高中数学章末检测试卷一(第六章)
(北师大版)高中数学必修第一册第六章综合测试02(含答案)
第六章综合测试一、单选题1.下列说法错误的是（）A.在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大2.2019年高考某题的得分情况如下：其中众数是（）A.37.0%B.20.2%C.0分D.4分3.为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m，由此可推断我国13岁的男孩平均身高为（）A.1.54mB.1.55mC.1.56mD.1.57m4.某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本.某中学共有学生2 000名，从中抽取了一个容量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生（）A.1 030名B.97名C.950名D.970名5.如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图.已知利润为收入与支出的差，利润收入支出，则下列说法正确的是（）即=−A.利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元B.利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元C.收入最少的月份的利润也最少D.收入最少的月份的支出也最少6.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽取100人，了解他们对2020年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.抽取的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B.抽取的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C.抽取的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D.抽取的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为507.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75.后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得了80分却记成了50分，乙实际得了70分却记成了100分，则更正后的平均分和方差分别为（）A.70，75B.70，50C.70，1.04D.60，25二、多选题8.以下叙述正确的是（）A.极差与方差都刻画数据的离散程度B.方差是没有单位的统计量C.标准差比较小时，数据比较分散D.只有两个数据时，极差是标准差的2倍9.为预测2020年欧洲杯足球赛比赛结果，某博彩公司对甲乙两国国家队一年比赛情况作了统计：甲队平均每场进球数是3.1，全年进球数的标准差为3.6；乙队平均每场进球数是1.6，全年进球数的标准差为0.2.下列说法中，正确的有（）A.甲队的技术比乙队好B.乙队发挥比甲队稳定C.甲队几乎每场都进球D.甲队的表现时好时坏10.如图是某公司2019年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A.2019年3月的销售任务是400台B.2019年月销售任务的平均值不超过600台C.2019年第一季度总销量为900台D.2019年月销量最大的是6月份11.如图1为某省2019年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1～4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是（）A.2019年1～4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2 000万件B.2019年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C.从两图中看，业务量与业务收入变化基本一致D.从1～4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长三、填空题12.某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：63 38 25 42 56 48 53 39 28 47则上述数据的50%分位数为________，中位数与极差之和为________ .13.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为________.14.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中5x ≠，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为________.15.某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[)90100，后画出如图所示的部分频率分布直方图，则物理成绩低于50分的学生人数与及格的学生的物理平均成绩分别为________.四、解答题16.（10分）2019年春节前，有超过20万名来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个休息站，让过往的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小林在某休息站连续15天对进站休息的驾驶人员省籍询问的记录中，随机取了5天的询问结果作出如图折线图：（1）交警小林抽取5天进站休息的驾驶人员的省籍询问记录采用的是什么抽样方法？（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？17.（12分）某市有210名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩如表：（1）求样本的平均成绩和标准差（精确到0.01分）；（2）若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？18.（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B 两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：P C的估计值为0.70.记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值.（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.19.（12分）某学校高一（1）、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如表.（1）请你对下面的一段话给予简要分析.高一（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”（2）请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议.20.（12分）某地区有居民600户，其中普通家庭450户、高收入家庭150户.为了调查该地区居民奶制品月消费支出，决定采用分层随机抽样的方法，按普通家庭、高收入家庭进行分层，得到普通家庭、高收入家庭的奶制品平均月消费支出分别为40元和90元.（1）如果在各层中按比例分配样本，总样本量为60，那么在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了多少户？在这种情况下，请估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出.（2）如果从普通家庭、高收入家庭中抽取的样本量分别为30和30，那么在这种情况下，抽取的这60户居民奶制品的平均月消费支出是多少？用这60户居民奶制品的平均月消费支出估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出合理吗？如果不合理，那该怎样估计更合理？21.（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.n=，求y与x的函数解析式；（1）若19（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？第六章综合测试 答案解析一、 1.【答案】B【解析】平均数不大于最大值，不小于最小值. 2.【答案】C【解析】众数出现的频率最大. 3.【答案】C【解析】我国13岁的男孩平均身高为()()()300 1.60200 1.50300200 1.56m ⨯+⨯÷+=. 4.【答案】D【解析】由题意，知该中学共有女生2001032000970200−⨯=（名）.5.【答案】D【解析】利润最高的月份是3月份和10月份，且2月份的利润为403010−=万元，故A 错误；利润最低的月份是8月份，且8月份的利润为5万元，故B 错误；收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，且利润是10万元，故5月份的利润不是最少，故C 错误，D 正确. 6.【答案】A【解析】根据频率分布直方图的性质得()0.010.050.060.020.0251a +++++⨯=，解得0.04a =，所以抽取的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为0.04510020⨯⨯=，所以A 正确；年龄在35～45岁的人数大约为()0.060.04510050+⨯⨯=，所以B 不正确；年龄在40～50岁的人数大约为()0.040.02510030+⨯⨯=，所以C 不正确；年龄在35～50岁的人数大约为()0.060.040.02510060++⨯⨯=，所以D 不正确.故选A. 7.【答案】B【解析】注意到平均数没有变化，只是方差变动.更正前，()()22215070*********s ⎡⎤=⨯+−+−+=⎣⎦……，更正后，()()2221807070705048s ⎡⎤'=⨯+−+−+=⎣⎦…….二、8.【答案】AD【解析】定义可知A 正确，只有两个数据时，极差等于21x x −，标准差等于2112x x −.故D 正确.BC 错误. 9.【答案】ABD【解析】因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，A 正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，B 也正确；尽管甲队平均每场进球数为3.1个，但全年进球数的标准差大，表现呈时好时坏状况，不能判断每场都进球，C 不正确，D 正确. 10.【答案】CD【解析】由题图得3月份的销售任务是400台，所以A 正确；由题图得2019年月销售任务超过600台的只有3个月，则平均值不超过600台，所以B 正确；由题图得第一季度的总销量为30050%200100%400120%830⨯+⨯+⨯=（台），故C 不正确；由题图得销量最大的月份是5月份，为800台，故D 不正确. 11.【答案】ABC【解析】由题图1可知快递业务量3月份为4 397万件，2月份为2 411万件，差值为439724111986−=万件，故A 正确；由题图1可知B 也正确；对于C ，由两图易知业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化是3月→4月→1月→2月，变化基本一致，所以C 正确;对于D ，由题图知业务收入2月比1月减少，4月比3月减少，整体不具备高速增长之说，所以D 不正确. 三、12.【答案】44.5 82.5【解析】把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48，53，56，63，则1050%5⨯=. 所以50%分位数为42478944.522+== .数据的50%分位数即中位数，极差为632538−=，它们的和为44.53882.5+=.13.【答案】137【解析】由题图可知该校女教师的人数为()11070%150160%7760137⨯+⨯−=+=. 14.【答案】3【解析】由题意，可得该组数据的众数为2，所以232322x +=⨯=，解得4x =，故该组数据的平均数为122451046+++++=.所以该组数据的方差为()()()()()()2222221142424445410496⎡⎤⨯−+−+−+−+−+−=⎣⎦，即标准差为3.15.【答案】6，77.7【解析】因为各组的频率和等于 1.所以由频率分布直方图得低于50分的频率为()110.01520.030.0250.005100.1f =−⨯+++⨯=.又抽出的学生共有60名，所以成绩低于50分的人数为600.16⨯=.由题意，得[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，四组的人数分别为9，18，15，3.又四组的组中值分别为65，75，85，95，所以及格的学生的物理平均成绩约为96518751585395349577.74545⨯+⨯+⨯+⨯=≈.四、16.【答案】（1）根据题意，因为总体与样本量都较小，所以交警小林可以采用抽签法.（2）从题图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有520252030100++++=（人），四川籍的有151055540++++=（人）， 设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得510040x=，解得2x =，即四川籍的应抽取2名. 17.【答案】（1）()1465156217128393 6.0060x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()()22222221646155621661276386396 1.560s ⎡⎤=⨯⨯−+⨯−+⨯−+⨯−+⨯−+⨯−=⎣⎦，所以1.22s ≈，故样本的平均成绩为6.00分，标准差约为1.22分.（2）在60名选手中，有123318++=（名）学生预赛成绩在7分或7分以上，所以估计210人中有182106360⨯=（名）学生的预赛成绩在7分或7分以上，故大约有63名学生可以进入复赛. 18.【答案】（1）由已知得0.700.20.15a =++，故0.35a =. 10.050.150.700.10b =−−−=.（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.【答案】（1）由于（1）班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，该成绩应该属于中下游.但是我们不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段时间的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游. （2）（1）班成绩的中位数是87分，说明高于87分（含87分）的人数占一半或一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也很多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助.（2）班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，学习优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.20.【答案】（1）设在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了m ，n 户，则60450150600m n ==，解得45m =，15n =.样本平均数4515409052.56060x =⨯+⨯=（元）.在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数x 估计总体平均数X ，即在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了45户、15户，估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出为52.5元.（2）抽取的这60户居民奶制品的平均月消费支出是30304090656060⨯+⨯=（元），因为在该地区居民中，普通家庭户数是高收入家庭户数的3倍，而抽取的普通家庭的样本量与高收入家庭的样本量相等，所以用这60户居民奶制品的平均月消费支出估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出不合理.应该用抽取的普通家庭奶制品的平均月消费支出40元估计该地区全体普通家庭的平均月消费支出，用抽取的高收入家庭的平均月消费支出90元估计该地区全体高收入家庭的平均月消费支出，得到该地区全体居民奶制品的平均月消费支出为450150409052.5600600⨯+⨯=（元）.这样估计较合理.高中数学 必修第一册 4 / 4 21.【答案】（1）当19x ≤时，3800y =；当19x ＞时，()3800500195005700y x x =+−=−.所以y 与x 的函数解析式为()380019500570019x y x x x ⎧=∈⎨−⎩N ，≤，，＞. （2）由柱状图知需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元，20台的费用为4300元，10台的费用为4800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为()13800704300204800104000100⨯⨯+⨯+⨯=（元），若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为()14000904500104050100⨯⨯+⨯=（元）. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.。
高中数学必修二 第六章 章末小结 练习(含答案)
第六章 综合检测题一、选择题1．向量AB MB BO BC OM ++++=（ ） A ．AC B ．ABC ．BCD ．AM【答案】A【解析】向量AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=. 故选：A.2．【2019年5月10日《每日一题》必修4向量数乘运算及其几何意义】在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是 A ．长方形 B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【答案】D【解析】由题意，因为2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--， ∴AD AB =+BC +24532CD a b a b a b BC =+----=， ∴AD ∥BC ，且AD≠BC ，∴四边形ABCD 为梯形，故选D ．3．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB+A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D ．4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.5．在ABC ∆中，若3AB =，BC =4AC =，则AC 边上的高为 （ ）A B C ．32D ．【答案】B【解析】由题意可知，222341cos 2342A +-==⨯⨯,sin A ∴=又1··2ABC S AB AC ∆= 1sin ?·,2A AC h h =∴=.故选B.6．若平面向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，|b ⃗⃗|=4，(a ⃗+2b ⃗⃗)•(a ⃗−3b ⃗⃗)=−72，则向量a ⃗的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 【答案】C【解析】∵(a ⃗+2b ⃗⃗)·(a ⃗−3b ⃗⃗)=−72，∴|a ⃗|2−a ⃗·b ⃗⃗−6|b ⃗⃗|2=−72，又∵a ⃗·b ⃗⃗=|a ⃗|·|b ⃗⃗|cos60∘，∴|a ⃗|2−2|a ⃗|−24=0，则|a ⃗|=6，故选C7．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．2【答案】B【解析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 由此，()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故11,12λμλμ=-=+， 解得415,,333λμλμ==+=.故选B. 8．已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.9.（多选题）设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A.a ·c －b ·c ＝(a －b )·c ； B.(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； C.|a |－|b |<|a －b |； D.(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 【答案】A ，C ，D【解析】根据向量积的分配律知A 正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0，∴(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，B 错误；因为a ，b 不共线，所以|a |，|b |，|a －b |组成三角形三边，∴|a |－|b |<|a －b |成立，C 正确；D 正确.故正确命题的序号是A ，C ，D.10.（多选题）给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ） A.非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30° B.若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形C.若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋xb |(x ∈R )取最小值时x ＝1D.若OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m ＞－34. 【答案】A ，B ，C【解析】A 中，令OA →＝a ，OB →＝b .以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故A 正确. B 中，∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，∴|AB →|2＝|AC →|2，故△ABC 为等腰三角形.故B 正确.C 中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1.故③正确.D 中，∵BA →＝OA →－OB →＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＞0，即3＋3m ＋m ＞0，∴m ＞－34.又当BA →与BC →同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m ＞－34且m ≠12.故D 不正确.故选A ，B ，C. 11.（多选题）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论不正确的是（ ） A ．a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A B sin a B ．＝sin b A C ．a ＝sin cos b C c B + D ．cos cos sin a B b A C += 【答案】A ，B ，C【解析】由在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，知： 在A 中，由余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，故A 正确； 在B 中，由正弦定理得：，∴a sin B ＝b sin A ，故B 正确；在C 中，∵a ＝sin cos b C c B +，∴由余弦定理得：a ＝b ×+c ×，整理，得2a 2＝2a 2，故C 正确；在D 中，由余弦定理得a cos B +b cos A ＝a ×+b ×＝+＝c ≠sin C ，故D 错误．故选A ，B ，C.12.（多选题）在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝4，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝3，B ＝60°D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30°【解析】B ，C【解析】对于A ，∵b ＝7，c ＝3，C ＝30°，∴由正弦定理可得：sin B ＝＝＝＞1，无解；对于B ，b ＝5，c ＝4，B ＝45°，∴由正弦定理可得sin C ＝＝＝＜1，且c ＜b ，有一解；对于C ，∵a ＝6，b ＝3，B ＝60°，∴由正弦定理可得：sin A ＝＝＝1，A ＝90°，此时C ＝30°，有一解；对于D ，∵a ＝20，b ＝30，A ＝30°，∴由正弦定理可得：sin B ＝＝＝＜1，且b ＞a ，∴B 有两个可能值，本选项符合题意．故选B ，C ． 二、填空题13．【贵州省贵阳市第一中学2020届高三上学期第三次月考数学（理)试题】已知()1,3a =，()0,1b =-，则a b b a b ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭________． 【答案】1 【解析】2a =，1b =，所以()13,,0,122ab ab⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以13,122a bab ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()10111||222||a b b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=⨯+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1. 14．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.若2,a b ==sin cos B B +=,，则角A 的大小为____________________. 【答案】6π【解析】由sin cos )4B B B π+=+=sin()14B π+=，所以4B π=由正弦定理sin sin a b A B=得sin 14sin 22a B Ab π===，所以A=6π或56π（舍去）、 15．如图，在ABC 中，12021BAC AB AC ∠=︒==，，，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC = ．【答案】83-【解析】由图及题意得 ， =∴ =()()= +== .16．设1e ,2e 是两个不共线的向量, a =31e +42e ,b =1e -22e .若以a ,b 为基底表示向量1e +22e ,即1e +22e =λa +μb ,则λ= ，μ= 。
高中数学选择性必修三 第六章 章末测试(无答案)
第六章 章末测试一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2020·全国高二单元测试）若a ∈N ＋，且a < 20，则(27－a )(28－a )…(34－a )等于（ ） A ．827a A - B ．2734aa A -- C ．734a A -D ．834a A -2．（2020·全国高二课时练习）下列问题属于排列问题的是（ ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为log a b 中的底数与真数 A ．①④B ．①②C ．④D ．①③④3．（2020·全国高二单元测试）用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有（ ） A ．48个 B ．64个 C ．72个D ．90个4．（2020·贵州省黎平县第三中学高二期末）51x⎛ ⎝的展开式中常数项为（ ）A ．5-B ．5C ．10D ．10-5．（2020·三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B 向结点A 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）A ．26B ．24C ．20D ．196．（2021·广东）5(1)(2)x x -+展开式中含2x 项的系数为（ ）A ．25B ．5C ．15-D ．20-7．（2020·广东佛山市）将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．50408．（2020·南昌市八一中学高二月考）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.现有四名志愿者医生被分配到A 、B 、C 、D 四所不同的乡镇医院中，若每所医院都要分配一名医生，则医生甲恰好分配到A 医院的概率为（ ） A ．112B ．16C ．14D ．13二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2020·江苏扬州市）在()18a b -的展开式中，系数最大的项是第（ ）项. A ．8B ．9C ．10D ．1110．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）设6260126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，下列结论正确的是（ ） A ．6012563a a a a a -+-+=B ．23100a a +=C ．1236,,,,a a a a 中最大的是2aD ．当999x =时，6(21)x +除以2000的余数是111．（2020·江苏宿迁市）对于()()N na b n *+∈展开式的二项式系数下列结论正确的是（ ）A ．m n m n n C C -=B ．11m m mn n n C C C -++=C ．当n 为偶数时，012...2n nn n n n C C C C ++++= D ．0121...2-++++=n n n n n n C C C C12．（2020·湖南）关于二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列结论错误的是（ ）A ．展开式所有的系数和为1B ．展开式二项式的系数和为32C ．展开式中不含3x 项D ．常数项为120三、填空题（每5分，4题共20分，双空题第一空2分，第二空3分） 13．（2020·苏州新草桥中学高二期中）若20192019012019(12)()x a a x a x x R -=+++∈，则20191222019222a a a +++的值为_________． 14．（2020·河北石家庄市）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.15．（2020·新疆）若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为______.16．（2020·浙江台州市·高二期中）在二项式1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，21x 项的系数为________；各项系数之和为________.(用数字作答) 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2020·辽宁高二期末）在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为74，③各项系数之和为144，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由.设二项式33nx ⎫⎪⎭，若其展开式中，______，是否存在整数k ，使得k T 是展开式中的常数项？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.18．（2020·防城港市）5个男同学和4个女同学站成一排 （1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ （4）男生和女生相间排列方法有多少种？19．（2020·全国高二单元测试）按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答) (1) 6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (3) 6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (4) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒.20．（2018·天津静海区）在10(23)x y 的展开式中，求： （1）二项式系数的和； （2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和； （5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.21．（2020·湖北潜江市）已知数列{}n a 的首项为1，令()()12*12nn n n n a C a C a f n N n C =+++∈．（1）若{}n a 为常数列，求()f n 的解析式；（2）若{}n a 是公比为3的等比数列，试求数列(){}31f n +的前n 项和n S ．22．（2020·江苏全国）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列.。
高中数学选择性必修三 精讲精炼 第六章 计原理 章末测试(提升)(含答案)
第六章 计数原理 章末测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·全国·高二课时练习)某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有( ) A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．144种【答案】C【解析】根据题意，从4个视频中选2个有24C 种方法， 2篇文章全选有22C 种方法，2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有33A 种方法， 最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有22A 种方法，故满足题意的学法有22324232C C A A 72=(种)．故选：C2．(2021·全国·高二课时练习)一个66⨯的表格内，放有3辆完全相同的红车和3辆完全相同的黑车，每辆车占1格，每行每列只有1辆车，放法种数为( ) A ．720 B ．20 C ．518400 D ．14400【答案】D【解析】先假设3辆红车不同，3辆黑车也不相同， 第一辆车显然可占36个方格中任意一个，有36种放法，第二辆车由于不能与第一辆车同行，也不能与第一辆车同列，有25种放法， 同理，第三、四、五、六辆车分别有16，9，4，1种放法． 再注意到3辆红车相同，3辆黑车也相同，故不同的放法共有()22654321362516941720144003!3!6636⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯(种)．故选：D3．(2022·全国·高三专题练习)在关于[]()sin 0,x x π∈的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的项的值为52，则x =( )A ．3π B ．3π或23πC ．6πD ．6π或56π 【答案】D【解析】由题意知：117n nn n C C n -+=+=，解得：6n =，∴展开式的第4项的二项式系数最大，3365sin 2C x ∴=，即3520sin 2x =，1sin 2x ∴=，又[]0,x π∈，6x π∴=或56π.故选：D ．4．(2022·全国· 专题练习)已知()63212x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为( ) A ．80 B ．160 C ．240 D ．320【答案】D【解析】令1x =得6(1)(21)3a +-=，解得2a =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为666316621C (2)(1)2C rr r r r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()632122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为26223633662(1)2C (1)2C 320--⨯-+-=．故选：D5．(2021·全国·高二课时练习)已知2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，则实数a 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】C【解析】()10102102111a a ⨯+=⨯-+10921111111a ⎡⎤=-+-++⎣⎦()()()10921111112a ⎡⎤=-+-+⋯+-++⎣⎦， ∵()()()1092111111⎡⎤-+-+⋯+-⎣⎦能被11整除， ∴要使()10210011a a ⨯+≤<能被11整除，则2a +能被11整除，∵011a ≤<，∴2213a ≤+<，则211a +=，解得9a =， 故选：C.6．(2021·重庆市实验中学 )若()28210012101(41)(21)(21)(21)x x a a x a x a x ++=+++++++，则1210a a a +++等于( )A ．2B ．1C ．54D ．14-【答案】D【解析】令0x =，则 801210(01)(0+1)1a a a a =+⨯++++=，令12x =-，则8015(1)(2+1)44a =+⨯-=，121051144a a a ∴+=-+=-+故选：D7．(2021·全国·高二单元测试)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上､中､下三档的数字和分别为a ，b ，c .例如，图中上档的数字和a =9.若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有( )种.A ．12B ．24C ．16D ．32【答案】D【解析】根据题意，a ，b ，c 的取值范围都是从7~14共8个数字，故公差d 范围是3-到3，①当公差0d =时，有188C =种，②当公差1d =±时，b 不取7和14，有16212C ⨯=种， ③当公差2d =±时，b 不取7，8，13，14，有1428C ⨯=种， ④当公差3d =±时，b 只能取10或11，有1224C ⨯=种，综上共有8128432+++=种， 故选：D ．8．(2021·全国·高二单元测试)设a >0，b >0，且52b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中各项的系数和为32，则14a b +的最小值为( )A ．4BC ．D ．92【答案】D【解析】设0a >，0b >，且52()b ax x+展开式中各项的系数和为5()32a b +=， 2a b ∴+=，则141412529()22222222a b b a b a aba b a b a b ++=+=++++=， 当且仅当24,33a b ==时，等号成立．则14a b +的最小值为92， 故选：D ．二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·山东无棣·高二期中)已知102(0)ax a⎛> ⎝，展开式的各项系数和为1024，下列说法正确的是( )A ．展开式中偶数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含10x 项的系数为45 【答案】BC【解析】解：∵展开式的各项系数之和为1024， ∴10(1)1024a +=， ∵a ＞0，∴a ＝1．原二项式为102x⎛ ⎝，其展开式的通项公式为：()520102211010rr r r r r T C x C x--+=⋅⋅= 展开式中偶数项的二项式系数和为12×1024＝512，故A 错；因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B 对；令520082r r -=⇒=，即展开式中存在常数项，C 对；令410520104,2102r r C -=⇒==，D 错．故选：BC ．10．(2021·山东·高二期中)为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则下列选项正确的是( ) A ．共有625种分配方法 B ．共有1024种分配方法C ．每个小区至少分配一名志愿者，则有240种分配方法D ．每个小区至少分配一名志愿者，则有480种分配方法 【答案】BC【解析】对于选项AB:若需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则每个志愿者都有4种可能，根据计数原理之乘法原理，则有45=1024种不同的方法，故A 错误，B 正确，对于选项CD ：若每个小区至少分配一名志愿者，则有一个小区有两名志愿者，其余小区均有1名志愿者，由部分均匀分组消序和全排列可知，把5名志愿者分成4组，有211145321433240C C C C A A =种不同的分配方法， 故C 正确，D 错误. 故选：BC.11．(2021·山东·高二期中)已知5()(1a x ++展开式的所有项系数之和为96，则下列说法正确的是( ) A ．1a = B ．2a =C ．5()(1a x ++展开式中2x 项的系数为10D ．5()(1a x ++展开式中2x 项的系数为20 【答案】BD【解析】由已知，令1x =可得，()51296a +⨯=，解得2a =，故A 错误，B 正确，因为二项式5(1+的展开式的通项公式为2155rr r r r T C C x +==，所以5(2)(1x +的展开式中含2x 的项为4222255220C x C x x +=，所以含2x 项的系数为20，故C 错误，D 正确， 故选：BD.12．(2021·福建·福清龙西中学高二期中)关于32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式，下列结论正确的是( )A ．所有项的二项式系数和为32B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20-D ．二项式系数最大的项为第3项【答案】BC【解析】因为3223261112x x x x x x ⎡⎤=-=-⎢⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎝⎝⎣⎦⎭⎥⎥，A.二项式系数和为6264=，错误；B.令1x =可得600=，所有项的系数为0，正确；C.展开式的通项为()66216611rr rrrr r T C xC x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3r =，可得常数项为3620C -=-，正确； D.展开式中一共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，错误； 故选：BC.三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2022·浙江· )将2个2021，3个2019，4个2020填入如图的九宫格中，使得每行数字之和、每列数字之和都为奇数，不同的填法有___________种.(用数字回答)【答案】90【解析】某行(列)的数字和为奇数，则该行(列)的奇数个数为1个或3个，题中有5个奇数，4个偶数，则分布到3行，必有一行有3个奇数，另两行只有1个奇数，列同理，则奇数的位置分布有339⨯=种，对于每种位置，从5个位置中选择2个位置放2021，有2510C =种，由分步乘法计数原理可知，不同的填法种数为91090⨯=种. 故答案为：90.14．(2021·山东· )已知()()()()72801282111x x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则56a a +=________．【答案】0【解析】由题知，7280128(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-+⋯⋯+-，且()()77(2)1111x x x x -=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()23545771114a C C =⋅-+⋅-=-， ()()12656771114a C C =⋅-+⋅-=，所以5614140a a +=-+=. 故答案为：015．(2021·广东珠海 )4(12)(12)x x -+的展开式中含3x 的项的系数为________． 【答案】-16【解析】因为4(12)(12)x x -+44(12)2(12)x x x =+-+,所以4(12)(12)x x -+的展开式中3x 的系数为332244222324816C C -=-=-.故答案为：16-16．(2022·全国· 专题练习)设复数1i 1iz +=-，则0122334455668888888C C C C C C C z z z z z z +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 778C z +⋅=______. 【答案】15【解析】()()()21i 1i 2i ==i 1i 1i 1i 2z ++==--+， 所以0122334455667788888888C C C C C C C C z z z z z z z +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=884(1i)i (2i)115+-=-=.故答案为：15.四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·全国·高二课时练习)若251098109810(321)()x x a x a x a x a x a x C -+=+++++∈，求：(1)22024*********()()a a a a a a a a a a a +++++-++++；(2)246810a a a a a -+-+-. 【答案】(1)512；(2)127.【解析】(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 10＝25；令x ＝－1，得(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＝65.两式相乘，得(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝25×65＝125.(2)令x ＝i ，得－a 10＋a 9·i ＋a 8－a 7·i －a 6＋a 5·i ＋a 4－a 3·i －a 2＋a 1·i ＋a 0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i.整理得，(－a 10＋a 8－a 6＋a 4－a 2＋a 0)＋(a 9－a 7＋a 5－a 3＋a 1)·i ＝128＋128i ， 故－a 10＋a 8－a 6＋a 4－a 2＋a 0＝128. 因为a 0＝1，所以－a 10＋a 8－a 6＋a 4－a 2＝127.18．(2021·全国·高二课时练习)在①第5项的系数与第3项的系数之比是14:3，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③221C C 10n n n-+-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．问题：已知在n的展开式中，______．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中含5x 的项．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】方案一：选条件①．(1)n展开式的通项为()3561C 1C kn kn kk kk k nn T x--+⎛==- ⎝，0k =，1，2，…，n ． 因为()()44221C 1431C nn-=-，即423C 14C n n =，所以()()!!3144!4!2!2!n n n n ⨯=⨯--， 整理得1050n n ，解得10n =或5n =-(舍去)，所以10的展开式共有11项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，为()302555566651101C 252T T xx -+==-=-．(2)令30556k-=，得0k =， 所以展开式中含5x 的项为展开式的第1项，即5x ． 方案二：选条件②．(1)n展开式的通项为()3561C 1C kn kn kk kk k nn T x--+⎛==- ⎝，0k =，1，2，…，n ． 因为12C C 55n n n -+=，所以2C 55n n +=，即()1552n n n -+=，即21100n n +-=， 解得10n =或11n =-(舍去)，所以10的展开式共有11项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，为()302555566651101C 252T T xx -+==-=-．(2)令30556k-=，得0k =， 所以展开式中含5x 的项为展开式的第1项，即5x ． 方案三：选条件③．(1)n展开式的通项为()3561C 1C kn kn kk kk k nn T x--+⎛==- ⎝，0k =，1，2，…，n ． 因为221C C 10n n n -+-=，所以221C C 10n n +-=，所以()()111022n n n n +--=，解得10n =，所以10的展开式共有11项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，为()302555566651101C 252T T x x -+==-=-．(2)令30556k-=，得0k =， 所以展开式中含5x 的项为展开式的第1项，即5x ．19．(2021·广东·深圳实验学校高中部高二月考)现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学(要求用数字作答).(1)若5本书完全相同，共有多少种分法；(2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法；(3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，共有多少种分法. 【答案】(1)21；(2)150；(3)39.【解析】(1)先借三本相同的书一人给一本，保证每人至少分得一本，再将这5本书和2个挡板排成一排，利用挡板将5本书分为3组，对应3位同学即可，有2721C =种情况，即有21种不同的分法； (2)分2步进行： ①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有31522210C CA =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法， 从而分组方法有101525+=种；②将分好的三组全排列，对应3名学生，有336A =种情况，根据分步计数原理，故共有256150⨯=种分法；(3)记这5本书分别为A 、A 、B 、C 、D ， 5本书取其三本分配时， ①不含A 时仅有一种分组，再分配给3人，有3种方法，②仅含一个A 时，分组的方法有23C 种，再分配给3人，共有233318C A ⨯=种方法，③含两个A 时，分组的方法有13C 种，再分配给3人，共有133318C A ⨯=种方法，从而共有18+18+3=39种分法.20．(2021·江苏江都·高二期中)生命在于运动。
高中数学章末检测试卷(一)
章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B 等于( ) A ．{－2} B ．{2} C ．{－2,2} D ．∅ 答案 A解析 ∵A ＝{x |x ＋2＝0}，∴A ＝{－2}． ∵B ＝{x |x 2－4＝0}，∴B ＝{－2,2}． ∴A ∩B ＝{－2}．故选A.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A 答案 A解析 因为a ＝2＋3≤10，故a ∈A .3．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 C解析 三角形的三条边相等，则三角形为等边三角形，即充分性成立，三角形为等边三角形，则三角形的三条边相等，即必要性成立，则“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件，故选C.4．设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}，(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选项B 符合． 5．已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32D ．A ∪B ＝R考点 并集、交集的综合运算题点 并集、交集的综合运算 答案 A解析 因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32， A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}． 故选A.6．全称量词命题：∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4的否定是( ) A ．∃x ∈R ，x 2＋5x ＝4 B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4 C ．∃x ∈R ，x 2＋5x ≠4 D ．以上都不正确 答案 C解析 ∵全称量词命题的否定是存在量词命题，∴∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4的否定是：∃x ∈R ，x 2＋5x ≠4.故选C.7．设集合U ＝{－1,1,2,3}，M ＝{x |x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{－1,1}，则实数p 的值为( ) A ．－6 B ．－4 C ．4 D ．6 答案 D解析 由题意M ＝{2,3}，∴2×3＝p ，∴p ＝6.8．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件，故选A.9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围为( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3<m <4 C ．2<m <4 D ．2<m ≤4 答案 D解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，即2<m ≤4. 10．设m 为给定的一个实常数，命题p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋2m ≥0，则“m ≥3”是“命题p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 当命题p 为真时，则∀x ∈R ，x 2－4x ＋2m ≥0恒成立，即Δ＝16－8m ≤0，即m ≥2. 因为“m ≥3”是“m ≥2”充分不必要条件，即“m ≥3”是“命题p 为真命题”的充分不必要条件， 故选A.11．给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是有限集．其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A.12．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a ≤13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a ≤13D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥13 答案 C解析 若a ＝0，则不等式等价为2x ＋3>0，对于∀x ∈R 不成立，若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a <0，解得a >13，∴命题p 为真命题的a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a >13， ∴使命题p 为假命题的a 的范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a ≤13.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{7,2m －1}，B ＝{7，m 2}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 答案 1解析 若A ＝B ，则m 2＝2m －1，即m 2－2m ＋1＝0，即m ＝1.14．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a >－1}解析 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.15．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4＝0}，则(∁R S )∪T ＝________. 答案 {x |x ≤－2或x ＝1}解析 ∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4＝0} ＝{－4,1}．所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2或x ＝1}．16．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 答案 {m |m >1}解析 由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，得A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－1，m ＋1>2，即m >1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定： (1)p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0都成立； (2)p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5>0.解 (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p ：存在一个x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立”； (2)由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．18．(12分)已知p ：－1<x <3，q ：k －2≤x ≤k ＋5，若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．解 ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴p ⇒q ，q ⇏p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2≤－1，k ＋5≥3即－2≤k ≤1， 所以k 的取值范围为{k |－2≤k ≤1}．19．(12分)已知集合P ＝{2，x ，y }，Q ＝{2x,2，y 2}，且P ＝Q ，求x ，y 的值．解 ∵P ＝Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ，y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12.由元素的互异性可知x ≠y ， 故x ＝0，y ＝1或x ＝14，y ＝12.20．(12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R . (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 解 (1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6} ＝{x |1<x ≤8}．∵∁U A ＝{x |x <2或x >8}， ∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}．(2)∵A ∩C ≠∅，作图易知，只要a 在8的左边即可， ∴a <8.∴a 的取值范围为{a |a <8}．21．(12分)已知集合P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)求集合∁R P ；(2)若P ⊆Q ，求实数m 的取值范围； (3)若P ∩Q ＝Q ，求实数m 的取值范围． 解 (1)∁R P ＝{x |x <－2或x >10}．(2)由P ⊆Q ，需⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．(3)由P ∩Q ＝Q 得，Q ⊆P ，①当1－m >1＋m ，即m <0时，Q ＝∅，符合题意；②当1－m ≤1＋m ，即m ≥0时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，得0≤m ≤3；综上得m ≤3，即实数m 的取值范围为{m |m ≤3}．22．(12分)已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 因为P 是非空集合，所以2a ＋1≥a ＋1，即a ≥0. (1)当a ＝3时，P ＝{x |4≤x ≤7}，(∁R P )＝{x |x <4或x >7}， Q ＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，a ≥0，且a ＋1≥－2和2a ＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤2}．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学(苏教版选修2-2)章末检测卷(一) 含解析
章末检测卷(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．物体运动的方程为s＝14t4－3，则t＝5时的瞬时速度为________．答案125解析v＝s′＝t3，∴t＝5时的瞬时速度为125.2．函数y＝3x－x3的单调增区间是________．答案(－1,1)解析y′＝3－3x2>0⇒x∈(－1,1)．3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．答案 2解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调减区间为(0,2)，∴f(x)在x＝2处取得极小值．4.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.答案 2解析 点P 在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k ＝－1，∴f(5)＋f ′(5)＝3－1＝2.5．若函数y ＝a(x 3－x)的增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是________．答案 a>0解析 依题意y ′＝a(3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，＋∞，∴a>0. 6.函数y ＝f(x)的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x)的图象是如右图所示的一条直线，则y ＝f(x)图象的顶点在第________象限．答案 一解析 显然y ＝f(x)为二次函数，设为f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则y ＝f ′(x)＝2ax ＋b.由图象知a<0，b>0.又由已知函数的图象过原点，∴c ＝0，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2a ，－b 24a ， 因而y ＝f(x)的顶点在第一象限．7.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，3]解析依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数，所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤ 3. 8．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为________．答案4x－y－2＝0解析y′＝4x，设切点M(x0，y0)，∴k＝4x0.又∵x＋4y－8＝0的斜率k1＝－1 4，∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x20＝2，即切点为M(1,2)，k＝4.故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.9．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为________．(用定积分表示)答案2ʃπ40(cosx－sinx)dx 解析如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x<π4阴影部分面积。
高中数学 章末检测(一)北师大版高二选修1-1数学试题
章末检测(一)(时间90分钟满分100分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列语句：①三角函数难道不是函数吗？②和为有理数的两个数均为有理数．③一条直线与一个平面不是平行就是相交．④作△A′B′C′≌△ABC.⑤这是一棵大树．⑥求证3是无理数．⑦二次函数的图像太美啦！⑧4是集合{1,2,3,4}中的元素．其中命题的个数为( )A．3 B．4C．6 D．7解析：命题是指可以判断真假的陈述句，所以②③⑧是命题；①是反问句，不是命题；④⑥是祈使句，不是命题；⑤“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；⑦是感叹句，不是命题．答案：A2．给出下列4个命题：①设a，b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0；②如果－2<x<3，则(x＋2)(x－3)<0；③如果b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根；④内接于圆的四边形是等腰梯形．下列说法中正确的是( )A．①的逆命题是假命题B．②的否命题是假命题C．③的逆否命题是真命题D．④的逆命题是假命题解析：①的逆命题为：设a，b为非零向量，如果a·b＝0，则a⊥b，是真命题；②的否命题的真假可通过判断它的逆否命题即原命题的逆命题的真假来获得，易知原命题的逆命题为真命题，故否命题为真命题；③的逆否命题的真假可通过判断原命题的真假来获得，由于Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4，故原命题为真命题，所以③的逆否命题为真命题；④的逆命题为：等腰梯形内接于圆，真命题．答案：C3．下列命题中是全称命题且为真命题的是( ) A ．对任意的x ∈R ，x 2＋3x －3≠0 B ．存在两个相交的平面垂直于同一平面 C ．对任意的整数x ，其平方的个位数字不等于3 D ．存在x ∈Z ，x ≠5k (k ∈Z )解析：B ，D 为特称命题．A 中，当x 2＋3x －3＝0时，Δ＝9＋12>0，所以此方程有解，故A 为假命题．答案：C4．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x 2＝1的解是x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：①中有“且”，②中没有，③中有“或”． 答案：B5．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件解析：若一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，因此m ≤14.故m <14是方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分非必要条件．答案：A6．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋14<0；命题q ：存在x ∈R ，sin x ＋cos x ＝ 2.则下列命题正确的是( )A ．p 或q 真B ．p 且q 真C ．綈q 真D ．p 真解析：易知p 假，q 真，故p 或q 为真． 答案：A7．下列命题中的假命题是( ) A ．任意x ∈R,2x －1>0B ．任意x ∈N ＋，(x －1)2>0 C ．存在x ∈R ，lg x <1 D ．存在x ∈R ，tan x ＝2解析：A 项，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0，A 正确；B 项，∵x ∈N ＋，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾，B 错误；C 项，当x ＝110时，lg 110＝－1<1，C 正确；D 项，由正切函数的图像和性质知D 正确．故选B.答案：B8．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．存在x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．对任意x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析：由题知：x 0＝－b2a 为函数f (x )图像的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的，故选C.答案：C9．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：原命题：“若对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为等差数列”为真命题．其逆命题：“若{a n }为等差数列，则对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”．此命题为假，所以“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的充分而不必要条件.答案：B10．已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：由2x －1≤1，得12≤x ≤1.由(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1.又q 是p 的必要不充分条件，1－12≠a ＋1－a ，所以a ≤12且a ＋1≥1，所以0≤a ≤12.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)解析：①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然不正确． ②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，为真命题． 答案：②12．已知p ：3×3＝6，q ：3＋3＝6，判断下列复合命题的真假：p 或q ________，p 且q ________，綈p ________.解析：因为p 假，q 真，所以“p 或q ”真，“p 且q ”假，“綈p ”真． 答案：真 假 真13．命题：“存在x ∈R ，x 2＋1<0”的否定是________________． 解析：特称命题的否定是全称命题． 答案：对任意x ∈R ，x 2＋1≥014．已知命题p ：关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根，命题q ：函数f (x )＝(a 2－a )x 在R 上是增函数．若p 且q 为真命题，某某数a 的取值X 围是__________．解析：当p 是真命题时，Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1. 当q 是真命题时，a 2－a >0，解得a <0或a >1.由题意，得p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a <0或a >1，解得a <0，所以实数a 的取值X 围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解析：(1)原命题：若一个数是实数，则这个数的平方是非负数． 逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数． 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数． 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)原命题：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧． 逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧． 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．16．(10分)写出下列各命题的否定形式及否命题． (1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 全为零； (3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解析：(1)否定形式：存在面积相等的三角形不是全等三角形． 否命题：存在面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零． 否命题：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2≠0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零． (3)否定形式：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0. 否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.17．(12分)(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？解析：(1)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只要{x |x <－m2}⊆{x |x <－1或x >3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要{x |x <－m2}⊇{x |x <－1或x >3}，这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．18．(12分)已知命题p ：存在x 0∈[0,2]，log 2(x 0＋2)<2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根．(1)若(非p )且q 为真命题，某某数m 的取值X 围；(2)若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，某某数m 的取值X 围． 解析：(1)令f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在[0,2]上是增函数， 所以当x ∈[0,2]时，f (x )的最小值为f (0)＝1， 所以若p 为真，则2m >1，解得m >12.由关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根， 得Δ＝4－12m 2>0，解得－33<m <33.若(綈p )且q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12－33<m <33，所以－33<m ≤12， 即实数m 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－33，12. (2)若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p ，q 一真一假， 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >12m ≤－33或m ≥33，解得m ≥33； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12－33<m <33，解得－33<m ≤12. 综上所述，实数m 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－33，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞.。
2020_2021学年新教材高中数学第六章计数原理章末质量检测含解析新人教a版选择性必修第三册
章末质量检测(一) 计数原理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{1，－2，3}，N ＝{－4，5，6，－7}，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是( )A ．18B ．16C ．14D ．102．有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字，如果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套，则不同的配套方法共有( )A ．7种B ．12种C ．64种D ．81种3.⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6的展开式中的常数项为( ) A ．120B ．160C ．200D ．2404．4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法的种数是( ) A ．72B ．96 C ．144D ．2405．自2020年起，山东夏季高考成绩由“3＋3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．若⎝⎛⎭⎫x －a x 6的展开式中含x 32项的系数为160，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．22D ．－2 27．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－40B ．40 C ．30D ．－308．“中国梦”的英文翻译为“Chinese Dream”，其中Chinese 又可以简写为CN ，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A ．360种B ．480种C ．600种D ．720种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．给出下列四个关系式，其中正确的为( )A ．n ！＝（n ＋1）！n ＋1B ．A m n ＝n A m －1n －1 C ．A m n ＝n ！（n －m ）！D ．A m －1n －1 ＝（n －1）！（m －n ）！ 10．下列有关排列数、组合数计算正确的是( )A ．C mn ＝A m n n ！B ．(n ＋2)(n ＋1)A m n ＝A m ＋2n ＋2C ．C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋…＋C 2100 ＝C 3101D ．C n －22n －1 ＋C 2n －1n ＋1 是一个常数11．二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 11的展开式中，系数最大的项为( )A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项12．关于(a －b )11的说法，正确的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为2048 B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最大三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为________． 14．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有________种不同的选法．15．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．16．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我校学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位同学组成校“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同的组队方式有________种．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(2)选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？18．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎫x －2x 10的展开式． (1)求展开式中含x 4项的系数；(2)如果第3r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，求r 的值．19.(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数． (1)A ，B 必须被选出；(2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．20．(本小题满分12分)已知在⎝⎛⎭⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．21．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个，其中红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)如取1个红球记2分，1个白球记1分，从口袋中取5个球，总分不小于7的取法有多少种？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋x )n ，n ∈N *.(1)当n ＝8时，求展开式中系数的最大项．(2)化简C 0n 2n －1＋C 1n 2n －2＋C 2n 2n －3＋…＋C n n 2－1. (3)定义：∑i ＝1na i ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，化简：i ＝1n (i ＋1)C i n .章末质量检测(一)1．解析：分两类：第一类，M 中取横坐标，N 中取纵坐标，共有3×2＝6个第一、二象限内的点；第二类，M 中取纵坐标，N 中取横坐标，共有2×4＝8个第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，知共有6＋8＝14个不同的第一、二象限内的点．故选C.答案：C2．解析：要完成配套，分两步：第一步，取“迎”字，有4种不同取法；第二步，取“新”字，有3种不同取法，故有4×3＝12种不同的配套方法．故选B.答案：B3．解析：⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6 ·⎝⎛⎭⎫1x 6－k (2x )k ＝2k C k 6 x 2k －6，令2k －6＝0，解得k ＝3，所以展开式中的常数项为23×C 36 ＝160.故选B.答案：B4．解析：从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩余的2位男生插入到2位女生所形成的3个空隙中，所以共有A 24 A 22 A 33 ＝144种不同的排法．故选C.答案：C5．解析：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为C 23 C 13 ＝9种．故选D.答案：D6．解析：由二项式定理得展开式的通项T k ＋1＝C k 6x6－k⎝⎛⎭⎫－a x k＝C k 6 (－a )k x 6－32k ，令6－32k ＝32，得k ＝3，由C 36 (－a )3＝－20a 3＝160，得a ＝－2.故选B. 答案：B7．解析：(2x －y )5的展开式的通项为C k 5 (2x )5－k (－y )k ＝25－k (－1)k C k 5x 5－k y k .令5－k ＝1，得k ＝4，则x ·2·C 45 xy 4＝10x 2y 4；令5－k ＝2，得k ＝3，则y ·22·(－1)·C 35 x 2y 3＝－40x 2y 4.所以(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 2y 4的系数为10－40＝－30.故选D. 答案：D8．解析：从其他5个字母中任取4个，然后与“ea ”进行全排列，共有C 45 A 55 ＝600种，故选C.答案：C9．解析：由A m n ＝n ！（n －m ）！可知：A m －1n －1＝（n －1）！（n －m ）！，故D 不正确．A 、B 、C 均正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：A 错，A m n ＝C mn ·m ！；B 正确；C 错，应为C 3101 －1；D 正确，由组合数定义可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤n －2≤2n －1 （ⅰ）0≤2n －1≤n ＋1 （ⅱ）由(ⅰ)得n ≥2，由(ⅱ)得12≤n ≤2，所以n ＝2.所以C n －22n －1 ＋C 2n －1n ＋1 ＝C 03 ＋C 33 ＝2.所以B 、D 正确．答案：BD11．解析：二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 11的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项，所以系数最大的项为第六项和第七项．故选BC.答案：BC12．解析：(a －b )11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A 正确；因为n ＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，所以B 不正确，C 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D 不正确．故选AC.答案：AC13．解析：∵(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，∴2n －1＝32，即n ＝6，∴(1－2x )6展开式中的第4项为T 4＝C 36 13(－2x )3＝－160x 3. 答案：－160x 314．解析：可以分为三类，第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C 24 C 23 种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C 34 C 13 种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C 34 C 23 种选法．根据分类加法计数原理知，一共有C 24 C 23 ＋C 34 C 13 ＋C 34 C 23 ＝42种不同的选法．答案：4215．解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：162 516．解析：从五人中选四人有C 45 ＝5种选择方法，分类讨论：若所选四人为甲、乙、丙、丁，则有A 22 ×A 22 ＝4种组队方式；若所选四人为甲、乙、丙、戊，则有C 12 ×C 12 ×A 22 ＝8种组队方式；若所选四人为甲、乙、丁、戊，则有C 12 ×C 12 ×A 22 ＝8种组队方式； 若所选四人为甲、丙、丁、戊，则有A 22 ＝2种组队方式； 若所选四人为乙、丙、丁、戊，则有A 22 ＝2种组队方式．由分类加法计数原理得，不同的组队方式有4＋8＋8＋2＋2＝24种． 答案：2417．解析：(1)分三步：第1步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第2步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第3步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分步乘法计数原理可得，不同的选法种数为6×7×8＝336.(2)分三类，每类又分两步：第1类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同的选法；第2类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同的选法；第3类，从高二、高三两个年级各选1个班，有7×8种不同的选法，故不同的选法种数为6×7＋6×8＋7×8＝146.18．解析：(1)展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (－2)k x 10－32k，令10－32k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为C 410 (－2)4＝3 360.(2)第3r 项的二项式系数为C 3r －110 ，第r ＋2项的二项式系数为C r ＋110 ，∵C 3r －110 ＝C r ＋110 ，∴3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10， 解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1.19．解析：(1)除选出A ，B 外，从其他10个人中再选3人，选法数为C 310 ＝120.(2)按女生的选取情况分为四类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生，所有选法数为C 25 C 37 ＋C 35 C 27 ＋C 45 C 17 ＋C 55 ＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理知，所有选法数为C 17 ·C 15 ·A 310 ＝25 200.20．解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝⎛⎭⎫12x 2n －k⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k ⎝⎛⎭⎫12n －k C k n x 2n －5k2.(1)因为第9项为常数项，所以当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6⎝⎛⎭⎫124C 610 ＝1058.(3)要使2n －52k ，即4n －5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．21．解析：(1)满足条件的取法情况分为以下三类： 第一类，红球取4个，白球不取，取法有C 44 种；第二类，红球取3个，白球取1个，取法有C 34 C 16 种；第三类，红球取2个，白球取2个，取法有C 24 C 26 种．所以共有取法C 44 ＋C 34 C 16 ＋C 24 C 26 ＝115(种).(2)设取红球x 个，白球y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x ＋y ≥7，0≤x ≤4，0≤y ≤6，其正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.因此总分不小于7的取法可分为三类，不同的取法种数为C 24 C 36 ＋C 34 C 26 ＋C 44 C 16 ＝186.22．解析：(1)f (x )＝(1＋x )8，所以系数最大的项即为二项式系数最大的项T 5＝C 48 x 4＝70x 4.(2)f (x )＝(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n ，所以原式＝12(C 0n 2n ＋C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋C n n 20) ＝12(1＋2)n ＝3n2. (3)∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， ① ∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ， ② 在①，②添加C 0n ，则得1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， ③ 1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋1C 0n ， ④ ③＋④得：2(1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n )＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝(n ＋2)2n ，所以∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋2)2n －1－1.。
高中数学必修二 第六章 平面向量及其应用 章末测试(基础)(无答案)
第六章 平面向量及其应用 章末测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，若A=60°，BC=AC=B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．45°或135°2．(2021·宁夏·海原县第一中学)已知向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-，则()2a a b ⋅-=( )A ．4B ．3C ．2D ．03．(2021·吉林·延边二中高一期中)在Rt ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 外一点，点P 满足1()2OP OA AB AC =++，则||AP 等于( )A ．2B ．1C ．12D ．44．(2021·河北定州·高一期中)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()sin 2sin sin c C a b B a b A -+=-，则C =( ) A ．6π B ．3π或23πC ．23πD ．6π或56π5．(2021·全国 )若非零向量,a b 满足3a b =，()23a b b +⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π6．(2021·安徽·寿县第一中学高一月考)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 向量()2,sin ,m b c C =+向量()sin ,2n B c b =+，且满足2sin ,m n a A ⋅=则角A =( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π7．(2021·广东·广州大学附属中学 )如图所示的ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE →=( )A ．1136BA BC →→--B ．1163BA BC →→--C ．5163BA BC →→-- D ．5163BA BC →→-+8．(2021·福建省厦门集美中学高一月考)已知在ABC 中，90C ∠=︒，24AB AC ==，点D 沿A C B →→运动，则AD BD ⋅的最小值是( ) A ．3- B ．1-C ．1D ．3二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·江苏·镇江市实验高级中学高一月考)已知向量()()()2,13,21,1a b c =-=-=，，，则( ) A ．//a b B ．()a b c +⊥ C ．a b c += D ．53c a b =+10．(2021·吉林·延边二中高一月考)在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，ABC S =△3b =，则A ．1cos 2B = B ．cos B =C ．a c +=D ．a c +=11．(2021·全国·高三专题练习(理))已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为212．(2021·全国·高一课时练习)已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列四个命题中正确的命题是( ) A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形 C ．若cos ccos b C B b +=，则ABC 一定是等腰三角形 D ．若222+>0a b c -，则ABC 一定是锐角三角形三、填空题(每题5分，共20分)13．(2021·全国·高一课时练习)已知,a b 为单位向量，且0a b ⋅=，若25c a b =-，则cos ,a c <>=__.14．(2021·福建·福清西山学校高三月考)如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF ⋅AE BF ⋅的值是________．15．(2021·辽宁·东港市第三中学高一期末)在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角60α=︒，在塔底C 处测得点A 的俯角45β=︒，已知铁塔BC 部分高32米，山高CD =_______．16．(2021·湖北 )如图，在凸四边形ABCD 中，1DA DC ==，AB =，若2B π=，则四边形ABCD 面积的最大值为________．四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分) 17．(2021·全国·高一课时练习)已知()=1,2a ，()=3,1b - (1)求2a b -；(2)设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值; (3)若向量a kb +与a kb -互相垂直，求k 的值.18．(2021·浙江·高一单元测试)已知在ABC 中，cos A =，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边.(1)求tan2A ；(2)若sin 23B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，c =ABC 的面积.19．(2021·浙江·高一单元测试)在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sin sin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2b c +=，______，求A 和C ． 注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．20．(2021·重庆第二外国语学校高一月考)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 5A =. (1)若ABC 的面积为3，求AB AC ⋅的值；(2)设2sin ,12B m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//m n ，求()sin 2B C -的值.21．(2021·福建省建瓯市芝华中学高一月考)如图，在平行四边形ABCD 中， 4AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，E ， F 分别为AB ， BC 上的点，且2AE EB =， 2=CF FB ．(1)若DE x AB y AD =+，求 x ，x 的值； (2)求AB DE ⋅的值； (3)求cos BEF ∠．22．(2021·全国·高一课时练习)已知函数2()cos 22f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(1)求函数f (x )的单调性；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =c ＝1，求△ABC 的面积.。
高中数学选修一章末检测卷(一)
章末检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若m∈N*，则命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析由逆否命题的定义可知：若m∈N*，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0.故选D.2．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n答案 C3．在下列命题中，真命题是()A．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．若ac>bc，则a>bD．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题答案 D解析“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题为x≠2时，x2－3x＋2≠0，因为当x＝1时x2－3x＋2＝0，∴A错误．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：若b2＝9，则b＝3，∵b2＝9⇒b＝±3，故B错误．若c<0，∵ac>bc，∴a<b，故C错误．∵根据相似三角形的性质，其对应角相等，是真命题，再由于原命题和其逆否命题的关系可知“相似三角形的对应角相等”的逆否命题也是真命题，故D正确．4．若命题p：∀x∈[1,2]，x2≥a；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－2] B．(－2,1)C．(－∞，－2]∪{1} D．[1，＋∞)答案 C解析若命题p为真，则(x2)min≥a，而当x＝1时，(x2)min＝1，故a≤1；若命题q为真，则Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≤－2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则p、q均为真命题，故{a|a≤1}∩{a|a≤－2，或a≥1}＝(－∞，－2]∪{1}，故选C.5．原命题：“设a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个答案 C解析原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2>bc2知c2>0，由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．故选C.6．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析设p：x<3，q：－1<x<3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件，故选C.7．下列命题中，假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∃x∈R，sin x＝ 2C．∀x∈R，x2－x＋1>0D ．∃x ∈R ，lg x ＝2答案 B解析 由指数函数y ＝2x 的图象与性质易知，∀x ∈R,2x －1>0，故选项A 为真命题．由正弦函数y ＝sin x 的有界性知，－1≤sin x ≤1，所以不存在x ∈R ，使得sin x ＝2成立，故选项B为假命题．由x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>0知，∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，故选项C 为真命题．由lg x ＝2知，x ＝102＝100，即存在x ＝100，使lg x ＝2，故选项D 为真命题．综上知，答案为B.8．若命题“∃x 0∈R ，使ax 20＋x 0－1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－14B ．a >－14C ．a ≥－14D ．a ≤－14答案 D解析 ∃x 0∈R ，使ax 20＋x 0－1>0为假命题，等价于∀x ∈R ，ax 2＋x －1≤0为真命题，∴a <0，Δ＝12－4a ×(－1)≤0，∴a ≤－14， ∴实数a 的取值范围是a ≤－14，故选D. 9．下列命题中是全称命题的是( )A ．圆有内接四边形 B.3> 2 C.3< 2D ．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形答案 A解析 A 命题即为所有的圆都有内接四边形，是全称命题．其余三命题均不为全称命题．10．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q 答案 D解析 p ：根据指数函数的性质可知，对任意x ∈R ，总有2x >0成立，即p 为真命题，q ：“x >1”是“x>2”的必要不充分条件，即q为假命题，则p∧綈q为真命题，故选D.11．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则() A．綈p：∀x∈A,2x∈BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈BD．綈p：∃x∈A,2x∉B答案 D解析命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D. 12．下列四个结论：①若x>0，则x>sin x恒成立；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0”．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析对于①，令y＝x－sin x，则有函数y＝x－sin x在R上递增，则当x>0时，x－sin x>0－0＝0，则x>sin x恒成立．则①正确；对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，则②正确；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；对于④，命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0”，则④正确．综上可得，其中正确的叙述共有3个，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“若a>b，则2a>2b”的否命题为____________________．答案若a≤b，则2a≤2b解析根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q，否命题为：若綈p，则綈q.∵原命题为：若a >b ，则2a >2b∴否命题为：若a ≤b ，则2a ≤2b ，故答案为：若a ≤b ，则2a ≤2b .14．设命题α：1≤x <4，命题β：x <m ；若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是______________．(用区间表示)答案 [4，＋∞)解析 ∵命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，命题α：1≤x <4，命题β：x <m ；若α是β的充分条件，则m ≥4.故答案为[4，＋∞)．15．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 1解析 “∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，可得tan x ≤1，所以m ≥1，实数m 的最小值为1.16．下列说法：①“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”；②函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π； ③“在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题；④“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充要条件． 其中正确的说法是________(只填序号)．答案 ①②③解析 对于①，“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”；满足命题的否定形式，正确；对于②，函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，正确； 对于③，“在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”，是真命题，正确；对于④，“m ＝－1”⇒“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”，但是反之不成立，所以说是充要条件，不正确．故正确结果：①②③.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知命题p ：x <－6，或x >1，命题q ：5x －6>ax 2(a 为常数)．(1)写出原命题“若p ：x <－6或x >1，则q ：5x －6>ax 2”的逆否命题．(2)若p ⇔q ，则实数a 应满足什么条件？解 (1)命题“若p ，则q ”的逆否命题为若綈q ：5x －6≤ax 2，则綈p ：－6≤x ≤1.(2)∵p ⇔q ，∴x <－6或x >1⇔5x －6>ax 2即不等式ax 2－5x ＋6<0的解集为{x |x ＜－6或x >1}，故方程ax 2－5x ＋6＝0有两根－6,1，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(－5)2－4a ×6>0，a (－6)2－5×(－6)＋6＝0，a －5×1＋6＝0，解得a ＝－1，故实数a 应满足a ＝－1.18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅.(1)若“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围；(2)“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围．解 (1)A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ≠∅.∵“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，∴B ⊆A ，B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅，∵B ≠∅，∴m ≥2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1≤5，m ≥2， ∴2≤m ≤4.19．(12分)求证：“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭⎫－1b ＝－1，两直线互相垂直． 必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭⎫－1b ＝－1，所以a ＋2b ＝0； 若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.所以a ＋2b ＝0.综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．20．(12分)设命题p ：“对任意的x ∈R ，x 2－2x >a ”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．如果命题p ∨q 为真，命题p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解 命题p ：对任意的x ∈R ，x 2－2x >a ，∴x 2－2x 的最小值大于a ；x 2－2x 的最小值为－1；∴－1>a ，即a <－1；命题q ：存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0；即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根；∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≤－2，或a ≥1；∵命题p ∨q 为真，命题p ∧q 为假，∴命题p ，q 中一真一假；∴若p 真q 假：⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，－2<a <1，解得－2<a <－1. 若p 假q 真：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤－2，或a ≥1，解得a ≥1.∴实数a 的取值范围为(－2，－1)∪[1，＋∞)．21．(12分)设命题p ：实数x 满足|x －1|>a ，其中a >0；命题q ：实数x 满足3x 2－x －6<1.(1)若命题p 中a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，p ：x >2或x <0，q ：－2<x <3；又p ∧q 为真，∴p ，q 都为真；∴由⎩⎪⎨⎪⎧ x >2或x <0，－2<x <3，得－2<x <0或2<x <3； ∴实数x 的取值范围为(－2,0)∪(2,3)．(2)p ：|x －1|>a ，∴x <1－a 或x >1＋a ，a >0，綈p ：1－a ≤x ≤1＋a ，a >0；∵綈p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＋1≥3，1－a ≤－2，∴a ≥3，∴实数a 的取值范围为[3，＋∞)．22．(12分)已知p ：x 2－8x －20≤0；q ：1－m 2≤x ≤1＋m 2.(1)若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，即p ：－2≤x ≤10，q ：1－m 2≤x ≤1＋m 2.(1)若p 是q 的必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m 2≥－2，1＋m 2≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤3，m 2≤9，即m 2≤3， 解得－3≤m ≤3，即m 的取值范围是[－3，3]．(2)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．即⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2≤－2，1＋m 2≥10，(两个等号不同时成立) 即m 2≥9，解得m ≥3或m ≤－3. 即m 的取值范围是m ≥3或m ≤－3.。
高中数学第六章计数原理章末检测新人教A版选择性必修第三册
第六章章末检测(时间：120分钟,满分150分)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．计算C 58＋2A 24的值是( ) A ．64 B ．80 C ．13 464D ．40【答案】B 【解析】C 58＋2A 24＝C 38＋2A 24＝8×7×63×2×1＋2×4×3＝80.2．将A,B,C,D,E 排成一列,要求A,B,C 在排列中顺序为“A,B,C ”或“C,B,A ”(可以不相邻),则不同的排列方法有( )A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种【答案】C 【解析】5个元素没有限制,全排列数为A 55,由于要求A,B,C 的次序一定(按A,B,C 或C,B,A),故所求排列数为A 55A 33×2＝40.3．(1－x )10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－720 B ．720 C ．120D ．－120【答案】D 【解析】由T r ＋1＝C r10(－x )r＝(－1)r C r10x r,因为r ＝3,所以系数为(－1)3C 310＝－120.4．某城市的街道如图,某人要从A 地前往B 地,则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种【答案】B 【解析】此人从A 到B,路程最短的走法应走两纵3横,将纵用0表示,横用1表示,则一种走法就是2个0和3个1的一个排列,只需从5个位置中选2个排0,其余位置排1即可,故共有C 25＝10(种)．5．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10,则a 8等于( ) A ．－5 B ．5 C ．90D ．180【答案】D 【解析】∵(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10,∴a 8＝C 810·22＝180.6．12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( )A ．C 28A 23 B ．C 26A 66 C ．C 28A 25D ．C 28A 26【答案】D 【解析】第一步可先从后排8人中选2人共有C 28种；第二步可认为前排放6个座位,先选出2个座位让后排的2人坐,由于其他人的顺序不变,所以有A 26种坐法．综上知不同调整方法的种数为C 28A 26.7．在(1－x )11的展开式中,含x 的奇次幂的各项系数的和是( ) A ．－210B ．210C ．－211D ．211【答案】A 【解析】 (1－x )11的展开式中,含x 的奇次幂的项即偶数项,由于偶数项的二项式系数和为210,偶数项的系数均为负数,故含x 的奇次幂的各项系数的和为－210.8．为参加校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训,培训项目及人数分别为：乐器1人,舞蹈2人,演唱2人．若每人只参加1个项目,并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,则不同推荐方案的种数为( )A ．12B ．36C ．48D ．24【答案】D 【解析】方法一(直接法) 3名女生各参加1项,2名男生在舞蹈、演唱中各参加1项,有A 33A 22＝12(种)方案；有2名女生同时参加舞蹈或演唱,有C 23A 12A 22＝12(种)方案．所以共有12＋12＝24(种)方案．方法二(间接法) 2名男生同时参加舞蹈或演唱,有C 23A 12＝6(种)方案,而所有不同的推荐方案共有C 15C 24C 22＝30(种),故满足条件的推荐方案种数为30－6＝24.二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．二项式(2x －1)7的展开式的各项中,二项式系数最大的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项D ．第5项【答案】CD 【解析】因为二项式(2x －1)7展开式的各项的二项式系数为C k7(k ＝0,1,2,3,4,5,6,7),易知当k ＝3或k ＝4时,C k7最大,即二项展开式中,二项式系数最大的为第4项和第5项．10．设m 为大于1且小于15的正整数,若⎝⎛⎭⎪⎫x 3－1x2m 的展开式中有不含x 的项,满足这样条件的m 可以是( )A ．3B ．5C ．10D ．12【答案】BC 【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 2m 的展开式的通项为T r ＋1＝C r m (x 3)m －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x2r ＝(－1)r C r m x 3m －5r.因为展开式中有不含x 的项,所以有3m －5r ＝0,即3m ＝5r .又1＜m ＜15(0≤r ≤m )且m ∈N *,r ∈N ,所以满足条件的m 有m ＝5,m ＝10两个数．11．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 35,以下判断正确的有( )A ．展开式中没有常数项B ．展开式中的第一项为x －5C ．展开式中第二项的系数力15D ．展开式的二项式系数的和为32【答案】ABD 【解析】该二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－k (x 3)k ＝C k 5x 4k －5,令4k －5＝0,得k ＝54,不合题意,故展开式中没有常数项,A 正确；令k ＝0,得T 1＝C 05x －5＝x －5,故B 正确；令k ＝1,得T 2＝C 15x－1＝5x －1.第二项的系数为5,故C 错误；二项式展开式系数的和为25＝32,故D 正确．12．将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,不允许有空盒子,下列结果正确的有( )A ．C 13C 12C 11C 13 B ．C 24A 33 C ．C 13C 24A 22D ．18【答案】BC 【解析】根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,且没有空盒,则三个盒子中有1个放2个球,剩下的2个盒子各放1个,有两种解法：(1)分两步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组,有C 24种分组方法；②将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有A 33种放法,则没有空盒的放法有C 24A 33种．(2)分2步进行分析：①在4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有C 13C 24种情况；②将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有A 22种放法,则没有空盒的放法有C 13C 24A 22种．故选BC ．三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．将5名志愿者分成4组,其中一组有2人,其余各组各1人,到4个路口协助交警执勤,则不同的分配方法有________种(用数字作答)．【答案】240 【解析】分配方法数为C 25C 13C 12C 11A 33·A 44＝240. 14．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0,则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________. 【答案】729 【解析】因为(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0,由二项式定理可知a 0,a 2,a 4,a 6均为正数,a 1,a 3,a 5均为负数,令x ＝－1可得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(2＋1)6＝729.15．用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个(用数字作答) .【答案】14 【解析】因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以适合题意的四位数有24－2＝14(个)．16．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x ＋1)5(a ≠0),若其展开式中各项的系数和为81,则a ＝________,展开式中常数项为________．【答案】－23 10 【解析】在⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x ＋1)5中,令x ＝1,得(a ＋1)·35＝81,解得a ＝－23,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x ＋1x (2x ＋1)5的展开式中的常数项为1x ·C 45·2x ＝10. 四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图有4个编号为A,B,C,D 的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种,并且相邻的小三角形颜色不同,共有多少种不同的涂色方法？解：分为两类：第一类：若A,C 同色,则A 有5种涂法,B 有4种涂法,C 有1种涂法(与A 相同),D 有4种涂法．故N 1＝5×4×1×4＝80(种)．第二类：若A,C 不同色,则A 有5种涂法,B 有4种涂法,C 有3种涂法,D 有3种涂法．故N 2＝5×4×3×3＝180(种)．综上可知不同的涂法共有N ＝N 1＋N 2＝80＋180＝260(种)．18．已知在(1－2log 2x )n的展开式中,所有奇数项的二项式系数的和为64. (1)求n 的值；(2)求展开式中所有项的系数之和．解：(1)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2×64,即2n＝128,则n ＝7.(2)设(1－2log 2x )7＝a 0＋a 1log 2x ＋a 2(log 2x )2＋…＋a 7(log 2x )7,令x ＝2,得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(1－2log 22)7＝－1,即展开式中所有项的系数之和为－1.19．已知有10件不同厂生产的同类产品．(1)在商品评选会上,若有2件商品因瑕疵不能参加评选,从剩下的商品中要选出4件商品,并排定选出的4件商品的名次,有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的2件商品放上,有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品,除去不能参加评选的2件商品,剩下8件,从中选出4件进行排列,有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)．(2)分步完成．先将获金质奖章的2件商品布置在6个位置中的2个位置上,有A 26种方法,再从剩下的8件商品中选出4件,布置在剩下的4个位置上,有A 48种方法,共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 66)(种)．20．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．(1)求n 的值；(2)求展开式中所有二项式系数的和；(3)求展开式中所有的有理项．解：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12rxn －32r (r ＝0,1,2,…,n )．(1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等, 得C 1n ·12＝C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122,即12·n ＝14·n n －12,解得n ＝5.(2)展开式中所有二项式系数的和为C 05＋C 15＋C 25＋…＋C 55＝25＝32.(3)二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12rx 5－32r (r ＝0,1,2,…,5)．当r ＝0,2,4时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为T 1＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫120x 5＝x 5,T 3＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2＝52x 2,T 5＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫124x －1＝516x. 21．从集合{1,2,3,…,20}中任选出3个不同的数,使这3个数成等差数列,这样的等差数列可以有多少个？解：设a ,b ,c ∈N *,且a ,b ,c 成等差数列,则a ＋c ＝2b ,所以a ＋c 应是偶数．因此,若从1,2,…,20这20个数字中任选出3个不同的数成等差数列,则第一个与第三个数必同为偶数或同为奇数．而1到20这20个数字中有10个偶数10个奇数,当第一个数和第三个数选定后,中间数唯一确定,因此,选法只有两类：①第一、三个数都是偶数,有A 210种选法；②第一、三个数都是奇数,有A 210种选法．于是,满足题意的等差数列共有A 210＋A 210＝180(个)．22．某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队． (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加,有多少种选法？ (3)甲、乙2人至少有1人参加,有多少种选法？(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生,有多少种选法？ 解：(1)只需从其他18人中选3人即可,共有C 318＝816(种)选法． (2)只需从其他18人中选5人即可,共有C 518＝8 568(种)选法．(3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)选法． (4)方法一(直接法) 至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类：1内4外；2内3外；3内2外；4内1外．所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)选法．方法二(间接法) 从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求,即共有C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)选法．。
2022届高中数学新教材同步选择性必修第三册 章末检测试卷一(第6章)
章末检测试卷一(第六章)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C m nB ．C m ＋1nC ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 的二项展开式中第m 项为T m ＝C m －1n (－y )m －1x n －m ＋1， 所以系数为C m －1n(－1)m －1. 2．若A 4m ＝18C 3m ，则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 D解析 由A 4m＝m (m －1)(m －2)(m －3)＝18·m (m －1)(m －2)3×2×1，得m －3＝3，m ＝6. 3．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为( ) A ．(34,34) B ．(43,34)C ．(34,43)D ．(A 34，A 34)答案 C解析 由题意知本题是一个分步计数问题，每名学生报名都有3种选择，根据分步乘法计数原理知，4名学生共有34种选择；每项冠军都有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知，3项冠军共有43种可能结果．故选C.4．5名大人带2个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法有( )A ．A 55·A 24种B ．A 55·A 25种C ．A 55·A 26种D ．(A 77－4A 66)种答案 A解析 先排大人，有A 55种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A 24种排法，由分步乘法计数原理可知，有A 55·A 24种不同的排法，故选A.5．(2－x )8的展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 (2－x )8的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 828－k ·(－x )k＝(－1)k 28－k C k 82kx ，∴x 4项的系数为(－1)820C 88＝1，又(2－x )8的展开式的系数和为(2－1)8＝1. ∴不含x 4项的系数和为1－1＝0.6．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A ．10B ．11C ．12D ．15 答案 B解析 分类讨论：有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同，可得N＝C 24＋C 14＋1＝11.7．某学校要求错峰有序吃饭，高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( ) A ．120种 B ．156种 C ．192种 D ．240种答案 C解析 丙丁捆绑在一起看作一个班，变成5个班进行排列，然后在后面4个位置中选1个排甲，这样可得排法为A 22A 14A 44＝192(种)．8.如图为我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图．现在提供5种颜色给5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为( )A ．120B ．26C ．340D ．420解析如图所示，设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析：①区域A有5种颜色可选；②区域B与区域A相邻，有4种颜色可选；③区域C与区域A，B相邻，有3种颜色可选；④对于区域D，E，若D与B颜色相同，则区域E有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则区域D有2种颜色可选，区域E有2种颜色可选，故区域D，E有3＋2×2＝7(种)选择．综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(种)．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列问题属于排列问题的是()A．从10个人中选2人分别去种树和扫地B．从10个人中选2人去扫地C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D．从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算答案AD解析根据题意，依次分析选项：对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；对于D，从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题．10.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有()A．C25种B．C35种C．C26种D．C46种解析因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，故不同走法的种数有C35＝C25.11．下列关于(a－b)10的说法，正确的是()A．展开式中的二项式系数之和是1 024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小答案ABD解析由二项式系数的性质知，C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210＝1 024，故A正确；二项式系数最大为C510，是展开式的第6项的二项式系数，故B正确；由展开式的通项T k＋1＝C k10a10－k(－b)k＝(－1)k C k10a10－k b k知，第6项的系数－C510最小，故D正确．12．将4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3号的盒子中，不允许有空盒子的放法，关于放法的种数，下列结论正确的有()A．C13C12C11C13B．C24A33C．C13C24A22D．18答案BC解析根据题意，4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3号的盒子中，且没有空盒子，则三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：方法一分2步进行分析：①先将4个不同的小球分成3组，有C24种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法．则没有空盒的放法有C24A33种．方法二分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C13C24种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法．则没有空盒的放法有C 13C 24A 22种，故选BC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，则n ＝________.答案 4解析 由题意可知2n ＋6＝20－(n ＋2)，解得n ＝4.14．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种．(用数字作答) 答案 54解析 当甲、乙带不同兴趣小组时有A 23A 33＝36(种)，当甲、乙带同一个兴趣小组时，有C 23A 33＝18(种)，根据分类加法计数原理可得共有36＋18＝54(种)．15．若⎝⎛⎭⎫2x ＋ax n 的展开式的系数和为1，二项式系数和为128，则a ＝________，展开式中x 2的系数为________． 答案 －1 －448解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧()2＋a n ＝1，2n ＝128，所以n ＝7，a ＝－1，所以⎝⎛⎭⎫2x －1x 7的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 7(2x )7－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝C k 727－k(－1)k 732k x - ，令7－3k 2＝2，解得k ＝1.所以x 2的系数为C 1726(－1)1＝－448.16．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有________种． 答案 54解析 根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论： ①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；②甲不是最后一名，则甲、乙需要排在第二、三、四名，有A 23＝6(种)名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况． 综上可知，一共有36＋18＝54(种)不同的名次排列情况． 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知A ＝{x |1<log 2 x <3，x ∈N *}，B ＝{x ||x －6|<3，x ∈N *}．试问：(1)从集合A 和B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ (2)从A ∪B 中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？解 A ＝{3,4,5,6,7}，B ＝{4,5,6,7,8}．(1)A 中元素作为横坐标，B 中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)；B 中元素作为横坐标，A 中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)．又两集合中有4个相同元素，故有4×4＝16(个)重复了两次，所以共有25＋25－16＝34(个)不同的点． (2)A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8}，则这样的三位数共有C 36＝20(个)．18．(12分)已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项．解 二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n ·2k·2kx ，由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56，∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k ＝2C k －1n ·2k －1，C k n 2k＝56C k ＋1n ·2k ＋1， 解得n ＝7.∴展开式中二项式系数最大的项是 T 4＝C 37(2x )3＝28032x 或T 5＝C 47(2x )4＝560x 2. 19．(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会． (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)选法．(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8 568(种)选法．(3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)选法．(4)方法一 (直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 1内4外；2内3外；3内2外；4内1外．所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)选法．方法二 (间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)选法．20．(12分)已知⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式中的第2项和第3项的系数相等．(1)求n 的值；(2)求展开式中所有二项式系数的和； (3)求展开式中所有的有理项．解 二项式⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k n x n －k ·⎝⎛⎭⎫12x k＝C k n⎝⎛⎭⎫12k 32n k x - (k ＝0,1,2，…，n )．(1)根据展开式中的第2项和第3项的系数相等，得 C 1n ·12＝C 2n⎝⎛⎭⎫122，即12·n ＝⎝⎛⎭⎫122·n (n －1)2， 解得n ＝5.(2)展开式中所有二项式系数的和为C 05＋C 15＋C 25＋…＋C 55＝25＝32. (3)二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫12k 352k x - (k ＝0,1,2，…，5)． 当k ＝0,2,4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为 T 1＝C 05⎝⎛⎭⎫120x 5＝x 5，T 3＝C 25⎝⎛⎭⎫122x 2＝52x 2，T 5＝C 45⎝⎛⎭⎫124x －1＝516x. 21．(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数． (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 解 (1)将组成的三位数中所有偶数分为两类，①若个位数为0，则共有A 24＝12(个)符合题意的三位数；②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)符合题意的三位数． 故共有12＋18＝30(个)符合题意的三位数． (2)将这些“凹数”分为三类：①若十位上的数字为0，则共有A 24＝12(个)符合题意的“凹数”； ②若十位上的数字为1，则共有A 23＝6(个)符合题意的“凹数”； ③若十位上的数字为2，则共有A 22＝2(个)符合题意的“凹数”． 故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”． (3)将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有A 22A 33＝12(个)符合题意的五位数； ②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有A 22A 12A 22＝8(个)符合题意的五位数； ③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有A 22A 12A 22＝8(个)符合题意的五位数．故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数．22．(12分)已知⎝⎛⎭⎫x ＋mx n 的展开式的二项式系数之和为256. (1)求n 的值；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n 的展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 解 (1)由二项式系数之和为2n ＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝⎛⎭⎫m x k＝C k 8m k x 8－2k ， 令8－2k ＝0，即k ＝4， 则C 48m 4＝358，解得m ＝±12. (3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C k 8m k ≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9m m ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7，即⎩⎨⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2.。
高中数学 章末检测试卷(一)(含解析)新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学试题
章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是( ) A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合答案 D解析任何一种算法都是由上述三种逻辑结构组成的，它可以含有三种结构中的一种、两种或三种．2．下面一段程序执行后的结果是( )A．6B．4C．8D．10答案 A解析由程序知a＝2,2×2＝4,4＋2＝6，故最后输出a的值为6，故选A.3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则M处可填入的条件为( )A．k≥31B．k≥15C．k＞31D．k＞15答案 B解析依题意k＝1，S＝0，进入循环，循环过程依次为：S＝0＋1＝1，k＝2×1＋1＝3；S＝1＋3＝4，k＝2×3＋1＝7；S＝4＋7＝11，k＝2×7＋1＝15，终止循环，输出S＝11.结合选项知，M处可填k≥15.4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s为( )A．7B．12C．17D．34答案 C解析由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件输出s＝17，故选C.5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A．1B．3C．7D．15答案 C解析由程序框图得S＝0＋20＝1，k＝1；S＝1＋21＝3，k＝2；S＝3＋22＝7，k＝3，输出S的值为7.6．运行如图所示的程序，当输入的数据为75,45时，输出的值为( ) INPUT “输入两个不同正整数m，n＝”；m，nDOIF m＞n THENm＝m－nELSEn＝n－mEND IFLOOP UNTIL m＝nPRINT mENDA．24B．18C．12D．15答案 D解析由程序语句知，此程序是用更相减损术求75,45的最大公约数．7．执行如图所示的框图，输入N＝5，则输出S的值为( )A.54B.45C.65D.56 答案 D解析 第一次循环，S ＝0＋11×2＝12，k ＝2； 第二次循环，S ＝12＋12×3＝23，k ＝3；第三次循环，S ＝23＋13×4＝34，k ＝4；第四次循环，S ＝34＋14×5＝45，k ＝5；第五次循环，S ＝45＋15×6＝56，此时k ＝5不满足判断框内的条件，跳出循环， 输出S ＝56，故选D.8．若如图所示的程序框图的功能是计算1×12×13×14×15的结果，则在空白的执行框中应该填入( )A ．T ＝T ·(i ＋1)B ．T ＝T ·iC ．T ＝T ·1i ＋1D ．T ＝T ·1i答案 C解析 程序框图的功能是计算1×12×13×14×15的结果，依次验证选项可得C 正确．9．如图所示的程序运行时，从键盘输入－3，则输出值为( ) INPUT “x＝”；x IF x ＞0 THEN y ＝1 ELSEIF x ＝0 THENy ＝0 ELSEy ＝－1 END IF END IF PRINT y END A ．－3B ．3C ．1D ．－1 答案 D解析 由程序知，当x >0时，y ＝1；否则，当x ＝0时，y ＝0；当x <0时，y ＝－1. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.10．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63 答案 B解析 由程序框图可知：①S ＝0，k ＝1；②S ＝1，k ＝2；③S ＝3，k ＝3；④S ＝7，k ＝4；⑤S ＝15，k ＝5，输出k ，此时S ＝15≥p ，则p 的最大值为15，故选B.11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是4，则判断框内实数m 的取值X 围是( )A ．(2,6]B ．(6,12]C ．(12,20]D ．(2,20] 答案 B解析 由程序框图，知第一次循环后，S ＝0＋2＝2，k ＝2； 第二次循环后，S ＝2＋4＝6，k ＝3； 第三次循环后，S ＝6＋6＝12，k ＝4.∵输出k ＝4，∴循环体执行了3次，此时S ＝12，∴6＜m ≤12，故选B.12．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的取值的集合是( )A．{1,2,3,4,5}B．{1,2,3,4,5,6}C．{2,3,4,5}D．{2,3,4,5,6}答案 C解析若输入a＝1，则a＝2×1＋3＝5，i＝0＋1＝1，因为5＞13不成立，所以继续循环；a ＝2×5＋3＝13，i＝1＋1＝2，因为13＞13不成立，所以继续循环；a＝2×13＋3＝29，i＝2＋1＝3，因为29＞13成立，所以结束循环，输出的结果为3，不为2，所以a≠1，排除A，B，若输入a＝6，则a＝2×6＋3＝15，i＝0＋1＝1，因为15>13成立，所以结束循环，输出的结果为1，不为2，所以a≠6，排除D，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．执行如图程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．答案 3解析第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，a<b；第2次循环：i＝2，a＝3，b＝6，a<b；第3次循环：i＝3，a＝6，b＝3，a>b，输出i的值为3.14．将二进制数110101(2)化成十进制数，结果为________，再将该结果化成七进制数，结果为________．答案53 104(7)解析110101(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝53，然后用除7取余法得53＝104(7)．15．执行如图所示的程序框图，则输出结果S＝________.答案1010解析根据程序框图知，S＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2019＋2020)＝1010，故输出的S 的值为1010.16．阅读下面的程序，该算法的功能是_____________________．S＝0t＝1i＝1DOS＝S＋it＝t*ii＝i＋1LOOP UNTIL i＞20PRINT S，tEND答案求S＝1＋2＋3＋…＋20，t＝1×2×3×…×20三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．解辗转相除法：470＝1×282＋188，282＝1×188＋94，188＝2×94，所以282与470的最大公约数为94.更相减损术：470与282分别除以2得235和141.235－141＝94，141－94＝47，94－47＝47，所以470与282的最大公约数为47×2＝94.18．(12分)下面给出一个用循环语句编写的程序：(1)指出程序所用的是何种循环语句，并指出该程序的算法功能；(2)请用另一种循环语句的形式把该程序写出来．解(1)本程序所用的循环语句是WHILE循环语句，其功能是计算12＋22＋32＋…＋92的值．(2)用UNTIL语句改写程序如下：19．(12分)下列是某个问题的算法，将其改为程序语言，并画出程序框图． 算法：第一步，令i ＝1，S ＝0.第二步，若i ≤999成立，则执行第三步； 否则，输出S ，结束算法． 第三步，S ＝S ＋1i.第四步，i ＝i ＋2，返回第二步． 解 程序如下： i ＝1 S ＝0WHILE i<＝999 S ＝S ＋1/i i ＝i ＋2 WEND PRINT S END程序框图如图：20．(12分)下列语句是求S ＝2＋3＋4＋…＋99的一个程序，请回答问题： i ＝1 S ＝0DOS ＝S ＋ii ＝i ＋1LOOP UNTIL i ＞＝99PRINT SEND(1)程序中是否有错误？若有，请加以改正；(2)把程序改成另一种类型的循环语句．解 (1)错误有两处：第一处：语句i ＝1应改为i ＝2.第二处：语句LOOPUNTIL i ＞＝99应改为LOOPUNTIL i ＞99.(2)改为当型循环语句为：i ＝2S ＝0WHILE i ＜＝99S ＝S ＋ii ＝i ＋1WENDPRINT SEND21．(12分)输入x ，求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x ≥2，－2，x ＜2的值的程序框图如图所示．(1)指出程序框图中的错误之处并写出正确的算法步骤；(2)重新绘制程序框图，并回答下面提出的问题．①要使输出的值为7，则输入的x 的值应为多少？②要使输出的值为正数，则输入的x 应满足什么条件？解 (1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x ≥2，－2，x ＜2是分段函数，其程序框图中应该有判断框，应该有条件结构，不应该只用顺序结构．正确的算法步骤如下所示：第一步，输入x .第二步，判断x ≥2是否成立．若是，则y ＝3x －2；否则y ＝－2.第三步，输出y .(2)根据(1)中的算法步骤，可以画出程序框图如图所示．①要使输出的值为7，则3x －2＝7，故x ＝3，即输入的x 的值应为3.②要使输出的值为正数，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，3x －2＞0，得x ≥2.故当x ≥2时，输出的值为正数．22．(12分)为了节约用水，学校改革澡堂收费制度，开始实行计时收费，30min 以内每分钟收费0.1元，30min 以上超过部分每分钟收费0.2元，编写程序并画出程序框图，要求输入洗澡时间，输出洗澡费用．解 用y (单位：元)表示洗澡费用，x (单位：min)表示洗澡时间，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ，0＜x ≤30，3＋0.2x －30，x ＞30.程序如下：INPUT xIF x ＜＝30 THENy ＝0.1*xELSEy ＝3＋0.2*x －30END IFPRINT yEND程序框图如图所示．。
新课标高一数学必修第二册第六章章末综合检测(向量+解三角形)(有答案)
第六章章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π42．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 34．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD→＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.345．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( )A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.327．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac ＝( )A ．2 B.12 C ．3D.138．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( )A ．1B ．2C ．－2D ．－110．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12 C.12D.3211．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．3212．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( )A.233B.253C.263D.283二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sin A ，则△ABC 的面积为________．16．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值．19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC→的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．第六章章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C.因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.2．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒2sin A ＝3sin B ，则sin A ＝23sin B ＝22.因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 3解析：选C.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，所以b ＝2.4．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.由已知得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，因此λ＝23，故选B.5．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( ) A ．(2，16) B ．(－2，－16) C ．(4，16)D ．(2，0)解析：选A.设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)．所以2AB →－3BC→＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，得2ac ·sin B ＝3ac ，得sin B ＝32，由正弦定理a sin A＝b sin B ，得b sin A a ＝sin B ＝32，故选D. 7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac＝( ) A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选A.因为sin 2B ＝2sin A sin C ，所以由正弦定理，得b 2＝2ac .又a >c ，cos B ＝14，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ×14＝2ac ，即2×⎝⎛⎭⎫a c 2－5×a c ＋2＝0，解得a c ＝2或12(舍去)，故选A.8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．直角梯形解析：选C.由AB →＋CD →＝0，即AB →＝DC →，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，即DB →·AC →＝0，可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形，故选C.9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选C.AB →·AC →＝(AD →＋DB →)·(AD →＋DC →)＝(AD →＋DB →)·(AD →－DB →)＝AD →2－DB →2＝4－6＝－2.10．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选 B.由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．32解析：选A.设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋b ）＝18，65＋17＝2（a 2＋b 2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4. 所以cos ∠BAD ＝52＋42－172×5×4＝35，所以sin ∠BAD ＝45，S ＝4×5×45＝16.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263D.283解析：选B.由3a cos C ＝4c sin A 得a sin A ＝4c 3cos C ，又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c sin C ＝4c3cos C ⇒tan C＝34，由S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4⇒c sin A ＝5，由tan C ＝34⇒sin C ＝35，又根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253.故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )＝t a ＋2t b ，又向量a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，所以⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：1214．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________． 解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.答案：2π315．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sin A ，则△ABC的面积为________．解析：因为sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a . 又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝4. 所以a ＝233，b ＝433.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.答案：23316．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．解析：示意图如图，设塔高x 米，则BC ＝x 米，BD ＝3x 米(x >0)．因为CD ＝100米，∠BCD ＝80°＋40°＝120°，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，所以3x 2＝x 2＋1002－2×100×x ×⎝⎛⎭⎫－12， 所以2x 2－100x －10 000＝0.所以x 2－50x －5 000＝0.所以x ＝100或x ＝－50(舍去)．答案：100三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .解：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d 时，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． 所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. 所以15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， 所以k ＝－2914.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值． 解：(1)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为a ＝2，b ＝4，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)因为S △ABC ＝4＝12×2c ×45，所以c ＝5，所以b ＝4＋25－2×2×5×35＝17.19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，k －1－λ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x ，5－y )．因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10，7)．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°. (1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解：(1)因为c ＝2，C ＝60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得a sin A ＝b sin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ＝csin C ＝2sin 60°＝433，所以a ＋b sin A ＋sin B＝433.(2)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab .因为a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)． 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．解：(1)因为c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ， 所以cos C ＝b 2c ＝14.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14，所以a ＝4，即BC ＝4.在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ＝6， 所以AD ＝ 6.(2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S △ABE S △ACE＝12AB ·AE ·sin ∠BAE12AC ·AE ·sin ∠CAE ＝AB AC ＝2，又S △ABE S △ACE ＝BE EC，所以BEEC ＝2，所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23.又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝S △ACD －S △ACE ＝12×DC ×AC ×sin C －12EC ×AC ×sin C ＝12×DE ×AC ×sin C ＝156.。
高中数学 章末综合测评6 统计(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题
章末综合测评(六) 统 计(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司从代理的A ，B ，C ，D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A ，B ，C ，D 四种产品的数量比是2∶3∶2∶4，则该样本中D 类产品的数量为( )A.22 B ．33 C ．40 D ．55C [根据分层随机抽样，总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等，∴样本中D 类产品的数量为110×42＋3＋2＋4＝40.]2．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b ]是其中的一组．已知该组的频率为m ，该组上的频率分布直方图的高为h ，则|a －b |等于( )A.mh B ．h m C ．m hD ．m ＋hC [在频率分布直方图中小长方形的高等于频率组距，所以h ＝m |a －b |，|a －b |＝mh ，故选C.]3．我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位：km/h)如下表：A ．28与28.5B ．29与28.5C ．28与27.5D ．29与27.5D [上班时间行驶速度的中位数是28＋302＝29，下班时间行驶速度的中位数是27＋282＝27.5.]4．下列数据的70%分位数为( )20, 14, 26, 18, 28, 30, 24, 26, 33, 12, 35, 22. A ．14 B ．20 C ．28 D ．30C [把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得： 12，14，18，20，22, 24, 26, 26, 28, 30, 33, 35，因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.]5．下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3C[①错，众数可以有多个；②错，方差可以为0.]6．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，体重在[45，50]内适合跑步训练，体重在[50，55)内适合跳远训练，体重在[55，60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为( )A．4∶3∶1 B．5∶3∶1C．5∶3∶2 D．3∶2∶1B[体重在[45，50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50，55)内的频率为0.06×5＝0.3，体重在[55，60]内的频率为0.02×5＝0.1，∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B.]7．设有两组数据x1，x2，…，x n与y1，y2，…，y n，它们的平均数分别是x和y，则新的一组数据2x1－3y1＋1，2x2－3y2＋1，…，2x n－3y n＋1的平均数是( ) A．2x－3y B．2x－3y＋1C．4x－9y D．4x－9y＋1B[设z i＝2x i－3y i＋1(i＝1，2，…，n)，则z＝1n(z1＋z2＋…＋z n)＝2n(x1＋x2＋…＋x n)－3n(y1＋y2＋…＋y n)＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋…＋1n＝2x －3y ＋1.]8．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．27B [前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32.所以a ＝22＋32＝54.故选B.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，三者关系不可能是( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3ABC [在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为nN，所以p 1＝p 2＝p 3.]10．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．抽样方法不合理的是( ) A ．①抽签法， ②分层随机抽样 B ．①随机数法，②分层随机抽样 C ．①随机数法，②抽签法D ．①抽签法， ②随机数法BCD [①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样．]11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四种说法中正确的是( )甲 乙①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 ②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数 ③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 A ．①B ．②C ．③D ．④ABCD [x 乙＝15×(5＋5＋5＋6＋9)＝6，x 甲＝15×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，故甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故甲大于乙；甲的成绩的方差为15×(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15×(12×3＋32×1)＝2.4；③正确，甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差等于4，④正确．] 12．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表： 次品数 0 1 2 3 4 频率0.50.20.050.20.05A ．0，1.1B ．0，1C ．4，1D ．0.5，2BCD [数据x i 出现的频率为p i (i ＝1，2，…，n )，则x 1，x 2，…，x n 的平均数为x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .因此次品数的平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.由频率知，次品数的众数为0.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：0．5 [小李这5天的平均投篮命中率y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5.]14．一个样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是________．5 [x 2－5x ＋4＝0的两根是1，4. 当a ＝1时，a ，3，5，7的平均数是4， 当a ＝4时，a ，3，5，7的平均数不是1.∴a ＝1，b ＝4.则方差s 2＝14×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.]15．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲________，乙________，丙________．众数 平均数 中位数 [甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数x ＝4＋6×3＋8＋9＋12＋138＝8；丙：该组数据的中位数是7＋92＝8.]16．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲[x 甲＝9，x 乙＝9，s 2甲＝15×2＝25，s 2乙＝15×6＝65，甲的方差较小，故甲入选．]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ [解](1)不同年龄段的人的身体状况有所差异，所以应该按年龄段用分层随机抽样的方法来调查该单位的职工的身体状况，老年、中年、青年所占的比例分别为2002000＝110，6002000＝310，12002000＝35，所以在抽取40人的样本中，老年人抽40×110＝4人，中年人抽40×310＝12人，青年人抽取40×35＝24人；(2)因为不同部门的人对单位的发展及薪金要求有所差异，所以应该按部门用分层随机抽样的方法来确定参加座谈会的人员，管理、技术开发、营销、生产人数分别占的比例为1602000＝225，3202000＝425，4802000＝625，10402000＝1325，所以在抽取25人出席座谈会中，管理人员抽25×225＝2人，技术开发人员抽25×425＝4人，营销人员抽25×625＝6人，生产人员抽25×1325＝13人． 18．(本小题满分12分)在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数量最多？有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？ [解](1)依题意知第三组的频率为 42＋3＋4＋6＋4＋1＝15，又因为第三组的频数为12， ∴本次活动的参评作品数为1215＝60(件). (2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多， 共有60×62＋3＋4＋6＋4＋1＝18(件).(3)第四组的获奖率是1018＝59，第六组上交的作品数量为60×12＋3＋4＋6＋4＋1＝3(件)，∴第六组的获奖率为23＝69，显然第六组的获奖率高．19．(本小题满分12分)为了更好地进行精准扶贫，在某地区经过分层随机抽样得到本地区贫困人口收入的平均数(单位：万元/户)和标准差，如下表：劳动能力差有劳动能力但无技术有劳动能力但无资金户数 10 12 8 平均数 1.2 2.0 2.4 标准差144[解] 由表可知所抽样本的这30户贫困人口收入的平均数为 1030×1.2＋1230×2＋830×2.4＝1.84(万元)，这30户贫困人口收入的方差为10 30[12＋(1.2－1.84)2]＋1230[42＋(2－1.84)2]＋830[42＋(2.4－1.84)2]＝11.230 4.20．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们的培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)指出甲、乙两位学生成绩的中位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由．[解](1)甲的中位数是83，乙的中位数是84.(2)派甲，理由是：甲的平均数是85，乙的平均数是85，甲的方差是35.5，乙的方差是41，甲成绩更稳定．21．(本小题满分12分)某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n 人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”．统计结果如下图表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25) a 0.5第2组[25，35)18x第3组[35，45) b 0.9第4组[45，55)90.36第5组[55，65]3y(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？[解](1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36＝25，再结合频率分布直方图可知n ＝250.025×10＝100，∴a ＝100×0.01×10×0.5＝5，b ＝100×0.03×10×0.9＝27，x ＝1820＝0.9，y ＝315＝0.2.(2)第2，3，4组回答正确的共有54人，∴利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：1854×6＝2(人)，第3组：2754×6＝3(人)，第4组：954×6＝1(人).22．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组[75，85)[85，95) [95，105)[105，115)[115，125]频数62638228(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).[解](1)频率分布直方图如图：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.。
高考数学总复习 第六章 数 列章末检测 理 北师大版
第六章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2011·茂名月考)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 ( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．642．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0 (n ∈N *，n ≥2)，则S 2 010等( ) A ．0 B ．2 C ．2 009 D ．4 020 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于 ( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 4．(2011·南阳模拟)等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝15．(2010·东北师大附中高三月考)由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项( )A.34103 B ．100 C.1100 D.1104 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于 ( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．67．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于 ( )A ．13B ．10C ．9D ．6 8．(2010·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n取最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．99．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．(2011·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年 11．在△ABC 中，tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则B 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3B.⎝⎛⎦⎤0，π6∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6C.⎣⎡⎭⎫π6，π2D.⎣⎡⎭⎫π3，π2 12．(2010·安徽)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是 ( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X ) 213．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝________.14．(2011·海口调研)在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.15．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是________．16．(2010·哈师大附中高三月考)已知S n 是等差数列{a n } (n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11.其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上) 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(2011·德州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，S 10＝190. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设p ，q ∈N *，试判断a p ·a q 是否仍为数列{a n }中的项并说明理由．18．(12分)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求数列{a n }的通项公式．19．(12分)(2011·武汉月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且向量a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1na n 的前n 项和T n .20．(12分)(2011·唐山月考)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n ) (n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)设a 为常数，求证：{a n }成等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .21．(12分)(2011·周口月考)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)答案 1．A [由{a n }是等差数列知a 7＋a 9＝2a 8＝16，∴a 8＝8.又a 4＝1，∴a 12＝2a 8－a 4＝15.]2．D [a 2n ＝a n －1＋a n ＋1＝2a n ，a n ≠0，∴a n ＝2. ∴S n ＝2n ，S 2 010＝2×2 010＝4 020.] 3．A [当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5， ∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66.]4．B [因为{a n }是等比数列，所以a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，代入已知式T 5＝1，得a 53＝1，所以a 3＝1.]5．C [由a n ＋1＝a n 3a n ＋1知，1a n ＋1＝1a n＋3， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，公差为3的等差数列． ∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2. ∴a n ＝13n －2，a 34＝13×34－2＝1100.]6．B [∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10， a 1＝S 1＝－8适合上式， ∴a n ＝2n －10 (n ∈N *)，∴5<2k －10<8，得7.5<k <9.∴k ＝8.]7．D [∵a n ＝1－12n ，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－18＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n －12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n －1＋12n .∵S n ＝32164，∴n －1＋12n ＝32164＝5＋164.∴n ＝6.]8．A [设该数列的公差为d ， 则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6， ∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11， ∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值．]9．B [由表格知，第三列为首项为4，第二项为2的等比数列，∴x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，52，故该数列所成等比数列的公比为12，∴y ＝5×⎝⎛⎭⎫123＝58，同理z ＝6×⎝⎛⎭⎫124＝38.故x ＋y ＋z ＝2.] 10．C [由题意知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n－1)＝12n (n ＋1)·(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2 (n ∈N *)，令3n 2≤150，∴1≤n ≤52，∴1≤n ≤7.故生产期限最大为7年．]11．D [由已知得2tan B ＝tan A ＋tan C >0(显然tan B ≠0，若tan B <0，因为tan A >0且tan C >0，tan A ＋tan C >0，这与tan B <0矛盾)，又tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－2tan B1－tan A tan C ≠0，所以tan A tan C ＝3.又∵tan A ＋tan C ≥2tan A tan C ＝23， ∴tan B ≥3，∵B ∈(0，π)∴B 的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.]12．D [由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 又∵{a n }是等比数列，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列， 即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列， ∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )， 即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY ， ∴Y 2－XY ＝ZX －X 2， 即Y (Y －X )＝X (Z －X )．] 13．624解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .∴(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝24，∴n ＋1＝25，∴n ＝624.14．52解析 ∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8. ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52.15．34 950解析 由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.16．①②解析 由S 6>S 7得a 7<0， 由S 6>S 5得a 6>0， 由S 7>S 5得a 6＋a 7>0. 因为d ＝a 7－a 6，∴d <0；S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝(a 1＋a 11)＋(a 2＋a 10)＋…＋a 6＝11a 6>0，S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝(a 1＋a 12)＋(a 2＋a 11)＋…＋(a 6＋a 7)＝6(a 6＋a 7)>0；∵a 6>0，a 7<0，∴{S n }中S 6最大． 故正确的命题为①②.17．解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝810a 1＋10×92d ＝190，………………………………………………………………(4分)解得a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.………………………………………………………(6分) (2)a p a q ＝(4p －3)(4q －3)＝16pq －12(p ＋q )＋9 ＝4[4pq －3(p ＋q )＋3]－3，∵4pq －3(p ＋q )＋3∈N *，………………………………………………………………(8分) ∴a p ·a q 为数列{a n }中的项．……………………………………………………………(10分) 18．解 ∵a 3＋a 13＝2a 8，a 3＋a 8＋a 13＝12，∴a 8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 13＝8，a 3a 13＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝1，a 13＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7，a 13＝1.…………………………………………………………(7分)由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝a 13－a 313－3＝7－110＝35.故a n ＝a 3＋(n －3)·35＝35n －45；……………………………………………………………(9分)由a 3＝7，a 13＝1，可知d ＝a 13－a 313－3＝1－710＝－35.故a n ＝a 3＋(n －3)·⎝⎛⎭⎫－35 ＝－35n ＋445.……………………………………………………………………………(11分)综上可得，a n ＝35n －45，或a n ＝－35n ＋445.……………………………………………(12分)19．(1)证明 ∵a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线，∴n (n ＋3)－4S n ＝0，∴S n ＝n (n ＋3)4.……………………………………………………(3分)∴a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋12，……………………………………………………(5分) 又a 1＝1满足此式，∴a n ＝n ＋12.………………………………………………………(6分)∴a n ＋1－a n ＝12为常数，∴数列{a n }为首项为1，公差为12的等差数列．………………………………………(7分)(2)解 ∵1na n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，…………………………………………………(9分) ∴T n ＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n .＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.……………………………………(12分) 20．(1)证明 f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，…………………………………………(2分) 即log a a n ＝2n ＋2，可得a n ＝a 2n ＋2. ∴a na n －1＝a 2n ＋2a 2(n －1)＋2＝a 2n ＋2a 2n＝a 2 (n ≥2)为定值．………………………………………………………………………(4分) ∴{a n }为以a 2为公比的等比数列．……………………………………………………(5分) (2)解 b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2.…………………………………………………………………………(7分) 当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2 ＝(n ＋1)2n ＋2.S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，①2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3，② ①－②，得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3 …………………………………………(9分) ＝16＋24(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3.∴S n ＝n ·2n ＋3.……………………………………………………………………………(12分) 21．解 (1)已知得a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)．②由①－②，得2n －1a n ＝8.∴a n ＝24－n .……………………………………………………(3分) 在①中，令n ＝1，得a 1＝8＝24－1， ∴a n ＝24－n (n ∈N *)．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2.∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6.…………………………………………………(5分) ∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．…………………………………………………………………(7分) (2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k ，单调递增，且f (4)＝1.∴k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋4－24－k ≥1.…………………………………………………(10分) 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，…………………………………………………………………(11分) ∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．………………………………………………(12分)22．解 设该地区总面积为1,2006年底绿化面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2006年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.…(3分)依题意a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，∴a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n ) ＝45a n ＋325，………………………………………………………………………………(6分) 即a n ＋1－35＝45(a n －35)．∴{a n －35}是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15·(45)n.………………………………………………………………………(9分)∵a n ＋1>50%，∴35－15·(45)n >12.∴(45)n <12，n >451log 2＝lg 21－3lg 2≈3.……………………………………………………(11分) 则当n ≥4时，不等式(45)n <12恒成立．∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)。
07-章末培优专练 (2)高中数学必修一北师大版
①样本数据过少,不能很好地反映总体数据的特征；
②调查的人数中年龄在[60,100]的只有18人,也许这部分人刚好对防骗知识
的知晓率高,从而导致调查结果不能很好地代表实际情况.
类型2 强基计划
3.[2023全国高中数学联赛吉林赛区预赛]已知如下的两组数据：
第一组：20,21,22,25,24,23；
【名师点评】
结合题目所给的散点图对数据特征进行直观判断,简单易行,本题中若对标
准差进行严格计算,则较为烦琐,且容易出错.
3.[2023上海春季卷·14，5分]如图为2017— 2021年中国货物进出口总额的
统计图，则下列说法错误的是( C )
A.从2018年开始，每年与上一年相比，2
021年的进出口总额增长率最大
后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷
答题的正确率如图，则(
)
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
√
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【解析】
B.从2018年开始，进出口总额逐年增大
C.从2018年开始，进口总额逐年增大
D.从2018年开始，每年与上一年相比,
2020年的进出口总额增长率最小
【解析】 由题图可知，2020年的进口总额小于2019年的进口总额，故C
说法不正确;由题图可知，2017— 2021年中国货物进出口总额依次为
27.81,30.50,31.57,32.22,39.10，故B说法正确；与上一年相比，2018年的
第二组：22,24,23,25,,26.
新编教材高一数学第六章平面向量初步综合检测(含答案)
新编教材高一数学第六章综合检测平面向量初步一、选择题（每小题只有一个答案正确，请将正确的选择项填写在括号内，每小题5分，共40分） 1．下列命题正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若a ≠b ，则|a |≠|b |C ．若|a |＝|b |，则a 与b 可能共线D ．若|a |≠|b |，则a 一定不与b 共线 答案 C解析 因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C 正确，D 错误．2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4) 答案 A解析 BC →＝AC →－AB →，AC →＝(－4，－3)，AB →＝(3,1)，故BC →＝(－7，－4)． 3．设a ，b 是共线的单位向量，则|a ＋b |的值( )A ．等于2B ．等于0C ．大于2D ．等于0或等于2 答案 D解析 ∵a 与b 是共线的单位向量，∴当两个向量同向时，|a ＋b |＝2|a |＝2；当两个向量反向时，|a ＋b |＝0；综上所述，故选D ．4．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 答案 D解析 ∵c ∥d ，∴设c ＝λd ，则ka ＋b ＝λa －λb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λ＝－1，∴k ＝－1，λ＝－1，∴c ＝－d ，∴k ＝－1且c 与d 反向． 5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 D解析 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1),4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，则6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.6．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2) 答案 D解析 由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．7．已知平面内M ，N ，P 三点满足MN →－PN →＋PM →＝0，则下列说法正确的是( ) A ．M ，N ，P 是一个三角形的三个顶点 B ．M ，N ，P 是一条直线上的三个点 C ．M ，N ，P 是平面内的任意三个点 D ．以上都不对 答案 C解析 因为MN →－PN →＋PM →＝MN →＋NP →＋PM →＝MP →＋PM →＝0，所以MN →－PN →＋PM →＝0对任意情况是恒成立的．故M ，N ，P 是平面内的任意三个点．故选C ．8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A ．23B ．43 C ．－3 D ．0答案 D解析 如图，连接AD ，∵CD →＝2DB →，∴CB →＝32CD →，又CB →＝AB →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →，又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.故选D ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为 。
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5.若实数 a＝2－ 2，则 a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210 等于
√A.32
B.－32
C.1 024
D.512
解析 由二项式定理，得 a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝C010(－2)0a10＋ C110(－2)1a9＋C210(－2)2a8＋…＋C1100(－2)10＝(a－2)10＝(－ 2)10＝25＝32.
√B.11
C.12
D.15
解析 分类讨论：有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的 数字相同，可得 N＝C24＋C14＋1＝11.
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7.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投
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8.如图为我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的
示意图.现在提供5种颜色给5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜
色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为
A.120 C.340
第六章 计数原理
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是
m
B.Cmn ＋1
C.Cmn －1
√D.(－1)m－1Cmn －1
解析 (x－y)n的二项展开式中第m项为 Tm＝Cmn －1(－y)m－1xn－m＋1， 所以系数为 Cmn －1(－1)m－1.
√D.从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算
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解析 根据题意，依次分析选项： 对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同， 是排列问题； 对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题； 对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是 组合问题； 对于D，从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计 算结果也不一样，是排列问题. 故选AD.
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4.5名大人带2个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同
的排法有
√A.A55·A24种
B.A55·A25种
C.A55·A26种
D.(A77－4A66)种
解析 先排大人，有 A55种排法，去掉头尾后，有 4 个空位， 再分析小孩，用插空法，将 2 个小孩插在 4 个空位中，有 A24种排法， 由分步乘法计数原理可知，有 A55·A24种不同的排法，故选 A.
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2.若 A4m＝18C3m，则 m 等于
A.9
B.8
C.7
√D.6
解析 由 A4m＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·mm3－×12×m1－2， 得m－3＝3，m＝6.
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3.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学
生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有
b种，则(a，b)为
A.(34,34)
√C.(34,43)
B.(43,34) D.(A34，A34 )
解析 由题意知本题是一个分步计数问题，每名学生报名都有3种选择， 根据分步乘法计数原理知，4名学生共有34种选择； 每项冠军都有4种可能结果， 根据分步乘法计数原理知，3项冠军共有43种可能结果.故选C.
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分， 部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.下列问题属于排列问题的是
√A.从10个人中选2人分别去种树和扫地
B.从10个人中选2人去扫地 C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
B.260
√D.420
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解析 如图所示，设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析： ①区域A有5种颜色可选； ②区域B与区域A相邻，有4种颜色可选； ③区域C与区域A，B相邻，有3种颜色可选； ④对于区域D，E，若D与B颜色相同， 则区域E有3种颜色可选，若D与B颜色不相同， 则区域D有2种颜色可选，区域E有2种颜色可选， 故区域D，E有3＋2×2＝7(种)选择. 综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(种).故选D.
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6.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一
个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110
至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10
资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有
A.16种
B.36种
C.42种
√D.60种
解析 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个，每个城市一项，共 A34 种方法； 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 2 个，一个城市 1 项、一个城市 2 项，共 C23A24种方法. 由分类加法计数原理知，共 A34＋C23A24＝60(种)方法.
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10.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则