数列通项公式及前n项求和方法
通项公式的求法及前n项和公式的求法
第一章 数列通项公式的求法1.1、定义法与公式法一，定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=】注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
练习1 已知：等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 15，a 2a 5 = 54，公差d < 0. 求数列{a n }的通项公式a n2 在等比数列{a n }中，30a a ,27a a a 42321=+=⋅⋅，求数列{a n }的通项公式a n二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 注意：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．练习：1.设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。
求数列通项公式+求数列前 N项和的常用方法
的前n项和Sn 解：
点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显 的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差 数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后 把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使 得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n项和。
例题3：求数列
(n∈N*)的和 解：
点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的 规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项 相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
四.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于
等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 {an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在 和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后 即可以求出前n项和。
例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和 解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①
则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1② ①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an nan+1③ 若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
求数列 前N项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式， 再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为 基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律， 找到适合的方法解题。
一.用倒序相加法求数列的前n项和
求通项公式及前n项和的方法
求通项公式的方法一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 这种类型使用累加法 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求变式练习：已知{}n a 满足11=a ,)1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式 二、)(1n f a a n n ⋅=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)这种类型使用累乘法 例2.已知数列{n a }满足n a a nn =+1（n ∈N +），1a =1，求n a . 三、q pa a n n +=+1型数列 待定系数法，构造1n b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为11b a p +-。
例3. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。
变式练习：已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式. 四、()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数），此类数列可变形为()111++++=n n n n n p n f p a p a 例4已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .变式练习：已知{}n a 满足11122,2+++==n n n a a a ，求n a 。
五、“已知n S ，求n a ”型方法是利用111,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，把已知条件转化成递推式。
例：已知数列{}n a ，n S 表示其前n 项和，若满足231n n S a n n +=+-，求数列{}n a 的通项公式。
五、CBa Aa a n n n +=型数列（C B A ,,为非零常数） 这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为1n n a pa q +=+型数列。
求前N项和方法技巧及公式
求前N项和方法技巧及公式前N项和是指将一个数列的前N项相加得到的和。
计算前N项和可以使用不同的方法和技巧，包括数学公式、推导公式和逐项相加等。
一、数学公式法对于一些特定的数列，存在求前N项和的数学公式，可以直接使用这些公式计算前N项和，而无需逐项相加。
1.等差数列的前N项和公式对于等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
前N项和公式如下：Sn = (a1 + an) * N / 2 = N * (a1 + a1 + (N-1)d) / 2 = N *(2a1 + (N-1)d) / 22.等比数列的前N项和公式对于等比数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
前N项和公式如下：Sn=a1*(1-r^N)/(1-r)3.平方数序列的前N项和公式对于平方数序列，其通项公式为an = n^2，其中n为正整数。
前N项和公式如下：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6二、推导公式法对于一些特殊的数列，我们可以通过推导得到求前N项和的公式。
推导过程中可以使用数学归纳法、代数运算等方法。
1.等差数列的前N项和公式的推导设等差数列的首项为a，公差为d，第N项为an，则有：an = a + (N-1)dSn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(N-1)d)根据等差数列的性质，可以将Sn分为两部分：Sn=(a+(N-1)d)+(a+(N-2)d)+...+(a+d)+a将两式相加，可得：2Sn=(N*a)+(N*a+(N-1)*d)+...+((N-1)d+a)+(Nd)化简后得到等差数列的前N项和公式。
2.等比数列的前N项和公式的推导设等比数列的首项为a，公比为r，第N项为an，则有：an = a * r^(N-1)Sn=a+a*r+a*r^2+...+a*r^(N-1)Sn*r=a*r+a*r^2+...+a*r^N将两式相减Sn*(1-r)=a*(1-r^N)化简后得到等比数列的前N项和公式。
数列通项公式和前n项和的求法
数列通项公式和前n 项和的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒，∵0≠d ， ∴d a =1①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+② 由①②得：531=a ，53=d ， ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=二、累加法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例2 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之， 即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以n a a n 111-=-， 211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴三、累乘法(逐商相乘法)：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴四、待定系数法：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
数列通项公式和前n项和求解方法(有针对训练)
专题一：数列通项公式的求法 一．观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,52,21,32,1一、 公式法公式法1：特殊数列公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n例2：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式12-+=n n S n ，求}{n a 的通项公式.例3：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．三、 累加法 【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得。
例： 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a例4：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.四、累乘法 【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例5：在数列｛n a ｝中，1a =1, n n a n a n ⋅=⋅++1)1( ，求n a 的表达式.五、构造特殊数列法 【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例6：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a .六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例7：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①-②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ，求数列{n a }的通项公式。
求数列通项公式和前N项和的方法
求数列前N 项和的方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和: q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，,特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1］ 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和。
解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 (利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 ［例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N ＊,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值。
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n ｝的前n 项和，其中{ a n }、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列.［例3］ 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解:由题可知,｛1)12(--n x n }的通项是等差数列｛2n －1}的通项与等比数列｛1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ ［例4］ 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，｛n n 22}的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② (设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减)1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习:求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+（4n —3)x n —1① ①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+（4n —3）x n ②①—②得,（1-x)S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n —3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n —3)=2n 2—n 当x ≠1时，S n =1 1—x ［ 4x(1-x n） 1-x +1-（4n —3）xn]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。
数列通项公式和前n项和常见求法
数列通项公式的常见求法一.公式法1、等差数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n ΛΛΛΛΛ 求解。
一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。
二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥； 例4、（2011四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．112、叠乘法一般地对于形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。
即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥； 例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
数列求通项公式及求和的方法
数列求通项公式及求和的方法数列专题-数列求通项公式及求和的方法考点1：求通项公式1、公式法：已知数列{an}为等差或等比数列，可根据通项公式an=a1+(n-1)d或an=a1qn-1进行求解。
例1：已知{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5，求{an}的通项公式。
变式：已知等差数列{an}中，a10=28，S6=51，求{an}的通项公式。
2、前n项和法：已知数列{an}的前n项和Sn的解析式，可求出an。
例2：已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1，求通项an。
变式：已知下列数列{an}的前n项和Sn的公式为Sn=3n2-2n(n∈N*)，求{an}的通项公式。
3、Sn与an的关系式法：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，可求出an。
例3：已知数列{an}的前n项和Sn满足an+1=Sn，其中a1=1，求an。
变式：已知{an}中，an+1=nan，且a1=2，求{an}的通项公式。
4、累加法：当数列{an}中有an-an-1=f(n)，即第n项与第n-1项的差是个有“规律”的数时，可用这种方法。
例4：a1=0，an+1=an+2(n-1)，求通项an。
变式：已知数列{an}的首项a1=1，且an=an-1+3(n≥2)，求通项an。
5、累乘法：当数列{an}中有an/an-1=f(n)，即第n项与第n-1项的商是个有“规律”的数时，可用这种方法。
例5：a1=1，an=an-1(n)，求通项an。
6、构造法：1）配常数法：在数列{an}中有an=kan-1+b（k、b均为常数且k≠），从表面形式上来看an是关于an-1的“一次函数”的形式，可用下面的方法：一般化方法：设an+m=k(an-1+m)，则{an+m}成等比数列。
例6：已知a1=1，an=2an-1+1(n2)，求通项an。
2）配一次函数法：在数列{an}中有an=kan-1+bn+c（k、b、c均为常数且k≠），可用下面的方法：一般化方法：设an+tn+u=k(an-1+t(n-1)+u)，则{an+tn+u}成等比数列。
数列,通项公式方法,求前n项 和例题讲解和方法总结
的前n项和为
，
为等比数列，且
（Ⅰ）求数列
和 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
例2．已知数列的首项，，…． （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）数列的前项和．
2．设数列 的前n项和为 ， 为等比数列，且
（Ⅰ）求数列 和
的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和
. 三、分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适 当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其 合并即可. 2、已知数列的通项公式为，则它的前n项的和 3：求数列的前n项和。
数列求和练习
1、已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公差为3的等差数列，求{bn}的通项公式及 前n项和Tn.
3、已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
则S13的值为( )
5、已知数列 是等差数列，且 ， 是数列 的前
项和． (Ⅰ)求数列
的通项公式 及前 项和 ；
(Ⅱ) 若数列 满足 ，且 是数列 的前 项和，求 与 ．
6． 设是正数组成的数列，其前n项和为 并且对于所有的自然数与2 的等差中项等于与2的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)令 求证：
7、已知数列 是等差数列， ；数列 的前n项和是 ，且 ．
(1)公式法
①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方 法：____________； ②等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n项和： a．1＋2＋3＋…＋n＝________________； b．2＋4＋6＋…＋2n＝ _________________； c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_____________；d． e．
求数列的通项公式和前N项和的几种类型总结
例题精析
【例题1】在数列{ }中， ， ，求通项公式 .
【例题2】已知数列 满足， 前 项和 ，求 的通项公式.
【例题3】数列 满足 ，求 .
【例题4】已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 .
（Ⅰ）求 与 ；（Ⅱ）令bn= （n N*），求数列 的前n项和 .
知识讲解
一、求数列的通项公式的方法
1：观察法：此方法适用于小题和大题中的先猜后证；
2：公式法
等差数列通项公式：
等比数列通项公式
3：递推关系
累加法：
累乘法：
构造法：（1） ：
令 ，则 为等比数列
（2）
令 ,则 为等差数列
（3）
令 ,则转化为第一类
（4）
令 ,则转化为第一类
（5）
令 ,则用累乘法
4：退位相减法
A．98 B．99C．96D．97
5、各项为正数的等比数列 的公比 ，且 成等差数列，则 的值是（）
A． B． C． D． 或
6、数列 ( )
A． B． C． D．
7、数列 满足 ，则
A． B． C． D．
8、数列 中，若 ， ，则
A． B． C． D．
9、数列an＝ ，其前n项之和为 ，则在平面直角坐标系中，直线(1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为______．
10、设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{ } (n∈N*)的前n项和是________
11、设数列 的前 项和为 已知
（1）设 ，证明数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式.
12、设等差数列 的前 项和为 ，且 ,
（1）求数列 的通项公式
数列的通项公式与前n项和公式
数列的通项公式与前n项和公式数列是数学中常见的概念，它是按照一定规律排列的一系列数字的集合。
在数列中，每个数字称为该数列的项。
数列的通项公式是指能够用数列的项的位置n表示数列的每一项的公式。
通常，我们使用字母来表示数列的项，如an。
而数列的前n项和公式，则是指数列前n项的总和的表达式，通常表示为Sn。
本文将详细探讨数列的通项公式与前n项和公式的求解方法及应用。
一、数列的通项公式数列的通项公式可以通过观察数列中的规律，推导出数列项与项位置之间的数学关系。
下面以几种常见的数列为例，介绍求解通项公式的方法。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻的两项之间的差值固定的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a + (n - 1) * d。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻的两项之间的比值固定的数列。
设等比数列的首项为a，公比为q，则等比数列的通项公式为an = a * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
设斐波那契数列的首项为a，第二项为b，则斐波那契数列的通项公式为an = a * φ^(n-1) + b * (1- φ^(n-1))，其中φ为黄金分割比（φ≈1.618）。
二、数列的前n项和公式数列的前n项和公式用于求取数列前n项的总和，即前n项和Sn。
下面以等差数列为例，介绍求解前n项和公式的方法。
对于等差数列，其前n项和公式可以通过求解数列项与项数之间的数学关系得到。
设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的前n项和公式为Sn = (2a + (n - 1)d) * n / 2。
三、数列的应用举例1.等差数列的应用等差数列的应用非常广泛，例如计算机科学中的循环结构、物理学中的等速度直线运动等。
通过等差数列的通项公式和前n项和公式，可以方便地进行数列项的求解和数值计算。
2.等比数列的应用等比数列在金融领域、物理领域等方面有重要应用。
数列的通项公式与前n项和的计算
数列的通项公式与前n项和的计算数列是我们在数学中经常遇到的内容之一，它由一系列按特定规律排列的数字组成。
在解决数列相关问题时，通项公式和前n项和的计算是两个基本且重要的概念。
在本文中，我们将详细介绍数列的通项公式和前n项和的计算方法，并通过具体案例来加深理解。
一、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列中任意一项与其序号之间的关系的数学公式。
通项公式的存在可以方便我们计算数列中任意一项的值，而无需逐个列举。
常见的数列通项公式包括等差数列和等比数列的通项公式。
对于等差数列来说，其通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，an代表第n个数，a1代表数列的首项，d代表公差，n代表数列中的项数。
而对于等比数列来说，其通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表第n个数，a1代表数列的首项，r代表公比，n代表数列中的项数。
二、前n项和的计算前n项和是指数列中前n个数的和，也是另一个重要的计算概念。
计算前n项和可以帮助我们更好地理解数列的总体性质和规律。
对于等差数列，前n项和的计算公式为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中，Sn表示前n项和，n表示数列的项数，a1表示首项，d表示公差。
对于等比数列，前n项和的计算公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。
三、实例分析为了更好地理解和应用数列的通项公式和前n项和的计算方法，我们来看一个具体的案例。
案例：求解等差数列1，4，7，10，13...的第20项以及前20项的和。
解析：首先，我们可以确定这是一个等差数列，通过观察相邻两项的差为3，可以得出公差d=3。
根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知条件可以计算得出第20项的值：a20 = 1 + (20-1) * 3 = 1 + 19 * 3 = 1 + 57 = 58接下来，我们来计算前20项的和，根据等差数列前n项和的计算公式Sn=(n/2)(2a1 + (n-1)d)，代入已知条件可以计算得出前20项的和：S20 = (20/2)(2*1 + (20-1)*3) = 10(2+57) = 10*59 = 590所以，等差数列1，4，7，10，13...的第20项为58，前20项的和为590。
求数列通项公式及前n项和常见方法
数列求通项及前n 项和常见方法求n a一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项公式注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、累加法求形如a n -a n-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。
例2．已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ． 注意：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧三、迭代法求形如1n n a qa d +=+(其中,q d 为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。
例3．已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1=3n a +1，求n a注意：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同四、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n ΛΛΛΛΛ求解。
例4．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式；注意：利用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n ΛΛΛΛΛ求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．五、累乘法 对形如1()n n a f n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累乘求得通项。
数列的通项公式及前n项和的的求法
数列的通项公式及前n 项和的求法1．两个基本公式（1）等差数列的通项公式：d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=（2）等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --==2．三个基本方法（1）n S 法：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （2）累加法 （3）累乘法一．n S 法（利用关系11(1)(1)n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩） 1．已知数列}{n a 的前n 项和21n S n n =++，求}{n a 的通项公式。
注：要先分n=1和1n >两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
2．已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式。
注：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.二．累加法（1()n n a a f n +-=型数列）3．已知111,21(2)n n a a a n n -=-=-≥，求{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
三．累乘法（1()n na f n a +=型数列） 5.已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.注：将1n na a +表示出来，对n 从1开始取值。
四．构造法（构造等差或等比数列）6．已知数列{}n a 的首项12a =，()2,12*1≥∈+=-n N n a a n n ，求n a 。
注:构造新数列的实质是通过1()()n n a x q a x ++=+来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.7． 已知数列{}n a 满足，*111,5,3N n a a a a a n n n n ∈⋅+==++，（1）求证：1{}na 是等差数列 （2）求数列{}n a 通项公式.8、若数列{}n a 满足11=a ，且nn n a a a +=+11， （1） 求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式9、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式10、已知数列{}n a 满足132n n n a a +=+，11a =，求数列{}n a 的通项公式。
数列的前n项和求法
数列的前n 项和一、公式法1、通项公式：（1）、等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m)d ； （2）、等比数列的通项公式：11-=n n q a a ＝m n m n q a a -=；2、a n 与Sn 的有关系：a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2(,)1(,11n S S n S n n3、前n 项和：（1）、等差数列前n 项和：Sn ＝2)(1n a a n +＝na 1＋d n n 2)1(- （2）、等比数列前n 项和：Sn ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(11)1()1(,111q q q a a q q a q na n n例1：已知n S ＝1＋2＋3＋4＋……＋n ，（n ∈N ＋），求1)32(++n nS n S 的最大值。
【解析】： )1(21+=n n S n ，1)32(++n n S n S ＝64342++n n n＝34641++nn ≤501变式练习1：在等比数列{n a }中，2a －1a ＝2，且22a 为31a 和3a 的等差中项，求数列{n a }的通项公式及前n 项和。
【解析】：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝312n -.变式练习2：已知{n a }是公差不为零的等差数列，1a ＝1，且1a ，3a ，9a 成等比数列。
（1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n a2}的前n 项和n S 。
【解析】：n a ＝n n S ＝221-+n二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
例2： 求数列的前n 项和：121，241，381，……(n ＋n 21) 【解析】： n n n n S 2112)1(-++=变式练习1：求数列0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999……的前n 项和Sn 。
数列知识(求通项公式前n项和全部方法)
数列重点备注：部分题目有些错误，这个是修正后的版本一、数列通项公式的求法1、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目.两种常见的特殊数列:等差数列 d n a a n )1(1-+= (为公差为首项d a ,1) 等比数列 11-=n n q a a (为公比为首项q a q a n ,,0,01≠≠)例 已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.求数列{}n a 的通项公式;解答： 依题意设)0(231≠=-q q a n n ，∵234,2,4S S S -成等差数列 ∴342242S S S =+-即)(2)(4)(2321432121a a a a a a a a a ++=+++++- 整理得0243=+a a 即032332=+q q 解得21-=q ∴12123-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n a练习：1.已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= ，求d 及数列{}n a 的通项公式；解答：依题意设1)1(1+-=-+=d nd d n a a n ，则d a d a 21,132+=+= ∵2336S S ⋅= ∴36))((32121=+++a a a a a整理得)0(01032>=-+d d d 解得2=d∴12-=n a n2.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.求数列{}n a 的通项公式； 解答：依题意设)0(11≠=-q qa a n n ，∵4S ，2S ，3S 成等差数列∴2342S S S =+ 即)(2213214321a a a a a a a a a +=++++++ 整理得0243=+a a 又23418a a a ++=-∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+1802312113121q a q a q a q a q a 解得⎩⎨⎧-==231q a ∴1)2(3--⋅=n n a3.设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.若{}n b 是等差数列，求数列{}n b 的通项公式.解答：依题意设a d nd d n a a n +-=-+=)1(，则()2)2(21d nd a n a a n S n n -+=+=cn d nd a cn a d n cn d nd a cn d nd a cn d nd a n c n d nd a n c n nS b n n +-+-+-=+-+--++-+=+-+=+=2222222222)2(22)1(2)2(2)2(2)2(2)2(由{}n b 是等差数列知{}n b 的通项公式不含二次项，且为B A b n n +=型（B 为常数）∴02)2(22=+-+cn d nd a cn 又022≠-+d nd a ∴0=c ∴22)1(ad n b n +-=2、累加法求形如)(1n f a a n n =--（)(n f 为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令1,....,3,2-=n n 得到1-n 个式子累加求得通项112211......a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---例 已知数列{}n a 中，11a =，对任意自然数2≥n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a .解答：依题意当2≥n 时，有11231112113121 (1111111)321....)1(1)1(1....112211+-=++-=+-++--++-=+⨯++-++=+-++-+-=---n n n n n n n n n n a a a a a a a a n n n n n当1=n 时，1111231=+-=a 也满足上式 ∴1123+-=n a n练习：1.已知数列{}n a 中，11a =，),2(311+--∈≥+=N n n a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式 解答：依题意当2≥n 时，有213131)31(313...33. (1211)12211-=+--=++++=+-++-+-=------n n n n n n n n n a a a a a a a a 当1=n 时，121311=-=a 也满足上式 ∴213-=n n a2.{}n a 是首项为1的正数数列，)(0)1(11+++∈=+-+N n a a na a n n n n n ，求n a .解答：由0>n a 及0)1(11=+-+++n n n n a a na a n 得)1(11)1(11+=-++n n na a n n n设nn na b 1=，则11=b ，)1(11+=-+n n b b n n∴11212111 (1111111)121...)1(1)1(1 (1)12111+-=+-++--++-=+⨯++-++=+-++-+-=-++n n n n n n n n n b b b b b b b b n n n n n ∴当2≥n 时，n b n 12-=，又1=n 时，11121=-=b 也满足上式∴nn n b n 1212-=-=，∴12-=n a n3.已知数列{}n a 中，)(34,4,11221+++∈-===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式 解答：依题意得：)(3112n n n n a a a a -=-+++，于是设n n n a a b -=+1 ∴n n b b 31=+，又03121≠=-=a a b ∴31=+nn b b 即{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列 ∴nn b 3= 即n n n a a 31=-+∴213131)31(313...33. (111)12111-=+--=++++=+-++-+-=+--++n n n n n n n n n a a a a a a a a ∴当2≥n 时，213-=n n a ，又当1=n 时，121311=-=a 也满足上式 ∴213-=n n a3、累乘法对形如1()n naf n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令1,....,3,2-=n n 得到1-n 个式子累加求得通项。
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数列通项公式及前n 项和通项公式一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式解：I ）设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得， 即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈ 3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n nn n 求解。
一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。
解：011==s a ，当2≥n 时12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n由于1a 不适合于此等式 。
∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥；例4、（2011四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．11解：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==例5、 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++，求数列{}n a 的通项公式。
解：（1）由题知：121111(1)1n n a a n n n n n n +-===-+++112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++……1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---……312n=- 2、叠乘法一般地对于形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。
即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥； 例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n na a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a=n n n 11433221=-⋅⋅ 所以n a n 1=3、构造法（安庆二模）当数列前一项和后一项即n a 和a n-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。
具体有以下几种常见方法。
（1）、待定系数法 ①、一般地对于a n =k a n-1 +m(k 、m 为常数）型，可化为的形式a n +λ=k(a n-1 +λ).重新构造出一个以k 为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求n a 。
例7、（2011广东理）设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；解：112(1)n n n a ba n a n --=+-，得1112(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅， 设n nnb a =，则121n n b b b b -=⋅+(2)n ≥，（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222n b n n =+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b λλ-+=⋅+，则122(1)n n b b b bλ-=⋅+-， 令21(1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b -∴+=⋅+--(2)n ≥， 知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b-∴+=+⋅--，又11b b =， 12112()222n n n n n b b b b b b b -∴=⋅-=⋅---，(2)2n n n nnb b a b -∴=-．②、对于1()(n n a pa f n +=+其中p 为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况：i 、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为C Bn Aa a n n ++=+1型，可化为])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式来求通项。
例8.设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。
解：设1(1)3()n n a A n B a An B ++++=++ 1322n n a a An B A +∴=++- 与原式比较系数得：221211A AB A B ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 即1(1)13(1)n n a n a n ++++=++令1,n n b a n =++n+1n 11则b =3b 且b =a +1+1=3 {}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列133331n nn nn b a n -∴=⋅==--即:ii 、当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为B Aa a n n +=+1nC ⋅（A 、B 、C 为常数，）型，可化为11++⋅+n n C a λ=n n C a A ⋅+λ(）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求n a例9.（2003年全国高考题）设0a 为常数，且1123---=n n n a a （*N n ∈）， 证明：对任意n ≥1，02)1(]2)1(3[51a a n n n nn ⋅⋅-+⋅-+=解：证明：设)3(2311--⋅--=⋅-n n n n t a t a 用1123---=n n n a a 代入可得51=t ∴ {}53nn a -是公比为2-，首项为531-a 的等比数列，∴ 10)2()5321(53--⋅--=-n n n a a （*N n ∈）， 即：012)1(52)1(3a a n n nn n n ⋅⋅-+⋅-+=- 当然对于B Aa a n n +=+1nC ⋅这种形式递推关系求n a 时，当A=C 时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以C n +1,重新构造数列，来求n a 。
例10、（2007天津理）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；解：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21nn n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+． （2）、倒数法一般地形如11n n n a a ka b--=+、n n n n a a a a -=⋅--11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
例11.已知数列{}n a 满足：1111,31n n n a a a a --==+，求{}n a 的通项公式。
解：原式两边取倒数得：11113113n n n n a a a a ---+==+ 1,1na n n n-11设b =则b -b =3,且b ={}13n b ∴1是b =为首项，公差d=2的等差数列1(1)332b n n n ∴=+-⋅=- 即132n a n =-例12、（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）在数列{n a }中，311=a ，并且对任意2,≥∈*n N n 都有n n n n a a a a -=⋅--11成立，令)(1*∈=N n a b nn ．（Ⅰ）求数列{n b }的通项公式 ；解：（1）当n=1时，3111==a b ,当2≥n 时， 由n n n n a a a a -=⋅--11 ，等式两边取倒数得：,1111=--n n a a 所以11=--n n b b 所以数列}{n b 是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列}{n b 的通项公式为2+=n b n （3）、对数法当数列n a 和1n a -的递推关系涉及到高次时，形如：1p qn n a ma -=（其中m 、p 、q 为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。
例13、（2006山东）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；解：（1）由已知212n n n a a a +=+，211(1)n n a a +∴+=+12a =11n a ∴+>，两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.例14、若数列{n a }中，1a =3且21n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2002年上海高考题）.解 由题意知n a ＞0，将21n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即2lg lg 1=+nn a a ，所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列，12113lg 2lg lg -=⋅=-n n n a a ，即123-=n n a .（4）、特征方程法①、一般地对于形如已知1122,,a m a m ==a n+2=A a n+1 +B a n (A 、B 是常数）的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。