二次函数在实际生活中的应用及建模应用

二次函数的建模

知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值；

2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；

4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 一、利用二次函数解决几何面积最大问题

1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？

解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得：

x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩

⎨

⎧- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是： 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式

中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）

（2）∵x x x x y 18)18(2

+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，

即当9)

1(218

2=-⨯-=-

=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？

解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x

-）（米），

根据题意，得：x x x x y 252

1

)250(

2+-=-=； 又∵500,02

500

＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪

⎨⎧-

∵x x x x y 252

1

)250(

2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，

即当25)

2

1(2252=-⨯-

=-=a

b

x 时，2625)

2

1(42504422max

=-⨯-=-=a b ac y

解：∵四边形ABCD 是边长为a 米的正方形，

∴∠A=∠D=90°，AD= a 米．

∵四边形EFGH 为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH ． 在△AEF 与△DHE 中，

∵∠A=∠D ，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH ，EF=EH

∴△AEF ≌△DHE （AAS ），∴AE=DH=x 米，AF=DE=（a-x ）米， ∴y=EF 2

=AE 2

+AF 2

=x 2

+（a-x ）2

=2x 2

-2ax+ a 2

，即y=2x 2

-2ax+ a 2

；

（2）∵y=2x 2-2ax+ a 2

=2（x-2a ）2+24a ，∴当x=2a

时，S 有最大值．

故当点E 是AB 的中点时，面积最大．

5、在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．

（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm ²)是多少？

（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm ²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案：

63

363

3360726612626262

1

)1(2222有最小值等于时；当）（）（）

（）（）（）（S t t S t t t t t S t

t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=

6、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

解：设花圃的宽为x 米, 则花圃的长为（32-4x+3）=（35-4x ）米,面积为S 从而S=x(35-4x)-x=-4x ²+34x

∵ 0＜35-4x ≤10 ∴6.25≤x ＜8.75 S=-4x ²+34x,对称轴x=4.25,开口朝下 ∴当x ≥6.25时S 随x 的增大而减小 故当x=6.25时, 35-4×6.25=10 S 取最大值56.25㎡.

答：可设计成宽6.25米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．

变式1：小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,花圃的宽宽究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?

解：设花圃的宽为x 米, 则花圃的长为（32-2x ）米,面积为S

设矩形面积为y 米²,得到： S=x （32-2x ）=-2x ²+32x

∵ 0＜32-2x ≤10 ∴ 11≤x ＜16 由图象或增减性可知x=11米时, S 最大=110米²

7：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．

(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由； (2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．

图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE=CF =CG ．

∴△CEF 是等腰直角三角形

因此四边形EFGH 是正方形． (2)设CE=x, 则BE=0.4－x ，每块地砖的费用为y 元 那么：y=

x ×30+

×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x)×10]

)24.02.0(102

+-=x x

3.2)1.0(102+-=x )

4.00(<

8、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m ²)．

(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

解：

)240(x x y -=)20(22

x x --=