空间向量及其运算复习 PPT课件
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高三高考数学复习课件8-6空间向量及其运算
题型三 空间向量数量积的应用 【例3】 (2018·云南师大附中月考)如图，已知平行六面 体 ABCDA1B1C1D1 中 ， 底 面 ABCD 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ， AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD.
则 cos θ＝|cos〈A→C1，A→1D〉|＝A|→A→CC11·||AA→1→1DD|.
∵A→C1＝a＋b＋c，A→1D＝b－c，
∴A→C1·A→1D＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，
|A→1D|＝ （b－c）2＝ |b|2－2b·c＋|c|2
(1)A→P； (2)M→P＋N→C1.
【解析】 (1)因为 P 是 C1D1 的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P ＝a＋A→D＋21D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋21b. (2)因为 M 是 AA1 的中点， 所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P
＝－21a＋a＋c＋12b ＝21a＋21b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝21B→C＋A→A1 ＝21A→D＋A→A1＝21c＋a， 所以M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c ＝23a＋21b＋23c.
【证明】 (1)连接 BG， 则E→G＝E→B＋B→G ＝E→B＋12(B→C＋B→D) ＝E→B＋B→F＋E→H ＝E→F＋E→H， 由共面向量定理的推论知 E，F，G，H 四点共面．
(2)因为E→H＝A→H－A→E ＝21A→D－21A→B ＝21(A→D－A→B)＝21B→D， 所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH， 所以 BD∥平面 EFGH.
第八章第五节空间向量的运算及应用课件共60张PPT
A．－12 a＋12 b＋c
B．12 a＋12 b＋c
C．－12 a－12 b＋c
D．12 a－12 b＋c
A
→ [BM
＝BB1＋B1M＝AA1＋12
→ (AD
－A→B
)＝c＋12
(b－a)＝－12
a＋12
b＋c.]
4．若平面 α 的一个法向量为 u1＝(－3，y，2)，平面 β 的一个法向量为 u2＝(6，－2，z)，且 α∥β，则 y＋z＝________．
向量的基本定理及其意义，掌握空间 小问．
向量的正交分解及其坐标表示． 学科素养： 逻辑推理、数学运算．
课程标准
考向预测
3．掌握空间向量的线性运算及其坐 考情分析： 本节主要考查空间向量
标表示． 的线性运算、数量积及其坐标运算，
4．掌握空间向量的数量积及其坐标 利用空间向量证明空间中的平行与
表示，能运用向量的数量积判断向量 垂直关系，多出现在解答题中的第一
解析： (1)由题意可知，A→B ＝O→B －O→A ＝a＋2b，A→C ＝O→C －O→A ＝
－a－2b，∴A→B ＝－A→C ，又A→B ，A→C 有公共点，∴A，B，C 三点共线．
(2)∵A→M ＝kAC1，B→N ＝kB→C ，∴M→N ＝M→A ＋A→B ＋B→N ＝kC1A＋A→B
＋
→ k BC
－4)，点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点，则E→F 的坐标为( )
A．(2，3，3)
B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2，1)
D．(－5，2，－1)
B [因为点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点．设 O 为坐标原点，所以E→F
＝O→F
－O→E
空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
高中数学空间向量复习PPT课件
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b | x12 y12 z12 x22 y22 z22
• 法向量
若a // l称a是直线l的方向向量
若n a则称n是a的法向量; n a n • a x1x2 y1 y2 z1z2 0
第3页/共16页
空间角及距离公式
• 线线 • 线面
D1 A1
C1
D
B1 C
A
B
第8页/共16页
小测
1．棱长为a的正四面体 ABCD中，AB BC AC BD
。
2．向量a,b,c 两两夹角都是60 ，| a |1,| b | 2,| c | 3 ，
则 | a b c |
。
3、已知SABC是棱长为1的空间四边形，M、N分别是
AB，SC的中点，求异面直线SM，BN与所成角的余弦值
空间向量基础知识
• 空间向量的坐标表示： • 空间向量的运算法则：若
A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2 )
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2)
新疆 王新敞
奎屯
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
7.若 | a | 3,| b | 2,| a b | 7,则a与b
为
.
的夹角
8.设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，
b＝7m＋2n，则a,b ＝________
第6页/共16页
向量法
例题1．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是OC与AB的中点，求证
EF 1（OA OB OC） 2O
小测
空间向量及其运算PPT优秀课件8
解 （1）∵P是C1D1的中点，
APA1AA1D1D1PaAD12D1C1
ac1ABac1b
2
2
(2)N是BC的中点 ,
A1N
A1A
ABBN
ab
1BC 2
ab1 ADab1c.
2
2
(3)
M
是
AA
的中点
1
,
MP
MA
AP
1 2
祝同学们学习愉快！ 再见！
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2.下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有ABBC
CDDA0;
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，
若 OP xOA yOB zO（C其中x、y、z∈R）,则P、 A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是
A1 A
AP
1 a (a c 1 b) 1 a 1 b c,
2
2 22
又 NC 1 NC
CC
1
1 2
BC
AA 1
1 AD 2
AA
1
1c 2
a,
MP
NC
1
(1 2
《空间向量及其运算》课件
向量的模的运算律
模的加法运算律
$|overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}| = |overset{longrightarrow}{a}| + |overset{longrightarrow}{b}|$ 当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$ 与 $overset{longrightarrow}{b}$ 同向。
模的数乘运算律
$|lambdaoverset{longrightarrow}{a}| = |lambda||overset{longrightarrow}{a}|$，其 中 $lambda$ 是标量。
特殊向量的模的性质
零向量的模
$|overset{longrightarrow}{0}| = 0$。
向量的加法结合律
向量加法满足结合律，即对于任意三个向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
模的等式
当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$同向 或反向时，有 $|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{b}|$。
第1章 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算课件(共71张PPT)
·
情
课
景
堂
导
小
学
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
结
·
探
提
新 知
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
素 养
合
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
作
课
探 究
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向
时 分
层
释 疑
量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
作 业
难
返 首 页
·
结 提
新
素
知
(2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足O→P＝13O→A 养
合
作
课
探 究
＋13O→B＋13O→C，则点 P 与点 A，B，C 是否共面？
时 分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
17
·
情 景
[提示]
(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成
课 堂
导
小
学 为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
12
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
·
提
新
素
知
养
[提示] 没有关系．
合
作
课
探
时
究
分
层
释
高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件
(3)a·b= x1x2+y1y2+z1z2
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
8-5空间向量及其运算课件共83张PPT
(1) 解析：∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，
∴(a＋b)·(a－b)＝－13. (2) 解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
核/心/素/养
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，V→P＝13V→C，V→M＝23 V→B，V→N＝23V→D，则VA与平面PMN的位置关系是__平__行____．
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)CFra bibliotek(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
4．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用 基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
[解] M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
知识点二 数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)a⊥b⇔_a_·_b_＝__0__(a，b为非零向量)． (3)|a|2＝__a_2_____，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)|a|＝ a21＋a22＋a32； (2)a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_； (3)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (4)λa＝_(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)____； (5)a·b＝_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3__；
∴(a＋b)·(a－b)＝－13. (2) 解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
核/心/素/养
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，V→P＝13V→C，V→M＝23 V→B，V→N＝23V→D，则VA与平面PMN的位置关系是__平__行____．
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)CFra bibliotek(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
4．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用 基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
[解] M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
知识点二 数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)a⊥b⇔_a_·_b_＝__0__(a，b为非零向量)． (3)|a|2＝__a_2_____，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)|a|＝ a21＋a22＋a32； (2)a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_； (3)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (4)λa＝_(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)____； (5)a·b＝_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3__；
1.1空间向量及其运算课件
1
(3) AF AD x AB y AA) x y
2
课堂小结
一. 空间向量的有关概念
二. 几类特殊的空间向量
三. 空间向量的线性运算
四. 空间向量的共线（平行）的 充要条件
五. 空间向量的共面充要条件
2
1.1.1空间向量及其线性运算
新知讲授
一. 空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，
平面向量/ 空间向量
加法
减法
数乘
运算
加法：三角形法则或平行四边形法则
减法：三角形法则
数乘：ka，k为正数,负数,零
12
学习新知
（1）空间向量的加减法
C
ab
b
A
O
a
a b OA AB OB
（2）空间向量的数乘
a
a b
λa
a b OA OC CA
(λ>0)
0时， a 0
∠AOB
作 OA ＝a，OB ＝b，则_______＝θ
叫做向量a与b的夹
<a,b>
角．记作: ________
A
a
a
b
O
b
B
关键是共
起点！
• 通常规定： 0≤ <a,b> ≤π
• 如果<a,b>=90°，那么a,b互相垂直，记作a⊥b
• 两个向量的夹角唯一确定，且<a,b>=<b,a>
新知讲授
λa
(λ<0)
B
13
学习新知
平面向量/ 空间向量
运
(3) AF AD x AB y AA) x y
2
课堂小结
一. 空间向量的有关概念
二. 几类特殊的空间向量
三. 空间向量的线性运算
四. 空间向量的共线（平行）的 充要条件
五. 空间向量的共面充要条件
2
1.1.1空间向量及其线性运算
新知讲授
一. 空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，
平面向量/ 空间向量
加法
减法
数乘
运算
加法：三角形法则或平行四边形法则
减法：三角形法则
数乘：ka，k为正数,负数,零
12
学习新知
（1）空间向量的加减法
C
ab
b
A
O
a
a b OA AB OB
（2）空间向量的数乘
a
a b
λa
a b OA OC CA
(λ>0)
0时， a 0
∠AOB
作 OA ＝a，OB ＝b，则_______＝θ
叫做向量a与b的夹
<a,b>
角．记作: ________
A
a
a
b
O
b
B
关键是共
起点！
• 通常规定： 0≤ <a,b> ≤π
• 如果<a,b>=90°，那么a,b互相垂直，记作a⊥b
• 两个向量的夹角唯一确定，且<a,b>=<b,a>
新知讲授
λa
(λ<0)
B
13
学习新知
平面向量/ 空间向量
运
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
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的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习(共24张PPT)教育课件
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
些
计
划
，
有
的
计
划
《
几
乎
不
去
做
或
者
做
了
坚
持
不
了
多
久
。
其
实 我
成
功
的
关
键
是
做
很
坚
持
。
上
帝
没
有
在
我 是
们
出
生
的
时
候
给
我
们
什
么
额
外
的
装
备
， 算
也
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
•
•
•
•
•
•
《
极
，
那有 就些 在人 于经 坚常 持做 。一
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
高三数学空间向量及其运算复习课件
运算表示即可. 的中点， G 是△ABC 的重心，
→ ，OB → ，OC → 表示 用基向量OA → ，OG →. MG
题型一
空间向量的线性运算
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 三棱锥 O—ABC 中， M，N 分别是 OA，BC
→ → → 1→ 2→ 解 MG＝MA＋AG＝ OA＋ AN 2 3 1→ 2 → → ＝ OA＋ (ON－OA) 2 3
b＝0 ⇔ a⊥ b⇔ a·
，a3＝λb3 (λ∈R) ， (a， b 均为非
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
零向量 ).
要点梳理
(3)模、夹角和距离公式 设 a＝ (a1， a2，a3)，b＝ (b1，b2，b3)， 则 |a|＝ a· a＝
2 2 a2 ＋ a ＋ a 1 2 3
知识回顾 理清教材
②交换律：a· b＝
； ； .
b· a
b＋a· c ③分配律：a· (b＋c)＝ a·
要点梳理
4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设 a＝(a1，a2， a3)， b＝(b1， b2，b3)， 则 a· b＝
知识回顾 理清教材
a1b1＋a2b2＋a3b3
.
(2)共线与垂直的坐标表示 设 a＝(a1，a2， a3)， b＝(b1， b2，b3)， 则 a∥b⇔ a＝λb ⇔ a1＝λb1 ， a2＝λb2
.
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)√ (2) × (3) ×
A C
1 2 2 1 2 2 ，－ ， 或－ ， ，－ 3 3 3 3 3 3
(4) ×
(5) √
高中数学一轮复习空间向量及其运算PPT课件
1.了解空间向量的概念，了解空间 向量的基本定理及其意义，掌握 空间向量的正交分解及其坐标表
考 示． 纲要求2．标掌表握示空．间向量的线性运算及其坐 3．掌握空间向量的数量积及其坐标 表示，能运用向量的数量积判断 向量的共线与垂直．
• 标系xOy中，通过原点O， 再作一条数轴z，使垂之直 与x轴、y轴都 ，这样，它们中的任意两条都互相垂 直，轴的方向通常这样选择90：° 从z轴的正 方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转 能 与y轴的正半轴重合，这时，我们说在空 间建立了一个空间直角坐标系O－xyz，O
解析：A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所 以空间任意两向量均共面．
B 错．因为|a|＝|b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无 关．
C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的 长度进行比较，因此也就没有A→B>C→D这种写法．
D 对．∵A→B＋C→D＝0，∴A→B＝－C→D， ∴A→B与C→D共线，故A→B∥C→D正确． 答案：D
且模 的
• (6)共线向量：与平面向量一样，如果表
示空间向量的有向线段所在的直线互相平
行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a平行于b，记平作面a∥b.
• (7)共面向量：平行于同一
的向量
叫做共面向量．
• 3．空间向量中的有关定理
• (1)共线向量定理及其推论
• 共线向量定理：空间任意两个向量a， b(b≠0)，a∥b的充要条a＝件λ是b. 存在实数λ， 使
④若 P、M、A、B 共面，则M→P＝xM→A＋yM→B.
其中真命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确；②中若 a，b 共线，p，a 不共线， 则 p＝xa＋yb 就不成立；③正确；④中若 M，A，B 共线， 点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不成立．
考 示． 纲要求2．标掌表握示空．间向量的线性运算及其坐 3．掌握空间向量的数量积及其坐标 表示，能运用向量的数量积判断 向量的共线与垂直．
• 标系xOy中，通过原点O， 再作一条数轴z，使垂之直 与x轴、y轴都 ，这样，它们中的任意两条都互相垂 直，轴的方向通常这样选择90：° 从z轴的正 方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转 能 与y轴的正半轴重合，这时，我们说在空 间建立了一个空间直角坐标系O－xyz，O
解析：A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所 以空间任意两向量均共面．
B 错．因为|a|＝|b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无 关．
C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的 长度进行比较，因此也就没有A→B>C→D这种写法．
D 对．∵A→B＋C→D＝0，∴A→B＝－C→D， ∴A→B与C→D共线，故A→B∥C→D正确． 答案：D
且模 的
• (6)共线向量：与平面向量一样，如果表
示空间向量的有向线段所在的直线互相平
行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a平行于b，记平作面a∥b.
• (7)共面向量：平行于同一
的向量
叫做共面向量．
• 3．空间向量中的有关定理
• (1)共线向量定理及其推论
• 共线向量定理：空间任意两个向量a， b(b≠0)，a∥b的充要条a＝件λ是b. 存在实数λ， 使
④若 P、M、A、B 共面，则M→P＝xM→A＋yM→B.
其中真命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确；②中若 a，b 共线，p，a 不共线， 则 p＝xa＋yb 就不成立；③正确；④中若 M，A，B 共线， 点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不成立．
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=15
A1
17
A x
E B1
D
C y
B
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，点E、F分别是BB1，B1D1的中点，
求证：EF⊥A1D.
z
D1
C1A1F B1ECDyA
B
x
小结作业
1.空间向量的坐标运算是在空间向量基 本定理和空间向量的坐标表示的基础上 建立起来的理论，它与平面向量的坐标 运算的算法原理是一致的，其不同点体 现在空间向量是三维坐标运算，平面向 量是二维坐标运算.
a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2
探究（二）：向量关系的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2).
思考1：若a//b，则向量a，b的坐标满足 什么关系？ x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R). 思考2：若a⊥b，则向量a，b的坐标满足 什么关系？
x1x2＋y1y2＋z1z2 ＝0
3.空间向量可以用坐标表示，从而空间 向量的运算和向量的关系也可以用坐标 表示，其相关结论，我们将逐一探究.
空间向量运算 的坐标表示
探究（一）：向量运算的坐标表示
设{i，j，k}为单位正交基底，向量 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
思考1：向量a＋b用基底{ i，j，k}如何表 示？a＋b的坐标是什么？
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 思考2：根据上述原理，向量a－b的坐标 是什么？
a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
思考3：设λ为实数，向量λa用基底{ i，j， k}如何表示？λa的坐标是什么？
λa＝(λx1，λy1，λz1) 思考4：利用a＝x1i＋y1j＋z1k，b＝x2i＋ y2j＋z2k，a·b等于什么？
u u ur A B ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
d A B =( x 2 -x 1 ) 2 + ( y 2 -y 1 ) 2 + ( z 2 -z 1 ) 2
思y2，考z62：)，已若知A u点uP urA= (xl1P u ，uB u ry，1，则z1点)，P的点坐B(标x2是， 什么？
作业： P97练习：1，2，3.
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
问题提出
1.空间向量基本定理是什么？ 若三个向量a，b，c不共面，则对空
间任一向量p，存在有序实数组{x，y，
z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2.在空间直角坐标系中，确定向量p的坐 标的基本原理是什么？ 若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z).
思考3：利用向量a的坐标如何求|a|？
|a|＝ x12 +y12 +z12
思考4：利用向量a，b的坐标如何求它们 的夹角？
cos〈a，b〉＝
x1x2+y1y2+z1z2 x12+y12+z12 x22+y22+z22
思z2)考，5则：向若量点A(x1A，的uuBuy坐r 1，标z是1)什，么点？B(Ax、2，B两y2， 点间的距离如何计算？
P(x1+lx2,y1+ly2,z1+lz2) 1+l 1+l 1+l
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
理论迁移
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点E、F分别是A1B1，C1D1的一个四等 分点，求异面直线BE与DF所成角的余弦
值.
z
D1 F
C1
cos
uuur uuur BE,DF
2.求空间向量的坐标有几何法、差向 量法、待定系数法等，若向量的起点在 原点，一般用几何法；若向量的起点和 终点是一些特殊点，一般用差向量法， 即终点坐标减起点坐标；若向量的具体 位置不确定，一般用待定系数法.
3.对立体几何中的某些证明或计算问 题，如果图形中有三条互相垂直的直线， 可以建立空间直角坐标系，利用向量的 坐标运算求解.