高三艺术生高中数学基本知识汇编含答案

一集合与简易逻辑基本知识点答案1.__一定范围内某些确定的,不同的对象的全体__构成集合,_集合中的每一个对象_叫元素;2.集合的分类:__含有有限个元素的集合__叫有限集,__ 含有无限个元素的集合___叫无限集,__不含任何元素的集合__叫空集;3.集合的表示:__将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“｛｝”内,这种表示集合的方法__叫列举法,__将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式,这种表示集合的方法__叫描述法, ___用Venn图表示集合的方法__叫图示法;4.集合元素的3个性质:1._确定性_; 2._互异性_;3.__无序性_;5.常见的数集:数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N N*或N＋Z Q R C6. 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫集合B的子集A⊆B; 如果A⊆B,且A≠B,那么集合A叫集合B的真子集, 如果A⊆B,且B⊆A,那么A,B 两集合相等;7. 如果集合S包含我们所要研究的各个集合,S可以看作全集, 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为A在S中的补集;8. 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B;由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的叫并集,记作A∪B;.9.含有n个元素的集合有2n个子集.10.原命题:若p则q;逆命题为: 若q则p ;否命题为: 若﹁p则﹁q ;逆否命题为: 若﹁q则﹁p ;11.四种命题的真假关系:两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;四种命题中真命题或假命题的个数必为__偶数__个.12.充分条件与必要条件:⑴如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;⑵如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充分必要条件.⑶如果p⇒q,且q⇒/p ,则p是q的充分而不必要条件;⑷如果q⇒p,且p⇒/q ,则p是q的必要而不充分条件;⑸如果p⇒/q,且q⇒/p ,则p是q的既不充分也不必要条件.13.p q 非p P或q P且q真真假真真真假真假假真真真假假假假假14.“___∃x∈M,﹁p(x)__;“∃x∈M,p(x)”的否定为____∀x∈M,﹁p(x)____;15. “p∧q”的否定为﹁p∨﹁q ;“p∨q”的否定为﹁p∧﹁q ;二基本初等函数知识点答案1.函数的定义:__设A,B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应法则,对于集合A中的每一个元素x,集合B中都有唯一元素y和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数__, 所有输入值x组成的集合叫定义域,__所有输出值y组成的集合_叫值域.2.函数的表示方法:⑴_解析式_;⑵__列表法_;⑶__图象法__;3.__设函数y=f(x)定义域为A,区间I A,对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),就说y=f(x)在区间I上是_增函数; 对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),就说y=f(x)在区间I上是减函数;4.__ 设函数y=f(x)定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有f(－x)=－f(x),那么称函数y=f(x)__是奇函数;其图象特征:___关于原点对称__;如果对于任意的x∈A,都有f(－x)=f(x),那么称函数y=f(x)__叫偶函数;其图象特征:__ 关于y轴对称__;奇偶函数的定义域___关于原点对称___;5. 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任意一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么y=f(x) 叫周期函数,_T称为这个函数的周期_, 如果在周期函数y=f(x)的所有周期中,存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫最小正周期.6.基本初等函数的图象与性质:一次函数y＝kx+b反比例函数y=kx(k≠0)k>0 k<0 k>0 k<0 图象性质定义域R (―∞,0)∪(0,+∞)值域R (―∞,0)∪(0,+∞)单调性在R上递增在R上递减在(―∞,0),(0,+∞)上递减在(―∞,0),(0,+∞)上递增二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)钩函数y=x+1x桥函数y=x－1xa>0 a<0图象性质定义域R (―∞,0)∪(0,+∞)(―∞,0)∪(0,+∞)值域[4ac－b24a,+∞)(－∞,4ac－b24a](―∞,－2)∪(2,+∞)R顶点(－b2a,4ac－b24a)极值点:(―1,―2),(1,2)零点:(―1,0),(1,0)y y=x－1x0 xy y=x+1x0 xyy=ax2+bx+c(a<0)0 xyy=ax2+bx+c(a>0)0 xy=kx(k<0)0 1y=kx(k>0)0 1yy=kx+b(k<0)0 xyy=kx+b(k>0)0 x对称轴x=－b 2a渐近线: y=x 渐近线: y=x单调性在(－∞,－b 2a ]上递减在[－b 2a ,+∞)上递增 在(－∞,－b2a]上递增在[－b2a ,+∞)上递减在[－1,0),(0,1]上递减 在(－∞,－1], [1,+∞)上递增在(―∞,0), (0,+∞)上递增7.na ＝n ma;na-＝nm a1＝nma1(a>0,m,n ∈N*);8.对数定义:a b ＝N _b=log a N__(a>0,a ≠1);9.对数运算性质:⑴___log a (MN)=log a M+log a N__;⑵__ log a MN =log a M －log a N__;⑶___ log a M n =nlog a M___; 10.对数恒等式:N aNa =log ;换底公式:aNN C C a log log log =;11.指数函数,对数函数图象与性质指数函数y ＝a x (a>0,a ≠1) 对数函数y ＝log a x(a>0,a ≠1)a>10<a<1a>10<a<1图象性质 定义域 R (0,+∞) 值域(0,+∞) R 过定点(0,1)(1,0)单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 (0,+∞)上递增 (0,+∞)上递减y y=a x (a>0)10 1yy=a x(0<a<1) 1 0 1 xx(1,0)x=1y=log a x (a>1)yyy=log a x (0<a<1)x(1,0)x=1三 导数基本知识点答案1.设函数y=f(x)在区间上(a,b)有定义,x 0∈(a,b),当x 的增量△x 无限趋近于0时,比值△x△y =00()()f x x f x x∆∆+-无限趋近于一个常数A,则称函数f(x)在x=x 0处可导,并称该常数A为函数y=f(x)在x=x 0处的_导数_,记作__f′(x 0)__.2.导数的几何意义:曲线y=f(x)上有两点:Q(x 0,f((x 0)),P(x 0+△x,f((x 0+△x)),则割线PQ 的斜率为00()()f x x f x x∆∆+-,当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时,割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率,即当△x 无限趋近于0时,k PQ ＝00()()f x x f x x∆∆+-无限趋近点Q处切线的_斜率_,即y=f(x)在点(x 0,f((x 0))处的__导数__. 4.基本初等函数的求导公式:(C)′＝____0___;(x α)′＝__αx α－1__,(α为常数);(a x )′＝___a x lna__(a ＞0,a≠1) (log a x)′＝1log a e x＝1ln x a ,(a ＞0,a ≠1);注:当a ＝e 时, (e x )′＝___ e x ___,(lnx)′＝1x , (si nx)′＝__cosx __,(cosx)′＝__－sinx__; 5.导数的运算法则法则1 [u(x)±v(x)]′＝__ u ′(x)±v ′(x)__; 法则2 [cu(x)]′＝___ cu′(x)____;法则3 [u(x)v(x)]′＝__u′(x)v(x)+u(x)v′(x)___;法则4 [u(x)v(x)]′＝2()()()()()u x v x u x v x v x ''-(v(x)≠0).6.用导数的符号判别函数增减性的方法:若f′(x)>0,则函数f(x)为__增函数__,若f′(x)<0,则函数f(x)为__减函数__;7.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:⑴确定函数f(x)的__定义域__;⑵求f′(x),令f′(x)＝0,解此方程,求出它在定义域内的一切_实数解__;⑶把上面的各实根按由__从小到大_的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;⑷确定f′(x)在各个小区间内的符号,根据f′(x)的__符号__判断函数f′(x)在每个相应小区间内的增减性;8.函数极值的定义:设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对0x 附近的所有点,都有f(x)<f(x 0)(或f(x)>f(x 0)),就说f(x 0)是函数f(x)的一个极__大__值(或极___小__值); ___极大值__和___极小值___统称为极值;9.求可导函数f(x)在[a,b]上的最大或最小值的一般步骤和方法:①求函数f(x)在(a,b)上的值;②将极值与区间端点的函数值f(a),f(b) 比较,确定最值.四 三角函数基本知识点答案1.与角α终边相同的角的集合__{β|β=k·360°+α,k ∈Z}__;2.360°＝_2π_rad,180°＝_π_rad,1°＝180πrad≈_0.01745_rad,1rad ＝π180°≈_57.3_°; 3.用弧度表示的弧长公式:__l =|α|r_,面积公式:lr S 21=.4.三角函数定义:__平面直角坐标系中,设角α的终边上任意一点P 的坐标是(x,y),它与原点的距离是r,则xyr x r y ===αααtan ,cos ,sin ; 正弦,余弦,正切在各个象限的符号:_sin α,一,二象限正,三,四负,cos α,一,四正,二,三负, tan α,一,三正,二,四负,(记忆口诀:一全,二正,三切,四余) . 5.__同角三角函数关系__公式:⑴平方关系:__ sin 2α+cos 2α=1__,⑵商数关系:αααcos sin tan =; 6.__诱导__公式:⑴sin(2kπ＋α)＝_ sin α_,cos(2kπ＋α)＝_ cos α_,tan(2kπ＋α)＝_ tan α_; ⑵sin(－α)＝__ －sin α_,cos(－α)＝___ cos α__,tan(－α)＝ －tan α__; ⑶sin(π－α)＝__ sin α__,cos(π－α)＝__ －cos α__,tan(π－α)＝－tan α__;⑷sin(π＋α)＝___ －sin α__,cos(π＋α)＝__ －cos α__,tan(π＋α)＝__ tan α__; ⑸sin(2π－α)＝__ －sin α_,cos(2π－α)＝___ cos α__,tan(2π－α)＝__ －tan α__;⑹sin(π2－α)＝_ cos α_,cos(π2－α)＝_ sin α_; ⑺sin(π2＋α)＝_ cos α_,cos(π2＋α)＝_ －sin α_;⑻sin(3π2－α)＝－cos α,cos(3π2－α)＝－sin α_;⑼sin(3π2+α)＝_ －cos α__,cos(3π2+α)＝_ sin α_;记忆口诀:___ 奇变偶不变,符号看象限___.7.特殊角三角函数值 角度 0° 30°45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°360° 弧度 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6π 3π2 2π sinα 0 12 22 32 1 32 2212 0 －1 0 cosα 1 32 22 12 0 －12 －22 －32－1 0 1 tanα3313不存在－ 3 －1 －33不存在函数 正弦余弦正切图象定义域 RR {x|x ≠π2+kπ,k ∈Z}值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 周期T=2π 周期T=2π 周期T=π 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 单调性增区间 [－π2+2kπ,π2+2kπ] 减区间 [π2+2kπ,3π2+2kπ] 增区间 [－π+2kπ,2kπ] 减区间 [2kπ,π+2kπ] 增区间 (－π2+kπ,π2+kπ) 对称性对称中心(kπ,0)对称轴x=π2+kπ对称中心(π2+kπ,0)对称轴x=kπ对称中心(k π2,0)y ＝sinx —————————→y ＝sin(x ＋φ)向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω倍y ＝sin(ωx )———————→y ＝sin(ωx ＋φ)———→y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0,ω>0)10.___和差角___公式:cos(α－β)＝__cos αcos β+sin αsin β__;co s(α＋β)＝___ cos αcos β－sin αsin β__; sin(α－β)＝___sin αcos β－cos αsin β__;sin(α＋β)＝____sin αcos β+cos αsin β___; tan(α－β)＝βαβαtan tan 1tan tan +-;tan(α＋β)＝βαβαtan tan 1tan tan -+;11. 辅角 公式:asinα＋bcosα＝ tan ),sin( 22abb a =++ϕϕα; 12. 2倍角 公式:sin2α＝ 2sinαcos α ,cos2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ＝ 1－2sin 2α , tan2α＝ tan 1tan 22αα-; 13.__降幂(或半角)_公式: sin 2α＝122cos α－,cos 2α＝ 22cos 1 α+,tan 2α＝12 12cos cos αα+－; 14.__万能公式_公式: 设t ＝tan α2,则sin ＝ 2tan 12tan2 2αα+,cosα＝221212tan tan αα+－,tanα＝222 12tantan αα－;15.用sinα,cosα表示tan α2＝ cos 1sin αα+＝1 cos sin αα－; 16.正弦定理: 2R sinCcsinB b sinA a===; 17.三角形面积公式: sin 21sin 21sin 21 B ac A bc C ab S ===; 18.余弦定理:⑴a 2＝__b 2+c 2－2bccosA__, b 2＝a 2+c 2－2accosB ,向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ ω|个单位 横坐标不变,纵坐标变为原来A 倍c 2＝a 2+b 2－2abcosC ;⑵cosA ＝ 2bc b222a c -+, 2ac a cosB 222b c -+=, 2aba cosC 222c b -+=;五 向量基本知识点答案1._长度为零的向量_叫零向量;__长度等于一个单位的向量_叫单位向量;2.向量加法运算律:⑴交换律: a b b a +=+; ⑵结合律:)()(++=++;3.向量共线定理:与共线⇔λ=;4.向量加法,减法,数乘的坐标运算法则:已知＝(x 1,y 1),＝(x 2,y 2),λ∈R,那么＋＝ (x 1+ x 2,y 1+y 2) ;－＝ (x 1－ x 2,y 1－y 2) ;λ＝ (λx 1,λy 1) ;5.向量AB 坐标(x,y)与其起点A(x 1,y 1),终点B(x 2,y 2)坐标关系:_ (x 2－x 1,y 2－y 1)_;6.向量平行的坐标表示:已知a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),a 与b 平行⇔_x 1y 2－x 2y 1=0;7.向量数量积的定义: cos | | || θ=⋅;8.向量数量积的运算律:⑴ a b b a ⋅=⋅; ⑵ ) ()() ( b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ; ⑶ )( c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅;9.向量数量积的坐标表示:已知a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝_x 1x 2+y 1y 2_; 10.已知a ＝(x,y),则a 2＝_x 2+y 2_; |a |＝ 2a ＝__x 2+y 2__; 11.两点间距离公式:__|AB|=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)2___;12.已知非零向量＝(x 1,y 1),＝(x 2,y 2),它们的夹角为θ,则其夹角公式: _cos θ_＝＝222221212121yx yx y y x x +++;13.已知非零向量＝(x 1,y 1),＝(x 2,y 2),则⊥⇔ 0 =⋅⇔_ x 1x 2+y 1y 2=0_六 数列基本知识点答案㈠数列1. 按一定次序排列的一列数 叫数列; 其中的每一个数 叫数列的项,数列可以看作一个定义域为 N*或其真子集{1,2,3…,n} 的函数,它的图象是 一群孤立的点 .2. 一个数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的关系,如果可以用一个公式来表示,这个公式 叫数列的通项公式.3. 一个数列{a n }的第n 项a n 可以用它的前几项来表示,这样的公式 叫数列的递推公式.4.数列的分类:⑴按项数分: 有穷数列 , 无穷数列 ;⑵按照项与项的大小关系分: 递增数列 , 递减数列 , 摆动数列 , 常数列 ,5.若已知数列{a n }的前n 项和S n ,则其通项a n =1112nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩ .㈡等差数列6. 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列 叫等差数列; 常数叫这个等差数列的 公差 .7. a,P,b 成等差数列,则P 叫a,b 的 等差中项.8.等差数列的通项公式 a n =a 1+(n －1)d , a n =a m +(n －m)d . 9.等差数列的图象是 一条直线上均匀分布的点 . 10.等差数列前n 项和公式 2)( 1n n a a n S +=, d 2)1( 1-+=n n na S n .求等差数列前n 项和的方法叫 倒序相加法 . 11.{a n }是等差数列⇔a n ＝ An+B ; {a n }是等差数列⇔S n ＝ Cn 2+Dn ;12.一个等差数列有五个基本元素: a 1,d,n,a n ,S n ,知道其中 三 个,就可以求出其它 两 个,即“知 三 求 二 ”. 13.等差数列的单调性:①d>0时,{a n }递 增 ,S n 有最 小 值; ②d<0时,{a n }递 减 ,S n 有最 大 值; ③d ＝0时,{a n } 为常数列 .14.下标和性质:等差数列{a n }中,m,n,p,q ∈N*,若m ＋n ＝p ＋q,则 a m +a n =a p +a q ;若m ＋n ＝2p,则 a m +a n =2a p .15.等差数列{a n }中,S n 是前n 项和,则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 是等差数列. 16.{a n },{b n }均为等差数列,m,k ∈R,则 {ma n +k},{ma n +kb n } 仍是等差数列. 17.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,则a mb m＝ 1212--m m TS . 18.等差数列{a n }中,①若a n ＝m,a m ＝n(m ≠n),则a m+n ＝ 0 ;②若S n ＝m,S m ＝n(m ≠n),则S m+n ＝ －(m+n) ;㈢等比数列19. 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列 叫等比数列; 常数叫这个等比数列的 公比 . 20. a,P,b 成等比数列,则P 叫a,b 的 叫等比中项. 21等比数列的通项公式 a n =a 1q n －1 , a n =a m q n －m .22.等比数列前n 项和公式 1 1)(1,1q 11qqa a S q q a S n n n n --=--=≠或时, q=1时, S n =na 1 .求等比数列前n 项和的方法叫 错位相减法 .23.一个等比数列有五个基本元素: a 1,q,n,a n ,S n ,知道其中 三 个,就可以求出其它 两 个,即“知 三 求 二 ”.24.已知等比数列{a n }首项a 1,公比q,则其单调性: ① a 1>0,q>1或a 1<0,0<q<1 时,{a n }递增; ② a 1<0,q>1或a 1>0,0<q<1 时,{a n }递减;③ q=1 时,{a n }为常数列;④ q<0 时,{a n }为摆动数列.25.下标和性质:等比数列{a n }中,m,n,p,q ∈N*,若m ＋n ＝p ＋q,则 a m ·a n =a p ·a q ;若m ＋n ＝2p,则 a m ·a n =a p 2 .26.等比数列{a n }中,S n 是前n 项和,则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 是等比数列. 27.{a n },{b n }均为等比数列,m,k ∈R,则{},{},{}nn n n nma ma ma b b ⋅仍是等比数列. 七 不等式基本知识点答案1.三个“二次型”的关系判别式△＞0△=0△＜0二次函数y=ax 2+bx+c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ＞0)的解x 1,x 2 (x 1<x 2)x 1=x 2=－b2a无实数根一元二次不等式的解集ax 2+bx+c ＞0(a ＞0) {x|x<x 1,x>x 2}{x|x ≠－b2a}Rax 2+bx+c ＜0(a ＞0) {x| x 1<x<x 2}φ φ⇔ b<a ; ②传递性a>b,b>c ⇒ a>c ;③加法性质a>b, c ∈R ⇒ a+c>b+c ,a>b,c>d ⇒ a+c>b+d ;④乘法性质a>b,c>0⇒ ac>bc ,a>b,c<0⇒ ac<bc ,a>b>0,c>d>0⇒ ac>bd ; ⑤正数乘方a>b>0⇒ a n >b n ; ⑥正数开方a>b>0⇒ na>nb . 3.已知a,b ∈(0,+∞),有四个数:a 2＋b 22,a+b2,ab ,2 1a ＋1a,用“≤”连接这几个数2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+. 4.a>0,b>0,a,b 的乘积为定值p 时,那么当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值是 2p ; a,b 的和为定值s 时,那么当且仅当 a=b 时,ab 有最 大 值是s 24.5.二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中,直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)将平面分成三个部分,直线上的点满足于 Ax+By+C=0 ,直线一边为 Ax+By+C>0 ,另一边为 Ax+By+C<0 ,如何判断不等式只需取一个 不在直线上的特殊点 代入即可.6.线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:⑴根据题意设出 变量 ; ⑵找出__线性约束条件 ;⑶确定 线性目标函数 ;⑷画出 可行域 ; ⑸利用线性目标函数 画出平行直线系 ;观察函数图形,找出 最优解 ,给出答案.八 立体几何基本知识点答案㈠ 空间几何体及表面积和体积1. 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的 的几何体叫棱柱,棱柱的底面是 两个全等的平面多边形 ,且对应边 平行且相等 ,侧面都是 平行四边形 ;2. 棱柱的一个底面缩成一个点时形成 的几何体叫棱锥,棱锥的底面是 平面多边形 ,侧面是 有一个公共顶点的三角形 ;3. 棱锥被平行于底面的一个平面所截,截面和底面之间 的几何体叫棱台.4.圆柱由 矩 形绕 它的一边 旋转而成;圆锥由 直角三角形 形绕 一直角边 旋转而成;圆台由 直角梯形 形绕 垂直于底边的腰 旋转而成;球由 半圆 形绕 它的直径 旋转而成.5.直棱柱侧面积公式:S 直棱柱= ch ; 正棱锥侧面积公式:S 正棱锥= 12c h ′ ;正棱台侧面积公式:S 正棱台= 12(c+c′)h′ ; 球表面积公式:S 球= 4πR 2 ;6.柱体体积公式:V 柱体= Sh ;锥体体积公式:V 锥体= 13S h ;球体体积公式:V 球= 43πR 3 .㈡ 点线面位置关系1.平面的基本性质及推论:⑴公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面上,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 ;⑵公理2: 如果两个平面有一个公共点,那么它还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 ;⑶公理3: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 ; ①推论1: 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 ; ②推论2: 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ; ③推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面 ; 公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ;等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 ;2.空间两条直线的位置关系有: 相交,平行,异面 ,通常有两种分类方法:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧异面平行无公共点相交有公共点异面平行相交共面 . 3. 过空间任一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫异面直线所成角,其范围是 (0°,90°] . 直线与平面的位置关系有:__三_种. 位置关系 直线l 在平面α内直线l 与平面α相交直线l 与平面α平行公共点无数个一个没有符号表示l⊂αl∩α=A l∥α图形表示lαlAαlα定理名称图形符号表示证明方向线面平行判定定理aα bααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄线线平行⇒线面平行线面平行性质定理β aαaa a bbαβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭∥线面平行⇒线线平行线面垂直判定定理aα m n,,a m a nm n am nαα⊥⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⋂⎭∥线线垂直⇒线面垂直线面垂直性质定理a bαa⊥α,b⊥α⇒a∥b 线面垂直⇒线线平行6. 平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角, 叫直线和平面所成角面垂直,就说它们所成角是90°,所以其范围是[0°,90°] .7.平面与平面的位置关系有:___两__种:位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有无数个符号表示α∥βα∩β=a图形表示αβαa β8. 从同一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角, 在二面角的棱上任取一点,过该点在两个半平面内分别作两条射线垂直于棱,则两条射线所成的角叫二面角的平面角,其范围是[0°,180°] .用符号表述下列定理,并画出图形定理名称图形符号表示证明方向面面平行判定定理aα bβ,,a ba ba bββαααβ⎫⎪⊂⊂⇒⎬⎪⋂⎭线面平行⇒面面平行面面平行性质定理α a γβ b a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭面面平行⇒线线平行面面垂直判定定理α aβa a βαβα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭∥ 线面垂直⇒面面垂直面面垂直性质定理α a l β,,l a a a l αβαββα⊥⋂=⎫⇒⊥⎬⊂⊥⎭∥ 面面垂直,线线垂直⇒线面垂直九 解析几何基本知识点答案1. 对于一条与x 轴相交的直线l ,把x 轴绕交点按逆时针方向旋转到与直线l 重合时,所转过的最小正角 叫直线的倾斜角,其范围是 [0,180°) ; 已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),如果x 1≠x 2,那么2121y y k x x -=-叫直线P 1P 2的斜率,它与倾斜角α的关系是 k=tan α .2.直线方程有5种形式:① 点斜 式: y －y 1=k(x －x 1) ;② 斜截 式: y=kx+b ; ③ 两点 式:112121y y x x y y x x --=--;④ 截距 式:1x ya b+=;⑤ 一般 式: Ax ＋By ＋C ＝0 .3.已知直线l 1:y ＝k 1x ＋b 1,l 2:y ＝k 2x ＋b 2,则l 1∥l 2⇔ k 1＝k 2,且b 1≠b 2 ;l 1与l 2重合⇔ k 1＝k 2,且b 1＝b 2 ;l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2 ;l 1⊥l 2⇔ k 1·k 2=－1 ; 已知直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,则l 1∥l 2⇔111222A B C A B C =≠; l 1与l 2重合⇔111222A B C A B C ==; l 1与l 2相交⇔1122A B A B ≠;l 1⊥l 2⇔ A 1·A 2+ B 1·B 2＝0 . 4.已知直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,则方程组⎩⎨⎧=++=++0C y B x A 0C y B x A 222111 无解 时, l 1∥l 2;方程组 有无数组解 时,l 1与l 2重合;方程组 只有一组解 时,l 1与l 2相交, 这组解 就是交点坐标.5.坐标平面上两点间距离公式: |P 1P 2|=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)2;中点坐标公式 22210210⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y y y x x x . 6.点P(x 0,y 0)到直线l :Ax ＋By ＋C ＝0距离公式:0022d A B=+两平行直线l 1:Ax ＋By＋C 1＝0,l 2:Ax ＋By ＋C 2＝0间距离公式1222d A B=+.7.圆的标准方程: (x －a)2+(y －b)2=r 2 ;圆的一般方程: x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2－4F>0) ; 已知点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),以线段AB 为直径的圆方程: (x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0 . 8.已知⊙C 方程f(x,y)=0,点P(x 0,y 0),则点P 在⊙C 上⇔___f(x 0,y 0)=0___;点P 在⊙C 外⇔___ f(x 0,y 0)>0____;点P 在⊙C 内⇔__ f(x 0,y 0)<0___; 9.直线和圆的位置关系.直线与圆位置 相离 相切 相交 判断方法代数法(两方程联立)无解 一解 两解 几何法(圆心到直线距离d,半径r)d>rd=rd<r10.圆的切线:⑴点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上,则过点P 的圆的切线方程:___x 0x+y 0y=r 2___; ⑵点P(x 0,y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上,则过点P 的圆的切线方程:__(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2__;⑶点P(x 0,y 0)在圆C 外,则过点P 的圆的切线有__两_条,先设出切线的__点斜式_式方程,再利用__d=r __求出切线斜率,如果只求出一个斜率值,要注意斜率不存在时的情况. 11.直线和圆相交,⑴设圆心到直线距离为d,圆的半径为r,则直线被圆截得的弦长为＿＿＿222r d -⑵斜率为k 的直线l 与曲线相交于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则1+k 2|x 1－x 2|_=_1+k 2(x 1+x 2)2－4x 1x 2_. 12.断圆和圆的位置关系. 圆与圆位置外离外切相交内切内含判断方法:几何法(两圆心距d, 两圆半径R,r)d>R+r d=R+r |R －r|<d<R+r d=|R －r| d<|R －r|13.⑴经过圆C 1:f(x,y)=0,圆C 2:g(x,y)=0交点的圆系方程:___f(x,y)+λg(x,y)=0(λ≠－1)__; ⑵经过圆C 1:f(x,y)=0,圆C 2:g(x,y)=0交点的直线(即公共弦所在直线)方程: f(x,y)－g(x,y)=0_;14.空间直角坐标系中两点间距离公式: |P 1P 2|=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)2+(z 1－z 2)2 ;中点坐标公式 222210210210⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=z z z y y y x x x .㈡ 椭圆1椭圆的第一定义: 平面上到两个定点F 1,F 2距离之和等于定长(>|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆.注:a ＞0,当|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＞ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 椭圆 ; 当|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 线段F 1F 2 ; 当|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＜ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 不存在 .2.椭圆的第二定义: 平面上到一个定点与一条定直线距离之比等于常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆.3.椭圆的的标准方程和几何性质标准方程 x 2a 2+y 2b 2＝1(a>b>0) y 2a 2+x 2b 2＝1(a>b>0)图 形几 何 性 质范围 x ∈[－a,a],y ∈[－b,b] x ∈[－b,b],y ∈[－a,a] 焦点 F 1(－c,0),F 2(c,0),c 2=a 2－b 2 F 1(0,－c),F 2(0,c),c 2=a 2－b 2顶点 A 1(－a,0),A 2(a,0), B 1(0,－b),B 2(0,b), A 1(0,－a),A 2(0,a), B 1(－b,0),B 2(b,0),对称性 关于原点,x 轴,y 轴对称长短轴 长轴:线段A 1A 2,长2a; 短轴:线段B 1B 2,长2b; 长轴:线段A 1A 2,长2a; 短轴:线段B 1B 2,长2b;离心率e=ca∈(0,1)准线方程x =±a 2cy =±a 2c㈢ 双曲线4.双曲线的第一定义: 平面上到两个定点F 1,F 2距离之差的绝对值等于定长(<|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线.注:a ＞0,当| |PF 1|－|PF 2| |＝2a ＜ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 双曲线 ; 当| |PF 1|－|PF 2| |＝2a ＝ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 两条射线 ; 当| |PF 1|－|PF 2| |＝2a ＞ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 不存在 .5.双曲线的第二定义: 平面上到一个定点与一条定直线距离之比等于常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线.6.双曲线的的标准方程和几何性质标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0,b>0)图 形几何 性 质范围 x ∈(－∞,a]∪[a,+∞),y ∈R y ∈(－∞,a]∪[a,+∞),x ∈R 焦点 F 1(－c,0),F 2(c,0),c 2=a 2+b 2 F 1(0,－c),F 2(0,c),c 2=a 2+b 2顶点 A 1(－a,0),A 2(a,0), A 1(0,－a),A 2(0,a),对称性 关于原点,x 轴,y 轴对称实虚轴长 实轴:线段A 1A 2,长2a; 虚轴:线段B 1B 2,长2b; 实轴:线段A 1A 2,长2a; 虚轴:线段B 1B 2,长2b;离心率 e=ca∈(1,+∞) 准线方程 x =±a 2c y =±a 2c渐近线方程y =±b a x y =±a bx7.抛物线的定义: 平面上到一个定点与一条定直线距离之比等于常数1的点的轨迹是抛物线.8.抛物线的标准方程和几何性质标准方程 y 2=2px(p>0) y 2=－2px(p>0) x 2=2py(p>0)y 2=－2px(p>0)图 形几范围 x ∈[0,+∞),y ∈R x ∈(－∞,0],y ∈Ry ∈[0,+∞),x ∈Ry ∈(－∞,0],x ∈R焦点F(p 2,0) F(－p 2,0) F(0,p 2)F(0,－p 2)何性质顶点原点O(0,0)对称性关于x轴对称关于y轴对称离心率e=1准线方程x=－p2x=p2y=－p2y=p2焦半径|PF|=x0+p2|PF|=p2－x0|PF|=y0+p2|PF|=p2－y0通径2p十 复数基本知识点答案1.复数的概念及分类:⑴概念:形如a ＋bi(a,b ∈R)的数叫做 复数 ,其中a 与b 分别为它的 实部 和__虚部__. ⑵分类:①若a ＋bi(a,b ∈R)为实数,则 b=0 ,②若a ＋bi(a,b ∈R)为虚数,则 b ≠0 ,③若a ＋bi(a,b ∈R)为纯虚数,则 a=0,b ≠0 ;⑶复数相等:若复数a ＋bi ＝c ＋di(a,b,c,d ∈R)⇔ a=c 且b=d ;⑷共轭复数: a ＋bi 与c ＋di 共轭(a,b,c,d ∈R)⇔__a=c 且b =－d_,z 的共轭复数记作 z ; 2.复数的加、减、乘、除法则:设z 1＝a ＋bi,z 2＝c ＋di(a,b,c,d ∈R),则⑴加法:z 1＋z 2＝ (a ＋c)+(b ＋d)i ;⑵减法:z 1－z 2＝ (a －c)+(b －d)i ;⑶乘法:z 1·z 2＝(ac －bd)+(ad ＋bc)i ;⑷乘方:z n ＝nzzz z ; z m ·z n ＝ z m+n ;(z m )n ＝ z mn ;(z 1·z 2)n ＝ z 1n ·z 2n ;⑸除法:z 1z 2＝2222()()()()a bi a bi c di ac bd ad bc i c di c di c di c d c d ++-+-==+++-++ ;3.复数的几何意义:⑴复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 , x 轴 叫做实轴, y 轴 叫做虚轴;实轴上的点表示 实数 ,除原点外,虚轴上的点都表示 纯虚数 . ⑵复数z=a+bi 都可以由复平面中的点(a,b)表示,因而复数与复平面中的点是 一一对应__关系;⑶复平面上,两个复数z 1,z 2对应的两点Z 1,Z 2间的距离| Z 1Z 2|= |z 1－z 2| .4.OZ 的模叫做复数z ＝a ＋bi(a,b ∈R)的 绝对值 (或 模 ),即|z|＝|a ＋bi|＝ a 2+b 2 ;复数模的性质:⑴|z 1|－|z 2|≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|;⑵|z|2＝|z ˉ|2＝|z 2|＝|z ˉ2|＝z·z ˉ; 5.常见的结论:⑴i 的运算律:i 4n ＝ 1 , i 4n+1＝ i _, i 4n+2＝ －1 , i 4n+3＝ －i ,i n ＋i n+1＋i n+2＋i n+3＝ __0 ;⑵(1＋i)2＝ 2i ;(1－i)2＝ －2i ;1＋i 1－i ＝ i ;1－i1＋i＝ －i .⑶设ω＝－12±32i,则ω3＝ 1 ,ω2＝ω ,1＋ω＋ω2＝ 0 .十一 算法框图、概率统计基本知识点答案1.算法是指: 对一类问题机械的,统一的求解方法 .2.算法的特点:⑴ 确定性 ;⑵ 有限性 .3.流程图是 是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形 ;4.流程图中的常用符号名称 起止 框 输入输出框 处理 框 判断 框 流程线含义 表示算法的 开始或结束. 表示输出 输入操作 表示处理 和运算 根据条件决定执行两条路径中的某一条 表示执行步骤的路径图形→↓ 算法的三种基本结构有① 顺序结构 ;② 选择结构 ;③ 循环结构 . 6. 一定条件下必然发生的事件 叫必然事件,用 Ω 表示; 一定条件下不可能发生的事件 叫不可能事件,用 ○／ 表示; 在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件 叫随机事件,随机事件A 的概率记作 P(A) .7. 不可能现时发生的两个事件 叫互斥事件; 两个事件必有五个发生的互斥事件 叫对立事件; 互斥事件概率的加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B) ; 特别地,若事件A 与B 是对立事件,则其概率关系为 P(A)+P(B)=1 .8.古典概型必然满足的两个条件是:⑴ 试验中所有可能出现的基本事件有有限个 ;⑵ 每个基本事件出现的可能性相同 .9.求古典概型概率的公式为: P(A) =m n. 10.几何概型必然满足的两个条件是:⑴ 试验中所有可能出现的基本事件有无限个 ;⑵ 每个基本事件出现的可能性相同 .11.求几何概型概率的公式为: P(A) =d 的测度D 的测度.。