裂项相消ppt课件

1
, (n N*)
12 123 1234 123 n
的前n项和
提示：
an
1
1 2
n
2 n(n 1)
2( 1 n
1) n 1
Sn
2[1
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
21
1 n 1
2n n 1
4
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
A.1
B.
C.
D.
，则S5等于 ()
5
解析：∵an＝
，
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
答案：B
6
当堂训练
裂项法求和
求和
1 1 1 1 4 4 7 7 10
1 (3n 2)(3n 1)
提示：
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1 3n
) 1
∴
1பைடு நூலகம் 1
1
1 4 4 7
(3n 2)(3n 1)
1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
注意：根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和
1
小试身手
应该怎样拆项？
2
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 列)的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数
3
裂项法求和
例：求数列 1, 1 , 1 , 1 , ,
解得：a1＝1，d＝1， 所以an＝n，
所以
，
Tn=
9
(2)若an＋1≥λTn，即n＋1≥λ
，
∴λ≤
，
又
＝n＋ ＋2≥4，当且仅当n＝ ，即n＝1时取
等号.任意n∈N*，不等式成立，故λ≤4，
∴λ的最大值为4.
10
11
12
3 4 47
3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n
3 3n 1 3n 1
7
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{
}的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值. [思路点拨]
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[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
1 n
1
(2)
(2n
1
1)2n
1
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3) 1 1 (1 1 ) (4)
1
n1 n
n(n 2) 2 n n 2
n1 n