函数间断点分类及类型精品PPT课件

x
x1
lim f (x) 2 f (1) 1
x1
6
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
①在某点没定义
y
√ ②极限不存在
o
x0
③极限与函数值不相等
f(x0)有定义吗？
x
lim f (x0 )有吗？
xx0
另立山头
7
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
√ ①在某点没定义
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 .
11
第一类间断点的特点：左右极限都存在
可去间断点 y
可去间断点 y
跳跃间断点 y
2 1
o x0
x o1
x
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
o
x0
x
o
x0
x
y
f (x0 ) f (x0 )
x o1
xo
x0
x
y
y
o
x0
x
o
x
4
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
√ ①在某点没定义
y
②极限不存在
③极限与函数值不相等
o x0
x
不见了
5
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
①在某点没定义
y
②极限不存在
2 1
o1
掉队了
√ ③极限与函数值不相等
f(1)=1
lim f (x) 2
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
§1.5.3 函数的间断点及其类型
p17
复习
y
y
2
2
四个字概括连续函数图像的特点 1
1
是： “紧紧”跟随
o1
xo 1
x
① a-b=0 说明a与b相等的
ab
② a-b→0 说明a与b接近（几乎）相等
（a与b是紧紧挨着的） a b
极限概念当中的“无穷小”是可以描述“紧紧”跟
随函数
f
( x)在点x0处连续
x x0
f (x)
A
f ( x0 )
在某点没定义 极限不存在 极限与函数值不相等
如果上述三个条件中只要有一个不满足,
则称函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为f ( x)的不连续点(或间断点). 3
2、间断点图形举例：函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
y
y
2 1
o x0
1 、函数间断点的定义.
2、f ( x )在点 x0 间断的类型:
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
左右极限至少有一 个不存在
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写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
x 0,
y
f (0 ) 0, f (0 ) 1, 第一类
o
x
f (0 ) f (0 ),
跳跃间断点
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
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例2 讨论函数
y
2 x, 0 x 1,
f
(x)
1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
y 1 x
y2 x
lim
x0
y0
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
1. 间断点的定义
函数 f ( x)在点 x0处连续
lim f ( x)
x x0
f ( x0 )
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
① f ( x)在点x0处有定义;
② lim f ( x)=A(存在);
x x0
③
lim
ox
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第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、右极限
f ( x0 ), f ( x0 )至少有一个不存 在, 则称点 x0为 函数 f ( x)的第二类间断点 .
y
y
o
x0
x
ox
左、右极限都不存在
左极限存在，右极限 不存在
例1
判断函数
f
(x)
x, 1 x,
Hale Waihona Puke Baidu
解： f (0) 0,
x 0, 间断点x 0的类型
1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, = f (1 ) 2, 会不会连续呢？
lim f ( x) 2 f (1), 还是间断点 x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
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例3
讨论函数
f (x)
1
x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0) 0,
√ ②极限不存在
③极限与函数值不相等
o
x0
x
f(x0)有吗？
lim f (x0 )有吗？
xx0
井水不犯河水
8
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
√ ①在某点没定义
√ ②极限不存在
ox
各自为政
③极限与函数值不相等
f(x0)有吗？
lim f (x0)有
xx-0
lim f (x0 )=不存在
f (0 ) 0, f (0 ) ,
o
x
函数在x 0处不连续，它是为函数的第二类间断点.
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总结两类间断点:
第一类间断点:
跳跃型,
第二类间断点
可去型
思考：极限与连续之间的关系:
f(x)在x0点存在极限
f(x)在 x0 点连续
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练习：判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
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xx+
0
9
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y 不见了
y 掉队了
y
另立山头
o x0 y
2 1
x o1
井水不犯河水
xo
x0
x
y
各自为政
o
x0
x
ox
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3. 间断点的分类
第一类间断点
如果 f (x)在点 x0处间断，且f (x0 ), f (x0 )都存在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点 . 如果 f (x0 ) f (x0 ),则称点 x0为函数 f (x)的可去间断点 .