安徽省六校教育研究会2021届高三2月22日第二次联考理科数学试题(含答案)

17.（本小题满分 12 分）
解.(1)
由
AD
1
( AB
AC) 可得：
2 AD
1
( AB
AC)2
2
4
求得
AB
AC=
-1
，
cos
BAC
AB AC AB AC
1 2
5
16.
27
所以 BAC=120 ， SABC =
3 2
（2）由
SABC
=SABE
+SACE
可得
1 2
AB
AE
sin
3
x
2
y2
1
由 4
化简得 (1 4k 2 )x2 8k ( y0 kx0 )x 4( y0 kx0 )2 4 0
y y0 k(x x0 )
由 0 得 (4 x02 )k 2 2x0 y0k 1 y02 0
设切线 PA, PB 的斜率分别为 k1, k2
则 k1k2
1 y02 4 x02
（2）对任意的
x1,
x2
1,1
m,4
f
(x1)
x2
5
可转化为
f
( x1 )
1 4
x2
5 4
，
设
g(x)
1 4
x
5 4
，则问题等价于
x1,
x2
1,1
m，
f
( x) max
g (x)min
由（1）知，当 m (1,0) 时， f (x) 在 1,1 m上单调递增， 示ഽ ഽ 示ሺ
ሺ，
g(x) 在 1,1 m上单调递减， 示ഽ 㲀आ 示ሺ
②当1 1 m ，即 m 0 时， 在 (,) 上 f ' (x) 0 ， f (x) 单调减
③当1 1 m ，即 m 0 时， 在 (,1) 和 (1 m,) 上 f ' (x) 0 ， f (x) 单调减；
在 (1,1 m) 上 f ' (x) 0 ， f (x) 单调增
……………………………………5 分
2
2
19.（本小题满分 12 分）
……………………12 分 型
20.（本小题满分 12 分） 解：（I）由题意得：
2 5 c2 2
2b2
1
2 ，解得 a 2,b 1, c
3
a
得椭圆的标准方程为： x2 y2 1 4
……………………5 分
（II）①设 P(x0 , y0 ) ，切线 y y0 k (x x0 ) ，则 x02 y02 5
0
所以 C1M A1C
……………………5 分
(2)取 BC 中点 Q，连接 AQ， 因为 ABCD 是菱形，且 ABC 60 ， 所以 ABC 是正三角形， 所以 AQ BC ，即 AQ AD ，
由于 AA1 平面 ABCD，
分别以 AQ，AD， AA1 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图：
+
1 2
AC
AE
sin
3
=
1 2
AB
AC
sin
2 3
从而 AE=
2
，由 AE
（
AB
+
AC
）可得 =
2
3
AB AC
3
18.（本小题满分 12 分） (1)解：
方法 1：取 AB 中点为 E ,则 CE AB ,进而 AB1 CE ,
又易得四边形 AA1B1E 为正方形，则 AB1 A1E
若
安徽省六校教育研究会 2021 届高三联考数学（理）参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B A C D A D C B B C D B
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 9
14.9
15. y 2 3 x
3
三、解答题 （总分 70 分）
由
x0 2
y02
5 得 Q 点轨迹方程为 5 16
x2
5y2
1 ，且焦点恰为
F1, F2 ，
故 QF1 QF2 2
4 5
8 5,
当切线 PA, PB 的斜率有一个不存在时，易得 QF1 QF2
8 5
综上得 QF1 QF2
8
.
5
......................................12 分
21.（本小题满分 12 分）
解：（1）由题意得
f
' ( x)
x2
(2 m)x m 1 ex
(x
1)(x 1 ex
m)
①当1 1 m ，即 m 0 时，
在 (,1 m) 和 (1,) 上 f ' (x) 0 ， f (x) 单调减；
在 (1 m,1) 上 f ' (x) 0 ， f (x) 单调增.
又 M 是 AD 的中点，易得 AM B1C1, AM // B1C1,
所以 MC1 AB1, MC1 // AB1 ,
所以
MC1
AB1
AA1
1 2
AB
，可得：
CA1
MC1
(
AB
AD
AA1 )
(
AA1
1 2
AB)
2
AA1
1 2
2
AB
AD
1 2
AB
1 1 22 1 1 2 cos120o
2
2
所以曲线 C2 的极坐标方程为 4 cos ;
……………………………………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
OA
A
cos
1 sin
, OB
B
4 cos ,
OB OA
4cos cos sin 2 1 cos 2 sin 2 2 2
2 sin
2
4
，
OB 4cos (cos sin ) 2(1 cos 2 sin 2 ) 2 2 2 sin(2 ),
OA
4
OB
因为
4 所以 2 2
2 sin(2 ) 4 ， sin(2 )
2，
OA
4
42
由0
，知
2
5
所以 2
3
，
24
44
44
所以
4
.……………………………………………10
分
23.（本小题满分 10 分）
解：(1)当 a 2 时, f (x) 2x 1 x 1
3x,
x
1 2
1 y02 4 (5 y02 )
1
又直线 PA 的斜率为 2 ，则直线 PB 的斜率为 1 2
②当切线 PA, PB 的斜率都存在时，设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,
切线 PA, PB 方程为 y yi ki (x xi ), i 1,2 并由①得
(4
xi2 )k 2
2x i
yk ii
1
y2 i
0, i
1,2
()
又 A, B 点在椭圆上，得 xi2 y 2 1, i 1,2 代入 ()
4
i
得 (2 yiki
xi 2
)2 ，即 ki
wk.baidu.com
xi 4 yi
,i
1,2
切线 PA, PB 的方程为
xi x 4
yi y
1, i
1,2
又过 P 点，则
xi x0 4
yi y0
即
f
(x)
x
2,
1 2
x
1
3x, x 1
故不等式 f (x) 2 的解集为 2 ,0 . 3
……………………………………………5 分
(Ⅱ)当 x (1,2) 时 f (x) x 成立等价于当 x (1,2) 时 ax 1 1 成立.
则 1 ax 1 1 ,即 2 ax 0 ,解得 1 a 0 .……………………………………………10 分
故
2m e1m
1 4
m
1 ，得证．
选做题(本题满分 10 分)
……………………………………12 分
22.（本小题满分 10 分）
解：(Ⅰ)曲线
C1 的极坐标方程为
(cos
sin )
1 ，即
sin(
4
)
2. 2
曲线 C2 的普通方程为 (x 2)2 y 2 4 ，即 x 2 y 2 4x 0 ，
｀限为实数从R, 找合P= i寸,·sJ+,/2,xeR}. fj\合Q�{1.2,3.4} .
A. 忖｝
几 {3,4}
C. {2,3,4}
ll. {! 立3.4}
2.
已知复数2与(;; +2)2
,\, -2
B.2
-8i
均是纯心，奴J ，贝lj二的月i部为（
C. -2i
0. -2i
则附中阴影部分表示的从合 ....
所以 AB1 面 A1EC
又 M 是 AD 的中点，易得 AM B1C1, AM // B1C1, 所以 MC1AB1 为平行四边形,
所以 MC1 // AB1 得 MC1 面 A1EC 所以 MC1 A1C
……………………5 分
方法 2：:由图知 CA1 CD DA AA1 AB AD AA1
1, i
1,2
所以直线
AB 方程为
x0 x 4
y0 y
1,
由
PQ
AB
得直线
PQ 方程为
y
y0
4 y0 x0
(x
x0 )
联立直线
AB 方程为
x0 x 4
y0 y
1,
解得
xQ
4x0 (1 3y02 ) x02 16 y02
4 5
x0
,
yQ
y0 (1 3y02 ) x02 16 y02
1 5
y0
安徽省六校教育研究会2021届高三联考
数学能力测试（理）
注七事项：
令赶：淮北 一 中六校氏考令题纽
231净一 项..• 后是 、答回�，选 符 答试 春再边合 对结择选，择束题 题涂中 超后：目其时生，要 本 他， 将 务答题 求边必本案的 共 将 出试标．每1总自号2小己 和．小回 超答的题答超 答姓，案 非 卡名后一 每 逸、 择 并小 考 ，用题 交 生题铅时号回5芼，．等分 将 把填，答写答共 赵在 案卡答 写60对在 赶分 应答 卡题 。赶 和在 目卡 试的 上 巷每答 指 ．小写 案定题标 位 在给号 本 置出 涂 上 试的 黑卷 ． ．上 四如无 个需效选 改． 项 动．中用， 橡只史有擦一干
A(0, 0, 0) ， A1(0, 0,1) ， D1(0,1,1) ， Q( 3, 0, 0)
假设点 E 存在，设点 E 的坐标为 ( 3, ,0) ， 1 1 ，
AE ( 3, , 0) ， AD1 (0,1,1) ，
设平面 AD1E 的法向量 n (x, y, z)
则
n n
AE 0 AD1 0
，即
y
3x y z0
0
，
可取 n (, 3, 3) ，
平面 ADD1 的法向量为 AQ ( 3, 0, 0) ，
所以，
|
cos
AQ,
n
|
3|| 1，
3 2 6 3
解得： 3 ， 2
又由于二面角 E AD1 D 大小为锐角，
由图可知，点 E 在线段 QC 上，
所以 3 ，即 CE 1 3 .
-＇ 5,
已知叽i:1>
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l 3l
:::
(I,
B．
D. ·1
句 ＿ 3ll ，向批沁c [：向3l2 妞b方向」：的投影为-6.
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ሺ 㲀 ሺ，
即证
2m e1m
1 4
m
1 ，化简得
4(2
m)
e1m 5
(1
m)
令1 m t,t (1,2)
设 h(t) et (5 t) 4(t 1),t (1,2) ，
则 h(t) et (4 t) 4 2et 4 0 ，故 h(t) 在 (1,2) 上单调递增．
∴ h(t) h(1) 4e 8 0 ，即 4(2 m) e1m 5 (1 m)
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