一元二次方程根的判别式专题 - 教师版

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一元二次方程的根的判别式(一)教案人教版

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
五、总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根的判别式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
七、课后拓展
1. 拓展内容：
- 阅读材料：《一元二次方程的应用案例解析》、《复数根在实际问题中的应用》等文章，帮助学生了解一元二次方程在实际生活中的应用和复数根的实用价值。
- 视频资源：《一元二次方程的根的判别式讲解》、《一元二次方程解法演示》等视频，为学生提供直观的教学演示和实ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析。
2. 拓展要求：
五、教学流程
一、导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根的判别式（一）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一元二次方程根的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根的判别式的奥秘。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根的判别式的基本概念。判别式是……（详细解释概念）。它能帮助我们判断一元二次方程的根的情况，即判断方程有几个实数根、几个虚数根或者无实数根。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了判别式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
- 鼓励学生进行小组合作学习，共同探讨一元二次方程的应用案例和实际问题解决方案。学生可以分享自己的思路和方法，互相学习和借鉴。

第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。

第2章一元二次方程根的判别式问题专题测试（含解析）

浙教版八下数学第2章《一元二次方程》根的判别式问题专题测试考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的取值为（）A. ＞2B. ≥2C. ＝2D. ＝2.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )A. B. 且 C. D. 且3.关于的方程的两个根互为相反数，则k值是（）A. -1B.C. 2D. -24.下列方程①，②，③，④没有实数根的是（）A. ①②③④B. ①③C. ②④D. ②③④5.若关于x的方程x2＋2x＋ a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是（）A. B. C. D.6.若关于的一元二次方程有实数根，则的非负整数值是（）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,37.已知的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（）。

A. 有两相等实根B. 有两相异实根C. 无实根D. 不能确定8.已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c-a）=0根的情况是（）.A. 方程无实数根B. 方程有两个不相等的实数根C. 方程有两个相等的实数根D. 无法判断9.关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（）.A. k为任何实数，方程都没有实数根B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种10.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________12.若关于x的方程有两个相等的实数根，则式子的值为________13.如果恰好只有一个实m数是关于x的方程的根，则k=________．14.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是________.15.若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m－3=0有一个根是0，则m=________，另一根为________。

一元二次方程(教师版)--初升高数学专项训练

一元二次方程--初升高数学专项训练专题综述1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.课程要求《初中课程要求》能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理《高中课程要求》熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题知识精讲高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224(24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝42b a-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2(2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有(1)当Δ＞0x 1，2＝2b a-±；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a -=，则有12442222b b b b x x a a a a-+--+=+==-；22122244(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a -+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典例剖析高中必备知识点1：根的判别式【典型例题】关于的一元二次方程2−(−1)+2−1=0，其根的判别式为16，求的值．【答案】1=11，2=−1．【解析】由题意得，△=[−(−1)]2−4(2−1)=16，整理得，2−10−11=0，解得：1=11，2=−1．【变式训练】已知关于的一元二次方程B2−(+2)+2=0(1)若方程的一个根为3，求的值及另一个根；(2)若该方程根的判别式的值等于1，求的值．【答案】(1)=23；即原方程的另一根是1；(2)=1，=3．【解析】（1）设方程的另一根是x2．∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3，∴x=3是原方程的解，∴9m﹣（m+2）×3+2=0，解得m=；又由韦达定理，得3×x2=，∴x2=1，即原方程的另一根是1；（2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3．【能力提升】方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac=．【答案】105【解析】先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时，b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8．【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，∴x 2＝2x 1，∴一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程；（2）∵方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b ＝1+2，解得b ＝﹣3，c ＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b ＝2+4，解得b ＝﹣6，c ＝2×4＝8．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．【答案】6【解析】方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，∴211220x x --=，.221=+x x ∴()112122222222262.22x x x x x x =++=++=⨯+=+【能力提升】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有两根α，β(1)求m的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．【答案】(1)m≥﹣34；(2)m的值为3．【解析】(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣34；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，∵α+β+αβ＝0，∴﹣(2m+3)+m2＝0，解得：m1＝﹣1，m1＝3，由(1)知m≥﹣34，所以m1＝﹣1应舍去，m的值为3．对点精练1．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣1B．2C．25D．4【答案】D解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，∵AB＝4，∴|x1﹣x2|＝4，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，∴4n＝16，∴n＝4，故选：D．2．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根【答案】B解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6)＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点（0，﹣2）．下列结论：①2a+b＞1；②3a+b＞0；③a﹣b＜2；④a＜﹣1．其中正确结论的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C解：如图：0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且图象与y轴相交于点（0，﹣2），可知该抛物线开口向下即a＜0，c＝﹣2，①当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，即4a+2b＜﹣c；∵c＝﹣2，∴4a+2b＜2，∴2a+b＜1，故结论①错误；②∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴1＜x1+x2＜3，又∵x1+x2＝b a-，∴1＜ba-＜3，∴3a+b＜0，故结论②错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∵c＝﹣2，∴a﹣b＜﹣c，即a﹣b＜2，故结论③正确；④∵0＜x1x2＜2，x1x2＝ca＜2，又∵c＝﹣2，∴a＜﹣1．故结论④正确．故选：C．4．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（）A ．741B ．600C ．465D ．300【答案】B 解：通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点…第n 行有n 个点，则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n 行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝12n （n ＋1）个点，其中n 为正整数，∴当12n （n ＋1）=741时，解得：1-1-77-392n ==（舍），2-177382n +==，当12n （n ＋1）=600时，解得：-148012n ±=（舍），当12n （n ＋1）=465时，解得：1-1-61-312n ==（舍），2-161302n +==，当12n （n ＋1）=300时，解得：1-1-49-252n ==（舍），2-149242n +==，故选：B ．5．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：①0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④c OA OB a⋅=-，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y 轴左侧，与y 轴的交点在y 轴负半轴∴a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，所以①正确；②当x ＝1时，y ＝a +b +c ，不能说明y 的值是否大于还是小于0，所以②错误；③设A （x 1，0）（x 1＜0），B （x 2，0）（x 2＞0），∵OC ＝2OB ，∴﹣2x 2＝c ，∴212x c =-，∴B （12c -，0）将点B 坐标代入y ＝ax 2+bx +c 中，211042c a bc c -+=，∵0c ≠∴240ac b -+=所以③正确；④当y ＝0时，ax 2+bx +c ＝0，方程的两个根为x 1，x 2，根据根与系数的关系，得12c x x a∙=，即1212•OA OB x x a x c x ===--所以④正确．故选：C ．6．对于函数n m y x x =+，我们定义11n m y nx mx '--=+（m ，n 为常数）．例如：42y x x =+，则342y x x '=+．已知：()322123y x m x m x =+-+，若方程0y '=有两个相等的实数根，则m 的值为（）A ．0B ．12C ．32D ．1【答案】D 解：由题意得：()2213223y x m x m '=⨯+-+，即()2222y x m x m '=+-+，方程()22220x m x m +-+=有两个相等的实数根，∴此方程根的判别式()222240m m ∆=--=⎡⎤⎣⎦，解得1m =，故选：D ．7．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >B ．1k <C ．1k ≥-且0k≠D ．1k >-且0k ≠【答案】D解：根据题意得k ≠0且△=（-2）2-4k ×（-1）＞0，解得k ＞-1且k ≠0．故选：D ．8．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程210x bx ++=的两个根，且满足101x <<，212x <<，则b 的取值范围是（）A ．64b -<<-B ．62b -<<-C ．32b -<<-D ．522b -<<-【答案】D一元二次方程210x bx ++=的两个根，所以△=224=40b ac b -->，∴2b >或2b <-，令y=21x bx ++，∵10a =>，抛物线开口向上，且满足101x <<，212x <<，∴0,01,0x y x y =>=<，，∴1020b >⎧⎨+<⎩，解得2b <-，∴1,0,2,0x y x y =<=>，∴25020b b +>⎧⎨+<⎩，解得522b b ⎧>-⎪⎨⎪<-⎩，∴b 的取值范围是522b -<<-．故选择D ．9．若关于x 的一元二次方程x 2+5x +m ＝0有两个不相等的实数根，且m 为正整数，则符合条件的m 有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【答案】B解：∵关于x 的一元二次方程x 2+5x +m ＝0有两个不相等实数根，∴△＝52﹣4×1×m ＞0，解得：m ＜254，∵m 为正整数，∴m ＝1，2，3，4，5，6，∴符合条件的m 有6个，故选：B .10．已知1x ，2x 是一元二次方程22(21)10x m x m +++-=的两不相等的实数根，且221212170x x x x ++-=，则m 的值是（）A ．53或3-B ．3-C ．53D ．53-【答案】C解：根据题意得△＝222141m m --(+)()＞0，解得m ＞−54，根据根与系数的关系的12(21)x x m +=-+，2121x x m =-，∵221212170x x x x ++-=，∴()21212170x x x x --+=，∴()()22211170m m ---+=，整理得234150m m -+=，解得153m =，23m =-，∵m ＞−54，∴m 的值为53．故选：C ．11．如图①，在矩形ABCD 中，AB AD >，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿A B C →→运动．设点P 的运动路程为x ，AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AB 边的长为________．【答案】6如图，过点O 作OM ⊥AB ，垂足为M ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OD =OB ，DA ⊥AB ，AD =BC ，∵OM ⊥AB ，∴OM ∥AB ，AM =BM ，∴OM =12AD ，结合图像知，当运动到点B 是三角形的面积最大，∴11=622AD AB ⨯即AD ×AB =24，当点P 运动到点C 时，面积为0即AB +BC =10，∴AD +AB =10，∴AB ，AD 是方程2x 10240x -+=的两个根，解得x =4或x =6，∵AB AD >，∴AB =6，故答案为：6．12．在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，点N 在AD 边上，点M 为BC 中点，连接DE 、MN 、B N ，若DE ＝MN ，cos ∠AED ＝1717，则BN 的长为_____．【答案】5解：根据题意可分两种情况画图：①如图1，取AD 的中点G ，连接MG ，∴AG ＝DG ＝12AD ＝2，∵点M 为正方形ABCD 的边BC 中点，∴MG ⊥AD ，MG ＝AB ＝AD ，∴∠MGN ＝∠A ＝90°，在Rt △ADE 和Rt △GMN 中，DE MN AD GM=⎧⎨=⎩，∴Rt △ADE ≌Rt △GMN （HL ），∴∠GNM ＝∠AED ，∴cos ∠GMN ＝cos ∠AED ＝17GN MN=，∴设GN ＝x ，MN ＝17x ，∵222GN GM MN +=，∴221716289x x +=，∴x ＝1717，x ＝－1717（舍去），∴GN ＝1，∴AN ＝1，∴BN ＝=；②如图2，取AD 的中点G ，同理可得Rt △ADE ≌Rt △GMN （HL ），∴∠GNM ＝∠AED ，∴cos ∠GMN ＝cos ∠AED ＝17＝GN MN ，∴设GN＝x ，MN ＝17x ，∵222GN GM MN +=，∴221716289x x +=，∴x＝17，x＝－17（舍去），∴GN ＝1，∴AN ＝3，∴BN＝=＝5，故答案为：5．13．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①BE +DF ＝EF ；②CE ＝CF ；③∠AEB ＝75°；④四边形ABCD 面积＝2+_____．【答案】②③④∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∵△AEF 为等边三角形，∴AE ＝AF ＝EF ＝2，∠EAF ＝60°，∴90AB AD B D AE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ADF ，∴BE ＝DF ，∠BAE ＝∠DAF ，∵∠EAF ＝60°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝15°，∴∠AEB ＝90°-∠BAE ＝75°，即③正确∵CB ＝CD ，∴CB ﹣BE ＝CD -DF ，∴CE ＝CF ，即②正确；∴△CEF 为等腰直角三角形，∴CE ＝CF ＝2EF设正方形的边长为：x ，则BE ＝x ，Rt △ABE 中，AB 2+BE 2＝AE 2，∴(2222x x +-=解得：x 1＝2+62，x 2＝262-（舍去），∴BE +DF ＝2（x ）＝2（2≠2，即①错误；四边形ABCD 面积＝x 2＝22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝2，即④正确．故答案为：②③④．14．已知二次函数2(2)23y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下列说法在确的有：_____．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点(1,3)--；②若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<；③当2m >且02x 时，y 的最小值为3m -；④当2m >，且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12x x 、满足124310x x -<<--<<，时，m 的取值范围为：352194m <<．【答案】②③④解：①y =（m -2）x 2+2mx +m -3=m （x +1）2-2x 2-3，当x =-1时，y =-5，故该函数图象一定过定点（-1，-5），故①错误；②若该函数图象开口向下，则m -2＜0，且△＞0，△=b 2-4ac =20m -24＞0，解得：m ＞65，且m ＜2，故m 的取值范围为：65＜m ＜2，故②正确；③当m ＞2，函数的对称轴在y 轴左侧，当0≤x ≤2时，y 的最小值在x =0处取得，故y 的最小值为：（m -2）×0+2m ×0+m -3=m -3，故③正确；④当m ＞2，x =-4时，y =9m -35，x =-3时，y =4m -21，x =0时，y =m -3，当x =-1时，y =-5，当-4＜x 1＜-3时，则（9m -35）（4m -21）＜0，解得：352194m <<；同理-1＜x 2＜0时，m ＞3，故m 的取值范围为：352194m <<，故④正确；故答案为：②③④．15．已知x =为一元二次方程20x ax b ++=的一个根，且a ，b 为有理数，则a =______，b =______．【答案】2；4-；解：∵x ====1=-∴20x ax b ++=∴))2110a b ++=∴60a b --+=60a b -++=)()260a b a -+-+=∵a ，b 为有理数，∴2a -，6b a -+也为有理数，)()260a b a -+-+=时候，只有20a -=，60b a -+=，∴2a =，4b =-，故答案是：2，4-；16．关于x 的方程225sin 20x x A -+=有两个相等的实数根，其中A ∠是锐角ABC 的一个内角；关于y 的方程22104290y y m m -+-+=的两个根恰好是ABC 的两边长，则ABC 的周长是______．【答案】16或10+∵方程225sin 20x x A -+=有两个相等的实数根，∴2(5sin )4220A --⨯⨯=，∴sin A =45，sin A =-45（舍去），∵方程22104290y y m m -+-+=有两个根，∴22(10)4()4902m m -+--⨯≥，∴2(02)m -≤，∵2(2)0m -≥，∴m -2=0，∴方程有两个相等的实数根，∴121052y y ===，当∠A 为等腰三角形的顶角时，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，如图1:∵AB=AC=5，sin A=4 5，∴BD=AB sin A=455⨯=4，AD=3，∴DC=2，∴BC=∴ABC的周长是10+当∠A为等腰三角形的底角时，过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图2:∵AB=BC=5，sin A=4 5，∴BE=AB sin A=455⨯=4，AE=3，∴AE=CE=3，∴AC=6，∴ABC的周长是10+6=16；故答案为：16或10+17．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．【答案】8或8±解：当a＝b时，由a2﹣8a+5＝0解得a＝，∴a+b＝；当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a +b ＝8．故答案为8或．18．已知α、β是方程x 2－2x －1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．【答案】5解：由题意可得：+=2=-1αβαβ，∴2+24=αβ∴2=42αβ-∵α、β是方程x 2－2x －1＝0的两个根∴2210αα--=∴()24210αβ---=∴α2＋2β=5故答案是：519．若a b ¹，且2410a a -+=，2410b b -+=，则（1）a b +的值为______；（2）221111a b +++的值为_____．【答案】41（1）∵a b ¹，且2410a a -+=，2410b b -+=，∴a ，b 是一元二次方程2410x x -+=的两个不相等的实数根，∴a +b =4,故答案为：4；利用根与系数关系定理求解即可；（2）∵2410a a -+=，2410b b -+=，∴214a a +=，214b b +=，∴221111a b +++=1111(44a b a b ab ++⨯=⨯，∵a b ¹，且2410a a -+=，2410b b -+=，∴a ，b 是一元二次方程2410x x -+=的两个不相等的实数根，∴a +b =4,ab =1，∴221111a b +++=144⨯=1，故答案为：1．20．关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣3）x +1﹣k ＝0的根的情况是_____．【答案】有两个不相等的实数根解：△＝（k ﹣3）2﹣4（1﹣k ）＝k 2﹣6k +9﹣4+4k＝k 2﹣2k +5＝（k ﹣1）2+4，∴（k ﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．21．已知抛物线()24310y ax ax a a =-+-≠．（1）求抛物线()24310y ax ax a a =-+-≠的对称轴；（2）过点()0,n P 作y 轴的垂线，与抛物线()24310y ax ax a a =-+-≠交于不同的两点M ，N （不妨设点M 在点N 的左侧）．①当1n =-时，求线段MN 的长；②当1n =时，若3MN =，求a 的值；③当n a =时，若4PM PN +=，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）2x =；（2）①2；②85a =；③12a ≥或12a <-解：（1）抛物线()24310y ax ax a a =-+-≠的对称轴为(4)22a x a --==；（2）过点()0,n P 作y 轴的垂线，与抛物线()24310y ax ax a a =-+-≠交于不同的两点M ，N ，设()(),,,M N M x n N x n ，①当1n =-时，则M x 、N x 是24311ax ax a -+-=-的两个根，∵a ≠0，∴4,3M N M N x x x x +=⋅=，∴M N MN x x =-；===2；②当1n =时，M x 、N x 是24311ax ax a -+-=的两个根，∵a ≠0，∴324,M N M N a x x x x a -+=⋅=，∵3MN =，∴3M N x x -=3=，∴232449a a --⋅=，∴解得85a =，经检验85a =是原方程的根，当85a =时，方程24311ax ax a -+-=的判别式576025∆=>，符合题意，∴85a =；③当n a =时，M x 、N x 是2431ax ax a a -+-=的两个根，∵a ≠0，∴4M N x x +=，21M N a x x a -⋅=，∴0∆>，即()()244210a a a --->，解得0a >或12a <-，∵4PM PN +=，∴4M N x x +=，若0,0M N x x ≥≥（M 、N 都不在y 轴左侧），则4M N M N PM PN x x x x +=+=+=总成立，∴210M N a x x a-⋅=≥，∴2100a a -≥⎧⎨⎩＞或2100a a -⎧⎨⎩＜＜，∴12a ≥或0a ＜，∵0a >或12a <-，∴12a ≥或12a <-；若0,0M N x x <≥（M 在y 轴左侧，N 不在y 轴左侧），4M N M N PM PN x x x x +=+=-+===，解得12a =，∴12n a ==，∴2431ax ax a a -+-=变形为21202x x -=，∴10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在y 轴上，故舍去；若0,0M N x x <<（M 、N 都在y 轴左侧），∵()4M N M N M N PM PN x x x x x x +=+=--=-+=，∴4M N x x +=-，这与M x 、N x 是2431ax ax a a -+-=的两个根，4M N x x +=矛盾，这种情况不存在；综上所述，4PM PN +=，则12a ≥或12a <-．22．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝3x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．【答案】（1）AP ；（2）是，30°；（3）点Q的坐标为（，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（3，0）解：（1）如图1，作AH⊥OP，则AP≥AH，∵点P在y＝33x的图象上，∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°∵A（0，2）∴AH＝AO•sin60°＝∴AP（2）①当点P在第三象限时，如图2，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠PAQ＝∠POQ＝30°②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°∴Q、P、O、A四点共圆∴∠PAQ＝∠POQ＝30°（3）当△OPQ为等腰三角形时，若点Q在x轴的正半轴上，设OQ＝m（m＞0），则AQ2＝m2+22＝（2PQ）2，∴PQ2＝24 4m，过点Q作QN⊥OP于点N，如图：∵∠POQ ＝30°，∴NQ ＝12OQ ＝12m ，3cos302ON OQ m =⋅=，在Rt △PQN 中，2222241142m PN PQ NQ m +⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴1PN =∴()222331=3124OP ON NP m m ⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭①OP ＝OQ 时，则m 223=+314m m +解得m ＝3（负值不符合题意，舍去）∴m ＝3+4②当PO ＝PQ 时，则2243=+3144m m m ++解得：m ＝0或m ＝﹣3，都不符合题意；③当QO ＝QP 时，则224=4m m +解得：m ＝3±（负值不符合题意，舍去）∴m ＝233若点Q 在x 轴的负半轴上，则OQ ＝﹣m ，同理可得：m ＝﹣4或m ＝-∴综上所述：点Q 的坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（233，0）．23．在二次函数的复习课中，关于x 的二次函数()14y x mx m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（0m >），师生共同探讨得到以下4条结论：（1）这个二次函数与x 轴必有2个交点；（2）二次函数的图象向左平移2个单位后经过()1,0-点，则1m =；（3）当2x ≤时，y 随x 的增大而减小；（4）当03x ≤≤时，a y b ≤≤，则1a =，4b =；请判断上述结论是否正确，并说明理由．【答案】（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误．解：（1）∵()14y x mx m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴()2414y mx m x =-++△=()()2222244116168116168141b ac m m m m m m m m -=+-=-+-=++=-故14m =时，△=0，方程只有一个根即此时抛物线与x 轴只有一个交点，故（1）说法错误；（2）抛物线的解析式为：()14y x mx m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭向左平移2个单位后的解析式为()1224y x m x m m ⎛⎫=+-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()122y m x x m ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭把（-1，0）代入上式中得()101212m m ⎛⎫=-+--- ⎪⎝⎭即1031m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，解得01m m ==或，由于0m >，1m =故此说法正确；（3）∵()14y x mx m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴()2414y mx m x =-++，∴二次函数的对称轴：()4112222m b x a m m -+=-=-=+又∵0m >∴二次函数的对称轴()41122222m b x a m m-+=-=-=+>且二次函数开口向上∴二次函数在对称轴左边递减，∴当2x ≤，y 随x 的增大而减小，此说法正确；（4）∵()14y x mx m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴()2414y mx m x =-++∴222222411681168181442444m m m m m m y m x m m m m ++++++⎛⎫=-+-≥-=- ⎪⎝⎭即当122x m =+，2814m y m +=-∵03x ≤≤时，若10232x m ≤=+≤，即12m ≥时函数有最小值即2814m y m +=-最小值又∵0m >∴281014m y m +=-<<最小值故当03x ≤≤时，a y b ≤≤，则1a =，4b =这种说法不正确；综上所述：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误．24．已知关于x 的一元二次方程2220(0)x x a a a ---=>．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于12320192020a =⋯，，，，，时，相应得到的一元二次方程的两根分别为1α和12,βα和23,βα和3β，…，2019α和20192020,βα和2020β，试求12320192020123201920201111111111αααααβββββ⎛⎫⎛⎫+++⋯++++++⋯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）见解析；（2）14040202-解：（1）证明：设方程的两根是1α，1β，则112αβ+=，211a a αβ=-- ，11(2)(2)αβ∴--11112()4αβαβ=-++2224a a =---⨯+2a a =--，0a > ，20a a ∴--<，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）112αβ+= ，211(1)a a a a αβ=--=-+ 对于1a =，2，3，⋯，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为1α和1β，2α和2β，3α和3β，⋯，2019α和2019β，2020α和2020β，∴12320192020123201920201111111111(()αααααβββββ+++⋯++++++⋯++11223320192019202020201111111111αβαβαβαβαβ=++++++⋯++++3320202020112211223320202020αβαβαβαβαβαβαβαβ++++=+++⋯+222212233420202021=+++⋯+-⨯-⨯-⨯-⨯11112()12233420202021=-⨯+++⋯+⨯⨯⨯⨯11111112(1)2233420202021=-⨯-+-+-+⋯+-12(12021=-⨯-14040202=-．25．阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：()2222223211312x x x x x -+=-+-+=-+．因为()210x -≥，所以()2122x -+≥，所以，当1x =时，原式的最小值为2．材料二：对于实数a ，b ，若0a b >>，则110a b<<．完成问题：（1）求241x x --的最小值；（2）求22281346x x x x -+-+的最大值；（3）若实数m ，n 满足2261227m n m n --+=．求的最大值．【答案】（1）-5；（2）52（3）962解：（1）22222414221(2)5x x x x x --=-+--=--，因为()220x -≥，所以()2255x --≥-，所以，当2x =时，原式的最小值为-5．（2）2222228132(46)112464646x x x x x x x x x x -+-++==+-+-+-+，当246x x -+取最小值时，原式最大，由（1）可知2246(2)2x x x -+=-+，最小值为2，此时22281346x x x x -+-+的最大值为15222+=；（3）∵2261227m n m n --+=，∴2269(1236)0m m n n -+--+=，22(3)(6)m n -=-，36m n -=-或36m n -=-+，3m n +=或9n m =-，223n m -=2222327(3)32692()22m m m m m +-=-++=--+，最大值是272362=；或223n m -=22229243(9)3218812()22m m m m m --=--+=-++，最大值是2432962=；的最大值为226．已知关于x 的方程()222110k x k x --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围（2）若1x 、2x 满足等式121251x x x x +=-，求k 的值．【答案】（1）12k ≤且0k ≠；（2）-1．解：（1）∵关于x 的方程()222110k x k x --+=有两个实数根1x 、2x ∴()22202140k k k ⎧≠⎪⎨⎡⎤---≥⎪⎣⎦⎩，解得：12k ≤且0k ≠（2）由题意可得：()21221k b a x k x -=-=+，2121c a k x x ==由（1）可得12k ≤，∴10k -<∴120x x +<121251x x x x +=-，121215x x x x +=-∴()22215=1k k k --解得：13k =（不合题意舍去），21k =-∴k 的值为-1．27．已知关于x 的一元二次方程240x x a -+=有两个不相等的实数根（1）求a 的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a 的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）4a <；（2）此题答案不唯一，3a =，11x =，23x =解：（1）∵关于x 的一元二次方程一般式为240x x a -+=，∴224(4)41164b ac a a ∆=-=--⨯⨯=-，∵方程有两个不相等的实数根，0∴∆>．1640a ∴->，4a ∴<；（2）此题答案不唯一．如3a =，∴一元二次方程为2430x x -+=，因式分解得()()130x x --=，11x ∴=，23x =．∴当3a =时，方程的根为11x =，23x =．28．已知关于x 的方程2(1)210k x x --+=有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数时，求此时方程的根．【答案】（1）k 2≤且1k ≠；（2）121x x ==解：（1）∵关于x 的方程2(1)210k x x --+=有两个实数根，∴10k -≠且0∆≥．2(2)4(1)144(1)84k k k ∆=--⨯-⨯=--=-．∴1k ≠且840k -≥．∴k 2≤且1k ≠．（2）当k 取最大整数时，2k =，此时，方程为2210x x -+=，解得121x x ==．∴当2k =时，方程的根为121x x ==．29．解方程（1）()2325x x +=+（2）2316x x-=（3）解方程：11222x x x-+=--【答案】（1）122x x ==-；（2）11x =+21x =-（3）无解解（1）26925x x x ++=+移项，合并同类项得：2440x x ++=因式分解得：()220x +=所以122x x ==-（2）23610x x --=3a =，6b =-，1c =-()()2246431480b ac -=--⨯⨯-=>所以此方程有两个不相等的实数根，11x =+21x =（3）11222x x x -+=--方程两边乘()2x -得：()1221x x -+-=-去括号得：12410x x -+-+=解一元一次方程得：2x =检验：当2x =时，20x -=所以，2x =是增根，原方程无解．30．已知x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax +a ＝0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）求使代数式（x 1+1）（x 2+1）值为负整数的实数a 的整数值；（3）如果实数a ，b 满足b+，试求代数式x 13+10x 22+5x 2﹣b 的值．【答案】（1）a ≥0且a ≠6；（2）a ＝7，8，9，12；（3）1100解：（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax +a ＝0有两个实数根，∴()()2602460a a a a -≠⎧⎪⎨=--≥⎪⎩ ，解得：a ≥0且a ≠6.（2）∵x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax +a ＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣26a a -，x 1x 2＝6a a -，∵（x 1+1）（x 2+1）＝x 1+x 2+x 1x 2+1＝﹣26a a -+6a a -+1＝66a-为负整数，∴6﹣a ＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，∴a ＝7，8，9，12.（3）∵b50，∴a ＝5，b ＝50，∴方程﹣x 2+10x +5＝0，∴x 1+x 2＝10，x 1x 2＝﹣5，x 12＝10x 1+5，∴原式＝x 12•x 1+10x 22+5x 2﹣b ，＝（10x 1+5）•x 1+10x 22+5x 2﹣50，＝10（x12+x22）+5（x1+x2）﹣50，＝10（x1+x2）2﹣20x1x2+5（x1+x2）﹣50，＝10×102﹣20×（﹣5）+5×10﹣50，＝1100．。

八年级第三讲_一元二次方程判别式和韦达定理(教师版)

第三讲一元二次方程判别式和韦达定理（含答案）【培训提示】1. 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的情况令ac b 42-=∆若0>∆，则方程有两个不相等的实数根；若0=∆，则方程有两个相等的实数根；若0<∆，则方程没有实数根。

2. 一元二次方程根的判别式的主要应用方面（1）不解方程，根据方程或给定的条件，判定方程根的情况；（2）确定含字母的一元二次方程中字母的取值或取值范围；（3）证明某种条件下方程根的情况，或探求参数满足的条件等；（4）构造一元二次方程，把原问题转化为讨论根的性质。

3. 韦达定理：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与系数的关系设方程的两根为1x 、2x ，则ac x x a b x x =-=+2121,。

注：现在应用韦达定理的前提条件是042≥-=∆ac b ，即方程必须有实数解。

4. 运用韦达定理可以不解方程，求含有1x 、2x 的代数式值，常见变形如下： 2122122212)(x x x x x x -+=+，21221221214)()(||x x x x x x x x -+=-=-，)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+，21212111x x x x x x +=+ 。

【例解讲解】（一）判别式相关问题例1. （上海市初中数学竞赛试题1983）设二次方程0222=++q px x 有实数根，其中p,q 都是奇数，那么它的根一定是（）A. 奇数B. 偶数C. 分数D. 无理数解析：由题设知，0)2(42≥-=∆q p 。

可得)2(42q p -=∆不是完全平方数，所以选D 。

例2. 设k 为整数，且0≠k ，方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求k 的值。

解析：利用判别式为完全平方数，设224)1(m k k =--（m 为正整数），则01622=-+-m k k ①①有整数根k,故①的判别式也是完全平方数：设22432n m =+（n 为正整数）。

2022年最新中考数学知识点梳理考点05 一元二次方程(教师版)

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点05 一元二次方程考点总结一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程． 2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入2b x a-=即可．4．因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=．三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系：对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容． 1．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1na mb +=；当m 为平均下降率时，则有()1na mb -=．2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％． 3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．图1 图2 图34. 碰面问题（循环问题）（1）重叠类型（双循环）：n 支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m 。

一元二次方程的根的判别式-教案(二)

一元二次方程的根的判别式一、素质教育目标（一）知识教学点：1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．（二）能力训练点：1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．2．培养学生的推理论证能力．（三）德育渗透点：通过例题教学，渗透分类的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．三、教学步骤（一）明确目标上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明．（二）整体感知本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．教师评价，纠正不精练的步骤．假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．学生板书、笔答，教师点拨、评价．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．学生板书、笔答、评价、教师点拨．（四）总结、扩展1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．四、布置作业1．教材P．29中B1，2，3．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．（2、3学有余力的学生做．）五、板书设计12．3 一元二次方程根的判别式（二）一、判别式的意义：……三、例1……四、例2……△=b2-4ac …………二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)（1）当△＞0，……练习1……练习2……（2）当△＝0，……（3）当△＜0，……反之也成立．六、作业参考答案方程没有实数根．B3．证明：∵△＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5当k无论取何实数，4k2≥0，则4k2＋5＞0∴△＞0∴方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．2．解：∵方程有实根，∴△＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0即：a≤3，a的正整数解为1，2，3∴当a＝1，2，3时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有实根．3．分析：“方程”是一元一次方程，还是一元二次方程，需分情况讨论：（2）当2m-1≠0时，∵无论m取何实数8（m-1）2≥0，即△≥0．∴方程有实数根。

3.一元二次方程的判别式与根系关系(教师)

一元二次方程的判别式与根系关系模块一一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=-40时才有实数根．这里b ac 2-4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=-4确定．设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=-4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根bx x a12==-2．③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根．特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．模块二一元二次方程的根与系数关系 1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=-，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=-，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=-，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212-++=0．3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=-40的条件下，我们有如下结论：（1）当ca <0时，方程的两根必一正一负．①若≥b a -0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba -<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca >0时，方程的两根同正或同负．①若b a ->0，则此方程的两根均为正根；②若ba -<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．模块一一元二次方程的判别式例1、（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况：①x x 27--1=0 ②()x x 29=43-1③x x 2+7+15=0 ④()mx m x 2-+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（） A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根．（2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2-4+=4++--∵a b c ++>0，c a b --<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．例2、（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21-1+-=04有实根，则k 的取值范围为______．（2）关于x的一元二次方程()k x 21-2--1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．（3）当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？【解析】（1）≥k 0且≠k 1；（2）≤k -1<2且k 1≠2，由题意，得()()k k k k 4+1+41-2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1-2≠0⎩，解得≤k -1<2且k 1≠2；（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+-43+4+4+20，得()()a b a 22+2+-1≤0．又因为()()a b a 22+2+-1≥0，所以()()a b a 22+2+-1=0，得a =1，b 1=-2．【点评】这道题（1）（2）主要是结合一元二次方程的定义和判别式与根的关系的考察，（3）把判别式和平方的非负性结合起来考查．例3、已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213-1-+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a 21-2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213-1-+=04有两个相等的实数根，所以a a 2-3+1=0．所以有a a a 2-2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21-2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13-2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．例4、在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2-=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫-42-=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=-4，m 2=2．若m =-4，原方程化为x x 2-4+4=0，则x x 12==2，即b c ==2，∴△ABC 的周长为2+2+3=7．若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0，则x x 12==-1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根，则m m 19+3+2-=02，则m 22=-5，原方程化为x x 22221-+=055，解得x 1=3，x 27=5，∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375．【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．模块二一元二次方程的根与系数的关系例5、（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2-3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12-2⋅-2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12-；⑥x x 2212-；⑦x x 1211-．【解析】（1）-4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+-2⋅=3-2⨯1=7，()()()x x x x x x 121212-2⋅-2=⋅-2++4=1-2⨯3+4=-1，()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+-⋅=9-1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212-=+-4⋅=3-4⨯1=5，∴x x 12-=∴()()(x x x x x x 22121212-=+-=3⨯=x x x x x x 21121211--=== 【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．例6、（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24-4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221-2-2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2-3-4-3=21-120得：≤k 74．由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=-2-3⎧⎪⎨⋅=-3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x x x x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3-2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意．当x x 12=1时，k 2-3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或-2．（2）显然a ≠0由()△a a a 2=16-16+4≥0得a <0，由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4，所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4-2-2=5-2+=9-2+=-24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215-2-2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾，故不存在a ，使()()x x x x 12215-2⋅-2=4．【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．例6、（1）若m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，则m m n 2+2+-1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，则a ab a b 2-+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，∴m n +=-1，m m 2+-1=0，则原式()()m m m n 2=+-1++=-1=-1，（2）∵a 是方程x x 2+2-5=0的实数根，∴a a 2+2-5=0，∴a a 2=5-2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2-+3+=5-2-+3+=+-+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，∴a b +=-2，ab =-5，∴a ab a b 2-+3+=-2+5+5=8．故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=-2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7--1+2016+7++1 ()()()()m n mn m n =-+1+1=-+++1=-7-2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．例7、（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3-2+-1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2-+-=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3-24-10⎪⎪2-3⎨<0⎪⎪-1⎪>0⎩-≥,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪-4-⨯-2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪-2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3．【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．课后作业 1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22-1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________．A ．k 1≥4B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2-=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________． 3．关于x 的方程()()m x m x 22-4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>-3．又≥≤m m 1-0⇒1，故≤m 1-<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2-4=和m 2-4≠0，两种情形讨论：当m 2-4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当m 2-4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1-4-4=8+20∆0，解得m 5≥-2．∴当m 5≥-2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥-2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2-+1+2-2=0．（1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1-42-2=-30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2-3=0，k =3，此时方程为x x 2-4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2-5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是-2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根 D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =-1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=-4=+2-2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2-40， ∴b ac 2-2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=-4=+2-2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根， ∴αβ+=-3，αα2+3-7=0，∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7-3=4，故答案为：4．8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+-=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=-2+2⎧⎪=-5⎪⎨+-=16⎪⎪∆=4+2-4-5≥0⎩，解得：m =-1或m =-15且m 9≥-4， ∴ m =-1．。

第21章一元二次方程-一元二次方程根的判别式、根与系数的关系(教案)

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程根的判别式的基本概念。判别式Δ是判断一元二次方程根的性质的重要工具。它是通过计算b^2 - 4ac得到的，可以帮助我们快速判断方程有几个实数根。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何使用判别式解决实际问题，以及它如何帮助我们判断方程根的情况。
第21章一元二次方程-一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（教案）
一、教学内容
第21章一元二次方程-一元二次方程根的判别式、根与系数的关系。本节课我们将学习以下内容：
1.一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a≠0）。
2.判别式Δ（delta）的计算：Δ = b^2 - 4ac。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调判别式的计算方法和根与系数的关系这两个重点。对于难点部分，如判别式与根的性质的对应关系，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题，如物体抛射运动的轨迹问题。

专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-讲解学习

专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-一元二次方程根的判别式姓名◆课前预习1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可用b2－4ac来判定，b2－4ac叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b2－4ac>0⇔方程_________；（2）b2－4ac=0⇔方程_________；（3）b2－4ac<0⇔方程_________．2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式．◆互动课堂【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－5x+3=0x+2=0；（2）x2（3）3x2+2=4x（4）mx2+（m+n）x+n=0（m≠0，m≠n）．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围．【例3】已知关于x的一元二次方程x2－）=0．求证：无论k取什（2k+1）x+4（k－12么实数值，这个方程总有实数根；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除【例4】已知关于x的方程x2－2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．◆跟进课堂1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△=________．2．已知关于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有实数根，则m的取值范围是______．3．如果方程x2－2x－m+3=0有两个相等的实数根，则m的值为_______，此时方程的根为________．4．若关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0没有实数根，则k的取值范围是______．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除5．若关于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是_______．6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）．A．x2+2x－1=0 B．x2C．x2．－x2+x+2=07．如果方程2x（kx－4）－x2－6=0有实数根，则k的最小整数是（）．A．－1 B．0 C．1 D．28．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）．A．x2－x+1=0 B．x2－2x+3=0 C．x2+x－1=0 D．x2+4=09．如果关于x的一元二次方程kx2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）．A．k<1 B．k≠0 C．k<1且k≠0 D．k>110．关于x的方程x2+（3m－1）x+2m2－m=0的根的情况是（）．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 A ．有两个实数根 B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根◆课外作业1.在下列方程中，有实数根的是（）（A ）x 2+3x+1=0 （B（C ）x 2+2x+3=0 （D ）1x x -=11x -2．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数根C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根3．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2＋3a－4＝0有一个实数根是x ＝0．则a 的值为（）．A 、1或－4B 、1C 、－4D 、－1或44．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是．5．若0是关于x 的方程（m -2）x 2+3x+m 2-2m -8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．6.不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（(3 )x2-2kx+（2k-1）=0 (x为未知数)7．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．8．已知a、b、c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2+m）+b有两个相等的实数根，试（x2－m）－判断△ABC的形状．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除10．如果关于x的方程mx2－2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m－•5）x2－2（m－1）x+m=0的根的情况．11．已知关于x的方程（n－1）x2+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．（1）求证：关于y的方程m2y2－2my－m2－2n2+3=0 ②必有两个不相等的实数根；（2）如果方程①的一个根是－1，求方程②的2根．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。

根的判别式 -教师版

根的判别式预习归纳1．式子______________叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式，常用希腊字母“∆”来表示．2．一元二次方程20ax bx c ++=：（1）当___________时，方程有两个不相等的实数根；（2）当___________时，方程有两个相等的实数根；（3）当___________时，方程没有实数根．【答案】1．24b ac -；2．（1）240b ac -＞；（2）240b ac -=；（3）240b ac -＜基础过关知识点一：运用判别式判断方程的根1．下列方程中，没有实数根的是（）A ．220x x -=B ．2210x x --=C ．2210x x -+=D ．2220x x -+= 【答案】D2．一元二次方程22310x x -+=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【答案】A3．方程2342x x +=-的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】C4．下列方程中有实数根的是（）A ．222x x +=-B ．232x x +=C ．213x x +=D ．2350x x ++=【答案】C5．若关于x 的一元二次方程210x kx ++=有两个相等的实数根，则k =_______．【答案】2±6．若关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是（）A ．16q ＜B ．16q ＞C ．4q ≤D ．4q ≥ 【答案】A7．若关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（）A ．3m ≤B ．3m ＜C ．3m ＜且2m ≠D ．3m ≤且2m ≠【答案】D 8．当m 为何值时，方程()22241210x m x m -++-=：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【答案】（1）98m -＞；（2）98m =-；（3）98m -＜能力提升1．如果关于x 的一元二次方程2310kx x --=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是___________．【答案】94k -＞且0k ≠ 2．已知a ，b ，c 为常数，且()222a c a c -+＞，则关于x 的方程20ax bx c ++=根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．有一个根为0 【答案】B3．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ． 1k -＞B ．1k -≥C ．0k ≠D ．1k -＞且0k ≠【答案】D4．若关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（） A ．18a -＞ B ．18a -≥ C ．18a -＞且1a ≠ D ．18a -≥且1a ≠ 【答案】D5．若关于x 的方程()2220mx m x m --+=有实数根，求m 的取值范围．【答案】当0m =时，方程化为20x =，方程的根为0x =当0m ≠时，()222240m m --≥，12m ≤6．如果关于x 的一元二次方程2220x ax a +++=有两个相等的实数根，求实数a 的值．【答案】依题意得：()24420a a -+=，()()210a a -+=，所以12a =-或7．已知关于x 的一元二次方程()2110m x x -++=有实数根，求m 的取值范围．【答案】54m ≤综合拓展1．已知关于x 的一元二次方程()220a c x bx a c +--+=有两个相等的实数根，以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能，请判断三角形的形状．【答案】依题意得：()()2440b a c a c -+-+=，化简得222a b c +=，所以当a ，b ，c 均为正数时，以a ，b ，c 为边能构成三角形，该三角形是直角三角形．。

一元二次方程根的判别式B(教师版)

【答案】（1）∵ ，所以原方程有两个不相等的实数根；
（2）把原方程化为，∵ ，所以原方程有两个相等的实数根；
（3）把原方程化为 .∵ ，所以原方程没有实数根.
【借题发挥】
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）；（2）；（3） .
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程没有实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根.
上述判断反过来也是正确的，即
当方程有两个不相等的实数根时，；
当方程有两个相等的实数根时，；
当方程没有实数根时， .
【典型类型讲解】
题型一：
【例1】不解方程，判断下列方程根的情况
（1）；（2）；（3） .
【分析】判断方程根的情况也就是判断的大小，对于第（2）（3）题都是先把原方程化为一般式，再算的值.
【分析】由于三角形是等腰三角形，那么有两条边是相等的，分成两种情况讨论，看求出的三边能否组成三角形.
【答案】若、中有一个为3，不妨设b=3．则，解得．
此时原方程为，它的另一个根为，则可以构成等腰三角形．
若，则，解得m=4．此时原方程为，
它的两根为，则可以构成等腰三角形．
综上所述，m的值为3或4．
【答案】（1）当时，方程有两个相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根.
题型三
【例4】已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及这时方程的根.
【分析】方程有两个相等的实数根，即，求出的取值，把代入就可以得出方程的根.
【答案】把原方程变形为
.
因为方程有两个相等的实数根，所以 .

高中数学一元二次方程根的分布-教师版讲义

一元二次方程根的分布★已知一元二次方程20(0)a x b x c a ++=≠在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为根的分布问题。

实根分布问题一般考虑三个方面，即：（1）判别式24b ac ∆=-（2）对称轴2b x a=- （3）区间端点函数值的符号。

例题：方程满足下列条件x 2+(m-3)x+m=0, 求m 的范围。

（1）两正实根（2）两负实根；（3）两实根均小于1；（4）两实根均大于0.5；（5）两实根均在(0,2)；（6）一正一负两实根；（7）一个正根，一个负根且正根绝对值较大（8）两实根中，一根大于1，一根小于1；（9）两实根中有且只有一根在(0,2)；（10）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(1,3)；（11）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(0,4)；（12）一个根小于2，一个根大于4。

根的分布的三要素练习：m为何实数值时，关于x的方程8x2-(m-1)x+m-7=0的两根:(1)都为正根;(2)为异号根,且负根的绝对值大;(3)都大于1;(4)一根大于2,一根小于2;(5)都在(0,2)上;(6)都在[0,2]上;(7)只有一根在(0,2)上;(8)只有一根在[0,2]上.解析：（1）(7,9]∪[25,+∞)（2）(-∞,1)（3）[25,+∞)（4）(27,+∞)（5）(7,9]∪[25,27) （6）[7,9]∪[25,27] （7）(-∞, 7]∪[27,+∞)（8）(-∞, 7)∪(27,+∞)小结：一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）根的分布1、当一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根分布在同一个区间内时，列不等式组时要考虑哪些因素？2、当一元二次方程的根分布在不同的区间时，列方程组时考虑哪些因素？解决一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)实根分布的方法、步骤：（1）确定方程根分布在同一区间还是不同区间；（2）方程根分布在同一区间时利用三要素列出不等式组；（3）方程根分布在不同区间时利用端点函数值列出不等式(组)；（4）求解不等式即得相应参数的范围。

第11讲根的判别式及其应用(教师版)

第11讲根的判别式及其应用【学习目标】根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况下判断出根的个数情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围．本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．【基础知识】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆-．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆->时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆-=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆-<时，方程没有实数根．二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= 的两个根,由解方程中的公式法得, 2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a---=．那么可推得1212,b cx x x x a a+=-=．这是一元二次方程根与系数的关系【考点剖析】考点一：判别式的值与根的关系例1．选择：（1）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（）（A ）（B ）0122=++x x（C ）0322=++x x（D ）0322=-+x x（2）不解方程，判别方程25750x x -+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x --=的根的情况是()（A ）有两个相等实根（B ）有两个不等实根（C ）没有实根（D ）无法确定（4）一元二次方程2310x x +-=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根（B ）有两个相等的实数根（C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【难度】★【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=-=-<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=-=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=-=-<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =-，24160b ac ∆=-=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =-，5c =，24510b ac ∆=-=-<，方程无实根，故选D ；（3）1a =，5b =-，，24290b ac ∆=-=>，方程有两不等实根，故选B ；（4）1a =，3b =，，24130b ac ∆=-=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．例2．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x --=；（2）22430x x ++=；（3）22326x x +=；（4）22340x x +-=．【难度】★【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；（4）方程有两不等实根．【解析】（1）4a =，5b =-，3c =-，24730b ac ∆=-=>，方程有两不等实根；（2）2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=-=-<，方程无实数根；（3）2a =，26b =-，3c =，240b ac ∆=-=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =-，24410b ac ∆=-=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．例3．关于x 的方程2(1)0x m x m +--=（其中m 是实数）一定有实数根吗？为什么？【难度】★ 【答案】一定有．【解析】∵1a =，1b m =-，c m =-，∴()()()22241410b ac m m m ∆=-=--⨯-=+≥恒成立，可知方程一定有实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，只需要对最终的∆值进行化简分析即可确定∆的值与0的大小关系，进而确定方程根的情况．例4．已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx -++=根的判别式的值为4，求m 的值．【难度】★ 【答案】0．【解析】∵1a m =-，2b m =，1c =，∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=-=-⨯-=-+=，整理即得20m m -=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =-≠，故1m ≠，由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0．例5．已知方程组的解是，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【难度】★★【答案】方程无实数根．【解析】方程组的解是，代入即得：，可解得：，此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=-=-<，可知方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．例6．当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +-+-=，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？【难度】★★【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >．【解析】对此方程，1a =，2b m =-，2114c m =-，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=-=---=-+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=-+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根；（2）当480m ∆=-+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根；（3）当480m ∆=-+<，即2m >时，方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例7．当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k -+-=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【难度】★★ 【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为241x k k =±-．【解析】对此方程，1a =，4b k =-，()221c k =-，则()()22244421164b ac k k k ∆=-=---=-，因为方程有实数根，则有，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大考点二：根的判别式的应用例1．证明：方程有两个不相等的实数根．【难度】★【解析】证明：对原方程进行整理，即为：其中1a =，3b =-，，则()()22224342410b ac kk∆=-=---=+>恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．例2．当k 为何值时，方程，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【难度】★★ 【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >．【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：，此时，1a k =-，，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =-≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=-=---+=-+，由此可知，（1）当16200k ∆=-+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根；（2）当16200k ∆=-+=，即54k =时，方程有两相等实根；（3）当16200k ∆=-+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例3．已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++-=有实数根，求m 的取值范围．【难度】★★ 【答案】32m ≥-且1m ≠-．【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠-；对此方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =-，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=-=-+-=+≥，可解得32m ≥-；即m 的取值范围为32m ≥-且1m ≠-．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．例4．如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m -++=的根的情况如何?【难度】★★ 【答案】方程无实根．【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知，即，对一元二次方程21(1)04mx m x m -++=而言，其中a m =，，14c m =，则()221414214b ac m m m m ∆=-=+-⋅=+，时，0∆<恒成立，由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．例5．已知关于x 的方程()21230m x mx m +++-=总有实数根，求m 的取值范围．【难度】★★ 【答案】32m ≥-．【解析】（1）当10m +=，即1m =-时，方程为一元一次方程240x --=，方程有实根；（2）当10m +≠，即1m ≠-时，方程为一元二次方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =-，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=-=-+-=+≥，可解得32m ≥-且1m ≠-；综上所述，m 的取值范围为32m ≥-．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算．考点三：韦达定理例1．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积（1）2310x x -+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x --=，12x x += ________；12x x =________．【难度】★【答案】（1）3，1；（2）23，23-．【解析】（1）1a =，3b =-，1c =，根据一元二次方程根与系数的关系，可得123b x x a +=-=，121cx x a==；（2）3a =，2b =-，2c =-，根据一元二次方程根与系数的关系，可得1223b x x a +=-=，1223c x x a ==-；【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的a 、b 、c 值即可快速得到结果．例2．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一根及k 值．【难度】★【答案】方程另一根为35x =-，7k =-．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125k x x +=-，1265x x =-，令12x =，则可求得235x =-，代入可得，可得7k =-．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．例3．已知：关于x 的方程23190x x m -+=的一个根是1，求另一根及m 值．【难度】★【答案】方程另一根为163x =，16m =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，12193x x +=，123m x x =，令11x =，则可求得2163x =，代入可得，可得16m =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．例4．如果是方程25100x bx +-=的一个根，求另一个根及b 值．【难度】★【答案】方程另一根为25x =，23b =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125b x x +=-，121025x x -==-，令15x =-，则可求得225x =，代入可得122355b x x +=-=-，可得23b =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．例5．已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出的值．（1）127,7x x ==-；（2）1223,23x x =-+=--．【难度】★【答案】（1）0p =，；（2）12p =，3q =．【解析】（1）根据韦达定理，可得1203p x x +=-=，1273qx x ==-，可得0p =，；（2）根据韦达定理，可得1243p x x +=-=-，1213qx x ==，可得12p =，3q =．【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．例6．设12,x x 是方程22430x x +-=的两个根，求的值．【难度】★★ 【答案】52-．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足12422x x +=-=-，1232x x =-，由此()()()()121212*********x x x x x x ⎛⎫++=+++=-+-+=- ⎪⎝⎭．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．例7．已知方程22210x ax a +-+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【难度】★★ 【答案】3a =．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足122a x x +=-，12122a x x -=，依题意有 2212174x x +=，即()221212121227224a a x x x x -⎛⎫+-=--⨯= ⎪⎝⎭，整理即得28330a a +-=，解得：111a =-，23a =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在3a =时0∆≥成立，综上所述，可得3a =．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足0∆≥．【过关检测】1.（普陀2018期末2）下列方程中，没有实数根的方程是（）A. 2210x x -+=B. 210x x --= C. 220x += D. 220x -=【答案】C【解析】A 、440∆＝－＝，有两个相等实数根；B 、450∆=>＝1+，有两个不相等的实数根；C 、80∆=-<＝0-8，无实数根；D 、80∆=>＝0+8，有两个不相等的实数根.故选C.2.（浦东四署2017期中3）下列一元二次方程没有实数解的是（）A. 2320x x --=B. 2320x x -+=C. 2230x x +-=D. 2230x x -+=【答案】D.【解析】A 、00∆>＝12+8＝2，有两个不相等实数根；B 、10∆=>＝9-8，有两个不相等的实数根；C 、412160∆+=>＝，有两个不相等的实数根；D 、41280∆-=-<＝，无实数根. 故选D.3.（崇明2018期中3）下列一元二次方程中，有实数根的是（） A. B. 210x x -+= C. 210x x ++= D. 210x x --= 【答案】D【解析】D 、因为1450∆+=>＝，所以有两个不相等的实数根；因此选D. 4.（浦东四署2018期中4）下列方程中，没有实数根的是（）A. 2250x x --= B. 2210x x -+= C. 220x x -= D. 225x x -=- 【答案】D.【解析】A 、420240∆=+=>，有两不等实数根；B 、440∆=-=，有两个相等实数根；C 、40∆=>，有两个不相等的实根；D 、420160∆=-=-<，无实数根. 故正确答案选D. 5.（闸北2018期中5）下列方程中，无实数解的是（）A ． x 2﹣3x +9=0B ．3x 2﹣5x ﹣2=0C ．y 2﹣2y +9=0D ．（1﹣y 2）=y【答案】C【解析】解：A 、∵△=9﹣9=0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；B 、∵△=25+24=49＞0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；C 、∵△=4﹣36=﹣32＜0，∴方程没有实数根，本选项符合题意；D 、∵△=1+24=25＞0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意．故选：C ． 6.（上外附2018期中5）关于x 的方程有实数根，则a 满足（） A.1≥a 且5≠a B. 1>a 且5≠a C. 1≥a D.5≠a 【答案】A.【解析】根据题意，有5051 5.164(5)(1)01a a a a a a -≠≠⎧⎧≥≠⎨⎨∆=--⨯-≥≥⎩⎩，解之得：即且故选A. 7. （浦东四署2017期中4）关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 满足（）A. 1k >B. 1k ≥C. 1k =D. 1k < 【答案】C.【解析】由440k ∆=-=得，k ＝1.因此选C.8.（崇明2018期中4）如果关于x 的一元二次方程22(1)510m x x m -++-=的常数项为0，那么m 的值等于（）A. 1或－1；B. 1；C. －1；D. 0.【解析】依题得：，得m ＝－1，故选C.9.（金山2018期中5）一元二次方程220x x --=的根的情况是（）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定. 【答案】B【解析】因为2(1)41(2)1890∆=--⨯⨯-=+=>，所以方程有两个不相等的实数根. 10. （嘉定2017期中3）关于x 的方程22(31)20x m x m m +-+-=的根的情况是（） A.有两个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个相等的实数根【答案】A【解析】因为2222(31)4(2)96184m m m m m m m ∆=---=-+-+＝221m m -+＝2(1)0m -≥，所以方程有两个不相等实数根或两个相等实数根，即方程有两个实数根.因此选A. 11.（上外附2018期中4）已知关于x 的一元二次方程的常数项为0，则m 的值为（） A.3 B. 0 C. －3 D. 3± 【答案】C【解析】根据题意得，故选C.12.（普陀2018期中5）关于x 的方程210x mx m -+-=根的情况，下列说法正确的是（） A. 没有实数根； B. 有两个不相等的实数根； C. 有两个不相等的实数根； D. 有两个实数根. 【答案】D【解析】因为判别式2224(1)44(2)0m m m m m ∆=--=-+=-≥，故原方程有两个实数根，故选D. 13. （松江2018期末7）已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 . 【答案】314m m >≠且. 【解析】根据题意得1014(1)0m m -≠⎧⎨+->⎩，解之得314m m >≠且.14.（浦东四署2017期中11）关于x 的方程2220x mx +-=的一个根是2，则m ＝ .【解析】将x ＝2代入原方程得：8220m +-=，即m ＝－3.15.（嘉定2017期中14）已知0x =是关于x 222230x m m ++--=的一个实数根，则m ＝ . 【答案】31m m ==-或.【解析】将0x =代入一元二次方程得，2230m m --=，所以(3)(1)0,31m m m m -+=∴==-或 16.（浦东四署2018期中15）已知关于x 的一元二次方程210mx x ++=有实数根，则m 的取值范围是 . 【答案】104m m ≤≠且. 【解析】因为关于x 的一元二次方程210mx x ++=有实数根，所以有0140m m ≠⎧⎨∆=-≥⎩，解之得.所以m 的取值范围是104m m ≤≠且. 17.（崇明2018期中12）已知1是关于x 的一元二次方程的一个实数根，那么m ＝ . 【答案】2±【解析】将x ＝1代入原方程得：21230m +-=－，24,2m m =∴=±. 18.（金山2018期末10）已知3=x 是方程022=+-m x x 的一个根，那么=m ．【答案】－3.【解析】x=3代入得960,3m m -+=∴=-19.（普陀2018期中12）如果关于x 的一元二次方程2320x x a --=根的判别式的值是6，那么a ＝ . 【答案】16. 【解析】依题得：443()6a ∆=-⨯⨯-=，所以16a =. 20.（浦东四署2017期中13）当a ＝时，关于x 的方程2210x ax -+=有两个相等的实数根.【答案】1±【解析】由2440a ∆=-=得，1a =±.21.（崇明2018期中14）已知关于x 的方程220x x m +-=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是. 【答案】1m >-.【解析】依题得44()0,1m m ∆=-->∴>-.22.（金山2018期中12）关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 . 【答案】908a a >-≠且.【解析】根据题意，有094(2)0a a ≠⎧⎨∆=-⨯->⎩，解之得，故a 的取值范围是908a a >-≠且23.（金山2018期中18）在等腰ABC ∆中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是 . 【答案】25或16.【解析】解：（1）当AB ＝8时，64800,16m m +=∴=－，此时方程210160x x -+=的两根为2或8，所以AB ＝8，AC ＝2，故等腰ABC ∆的三边分别为8、8、2，所以16m =；（2）当AC ＝8时，同（1）得16m =；（3）当AB ＝AC 时，10040,25m m ∆=-=∴=.24.（上外附2018期中17）已知关于x 的方程2(31)30mx m x +++=有两个整数根，则整数m 的值为_________ 【答案】1m =±.【解析】依题知0m ≠，由方程2(31)30mx m x +++=得1(1)(3)0,3mx x x x m++=∴=-=-或，又由于方程有两个整数根，所以1m =±.25.（上外附2018期中16）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程213400x x -+=的根，则该三角形的周长为__________ 【答案】12.【解析】解方程213400x x -+=得58x x ==或，因为3、4、8不能构成一个三角形三边，所以舍去，因此三角形三边长分别为3、4、5，故该三角形周长为12. 26. （浦东四署2018期中25）已知：关于x 的方程.（1）试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求22122018kx k ++的值. 【答案】（1）证明如下；（2）2002. 【解析】（1）2222(2)41(1)44440k k k k ∆=-⨯⨯-=-+=>，∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程有一个根为3，所以22961068k k k k ++-=+即＝-，所以22122018k k ++22(6)20181620182002k k =++=-+=27.（浦东四署2017期中21）当m 取何值时，关于x 的方程2330mx x -+=.（1）有实数根？（2）没有实数根？【答案】（1）34m ≤；（2）34m >. 【解析】（1）当m ＝0时，方程为330x -+=，此时原方程只有一个实数根为x ＝1；当0m ≠时，方程为一元二次方程，39430,04m m m ∆=-⨯≥∴≤≠且. 综上所述：当34m ≤时，原方程有实数根. （2）当9430m ∆=-⨯<时，即34m >时，原方程没有实数根.28.（嘉定2017期中24）已知关于x 的一元二次方程2(1)230m x mx m -+++=，求：当方程有两个不相等的实数根时m 的取值范围. 【答案】312m m <≠且. 【解析】依题得21044(1)(3)0m m m m -≠⎧⎨∆=--+>⎩，解之得，故m 的取值范围是312m m <≠且. 29.（闸北2018期中24）关于x 的方程（k ﹣1）x 2+2kx +k +3=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【答案】k 且k ≠1．【解析】解：∵关于x 的方程（k ﹣1）x 2+2kx +k +3=0有两个不相等的实数根，∴有，即，解得：k 且k ≠1．答：k 的取值范围为k 且k ≠1．30.（金山2018期末21）已知关于x 的方程24(2)1x k x k -++=有两个相等的实数根，求k 的值及这时方程的根．【答案】当k=2时, 1212x x ==;当k=10时，方程为1232x x ==. 【解析】原方程可化为24(2)10x k x k -++-=，22(2)16(1)1220k k k k ∆=+--=-+，因为方程有两个相等的实数根，所以212200k k ∆=-+=，解之得k ＝2或k=10. 当k=2时，方程为21214410,2x x x x -+=∴==；当k=10时，方程为212341290,2x x x x -+=∴==. 31．（2020·全国八年级课时练习）一元二次方程x 2﹣3x=1的两个实数根为α，β，则α+β值为（） A ．3 B ．﹣1C ．﹣3D ．1【答案】A【分析】根据根与系数的关系即可得出α+β的值．【详解】∵一元二次方程x 2﹣3x=1，即x 2﹣3x ﹣1=0的两个实数根为α，β， ∴α+β=3．故选A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x 1+x 2=﹣ba，x 1•x 2=c a． 32．（2020·全国八年级课时练习）若方程x 2﹣8x+7=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（） A ．8 B ．﹣8C ．7D ．﹣7【答案】C【分析】由韦达定理直接计算即可. 【详解】由韦达定理可得：x 1·x 2=7. 故选C.【点睛】本题主要考查韦达定理，需熟记公式. 33．（2020·全国八年级课时练习）阅读材料：若一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根为x 1，x 2，则 x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=ca，我们把这个命题叫做韦达定理，根据上述材料，解决下面问题：（1）一元二次方程 2x 2﹣3x+1=0 的两根为 x 1，x 2，则 x 1+x 2=( )，x 1•x 2=( ) ；（2）已知实数 m 、n 满足 m 2﹣m ﹣1=0，n 2﹣n ﹣1=0 且 m≠n ，求1m +1n的值；（3）若 x 1，x 2总是方程 2x 2+4x+m=0 的两个根，求 x 12+x 22 的最小值．【答案】（1）32，12；（2）﹣1；（3）x 12+x 22的最小值为 2．【分析】（1）直接利用韦达定理求解；（2）利用已知条件可把 m 、n 看作方程 x 2﹣x ﹣1=0 的两根，利用根与系数的关系得到 m+n=1，mn=﹣1，而11m n m n mn++=，然后利用整体代入的方法计算；（3）先利用判别式的意义求出 m ≤2，再利用根与系数的关系得到 x 1+x 2=-2，x 1•x 2=2m，由于x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2 x 1•x 2，从而可根据 m 的范围确定x 12+x 22的最小值．【详解】（1）x 1+x 2=32，x 1•x 2=12；（2）∵实数m 、n 满足m 2-m-1=0，n 2-n-1=0 且m≠n ， ∴m 、n 可看作方程x 2-x-1=0的两根， ∴m+n=1，mn=-1， ∴1m +1n=-1；（3）∵△=42﹣4×2×m≥0， ∴m≤2，根据题意得x 1+x 2=-2，x 1•x 2=2m ， ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=4-m ， ∵m≤2， ∴4-m≥2，∴x 12+x 22的最小值为 2．【点睛】本题考查了根与系数的关系及判别式的意义．。