线段之和最短问题

线段之和最短问题

一． 常见数学模型：

1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

l

A

3. 如图，直线和的异侧两点A 、B,分别在直线、上求作一点P 、Q 两点, 使AP+PQ+QB 最小。

4. 如图，直线的同侧两点A 、B ，分别在直线上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a , 使AP+PQ+QB 最小。

l 2

l 1

l

A

B

a

l 1

A

5。如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM,ON 上作点A ，B 使△PAB 的周长最小。 6。如图,点P,Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的 周长最小。

N

为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”

5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小

6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小

N

N

N

为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”

练习题

1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n)，当n =______时，AC + BC的值最小．

B

3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10,Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最小值．

4．如图,在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

A

E

C B 5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC、EC。

已知AB=5,DE=1,BD=8，设CD=x.

(1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?

（3）根据(2）中的规律和结论，请构图求出代数式错误!+错误!的最小值

6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时,突然发现了蜜糖.问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置.

7．著名的恩施大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()

B位于笔直的沪渝高速公路x同侧，50km

AB A

，、B到直线x的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．如果拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直,建立如图所示的直角坐标系，B到直线y的距离为30km，请你在x旁和y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

A'

A B

B

8．如图，在锐角△ABC 中，AB = 错误!，∠BAC ＝45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．

9．如图,△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值

10．如图,四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ⑴ 求证:△AMB ≌△ENB ；

⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小;

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为错误!时，求正方形的边长。

A

N B

E

参考答案

1．在平面直角坐标系中,有A （3，－2）,B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ）,当n =______时，AC + BC 的值最小． 点C （1，n ）,说明点C 在直线x=1上,所以作点A 关于直线

x=1的对称点A'，连接A ’B,交直线x=1于点C ，则AC+BC

的值最小

设直线A ’B 的解析式为y=kx+b ，则 -2=—k+b 2=4k+b

解得：k = (4/5) b = - (6/5) 所以：y = (4/5)x —（6/5）

当x = 1时，y = -（2/5）

故当n = -（2/5）时，AC+BC 的值最小

x

y

交OA 、OB 于点Q ，R ，连接OP 1，OP 2,

则OP = OP 1 = OP 2 = 10 且∠P 1OP 2 = 90° 由勾股定理得P 1P 2 = 10错误!

4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。 即是在直线AB 上作一点E,使EC+ED 最小

作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC ’交AB 于点E,则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。

在直角△DBC ’中

DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=错误!

5．如图,C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC.

已知AB=5，DE=1,BD=8，设CD=x 。

（1）用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；

（2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？

（3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式错误!+错误!的最小值

（1)AC = (8-x)2 + 25 ，CE = 错误!则AC+CE = （8—x 2 + 25) + x 2 + 1

(2）A 、C 、E 三点共线时AC+CE 最小

连接AE ，交BD 于点C ，则AE 就是AC+CE 的最小值 最小值是10

(3）如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值 在直角△AEF 中，AF = 5 EF = 12 根据勾股定理 AE = 13

5

1x

8-x

F

B D E C

Ｃ'ＡＣ

E