解】因为抛掷骰子2次共有36种情况，其中和为10的有（4，6），（5，5），（6，4）三种情况，当和为10时，12x x >的有1种，所以()313612P A ==，()136P AB =，所以()()()11361312P AB P B A P A ===.故答案为：135．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量()2,X N μσ ，则Y aX b =+服从的正态分布为______（填序号）.①()2,N a μσ；②()0,1N ；③2,N a b μσ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④()22,N a b a μσ+.【答案】④【分析】根据变量线性变化后，其均值、方差的变化情况判断．【详解】∵()2,X N μσ ，Y aX b =+，∴()()()E Y E aX b aE X b a b μ=+=+=+，()()()222D Y D aX b a D X a σ=+==，故()22,Y N a b a μσ+ .故④正确.故答案为：④6．（2021·全国·高二课时练习）一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每一次取后不放回．若已知第1只是好的，则第2只也是好的的概率是______．【答案】59【分析】令A ={第1只是好的}，B ={第2只是好的}，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只是好的，由()1519C C P B A =可求得答案.【详解】解：令A ={第1只是好的}，B ={第2只是好的}，因为事件A 已发生，所以我们只研究事件B 即可，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只是好的，所以()1519C 5C 9P B A ==．故答案为：59.7．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则下列结论正确的是______.（填序号）①()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>->；②()()()210P a P a a ξξ<=<->；③()()()120P a P a a ξξ<=-<>；④()()()10P a P a a ξξ<=->>.【答案】②④【分析】随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.【详解】因为()()P a P a a ξξ<=-<<，所以①不正确；因为()()P a P a a ξξ<=-<<()()()()P a P a P a P a ξξξξ=<-<-=<->()()()()121P a P a P a ξξξ=<--<=<-，所以②正确，③不正确；因为()()1P a P a ξξ<+>=，所以()()()10P a P a a ξξ<=->>，所以④正确.故答案为：②④.8．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，已知()1.960.025Φ-=，求()1.96P ξ<．【答案】0.95【分析】根据标准正态分布曲线的对称性可直接求得结果.【详解】()0,1N ξ ，()()()()1.96 1.96 1.96 1.96 1.96P P ξξ<=-<<=Φ-Φ-∴1=-()2 1.9610.050.95Φ-=-=.9.（2019·河北高二期末（理））互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式.某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究.采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占23，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人.（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折.已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.【答案】（1）291494；（2）440【解析】（1）设事件A 表示至少有1人的年龄低于45岁，则()3303402911494C P A C =-=.（2）由题意知，以手机支付作为首选支付方式的概率为6031005=.设X 表示销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数，则3~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设Y 表示销售额，则()40501050010Y X X X =+-=-，所以销售额Y 的数学期望35001050010104405EY EX =-=-⨯⨯=（元）.10．（2021·全国·高二课时练习）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为34，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X ，Y ，求随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 和方差()D X ，()D Y ，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．【答案】（1）932（2）()()3=2=E X E Y ，()1=4D X ，()3=8D Y ，甲班级代表学校参加大赛更好.【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式即可求出答案；（2）结合超几何分布和二项分布，根据数学期望和方差的定义依次求出()E X ，()E Y ，()D X ，()D Y ，由此可求出答案．（1）解：甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率22324C 39C 432P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭；（2）解：甲班级能正确回答题目人数为X ，则X 的可能取值为1，2，()113124C C 11C 2P X ===，()2324C 12C 2P X ===，则()11312222E X =⨯+⨯=，()22313111222224D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙班级能正确回答题目人数为Y ，则Y 的可能取值为0，1，2．所以32,4Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()33242E Y =⨯=，()3132448D Y =⨯⨯=．由()()E X E Y =，()()D X D Y <可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．练提升1．（2021·四川·成都七中高三期中（理））已知某品牌电子元件的使用寿命X （单位：天）服从正态分布() 9864N ,.（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为_______________________；（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在100天后仍能正常工作（要求K 能正常工作，A ，B 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．（参考公式：若()2,X N μσ ，则()0.250.250.2P X μσμσ-<≤+=）【答案】0.4##【分析】由题设可知98,8μσ==，利用正态分布的对称性求电子元件的使用寿命超过100天的概率，应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求电路在100天后仍能正常工作的概率.【详解】由题设知：98,8μσ==，∴()10.250.25(100)0.42P X P X μσμσ--<≤+>==.由题意，要使电路能正常工作的概率22222222232(1(1)555555555125P =⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=.故答案为：0.4，32125.2．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量(),1N ξμ ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<<≈（）附：若()2,N ξμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈.A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.3413【答案】B 【分析】首先根据函数()f x 没有零点求出ξ的取值范围，再根据()f x 没有零点的概率是0.5，得到()10.5P ξ<-=，再根据正态曲线的性质得到μ的值；然后再根据正态曲线的对称性求出()01P ξ<<的值即可．【详解】若函数()22f x x x ξ=+-没有零点，∴二次方程220x x ξ+-=无实根，∴()440ξ∆=-⨯-<，∴1ξ<-.又∵()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，∴()10.5P ξ<-=.由正态曲线的对称性知1μ=-，∴()1,1N ξ- ，∴1μ=-，1σ=，∴2μσ-=-，0μσ+=，23μσ-=-，21μσ+=，∴()200.6827P ξ-<<≈，()310.9545P ξ-<<≈，∴()()()10131202P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦()10.95450.68270.13592≈⨯-=.故选：B.3．（2021·全国·高二课时练习）已知()0P B >，12A A φ=，则下列式子成立的是（）①()10P A B >；②()()()()1212P A A B P A B P A B ⋃=+；③()120P A A B ≠；④()121P A A B =.A ．①②③④B ．②C ．②③D ．②④【答案】B 【分析】利用条件概率公式及概率性质辨析【详解】①若1A B φ=则()()()11=0P A B P A B P B =，故()10P A B ≥，故①错误；②因为12A A φ=所以12()(A B A φB)=()()()()()()()()()()()()1212121212P A A B P A B A B P A B P A B P A A B P A B P A B P B P B P B ⋃⋃+⋃====+所以②正确；③若1A B φ=或2A φ=则()12=0P A A B 故③错误；④若1A B φ=或2A φ=则()12=0P A A B 故④错误.故选：B4．（2021·全国·高二课时练习）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）.（2）由频率分布直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ（千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）()2,4.5ξ∈的人数（结果四舍五入保留整数）.（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，()220.9545P μσξμσ-<<+≈.【答案】（1）7（2）54（3）分布列见解析，200【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算可得；（2）根据正态分布的概率公式计算出概率即可得出；（3）可得X 的可能取值为400，300，200，100，0，求出X 取不同值的概率，即可得出分布列求出期望.（1）0.0410.0830.1650.4470.1690.1110.0213 6.967x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.（2）()27,2.5N ξ ，()4.59.50.6827P ξ∴<<≈，()2120.9545P ξ<<≈，()()()()12 4.5212 4.59.50.13592P P P ξξξ∴<<=<<-<<≈.故该校被抽取的400名教职工中日行步数()2,4.5ξ∈的人数约为4000.135954⨯=.（3）用样本估计总体，从该校教职工中随机抽取1人，是“超健康生活方式者”的概率为()0.050.0120.12+⨯=，是“不健康生活方式者”的概率为()0.020.0420.12+⨯=，是“一般生活方式者”的概率为10.120.120.76--=.由题意知X 的可能取值为400，300，200，100，0，()222400C 0.120.0144P X ==⨯=，()12300C 0.120.760.1824P X ==⨯⨯=，()12222200C 0.120.12C 0.760.6064P X ==⨯⨯+⨯=，()12100C 0.120.760.1824P X ==⨯⨯=，()200.120.0144P X ===，∴X 的分布列为X 0100200300400P0.01440.18240.60640.18240.0144()4000.01443000.18242000.60641000.182400.0144200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.5．（2021·全国·高三月考（理））2020年是比较特殊的一年，延期一个月进行的高考在万众瞩目下顺利举行并安全结束.在备考期间，某教育考试研究机构举办了多次的跨地域性的联考，在最后一次大型联考结束后，经统计分析发现，学生的模拟测试成绩X 服从正态分布()2550,N σ（满分为750分）.已知(450)0.1P X <=，(600)0.3P X >=.现在从参加联考的学生名单库中，随机抽取4名学生.（1）求抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间[500,600]内，2名学生的成绩落在区间[650,750]内的概率；（2）用ξ表示抽取的4名同学的成绩落在区间[500,600]内的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ.【答案】（1）0.0096（2）分布列答案见解析，数学期望：1.6【分析】（1）根据正态分布的性质求得(650)0.1P X ≥=，(500600)0.4P X ≤≤=，然后利用二项分布列概率公式计算；（2）根据题意判定~(4,0.4)B ξ，进而利用二项分布列公式计算分布，并求得期望值.（1）根据正态分布的特点可知，(650)(450)0.1P X P X ≥=<=，(500600)2(0.50.3)0.4P X ≤≤=-=.用A 表示事件“抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间[500,600]内,2名学生的成绩落在区间[650,750]内”，则2224()0.40.10.0096P A C =⨯⨯=.（2）根据题意~(4,0.4)B ξ，则4(0)0.60.1296P ξ===，134(1)0.40.60.3456P C ξ==⨯⨯=，2224(2)0.40.60.3456P C ξ==⨯⨯=，334(3)0.40.60.1536P C ξ==⨯⨯=，4(4)0.40.0256.P ξ===因此ξ的分布列为ξ01234P0.12960.34560.34560.15360.0256数学期望()40.4 1.6E ξ=⨯=.6．（2021·全国·高二课时练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.【答案】（1）23（2）25（3）35【分析】(1)求出从6个节目中依次抽取2个节目的试验的基本事件总数，再求出第1次抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数即可.(2)求出第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数，结合(1)中信息即可得解.(3)利用(1)(2)的结论结合条件概率的定义计算作答.（1）设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB ，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为()26A 30n Ω==，根据分步计数原理有()1145A A 20n A ==，所以()()()202303n A P A n Ω===.（2）由(1)知，()24A 12n AB ==，所以()()()122305n AB P AB n Ω===.（3）由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为()()()235253P AB P B A P A ===.7．（2021·全国·高二课时练习）某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过8吨的社区定为“超标”社区.垃圾量[)12.5,15.5[)15.5,18.5[)18.5,21.5[)21.5,24.5[)24.5,27.5[)27.5,30.5[)30.5,33.5频数56912867（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x .（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(),27.04N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨，估计该市A 类社区中“超标”社区的个数.（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望附：若X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.【答案】（1）平均值约为22.76吨（2）51个（3）分布列答案见解析，数学期望：52【分析】（1）直接利用平均数公式计算该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；（2）利用正态分布求出()280.1587P X >≈，即得解；（3）由题得X 的可能取值为1，2，3，4，再求出对应的概率，即得解.（1）解：样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则145176209231226829632422.7650x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨.（2）解：据题意，得22.8μ=，227.04σ=，即 5.2σ=，则()()10.6827280.15872P X P X μσ->=>+≈≈.因为3200.158750.78451⨯=≈，所以估计该市A 类社区中“超标”社区约51个.（3）解：由频数分布表知8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在[)27.5,30.5内的“超标社区也有4个，则X 的可能取值为1，2，3，4.()144458C C 11C 14P X ===，()234458C C 32C 7P X ===，()324458C C 33C 7P X ===，()414458C C 14C 14P X ===.则X 的分布列为X1234Y1143737114所以()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.8．（2021·全国·高二课时练习）影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素.学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图.（1）写出这组数据的众数和中位数.（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率.若从该地区学生(人数较多)中任选3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列.【答案】（1）众数为4.6和4.7，中位数为4.75（2）①19140；②分布列见解析【分析】(1)观察茎叶图直接写出众数和中位数即可.(2)①求出16名学生中随机选取3名的基本事件总数，再求出至少有2名学生是“好视力”的事件所含基本事件数，借助古典概率公式计算即得.②写出X 的所有可能值，再计算各个对应的概率即可列出X 的分布列.（1）观察茎叶图得这组数据的众数为4.6和4.7，中位数为4.7 4.84.752+=.（2）①从16名学生中随机选取3名学生的试验有316C 个基本事件，它们等可能，令事件i A 表示“所选3名学生中有i 名是‘好视力’(0i =，1，2，3)”，则事件A 2，A 3含有的基本事件数分别为21412C C ，34C ，设事件A 表示“至少有2名学生是好视力”，则213412423331616C C C 19()()()C 140P A P A P A C =+=+，所以至少有2名学生是“好视力”的概率是19140.②因为这16名学生中是“好视力”的频率为14，且用频率代替概率，则该地区学生中是“好视力”的概率为14，抽取一个学生就是一次试验，有是“好视力”和不是“好视力”两个结果，抽3个学生相当于3次独立重复抽一个学生的试验，于是得X 从二项分布13,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()33270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21313271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2231392C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3113464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X0123P276427649641649．（2021·安徽省怀宁中学高三月考（理））为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如下图所示．（1）求a 的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）以频率估计概率，若从所有90后上班族中随机抽取4人，求至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率；（3）为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．月休假不超过6天月休假超过6天合计月薪超过500090月薪不超过5000140合计300【答案】（1）0.18a =，平均数为6.（2）1116.（3）列联表见解析；有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可求得0.18a =，结合频率分布直方图的平均数计算公式，即可解.（2）由频率分布直方图中的数据，得到休假天数6天以上的概率为0.5p =，根据题意得到随机变量(4,0.25)X B ，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.（3）按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，月休假超过6天（含6天）的月为150人，月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数，月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数，得出22⨯的列联表，根据公式求得2K 的值，即可得到结论.（1）解：由频率分布直方图的性质，可得(0.020.080.150.030.030.01)21a ++++++⨯=，解得0.18a =，由频率分布直方图的平均数计算公式，可得()0.0210.0830.1550.1870.0390.03110.011526=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2）由频率分布直方图中的数据，可得休假天数6天以上的概率为(0.180.030.030.01)20.5p =+++⨯=，以频率估计概率，从所有90后上班族中随机抽取4人，则随机变量(4,0.25)X B ，所以至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率为：2223344044411111111()(1)()(1()(1)22222216P C C C =-+-+-=.（3）解：由题意1000名中月休假不超过6天的人数为1000(0.020.080.15)2500++⨯=人，月休假超过6天（含6天）的人数为500人，按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，月休假超过6天（含6天）的月为150人，月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数为1509060-=人，月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数为1406080-=人，月薪超过5000的人数为1508070-=人，可得如图所示的22⨯的列联表：月休假不超过6天月休假超过6天合计月薪超过50009070160月薪不超过50006080140合计150150300所以22300(90807060)755.357 5.02416014015015014K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．10．（2021·吉林·长春外国语学校高三期中（理））很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分､6分､3分､2分的新规定设置了一份试卷（满分100分），发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.（1）求这12名新手的平均成绩与方差；（2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X 表示成绩合格的人数，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）平均数92分，方差3203（2）分布列答案见解析，数学期望为3【分析】（1）先读出12个数据，直接套公式求平均值和方差；（2）X 服从二项分布，直接求出分布列及数学期望.（1）这12名新手的成绩分别为68，72，88，95，95，96，96，97，98，99，100，100，则平均成绩为()687288959596969798991001001292+++++++++++÷=，其方差为()()()()()()22222219268927292882929529296929712⎡-+-+-+⨯-+⨯-+-+⎣()()()22292989299292100⎤-+-+⨯-⎦()22222222212420423245672812=+++⨯+⨯++++⨯3203=.（2）抽取的12名新手中，成绩低于95分的有3个，成绩不低于95分的有9个，故抽取的12名新手中合格的频率为93124=，故从该市新手中任选1名合格的概率为34.X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则()4043310144256P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()311433123114425664P X C ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎝⎭，()22243354272144256128P X C ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()13343314441082732566C X ⎛⎭==⎫⎛⎫- ⎪⎭=⎪=⎝⎝，()034463318142544C P X ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭===.所以X 的分布列为X 01234P125636427128276481256()132727810123432566412864256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.练真题1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.2.（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】232027【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253⨯=；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为：23；2027.3．（2020·天津高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】1623【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.4.（2019·全国高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=5．（2015·全国高考真题（理））某公司为了解用户对其产品的满意度，从A、B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：73836251914653736482 93489581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度（不要求算出具体值，给出结论即可）：（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。
二项分布与正态分布
第7节二项分布与正态分布课时训练练题感提知能【选题明细表】一、选择题1.抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在10次试验中,成功次数X的期望是( C )(A)(B)(C)(D)解析:由题意知一次试验成功的概率为1-×=,10次试验为10次独立重复试验,则成功次数X～B,所以E(X)=,故选C.2.如果事件M和事件N相互独立,则下面各对事件不相互独立的是( A )(A)M与 (B)M与(C)与N (D)与解析:由相互独立事件的特点知A项正确,故选A.3.从应届毕业生中选拔飞行员,已知该批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他几项标准合格的概率为,从中任选一名学生,则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响)( B ) (A)(B)(C)(D)解析:由题意P=××=.故选B.4.甲、乙两人进行象棋比赛,比赛采用五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( A )(A)(B)(C)(D)解析:甲以3∶1的比分获胜,即前三局甲胜二局,第四局甲胜,所求的概率为P=()2××=.故选A.5.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是( C )(A)(B)(C)(D)解析:法一由题得P(A)=,P(B)=,事件A、B至少有一件发生的概率为P=P(A)+P(B)+P(AB)=P(A)·P()+P()·P(B)+P(A)·P(B)=×+×+×=,故选C.法二依题意得P(A)=,P(B)=,事件A,B中至少有一件发生的概率等于1-P(·)=1-P()·P()=1-×=,故选C.6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于( B ) (A)(B)(C)(D)解析:P(B|A)==,故选B.7.设X～B(n,),且E(X)=15,则n的值分别为( B )(A)40 (B)60 (C)50 (D)70解析:由题意得n=15,∴n=60,故选B.8.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是( C )(A)(B)(C)(D)解析:由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,又由p∈(0,1),可得p∈,故选C.二、填空题9.某篮球运动员在三分线投球的命中率是,他投球6次,恰好投进4个球的概率为(用数字作答).解析:P==.答案:10.(2014安徽宿州三中模拟)某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为、、,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为.解析:设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A、B、C,停车为,,,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,停车一次即为事件(BC)∪(A C)∪(AB)发生,故概率为P=(1-)××+×(1-)×+××(1-)=.答案:11.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是.解析:设“甲、乙二人相邻”为事件A,“甲、丙二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B|A),由于P(B|A)=,而P(A)==,AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”,故P(AB)==,于是P(B|A)==.答案:12.一个箱子中有9张标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的卡片,从中依次取两张,在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率是. 解析:法一设“第一张是奇数”记为事件A,“第二张是奇数”记为事件B,P(A)==,P(AB)==,所以P(B|A)===.法二设“第一张是奇数”记为事件A,“第二张是奇数”记为事件B,则n(A)=5×8=40,n(AB)=5×4=20.P(B|A)===.答案:三、解答题13.设甲、乙两射手独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.8、0.9,求:(1)两人各射击一次都击中目标的概率;(2)两人各射击一次中恰有1人击中目标的概率;(3)在一次射击中,目标被击中的概率;(4)两人各射击一次中,至多有1人击中目标的概率.解:设事件A表示甲射击一次,击中目标,事件B表示乙射击一次,击中目标,A与B相互独立,则P(A)=0.8,P(B)=0.9.(1)两人都击中目标的事件为A·B,∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72,即两人都击中目标的概率为0.72.(2)设事件C={两人中恰有1人击中目标},则C=A·+B·.∵A·与B·互斥,且A与B相互独立,∴P(C)=P(A·+B·)=P(A·)+P(B·)=P(A)·P()+P(B)·P()=P(A)·[1-P(B)]+P(B)·[1-P(A)]=0.8×0.1+0.9×0.2=0.26,即两人中恰有1人击中目标的概率为0.26.(3)设D={目标被击中}={两人中至少有1人击中目标},本问有三种解题思路:法一∵D=A·+B·+A·B,且A与,B与,A与B相互独立,A·,B·,A·B彼此互斥,∴P(D)=P(A·+B·+A·B)=P(A)·[1-P(B)]+P(B)·[1-P(A)]+P(A)·P(B)=0.8×0.1+0.9×0.2+0.8×0.9=0.98.即目标被击中的概率是0.98.法二利用求对立事件概率的方法.两人中至少有1人击中的对立事件为两人都未击中,所以两人中至少有1人击中的概率为P(D)=1-P(·)=1-P()·P()=1-0.2×0.1=0.98,即目标被击中的概率是0.98.法三∵D=A+B,且A与B相互独立,∴P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)=0.8+0.9-0.8×0.9=0.98,即目标被击中的概率是0.98.(4)设E={至多有1人击中目标},∵E=A·+B·+·,且A与、B与、与相互独立,A·、B·、·彼此互斥,∴P(E)=P(A·+B·+·)=P(A·)+P(B·)+P(·)=P(A)·P()+P(B)·P()+P()·P()=0.8×0.1+0.9×0.2+0.2×0.1=0.28,故至多有1人击中目标的概率为0.28.14.(2014山西省山大附中高三月考)“蛟龙号”从海底中带回的某种生物,甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为,乙组能使生物成活的概率为,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的.(1)甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率.(2)如果乙小组成功了4次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.(3)若甲乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为ξ,求ξ的期望.解:(1)因为甲组能使生物成活的概率为,所以甲组试验成功的次数X 服从二项分布B(3,),故P(A)=P(X=2)+P(X=3)=()2×+()3=+=.(2)由题意乙组成功4次,失败3次,共做了7次试验,其中恰有2次连续失败且最后一次成功共有12种不同的结果,所求事件B的概率P(B)=12×()4×(1-)3==.(3)由题意ξ的取值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)=()0()2··()2=,P(ξ=1)=()1()1··()2+()0()2·()1()1=,P(ξ=2)=()2()0·()2+()1()1·()2+()0()2·()2=,P(ξ=3)=()2()0·()2+()1()1·()2=,P(ξ=4)=()2()0·()2=.故ξ的分布列为E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=.15.(2013四川南充模拟)某地农民种植A种蔬菜,每亩每年生产成本为7000元,A种蔬菜每亩产量及价格受天气影响,预计明年雨水正常的概率为,雨水偏少的概率为.若雨水正常,A种蔬菜每亩产量为2000公斤,单价为6元/公斤的概率为,单价为3元/公斤的概率为;若雨水偏少,A种蔬菜每亩产量为1500公斤,单价为6元/公斤的概率为,单价为3元/公斤的概率为.(1)计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率;(2)在政府引导下,计划明年采取“公司加农户,订单农业”的生产模式,某公司未来不增加农民生产成本,给农民投资建立大棚,建立大棚后,产量不受天气影响,因此每亩产量为2500公斤,农民生产的A种蔬菜全部由公司收购,为保证农民的每亩预期收入增加1000元,收购价格至少为多少?解:(1)只有当价格为6元/公斤时,农民种植A种蔬菜才不亏本,所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=×+×=;(2)按原来模式种植,设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元,则ξ可能取值为:5000,2000,-1000,-2500.P(ξ=5000)=×=,P(ξ=2000)=×=,P(ξ=-1000)=×=,P(ξ=-2500)=×=,E(ξ)=5000×+2000×-1000×-2500×=500.设收购价格为a元/公斤,农民每亩预期收入增加1000元,则2500a≥7000+1500,即a≥3.4,所以收购价格至少为3.4元/公斤.。
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二项分布与正态分布1．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为( )A.127 B.23 C.827D.49解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于13的概率为P ＝1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.故选C.2．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.34B.23C.57D.512解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝512，故选D.3．(2018·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25B.35C.18125D.54125解析：选D 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125. 4．(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A.29B.49C.23D.79解析：选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D.5．(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100，a 2)(a ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800解析：选A 由题意得，P (X ≤90)＝P (X ≥110)＝110，所以P (90≤X ≤110)＝1－2×110＝45，所以P (100≤X ≤110)＝25，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为 1 000×25＝400.故选A.6．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P ABP A ＝1512＝25.故选C.7．(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4 )A．0.977 2 B．0.682 6C．0.997 4 D．0.954 4解析：选 A ∵X～N(800,502)，∴P(700≤X≤900)＝0.954 4，∴P(X＞900)＝1－0.954 42＝0.022 8，∴P(X≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.故选A.8．(2019·茂名一模)设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.44%)A．7 539 B．6 038C．7 028 D．6 587解析：选D ∵X～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.26%，∴P(0＜X＜2)＝68.26%，则P(1＜X＜2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D.9．(2019·珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )A．0.05 B．0.007 5C．13D．16解析：选C 设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，∴P(B|A)＝P AB P A ＝0.050.15＝13.故选C.10．(2019·江西名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413解析：选B 对于正态分布N (－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x ＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P (－3＜X ＜1)－P (－2＜X ＜0)]＝12×[P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P ＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.11．(2019·南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P ABP A ＝1513＝35. 答案：3512．(2019·郑州一中月考)科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为________．解析：甲第3次考试才通过科目二，则前2次都未通过，第3次通过，故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342×34＝364. 答案：36413．(2019·合肥名校联考)已知随机变量X ～N (1，σ2)，若P (X ＞0)＝0.8，则P (X ≥2)＝________.解析：随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，∴正态曲线关于x ＝1对称，∴P (X ≥2)＝P (X ≤0)＝1－P (X ＞0)＝0.2.答案：0.214．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析：设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.答案：0.0915．九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列．解：(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，所以这批九节虾的数量约为1 186只．(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625， P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625，P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625.所以X 的分布列为16．(2019·惠州模拟)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1681. (2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23，∴P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081，P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081， P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181， ∴ξ的分布列为ξ 10 30 50 P408130811181∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝1 85081.17．(2018·濮阳二模)近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略，随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T (单位：时)，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T 近似服从N (μ，σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2＝0.24.(1)计算μ，并利用该正态分布求P (1.51＜T ＜2.49)．(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10 000名客户，记X 为这10 000人中目标客户的人数．(ⅰ)求EX ；(ⅱ)问：10 000人中目标客户的人数X 为何值的概率最大？ 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.24≈0.49.解：(1)μ＝0.4×(0.050×0.8＋0.225×1.2＋0.550×1.6＋0.825×2.0＋0.600×2.4＋0.200×2.8＋0.050×3.2)＝2，从而T 服从N (2,0.24)， 又σ＝0.24≈0.49，从而P (1.51＜T ＜2.49)＝P (μ－σ＜T ＜μ＋σ)＝0.682 6. (2)(ⅰ)任意抽取1名客户，该客户是目标客户的概率为P (2＜T ＜2.98)＝P (μ＜T ＜μ＋2σ) ＝12P (μ－2σ＜T ＜μ＋2σ)＝12×0.954 4＝0.477 2. 由题意知X 服从B (10 000,0.477 2)， 所以EX ＝10 000×0.477 2＝4 772. (ⅱ)X 服从B (10 000,0.477 2)，P (X ＝k )＝C k 10 0000.477 2k (1－0.477 2)10 000－k ＝ C k 10 0000.477 2k ·0.522 810 000－k (k ＝0,1,2，…，10 000)． 设当X ＝k (k ≥1，k ∈N)时概率最大，则有⎩⎨⎧P X ＝k ＞P X ＝k ＋1，P X ＝k ＞P X ＝k －1，得⎩⎨⎧0.522 8C k10 000＞0.477 2C k ＋110 000，0.477 2C k 10 000＞0.522 8C k －110 000，解得k ＝4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大．。