新课标高中数学必修二导学案(中小教育)
2024版新教材高中数学第二章第2课时和差化积与积化和差公式导学案湘教版必修第二册(含答案)
新教材高中数学湘教版必修第二册：第2课时和差化积与积化和差公式教材要点要点状元随笔(1)这两组公式均可由和差角公式推导得到，而这两组公式亦可以互推．(2)和差化积公式可由以下口诀记忆“正弦和正弦在前；正弦差余弦在前；余弦和只见余弦；余弦差负不见余弦”．(3)两组公式中的倍数关系可通过值域(最值)的对比发现，y＝sinα±sinβ与cos α±cosβ的值域应为[－2，2]而y＝sinαsinβ等的值域应为[－1，1]，所以应给积乘2或者和(差)乘1.2基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)sin (A＋B)＋sin (A－B)＝2sin A cos B．( )(2)sin (A＋B)－sin (A－B)＝2cos A sin B．( )(3)cos (A＋B)＋cos (A－B)＝2cos A cos B．( )(4)cos (A＋B)－cos (A－B)＝2sin A cos B．( )2．把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为( )A．sin 18°－sin 2° B．sin 18°＋cos 2°C．sin 18°＋sin 2° D．cos 18°＋cos 2°3．把sin 15°＋sin 5°化成积的形式为( )A．sin 5°sin 15° B．2cos 10°cos 5°C．2sin 10°sin 5° D．2sin 10°cos 5°4．cos 37.5°cos 22.5°＝______.题型 1 和差化积公式的应用例1 把下列各式化成积的形式．(1)cos 3x＋cos x；(2)cos 40°－cos 52°；(3)sin 15°＋sin 35°；(4)sin 6x－sin 2x.方法归纳套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．跟踪训练1 把下列各式化成积的形式．(1)cos 8＋cos 2；(2)cos 100°－cos 20°；(3)sin 40°＋sin 150°；(4)sin (x＋2)－sin x．题型 2 积化和差的应用例2 把下列各式化成和或差的形式．(1)2sin 64°cos 10°；(2)sin 80°cos 132°；(3)cos π6cos π4；(4)sin 2sin 1.方法归纳积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式．需要注意三角函数名称的变化规律．跟踪训练2 (1)sin 15°cos 165°的值是( )A ．14B ．12C ．－14D ．－12(2)sin (π4+α)cos (π4+β)化成和差的形式为( )A ．12sin (α＋β)＋12cos (α－β)B ．12cos (α＋β)＋12sin (α－β) C ．12sin (α＋β)＋12sin (α－β)D ．12cos (α＋β)＋12cos (α－β)题型 3 和差化积与积化和差公式的综合应用 角度1 化简与求值 例31sin 40°+cos 80°sin 80°＝________．方法归纳当条件或结论式比较复杂时，往往先将它们化为最简形式，再求解．角度2 证明恒等式例4 求证：sin αsin (60°＋α)sin (60°－α)＝14sin 3α.方法归纳当要证明的不等式一边复杂，另一边非常简单时，我们往往从复杂的一边入手证明，类似于化简．跟踪训练3 (1)计算：sin 70°+sin 50°sin 80°＝________．(2)求证：2cos 20°+2sin 20°−12cos 20°−2sin 20°−1·tan 25°＝cos 15°sin 15°.课堂十分钟1．sin 75°－sin 15°的值为( ) A ．12 B ．√22 C ．√32 D ．－122．cos 72°－cos 36°的值为( ) A ．3－2√3 B ．12 C ．－12D ．3＋2√33．sin 37.5° cos 7.5°等于( ) A ．√22 B ．√24 C ．√2+14 D ．√2+244．求证：sin 15°sin 30°sin 75°＝18.第2课时 和差化积与积化和差公式新知初探·课前预习[基础自测]1．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．解析：2sin10°cos 8°＝sin (10°＋8°)＋sin (10°－8°)＝sin 18°＋sin 2°. 答案：C3．解析：sin 15°＋sin 5°＝2sin 15°+5°2cos15°−5°2＝2sin 10°cos 5°答案：D4．解析：cos 37.5°cos 22.5°＝12(cos 60°＋cos 15°) ＝14+12cos 15°＝2+√6+√28.答案：2+√6+√28题型探究·课堂解透例1 解析：(1)cos 3x ＋cos x ＝2cos 3x+x 2cos3x−x 2＝2cos 2x cos x .(2)cos 40°－cos 52°＝－2sin 40°+52°2sin40°−52°2＝－2sin 46°sin (－6°)＝2sin 46°sin 6°.(3)sin 15°＋sin 35°＝2sin15°+35°2cos15°−35°2＝2sin 25°cos (－10°)＝2sin 25°cos 10°. (4)sin 6x －sin 2x ＝2cos 6x+2x 2sin6x−2x 2＝2cos 4x sin 2x .跟踪训练1 解析：(1)cos 8＋cos 2＝2cos 8+22cos8−22＝2cos 5cos 3.(2)cos 100°－cos 20°＝－2sin 100°+20°2sin100°−20°2＝－2sin 60°sin 40°＝－√3sin 40°.(3)sin 40°＋sin 150°＝2sin40°+150°2cos40°−150°2＝2sin 95°cos (－55°)＝2cos 5°cos 55°. (4)sin (x ＋2)－sin x ＝2cosx+2+x 2sinx+2−x 2＝2cos (x ＋1)sin 1.例2 解析：(1)2sin 64°cos 10°＝sin (64°＋10°)＋sin (64°－10°) ＝sin 74°＋sin 54°.(2)si n 80°cos 132°＝cos 132°sin 80°＝12[sin (132°＋80°)－sin (132°－80°)]＝12(sin 212°－sin 52°) ＝－12(sin 32°＋sin 52°)．(3)cos π6cos π4＝12[cos (π6+π4)+cos (π6−π4)] ＝12[cos 5π12+cos (−π12)]＝12(cos 5π12+cos π12).(4)sin 2sin 1＝－12[cos (2＋1)－cos (2－1)]＝－12(cos 3－cos 1)．跟踪训练2 解析：(1)sin 15°cos 165°＝12[sin (15°＋165°)＋sin (15°－165°)]＝12sin 180°－12sin 150°＝－14.(2)sin (π4+α)cos (π4+β) ＝12[sin (π4+α+π4+β)+sin (π4+α−π4−β)]＝12[sin (π2+α+β)+sin(α−β)] ＝12cos (α＋β)＋12sin (α－β)．答案：(1)C (2)B 例3 解析：原式＝2cos 40°+cos 80°sin 80°＝cos 40°+2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°+cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝√3.答案：√3例4 证明：左边＝sin α·(−12)(cos 120°－cos 2α) ＝14sin α＋12sin αcos 2α＝14sin α＋14[sin 3α＋sin (－α)]＝14sin α＋14sin 3α－14sin α＝14sin 3α＝右边． 跟踪训练3 解析：(1)sin 70°+sin 50°sin 80°＝sin (60°+10°)+sin (60°−10°)sin 80°＝2sin 60°cos 10°cos 10°＝2sin 60°＝√3. (2)证明：左边＝2cos 20°sin 25°+2sin 20°sin 25°−sin 25°2cos 20°cos 25°−2sin 20°cos 25°−cos 25° ＝sin 45°−sin (−5°)−cos 45°+cos (−5°)−sin 25°cos 45°+cos (−5°)−sin 45°−sin (−5°)−cos 25° ＝sin 5°+cos 5°−sin 25°sin 5°+cos 5°−cos 25° ＝sin 5°+sin 85°−sin 25°cos 85°+cos 5°−cos 25° ＝sin 5°+2cos 55°sin 30°−2sin 55°sin 30°+cos 5°＝sin 5°+cos 55°cos 5°−sin 55°＝sin 5°+sin 35°cos 5°−cos 35° ＝sin 20°cos (−15°)−sin 20°sin (−15°) ＝cos 15°sin 15°＝右边所以原等式成立． [课堂十分钟]1．解析：sin 75°－sin 15°＝2cos 45°sin 30°＝2×√22×12＝√22.答案：B2．解析：原式＝－2sin72°+36°2sin72°−36°2＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72° ＝－2·sin 36°cos 36°cos 72°sin 36°＝－sin 72°cos 72°sin 36°＝－sin 144°2sin 36°＝－12. 答案：C3．解析：sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin (37.5°＋7.5°)＋sin (37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(√22+12)＝√2+14. 答案：C4．证明： sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°sin 75°＝－14[cos (15°＋75°)－cos (15°－75°)]＝－14(cos 90°－cos 60°)＝－14×(−12)＝18.。
人教版高中数学必修2全册导学案及答案
高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。
（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。
学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C问题5：质疑答辩，排难解惑1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2．棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A 例1：如图，截面BCEF 把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是（）A ．正方体B ．正四棱锥C ．长方体D ．直平行六面体B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A ．3B．23C．33D．43B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为（）A ．279cm2B ．79cm2C ．323cm2D ．32cm2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为（）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A ．必须都是直角三角形B．至多只能有一个直角三角形C ．至多只能有两个直角三角形D．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。
人教A版高中数学必修二全册全册导学案
人教A版高中数学必修二全册精品导学案高中数学必修导学案§1.1 空间几何体的结构【使用说明及学法指导】1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。
2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。
3. 感受空间实物及模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类；4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。
【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征一【问题导学】探索新知探究1：几何体的相关概念（1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行分类，并说明分类依据。
（2）空间几何体的概念：（3探究2新知1：（1）多面体：（2）多面体的面：（3）多面体的棱：（4 指出右侧几何体的面、棱、顶点探究2：旋转体的相关概念新知2：旋转体旋转体的轴 探究31、 棱柱：2、棱柱的分类：（1）按侧棱及底面垂直及否，分为：（2）按底面多边形的边数，分为：注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
3、棱柱的表示：4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱探究41、棱锥：2、棱锥的分类：注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.3、棱锥的表示：探究5：（三）棱台1、棱台：2、棱台的分类：3、棱台的表示：二【小试牛刀】1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）.A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体2. 棱台不具有的性质是（）.A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点三【合作、探究、展示】例1、根据右边模型，回答下列问题：(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？(2) 如右图，长方体''''中被截去一部ABCD A B C D分，其中''EH A D。
数学必修二导学案
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征导学案【问题导学】1．空间几何体(1)多面体：由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个叫做多面体的面；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点．(2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条叫做旋转体的轴．2多面体结构特征图形表示法棱柱有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱中, 的面叫做棱柱的底面，简称底；叫做棱柱的侧面；相邻的侧面的叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的叫做棱柱的顶点如上、下底面分别是四边形A′B′C′D′、四边形ABCD的四棱柱，可记为棱柱ABCD－A′B′C′D′棱锥有一个面是，其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个叫做棱锥的侧面；各侧面的叫做棱锥的顶点；相邻侧面的叫做棱锥的侧棱如图所示，该棱锥可表示为棱锥S -ABCD棱台用一个的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台．原棱锥的和分别叫做棱台的下底面和上底面如上、下底面分别是四边形A′B′C′D′、四边形ABCD的四棱台，可记为棱台ABCD-A′B′C′D′试一试：如图所示，是由两个相同形状的三棱柱叠放在一起形成的几何体，请问这个几何体是棱柱吗？旋转体结构特征图形表示法圆柱以所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的叫做圆柱，叫做圆柱的轴；的边旋转而成的叫做圆柱的底面；的边旋转而成的曲面叫做圆柱的圆柱用表示它的轴的字母表示，左图中圆柱表示为圆柱OO′3．旋转体圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与之间的部分叫做．与圆柱和圆锥一样，圆台也有、、、.圆台用表示轴的字母表示，左图中圆台表示为圆台OO′【合作探究】1．下列几何体中是柱体的有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．给出下列命题：①直线绕直线旋转形成柱面；②直角梯形绕一边旋转形成圆台；③半圆绕直径旋转一周形成球；其中正确的个数为( )．A．1 B．2 C．3 D．03．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫做长方体，棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面问题：①直四棱柱________是长方体；②正四棱柱________是正方体 .(填“一定”、“不一定”、“一定不”)4．根据下列关于几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形；(3)由五个面围成，其中上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．【深化提高】1．如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是( )．A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱台2．长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AA1＝4，AB＝3，AD＝5，则从A点沿长方体表面到达C1点的最短距离为( )．侧面；无论旋转到什么位置，的边都叫做圆柱侧面的母线圆锥以直角三角形的所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥圆锥用表示它的轴的字母表示，左图中圆锥表示为圆锥SOA．4 5 B．310 C.74 D．83．给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是________．4．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________(注：把你认为正确的命题序号都填上)．1.2.1^2中心投影与平行投影空间几何体的三视图导学案【问题导学】1．投影(1)投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．（2)投影的分类①中心投影：光由散射形成的投影．②平行投影：在一束照射下形成的投影．当投影线时，叫做正投影，否则叫做斜投影．(3)投影的性质①中心投影的性质：中心投影的交于一点；当光源距离物体越近，投影形成的影子越大．②平行投影的性质：平行投影的投影线．想一想：平行投影和中心投影有什么区别？2．三视图(1)分类①正视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图；②侧视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图；③俯视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图．(2)三视图的画法规则：①视图都反映物体的长度——“长对正”；②视图都反映物体的高度——“高平齐”；③视图都反映物体的宽度——“宽相等”．(3)三视图的排列顺序：先画正视图，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下面．想一想：甲、乙两位同学分别站在一个几何体的左右两侧，他们画出的三视图一样吗？【合作探究】1．一条直线在平面上的正投影是()．A．直线B．点C．线段D．直线或点2．如图所示图形中，是四棱锥的三视图的是()．3．针对柱、锥、台、球，给出下列命题①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台其中正确的是()．A．①②B．③C．③④D．①③4．一个图形的投影是一条线段，这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．5．如图所示为一个简单组合体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．【深化提高】1．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可以是()．2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1在六个面上的投影长度总和是________．3．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的高为________m，底面面积为________m2.【当堂检测】1.画出下列几何体的三视图：2.根据下列描述，说出几何体的结构特征，并画出他们的三视图：（1）由六个面围成，其中一个面是正五边形，其余五个面是全等的等腰三角形的几何体； （2）如图，由一个平面图形旋转一周形成的几何体.1.2.3空间几何体直观图导学案【问题导学】1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O .画直观图时，把它们分别画成对应的x ′轴与y ′轴，其交点为O ′，且使∠x ′O ′y ′＝ (或 )，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 或 的线段． (3)取长度：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中 ，平行于y 轴的线段，长度为原来的 ． 试一试：用斜二测画法画直观图时，应如何在已知图形中建立直角坐标系？ 2．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x ′O ′y ′垂直的轴O ′z ′，使 ∠x ′O ′z ′＝ ，且平行于O ′z ′的线段长度不变．想一想：空间几何体的直观图一定唯一吗？ 【合作探究】1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段( )． A ．平行且相等 B ．平行不相等 C ．相等不平行 D ．既不平行也不相等2．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边平行于x 轴、y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A ′＝( )． A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°第2（2）题1)(2)3．如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在原△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )．A ．AB B ．ADC ．BCD ．A4．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．5. 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. 【深化提高】1．如图，一个正方形在直角坐标系中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法得到的图形中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )．A.12B.22 C ．1D. 22．已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )． A.32a 2 B.34a 2 C.62a 2 D.6a 23．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，△AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．4. 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的直观图【当堂检测】1.利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形. ②平行四边形的直观图是平行四边形.③正方形的直观图是正方形.④菱形的直观图是菱形.以上结论，正确的是（）（A）①②(B)①(C)③④(D)①②③④2. 用斜二测画法画出水平放置的一角为60°，边长为4 cm的菱形的直观图.1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积导学案【问题导学】1．柱体、锥体、台体的表面积几何体表面积公式圆柱S＝(其中r为底面半径，l为母线长)圆锥S＝(其中r为底面半径，l为母线长)S＝(其中r′，r分别为上、圆台下底面半径，l为母线长)球S＝(其中R为球的半径)试一试：斜棱柱的侧面展开图是怎样的图形，它的侧面积怎样求．2．柱体、锥体、台体与球的体积几何体体积公式柱体V＝(S为底面面积，h为柱体的高)锥体V＝(S为底面面积，H为锥体的高)台体V＝(S，S′分别为上、下底面积，h为台体的高)试一试：比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可看作特殊的台体？其体积公式是否可以看作台体公式的特殊形式？【合作探究】1、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积。
人教版高中数学必修2全册导学案及答案
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人教版高中数学必修2全册导学案是教师在备课过程中为了引导学生自主学习而准备的一份辅助教材。
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导学案及答案第一章函数与导数1.1 函数的概念与表示学习目标：1. 了解函数的基本概念；2. 掌握用集合、映射等方法表示函数的方法。
学习内容：1. 函数的定义；2. 函数的表示方法；3. 函数的性质。
学习方法指导：1. 仔细阅读教材相关内容，理解函数的定义；2. 注意区分自变量和因变量的概念；3. 多做一些例题，加深对函数表示方法的理解。
习题：1. 设函数f(x) = 2x + 3，求f(1)的值；2. 函数y = x^2的图象为抛物线，确定该函数的定义域和值域。
答案：1. 将x = 1带入函数f(x)，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。
2. 函数y = x^2的定义域为全体实数集R，值域为非负实数集[0,+∞)。
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高中数学选择性必修二 5 2 1基本初等函数的导数 (导学案)
5.2.1基本初等函数的导数导学案,y=√x的导数．1. 能根据定义求函数y＝c，y＝x，y=x2，y=1x2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．重点：基本初等函数的导数公式的简单应用,y=√x的导数难点：根据定义求函数y＝c，y＝x，y=x2，y=1x原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sin x f′(x)＝f(x)＝cos x f′(x)＝f(x)＝a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝e x f′(x)＝f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝ln xf′(x)＝___1.函数y ＝4x 2在x ＝2处的导数为________．2．常数函数的导数为0说明什么？3．对于公式“若f (x )＝x α(α∈Q)，则f ′(x )＝αx α－1”，若把“α∈Q”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？ 4．下列说法正确的个数为( )①若y ＝2，则y ′＝12×2＝1；②若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ；③f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x4.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．(多选)下列结论正确的是( )A ．若y ＝0，则y ′＝0B ．若y ＝5x ，则y ′＝5C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2D ．若y =x 12，则y ′＝12x 126．若y ＝cos 2π3，则y ′＝ ( )A ．－32 B ．－12 C ．0 D.127．函数y ＝x 在点⎝⎛⎭⎫14，12处切线的倾斜角为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4一、 学习导引由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。
在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。
新人教版高中数学必修第二册《平面向量的运算》导学案
平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA → ＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB → ＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；（3）再作向量OD →＝c ；（4）作平行四边形CODE ，则OE → ＝OC → ＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）BC → ＋AB →；（2）DB → ＋CD → ＋BC →；（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA →．解：（1）BC → ＋AB → ＝AB → ＋BC → ＝AC →．（2）DB → ＋CD → ＋BC→ ＝BC → ＋CD → ＋DB→ ＝（BC → ＋CD → ）＋DB→ ＝BD → ＋DB →＝0．（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA→ ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＋DF → ＋FA → ＝AC → ＋CD → ＋DF → ＋FA→＝AD → ＋DF → ＋FA → ＝AF → ＋FA →＝0．探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB → ，水流的速度为OA → ，以OA → ，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA → ＋OB → ＝OC →．由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．三、学习小结1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法前提已知非零向量a ，b作法在平面内任取一点A ，作AB → ＝a ，BC → ＝b ，再作向量AC→结论向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC → ＝AC→法则三角形法则图形前提已知不共线的两个向量a ，b作法在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB 结论对角线OC →就是a 与b 的和法则平行四边形法则图形规定对于零向量与任一向量a ，我们规定a ＋0＝0＋a ＝a2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a结合律（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）四、精炼反馈1．化简OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ→ C ．SP → D ．SQ→解析：选B ．OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP → ＝OQ → ＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC → ＝AB → ＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC → ＝AB → ＋AD → 得AD → ＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______．解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13．答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO → ＋AC →；（2）DE → ＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →为所求．【第二课时】向量的减法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB → ＋MB → ）＋（－OB → －MO →）；（2）AB → －AD → －DC →．解：（1）法一：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝（AB → ＋BO → ）＋（OM → ＋MB → ）＝AO → ＋OB →＝AB →．法二：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM→＝AB → ＋（MB → ＋BO → ）＋OM → ＝AB → ＋MO → ＋OM → ＝AB → ＋0＝AB →．（2）法一：原式＝DB → －DC → ＝CB →．法二：原式＝AB → －（AD → ＋DC → ）＝AB → －AC → ＝CB →．探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c ．过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD → ＝OA → ＋AD →＝a ＋b －c ．法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC → ＝b ，AE → ＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD → ，BC → ，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD → ＝AE → ＝c ，BC → ＝AC → －AB →＝b －a ，故BD → ＝BC → ＋CD →＝b －a ＋c ．三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0．2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD → －AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC→ C ．CD → D ．DC→解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→－AC → ＝CD →．2．化简：AB → －AC → ＋BD → －CD → ＋AD →＝________．解析：原式＝CB → ＋BD → ＋DC → ＋AD → ＝CD → ＋DC → ＋AD → ＝0＋AD → ＝AD →．答案：AD→3．已知Error!＝10，|AC → |＝7，则|CB →|的取值范围为______．解析：因为CB → ＝AB → －AC →，所以|CB → |＝|AB → －AC →|．又Error!≤|AB → －AC → |≤|AB → |＋|AC →|，3≤|AB → －AC →|≤17，所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB → －OA → ＋OC → －OA → ＝AB → ＋AC → ，OB → －OC → ＝CB → ＝AB → －AC →．又|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA → |，所以|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】向量的数乘运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？二、新知探究探究1：向量的线性运算例1：（1）计算：①4（a＋b）－3（a－b）－8a；②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；③23[（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）]．（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(13a－b)－(a－23b)＋（2b－a）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b)＝23(52a －1112b)＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j＝－53i －5j ．探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB → ＝e 1＋e 2，BC → ＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB → ＝e 1＋e 2，BD → ＝BC → ＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB →．所以AB → ，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有{k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB → ∥CD → 且|AB → |＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB → ＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC →＝________；（2）MN →＝________．解析：因为AB → ∥CD → ，|AB → |＝2|CD →|，所以AB → ＝2DC → ，DC → ＝12AB →．（1）AC → ＝AD → ＋DC →＝e 2＋12e 1．（2）MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN→ ＝－12DC → －AD → ＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN →，MN → ＝MC → ＋CB → ＋BN →，所以2MN → ＝（MD → ＋MC → ）＋DA → ＋CB → ＋（AN → ＋BN → ）．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD → ＋MC → ＝0，AN → ＋BN →＝0．所以2MN → ＝DA → ＋CB →，所以MN → ＝12（－AD → －BC →）＝－12e 2－12e 1．三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：（1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ．（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．四、精炼反馈1．13[12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）]等于（ ）A ．2a －b B ．2b －a C ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ．2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB → ＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ）A ．BO →B ．AO→ C ．CO → D ．DO→解析：选A ．BD → ＝AD → －AB → ＝BC → －AB → ＝3e 2－2e 1，BO → ＝12BD → ＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB → ＝2e 1－8e 2，CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD → ＝CD → －CB →＝e 1－4e 2．又AB → ＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB → ＝2BD → ，所以AB → 与BD →共线．因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】向量的数量积【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a 在b 上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB → |＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD → ·BC → ；②AB → ·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ）＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD → ∥BC →，且方向相同，所以AD → 与BC →的夹角是0°，所以AD → ·BC → ＝|AD → ||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9．②因为AB → 与AD →的夹角为60°，所以AB → 与DA →的夹角为120°，所以AB → ·DA → ＝|AB → ||DA →|·cos 120°＝4×3×(－12)＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC → ·BD →．解：因为AC → ＝AB → ＋AD → ，BD → ＝AD → －AB →，所以AC → ·BD → ＝（AB → ＋AD → ）·（AD → －AB → ）＝AD → 2－AB →2＝9－16＝－7．探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ）A ．3B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12．答案：（1）B （2）B 探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋(－a·b |b |2)·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）．命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32B ．32C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0，所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0．因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，又|a |＝2，|b |＝3，所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ），即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．答案：（1）B （2）－8或5三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA → ＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b 反向．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0．3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD → ＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD → 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影（project ），A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O ，作OM → ＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．（2）若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e ．4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则（1）a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ．（2）a ⊥b ⇔a·b ＝0．（3）当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ．（4）|a·b |≤|a ||b |．5．向量数量积的运算律（1）a·b ＝b·a （交换律）．（2）（λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）（结合律）．（3）（a ＋b ）·c ＝a·c ＋b·c （分配律）．四、精炼反馈1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选C ．由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝12．又0≤θ≤π，所以θ＝π3．2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为（ ）A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ．因为c·d ＝0，所以（2a ＋3b ）·（k a －4b ）＝0，所以2k a 2－8a ·b ＋3k a ·b －12b 2＝0，所以2k ＝12，所以k ＝6．3．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝－12，且e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b 上的投影向量为______．解析：设a 与b 的夹角θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－123×5＝－45，所以a 在b 上的投影向量为|a |cos θ·e ＝3×(－45)e＝－125e ．答案：－125e4．已知|a |＝1，|b |＝2．（1）若a ∥b ，求a ·b ；（2）若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |；（3）若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ．（1）当a ，b 同向，即θ＝0°时，a ·b ＝2；当a ，b 反向，即θ＝180°时，a ·b ＝－2．（2）|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3＋2，|a ＋b |＝3＋2．（3）由（a －b ）·a ＝0，得a 2＝a ·b ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．。
高中数学必修二导学案17.点到直线的距离公式
方法二：把直线： 按参数整理，
得 ．
由 ，解得 ．所以直线恒过定点 ．
点到直线取最大距离时， ，即最大距离是 ．
，直线与点 的距离不等于．
说明：法一妙在反证法思路的运用．法二妙在运用直线
恒过一个定点的知识．
．求与直线： 与： 的平行且距离相等的直线方程．
【解析】直线的方程化为 ．设所求直线的方程为 ，则
．点到直线的距离公式
贺险峰
学习目标
．理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线的距离公式．
．会用点到直线距离公式求解两条平行直线间的距离，掌握两条平行直线间的距离公式．
．会通过方程的思想，根据已知若干点到直线的距离大小（或关系）求点的坐标或直线的方程
一、夯实基础
基础梳理
．点到直线的距离
平面上一点 到一条直线： 的距离．
． ． ．．
．直线过点 ，且 ， 到的距离相等，求直线的方程．
二、学习指引
自主探究
．学生作业：推导点到直线的距离公式
已知点 ，直线： ，请用你自己的方法求点到直线的距离．
．两条平行直线的距离
（）猜想：与两条平行直线： ，: 距离相等的直线方程为．请证明．
（）如图，、是平面内两个距离为定点，
分别过、作相互平行的直线、，旋转两直线，
方法二：与平行且到 的距离相等．
（３）方法一：设的点斜式方程，再由点、到的距离相等，建立方程，求得斜率，要注意斜率是否存在．
方法二：直线为与 平行或经过 的中点的直线．
三、能力提升
１.３.
２. 或 ． 设点的坐标为 ，则
，解之得 ．∴点的坐标为 或 ．
３．据题意设 ，∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∴ ，∴ ，即 ．解之得 或 ．
高中数学(必修二)导学案
高中数学(必修二)导学案第一章：平面直角坐标系1.1 坐标系的引入- 了解平面直角坐标系的基本概念- 掌握点在平面直角坐标系中的坐标表示方法1.2 平面直角坐标系上的距离公式- 了解平面直角坐标系上两点之间距离的公式- 掌握如何使用距离公式计算两个点之间的距离1.3 直线的斜率- 了解直线斜率的概念及其计算方法- 掌握如何根据两点坐标计算直线的斜率第二章：二次函数2.1 二次函数的图像和性质- 了解二次函数的基本概念和特点- 掌握根据二次函数的参数确定二次函数图像的方法2.2 二次函数的最值和零点- 了解二次函数最值和零点的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据二次函数求解实际问题2.3 二次函数与一次函数的比较- 了解二次函数和一次函数的基本概念及其图像特点- 掌握如何比较二次函数和一次函数的大小关系第三章：三角函数3.1 任意角及其测量- 了解任意角的基本概念及其测量方法- 掌握如何将任意角的三角函数转化为其它角度的三角函数3.2 常用角的三角函数值- 掌握常用角的三角函数值及其推导方法- 掌握如何根据三角函数值求解实际问题3.3 三角函数的图像和性质- 了解三角函数的图像及其性质- 掌握如何根据三角函数图像解决实际问题第四章：概率统计4.1 随机事件与概率- 掌握随机事件和概率的基本概念和运算法则- 掌握如何计算简单事件的概率4.2 条件概率和独立性- 了解条件概率和独立性的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据条件概率和独立性计算事件的概率4.3 离散型随机变量及其分布律- 了解离散型随机变量及其分布律的概念- 掌握如何根据分布律计算离散型随机变量的期望值和方差以上是本章节的导学内容，希望同学们认真学习，做好课后习题。
祝学习愉快！。
高中数学选择性必修二 5 3 1函数的单调性新 导学案
5.3.1函数的单调性(2) 导学案1．掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤．2．探究函数增减的快慢与导数的关系．3.学会处理含参函数的单调性问题重点：导数判断函数的单调性的一般步骤难点：含参函数的单调性问题1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：f ′(x)的正负 f (x)的单调性f ′(x)＞0单调递____f ′(x)＜0单调递____增;减2．判断函数y＝f (x)的单调性第1步：确定函数的______；第2步：求出导数f ′(x)的____；第3步：用f ′(x)的____将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．定义域 ;零点 ;零点 ;正负3.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上：导数的绝对值函数值变化函数的图象 越大 __ 比较“____”(向上或向下) 越小__比较“____”(向上或向下)快;陡峭 ;慢;平缓探究1. 形如f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。
例3. 求函数f (x )=13x 3−12x 2−2x +1的单调区间.如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？用解不等式法求单调区间的步骤 1确定函数f x 的定义域； 2求导函数f ′x ；3解不等式f ′x ＞0或f ′x ＜0，并写出解集； 4根据3的结果确定函数f x 的单调区间. 跟踪训练1.求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2e －x .探究2：研究对数函数y =lnx 与幂函数y =x 3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况.例4.设x>0,f(x)=lnx,g(x)=1−1x,两个函数的图像如图所示。
高中数学必修二导学案-圆的一般方程
4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2+y 2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ． 点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 变式训练１：１．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（ ） Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（ ） Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0 答案：１．Ａ ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6=0． 点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10． 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． （四）反馈测试 导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义 二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１： 例2 变式训练２： 【作业布置】 导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测 １．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（ ）Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。
人教版高中数学必修二全册导学案
必修2 第一章§2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计算【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）.⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 .⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。
2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征⑴圆柱：.⑵圆锥：.⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点.(4)球： .3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是①若干个小矩形拼成的一个，②若干个，③若干个 .（2）表面积及体积公式：4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．下列命题正确的是（）(A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。
(C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
(D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称：（1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。
（2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。
3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。
4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)）6．已知圆台的上下底面半径分别是r，R，且侧面面积等于两底面面积之和，求圆台的母线长。
高中数学必修2第二章导学案
第一课时 平面学习目标1.利用生活中的实物对平面进行描述2.掌握平面的表示法及水平放置的直观图3.掌握平面的基本性质及作用 3、掌握平面的基本性质及作用重点: 难点: 难点： 平面的概念及表示；平面的基本性质 平面基本性质的掌握与运用 新知概览公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在这个平面内。
ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,,且公理2 过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面。
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
l P l P P ∈=⋂⇒∈∈，且且βαβα,例题分析例1如图, 用符号表示下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系。
变式 用符号表示下列语句（1）点A 在平面 内, 点B 在平面 外； （2）直线l 经过平面α外的一点M 。
例2已知直线 和直线 相交于点A 。
求证: 过直线 和直线 有且只有一个平面。
变式 不共面的四点可以确定几个平面？ 共点的三条直线可以确定几个平面？例3正方体ABCD —A1B1C1D1中, 对角线A1C 与平面BDC1交于点O, AC.BD 交于点M, 求证: 点C1.O 、M 共线.变式 1 如图,空间四边形中, , 分别是和上的点, , 分别是和上的点, 且相交于点.求证: , , 三条直线相交于同一点.变式2 已知: a, b, c, d是不共点且两两相交的四条直线, 求证: a, b, c, d共面.课堂训练1.下面说法正确的是（）.①平面ABCD的面积为210cm；②100个平面重合比50个平面重合厚；③空间图形中虚线都是辅助线；④平面不一定用平行四边形表示.A.①B.②C.③D.④2.下列结论正确的是（）.①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面；②经过两条相交直线, 可以确定一个平面；③经过两条平行直线, 可以确定一个平面；④经过空间任意三点可以确定一个平面。
高中数学必修二导学案7.平面与平面平行的判定及其性质
．平面与平面平行的判定及其性质王红玲 学习目标．探究平面与平面平行的判定定理和性质定理．．体会平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．．通过线线平行、线面平行、面面平行的转化，培养学生的推理与证明能力． 一、夯实基础 基础梳理．两个平面的位置关系有、．．两个平而平行的判定：（）定义：两个平面没有，称这两个平面平行； （）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：γab βα．两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那它们的交线平行． 符号表示：． 基础达标．已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是（填序号）。
①平面必平行于；②平面必与相交； ③平面必不垂直于；④存在的一条中位线平行于或在内。
．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条线与这两个平面的交线的位置关系是（ ） ．异面 ．相交 ．平行 ．不确定 ．平面平面， （）则直骊与的位置关系为。
（）若，则直线的位置关系是． ．如下图，在正方体中，、、分别是、、的中点，求证：平面平面。
D 1B 1C 1A 1NM PD CBA．如图，平面四边形的四个顶点、、、均在平行四边形所确定一个平面外，且、、、互相平行。
求证：四边形是平行四边形。
αD'C'B'A'DCB A二、学习指引自主探究．证明直线与平面平面平行主要有两种方法：（）运用直线与平面平行的判定定理：设法在平面内找一条直线与平面外的直线平行，我们有时过平面外的直线作截面，这样可以找到所需要的直线（如下图）。
αβαaba（）运用平面与平面平行的性质：如果能过平面外的直线作一个平面与已知平面平行，则该直线与平面是平行的（如上图）。
下面研究上一节的两个练习题，请用两种方法来证明直线与平面平行： 第一题：为长方形所在平面外一点，、分别为，上的点，且。
求证：平面。
FOG MEAB C D NPPCBA第题：如图，三棱锥中，分别为的中点，是的中点，证明：平面。
高中数学必修二导学案新授课导学案.doc
高中数学必修二导学案新授课导学案任丘一中数学新授课导学案班级：小组：姓名：使用时间：§2.3.2直线与平面所成的角编者：史亚军学习且标组长评价：教师评价：1.熟记直线与平面所成角的范围，会求直线与平面所成的角。
2.通过自主学习、合作探究，掌握空间直线与平面所成角的求法。
3.激情投入，积极思考，勇于发言，培养科学的态度和正确的价值观。
学习重点：空间线面所成角的求法。
学习难点：空间线面所成角的求法。
—学习过程使用说明：(1)预习教材P2 ~ P8,用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题, 总结规律方法；(2)用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；(3)不做标记的为C级，标记★为B级，标记★ ★为A级。
预习案(20分钟)%1.知识链接平面的垂线：垂直于平面的直线。
平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线。
射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。
%1.新知导学问题1:直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？问题2：当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.那么过一点作一个平面的斜线有多少条？问题3：过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影，那么斜线PA在平面内的射影有几条？-1 -丰碑无语，行胜于言问题4：两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？问题5：平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？问题6：如图，AB为平面的一条斜线，A为斜足，AC为平面内的任意一条直线，能否用BAC 反映斜线AB与平面的相对倾斜度？为什么？有没有比AC更合适的位置呢？请做出来？说说它的优点？C B问题7：(★)我们把,叫做这条斜线和这个平面所成的角。
新课标高中数学必修二全册导学案及答案
1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（ 1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（ 2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（ 3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。
（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（ 2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。
学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成 A 、B 类问题。
3、 A 类是自主探究， B 类是合作交流。
四、知识链接 :平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A 问题 1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A 问题 2：什么是旋转体、旋转体的轴？B 问题 3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C问题 4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C问题 5：质疑答辩，排难解惑2． 棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A 例 1：如图，截面 BCEF 把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？D 1 EC 1A 1 FB 1CDABB 例 2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是 （）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形, 则这个平行六面体是 （）A ．正方体B ．正四棱锥C ．长方体D ．直平行六面体B3、棱长都是 1 的三棱锥的表面积为（）A ．3B． 2 3C． 3 3D． 4 3B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm, 高是 1cm,它的侧面积为（）9 7222 22A ．2cmB ． 9 7 cmC ．3 cmD ． 3 2 cm3B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为 2,4,8 ，则它的体积为 （ ）A ． 2B ． 4C ． 8D ． 12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （）A ．必须都是直角三角形B．至多只能有一个直角三角形 C ．至多只能有两个直角三角形D．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3， 5， 15，则它的体积为 _______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。
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第一章空间几何体
1.1空间几何体的结构
1.1.1多面体的结构特征 (1)
1.1.2旋转体与简单组合体的结构特征 (6)
1.2空间几何体的三视图和直观图
1.2.1中心投影与平行投影
1.2.2空间几何体的三视图 (10)
1.2.3空间几何体的直观图 (15)
§1.3空间几何体的表面积与体积
第1课时柱体、锥体、台体的表面积 (19)
第2课时柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 (23)
习题课空间几何体 (27)
第二章点直线平面之间的位置关系
2.1.1平面 (29)
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 (33)
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4平面与平面之间的位置关系 (37)
2.2.1直线与平面平行的判定
2.2.2平面与平面平行的判定 (40)
2.2.3直线与平面平行的性质 (44)
2.2.4平面与平面平行的性质 (47)
2.3.1直线与平面垂直的判定 (50)
2.3.2平面与平面垂直的判定 (53)
2. 3.3直线与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质 (57)
第二章复习课 (60)
第三章直线与方程
3.1.1 倾斜角与斜率 (64)
3.1.2两条直线平行与垂直的判定 (67)
3.2.1直线的点斜式方程 (70)
3.2.2直线的两点式方程 (73)
3.2.3直线的一般式方程 (76)。