第五章 三次样条插值Spline
样条(Spline)函数
I 、三次Spline 插值函数的定义给定区间],[b a 上的一个分划∆，且<<=10x x a …b x n =<和一组函数值0y ，1y ，2y ，…，n y ，如果)(x ∆ϕ具有下列性质：1],[)(2b a C x ∈∆ϕ；2 在每个子区间)1](,[1n k x x k k ≤≤-上，)(x ∆ϕ是一个三次多项式；3i i y x =∆)(ϕ，i =0，1，…，n 。
（称为插值条件） 则称)(x ∆ϕ是关于分划∆的分段三次样条函数，简称为Spline 函数。
将)(x ∆ϕ表示成如下分段形式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈⋯⋯∈⋯⋯∈∈=--∆],[),(],[),(],[),(],[),()(11212101n n n k k kx x x x s x x x x s x x x x s x x x x s x ϕ其中)1)((n k x s k ≤≤是一个三次多项式，且满足插值条件： 11)(--=k k k y x s ，k k k y x s =)( 为了得到)(x s k 的具体表达式，根据],[)(2b a C x ∈∆ϕ可知，对每个内部结点)11(-≤≤n k x k 有：)0()()()0(''''+===-∆∆k k k k k k x x s x s x ϕϕ)0()()()0(""""+===-∆∆k k k k k k x x s x s x ϕϕ下面利用上述条件导出)(x s k 的表达式。
II 、三次Spline 插值函数的表示设)10()('n k m x k k ，，，⋯==∆ϕ，则k k k k k m x s x s ==+)()('1'。
利用分段Hermite 插值公式得)()()()()(1111x m x m x y x y x s k k k k k k k k k ββαα+++=---- （*） 其中)(x k α和)(x k β称为Hermite 插值的基函数（在下面附录中将详细介绍），这里的k x 一阶导数k m 是未知待定的。
平滑算法：三次样条插值（CubicSplineInterpolation）
平滑算法：三次样条插值（CubicSplineInterpolation）感谢强⼤的google翻译。
我从中认识到了航位推算dead reckoning，⽴⽅体样条Cubic Splines 算法。
我单独查找了 Cubic Splines ，⾥⾯的原理简单说明：Cubic Splines 认为在 x 在[a, b]区间中，y对应是⼀条平滑的曲线，所以 y = f(x); 的⼀阶导函数和⼆阶导函数是平滑连续可导的。
拟定⽤三次⽅程，所以得出了⼀般的三次⽅程和⼀阶导数⽅程和⼆阶导数⽅程。
然后求各个分部的解。
这是三次样条的基本原理。
但⽂中最开始的链接中所得出的x = At3 + Bt2 + Ct + Dy = Et3 + Ft3 + Gt + Ht是percent（0~1）区间值，如果还有三维向量，我理解是同样的展开。
然后通过四个位置点来求出 A B C D … 各分部参数的值A = x3 – 3x2 +3x1 – x0B = 3x2 – 6x1 + 3x0C = 3x1 – 3x0D = x0E = y3 – 3y2 +3y1 – y0F = 3y2 – 6y1 + 3y0G = 3y1 – 3y0H = y0…相同分量展开。
（如果有Z 分量的话）学艺不精，⽆法从现有姿势推出这个分量求解过程。
实时运动游戏是通过预测其他玩家的位置来表现的，当服务器有新的输⼊的时候，本地玩家会发现其他玩家位置或状态发⽣⼀次跳变（瞬移）。
有两种思路，⼀、预测未来1. 通过当前位置和速度，通过预测未来精度（1s或者0.5s）推测出未来位置.2. 得出公式参数，通过dt来平滑当前运动轨迹。
⼆、延迟渲染1. 通过延迟渲染参数（延迟1s，0.5s来）来获得其他玩家的过去状态位置。
2. 得出公式参数，通过dt来平滑运动轨迹。
上述两种⽅案1. 如果参数⼀致，速度不改，则运动轨迹跟预测⼀致，如果玩家输⼊多变，则永远不会是真实的位置。
2. 看到的玩家的过去位置，移动轨迹跟⽬标玩家运动轨迹基本保持⼀致。
三次样条插值的方法和思路
三次样条插值的方法和思路摘要：1.三次样条插值的基本概念2.三次样条插值的数学原理3.三次样条插值的实现步骤4.三次样条插值的优缺点5.三次样条插值在实际应用中的案例正文：在日常的科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要对一组数据进行插值的问题。
插值方法有很多，其中三次样条插值是一种常见且有效的方法。
本文将从基本概念、数学原理、实现步骤、优缺点以及实际应用案例等方面，全面介绍三次样条插值的方法和思路。
一、三次样条插值的基本概念三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种基于分段多项式的插值方法。
它通过在各个节点上构建一条三次多项式曲线，使得这条曲线在节点之间满足插值条件，从而达到拟合数据的目的。
二、三次样条插值的数学原理三次样条插值的数学原理可以分为两个部分：一是分段三次多项式的构建，二是插值条件的满足。
1.分段三次多项式的构建假设有一组数据点序列为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以将这些数据点连接起来，构建一条分段三次多项式曲线。
分段三次多项式在每个子区间上都是一个三次多项式，它们之间通过节点值进行连接。
2.插值条件的满足为了使分段三次多项式在节点之间满足插值条件，我们需要在每个子区间上满足以下四个条件：（1）端点条件：三次多项式在区间的端点上分别等于节点值；（2）二阶导数条件：三次多项式在区间内的二阶导数等于节点间的斜率；（3）三阶导数条件：三次多项式在区间内的三阶导数等于节点间的曲率；（4）内部点条件：三次多项式在区间内部满足插值函数的连续性。
通过求解这四个条件，我们可以得到分段三次多项式的系数，从而实现插值。
三、三次样条插值的实现步骤1.确定插值节点：根据数据点的位置，选取合适的节点；2.构建分段三次多项式：根据节点值和插值条件，求解分段三次多项式的系数；3.计算插值结果：将待插值点的横坐标代入分段三次多项式，得到插值结果。
三次样条插值
三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。
三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。
从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。
今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。
我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。
一、三次样条插值函数的定义：给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足： （1）),,2,1,0()(n i y x S i i ==；（2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式； （3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。
则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。
二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。
我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++=其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。
由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连接点110,,,-n x x x 上连续即可，共有)1(4-n 个条件，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+''=-''-=+'=-'-=+=-),2,1,0()()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0(n i y x S n i x S x S n i x S x S n i x S x S i i i i i i i i 共有241)1(3-=++-n n n 个条件，未知量的个数是n 4个。
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
三次样条插值
yi1 hi
yi
hi 6
Mi1 Mi
(3.2)
Cubic Spline
由 S(x) 在内结点处一阶导数连续，即
Si( xi 0) Si1( xi 0), i 1, 2,L , n 1
可得关于参数 M j 的方程组，即三弯矩方程的形式为
其中
i Mi1 2Mi i Mi1 i , i 1, 2,L , n 1
f
n
mn .
（II类）
（3）周期边界条件
S k ( x0 ) S k ( xn ), k 0,1, 2.
（III 类）
此时，对函数值有周期条件 f ( x0 ) f ( xn ).
Cubic Spline 由boundary conditions 唯一确定。
定理 三次样条插值问题的解存在且唯一。
hi 1 (i 0,1, 2)
i i
i
i
0
1
6
1 12
12
-3
2 12
12
36
31
-78
得方程组 2 1 0 0 M0 6
1 2
0 0
2 12 0
12 2 1
0 12 2
M1 M2 M3
3 36 78
Cubic Spline
解得
M0
28 3
28 M1 3
106 M2 3
② 计算 Mi (追赶法等) ;
③ 找到 x 所在区间 ( 即找到相应的 i ) ;
④ 由该区间上的 S(x) 算出 f(x) 的近似值。
例 由函数表
Cubic Spline
j
0
1
2
3
xj
0
三次样条插值算法原理
三次样条插值算法原理
三次样条插值算法是一种用于在已知离散数据点上插值的方法。
它使用三次多项式来拟合数据点，并保证拟合的曲线在每个数据点处具有一阶和二阶连续性。
具体原理如下：1.假设有n个已知的数据点(x_i, y_i)，其中i=0,1,...,n-1。
2.在每个相邻的数据点之间插入一个三次多项式p_i(x)，将插值问题转化为求解n个多项式的系数。
3.三次多项式p_i(x)的表达式为
p_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2+d_i(x-x_i)^3，其中a_i, b_i, c_i, d_i为待求系数。
4.要确定这些系数，需要满足以下条件：(1) 在每个数据点处，曲线通过该点：p_i(x_i)=y_i。
(2) 在相邻数据点之间，曲线一阶连续：
p_i(x_i+1)=p_{i+1}(x_i)，即p_i(x_i+1)=p_{i+1}(x_i)，对于1 ≤i ≤n-2。
(3) 在相邻数据点之间，曲线二阶连续：p'_i(x_i+1)=p'_{i+1}(x_i)，即
p'_i(x_i+1)=p'_{i+1}(x_i)，对于1 ≤i ≤n-2。
5.通过求解上述条件，可以得到一系列线性方程组，其中未知数为待求系数。
解出这些系数后，即可得到每个数据段的三次多项式，从而完成插值。
三次样条插值算法的优点是插值曲线的平滑性好，并且对于不符合插值条件的数据点有较好的适应性。
它广泛应用于数据分析、图形绘制等领域。
三次样条插值matlab代码实现
三次样条插值matlab代码实现
三次样条插值是一种常用的数值分析方法，用于在给定的数据点上拟合出一个光滑的曲线。
在Matlab中，可以使用内置的spline函数来实现三次样条插值。
以下是一个简单的示例代码：
matlab.
% 创建一些示例数据点。
x = 1:5;
y = [3 6 5 8 9];
% 使用spline函数进行三次样条插值。
xx = 1:0.1:5;
yy = spline(x, y, xx);
% 绘制原始数据点和插值结果。
plot(x, y, 'o', xx, yy, '-');
legend('原始数据', '插值结果');
在这个示例中，我们首先创建了一些示例数据点x和y。
然后使用spline函数对这些数据点进行三次样条插值，得到了插值结果xx和yy。
最后，我们使用plot函数将原始数据点和插值结果进行了可视化展示。
需要注意的是，样条插值是一种较为复杂的数值计算方法，需要对输入数据进行适当的处理和理解。
在实际应用中，可能需要根据具体情况对插值方法进行调整和优化，以获得更好的结果。
希望这个简单的示例能够帮助你理解如何在Matlab中实现三次样条插值。
如果你有更多的问题或者需要进一步的解释，请随时告诉我。
样条插值
Spline：分段低次, 自身光滑, f 的导数只在边界给出。
§5 Cubic Spline
Lab 11. Cubic Spline
Construct the cubic spline interpolant S for the function f, defined at points x0 x1 ... xn , satisfying some given boundary conditions. Partition an given interval into m equal-length subintervals, and approximate the function values at the endpoints of these subintervals. Input
§5 Cubic Spline
Output ( represents a space)
For each test case, you are supposed to output the following information: 1. The set of coefficients of S(x) in the format:
这时： ; m n 0 , gn 2 y l0 0 , g0 2 y0 n 特别地，M0 = Mn = 0 称为自由边界 /* free boundary */，对应的 样条函数称为自然样条 /* Natural Spline */。 第3类边条件 /* periodic boundary */ ： m M g 2 l 当 f 为周期函数时，
记 lj
5.5三次样条插值
计算方法
分段二次插值：选取跟节点x最近的三个节点xi-1,xi, xi+1进行二次插值，即在区间[xi-1, xi+1]，取：
i 1 ( x x ) i j y f ( x ) L2 ( x ) k j i 1 ( x k x i ) k i 1 jk
-0.5 -5
计算方法
定义：设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数(x)满足条件 (1) (x)在区间[a , b]上连续; (2) (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n1)上是次数为m的多项式; 则称(x)是f(x)在[a ,b]上的分段m次插值多 项式。
计算方法
§5.5
三次样条插值
我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插值、 Newton插值、Hermit 插值等多种方式。 插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼 近，为得是得到一个数学问题的精确解或足够精 确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越 能够达到这个目的呢？现在，我们来讨论一下这 个问题。
xi , x xi 1
计算方法
分段线性插值的余项： 定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ，
且| f″(x)| ≤m2, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计： |f(x)- (x) |=|R(x)| ≤m2h2/8， x∈[a, b]。 证明：由Lagrange 余项公式，当x∈[xi, xi+1]时 |f(x)- (x) |=|R(x)| = |f″()(x-xi)(x- xi+1 )|/2! ≤m2max |(x-xi)(x- xi+1 )|/ 2≤m2h2/8， 上式右端与小区间的位置无关，证毕。
第五章 三次样条插值Spline
h max ( xi 1 xi ), 则 x [a, b], 满足 I 类或 II 类边界条件的 0 i n 1
a xb
三次样条插值函数 S(x) 有估计式
S ( x ) x xi x x i 1 M i 1 Mi , hi hi
其中 hi = xi – xi-1 . 对S (x) 积分两次得
( xi x )3 ( x xi 1 )3 S ( x ) M i 1 Mi C1 x C2 6hi 6hi
Cubic Spline
常用边界条件 /* boundary conditions */
（1）已知两端的二阶导数值，即
Mn . S( x0 ) f0 M0 , S ( xn ) f n
（I 类）
其特殊情况为
S ( x0 ) 0, S ( xn ) 0,
0 0 0 M 0 0 2 0 0 M 2 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 2 0 0 M 2 2 0 0 0 0 0 0 n 1 2 n 1 M n 1 n 1 0 n 2 0 0 0 Mn n
i 1, 2,, n 1
Cubic Spline
hi hi yi yi 1 h h y y M i 1 M i i 1 M i i 1 M i 1 i 1 i 6 3 hi 3 6 hi 1
可得关于参数 Mi 的方程组，即三弯矩方程的形式为
i Mi 1 2Mi i Mi 1 i , i 1,2,, n 1
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
三次样条插值
由三次样条函数的定义，在每个[ xi , xi +1 ]上要确定 S( x) ∈ C 2[a, b] 三次样条函数的定义， 共有4个待定系数，需要 个条件！共有n个小区间 需4n个条件 共有 个待定系数，需要4个条件！共有 个小区间， 4n个条件！ 个待定系数 个条件！
例如，对于第一种条件，可以导出以下两个方程
6 2 M 0 + M 1 = ( f [ x0 , x1 ] − f ′( x0 )) = d 0 h1 6 M n −1 + 2 M n = ( f ′( x n ) − f [ xn −1 , xn ]) = d n hn
可得以下线性代数方程组：
2 λ0 M0 d0 λ1 2 µ1 M1 d1 M = M O O O λn−1 2 µn−1 Mn−1 dn−1 λn 2 Mn dn
xi Mi
f ( x ) y i −1 f ′′( x ) M i −1
yi
f ′′( x ) M i −1
M i S i′′( x ) = M i −1l i −1 ( x ) + M i l i ( x )
由连接条件 Si′(−i x 0) = Si′+x(− ix− 0)，i = 1 2Ln ， xi x − 1 x i −1 Si′′( x) = M i −1 + Mi mn 由条件 xi − m 0 , m 1 ,xL xi −1 , m n + 1 i − 共n+1个未知数： xi −1 个未知数： 个未知数 上式可以写成关于n+1个未知数的 个线性方程组： 个未知数的n-1个线性方程组 上式可以写成关于 个未知数的 个线性方程组： xi ， x x − xi −1 Si h ， (i i 由补充的两个条件，恰好构成封闭线性方程组，1该方程组的特 由补充的两个条件− h恰好构成封闭线性方程组x−−1 ) = f ( xi −1 ) i+M M λi= a ii −11+ 2 M i + µ i, b i i += = ,d ii = i = 1 , 2 L = 1 −1 a i M i− M= n− 1 2 c h 点是：除了首末方程外， c mhi = d 点是：除了首末方程外，每个方程中只有三个未知数而且脚标 h i −(1x+) h i f ( x ) S = a m h+−ib m h+ i 1 + i
三次样条插值函数
二．程序框图
开始
输入未知数 X及 (xi,yi),i=0,1,…,n
计算步长 H[i]
计算λ、 µ 、 d
根据边界条件，求 解相应的方程得到 M1,…, Mn
将 M代入原方程， 得到分段函数
结束
三．源码
syms h n=9;%插入节点数，可以根据题目更改 h=2/(n+1); u=0.5; v=0.5; f=inline('1/(1+25*x.^2)');%输入函数，这个也可以根据题目更改 g=inline('3/h*((c-b)/h-(b-a)/h)','a','b','c','h'); for i=1:n+2 x(1)=-1; x(i+1)=x(i)+2/(n+1); y(i)=f(x(i)); end for i=1:n d(i)=g(y(i),y(i+1),y(i+2),h); end A=zeros(n,n); for i=1:n A(i,i)=2; end for i=1:n-1 A(i,i+1)=u; A(i+1,i)=v; end B=zeros(n,1); for i=1:n B(i,1)=d(i) end C=inv(A)*B for i=1:n M(i)=C(i,1); end x=(-1:h/50:1); k=1./(1+25*x.^2); cs=spline(x,k); plot(x,k,'r.'); hold on; ezplot('1/(1+25*x^2)',[-1 1]); title('三次样条插值曲线和 f(x)曲线') 四． 结果
三次样条插值（CubicSplineInterpolation）
三次样条插值（CubicSplineInterpolation）样条插值是⼀种⼯业设计中常⽤的、得到平滑曲线的⼀种插值⽅法，三次样条⼜是其中⽤的较为⼴泛的⼀种。
本篇介绍⼒求⽤容易理解的⽅式，介绍⼀下三次样条插值的原理，并附C语⾔的实现代码。
1. 三次样条曲线原理假设有以下节点1.1 定义样条曲线是⼀个分段定义的公式。
给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条⽅程满⾜以下条件：a. 在每个分段区间（i = 0, 1, …, n-1，x递增），都是⼀个三次多项式。
b. 满⾜（i = 0, 1, …, n ）c. ，导数，⼆阶导数在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作：，i = 0, 1, …, n-1其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解已知:a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, nb. 每⼀分段都是三次多项式函数曲线c. 节点达到⼆阶连续d. 左右两端点处特性（⾃然边界，固定边界，⾮节点边界）根据定点，求出每段样条曲线⽅程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。
插值和连续性：, 其中 i = 0, 1, …, n-1微分连续性：, 其中 i = 0, 1, …, n-2样条曲线的微分式：将步长带⼊样条曲线的条件：a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出c. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出d. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出设，则a. 可写为：，推出b. 将ci, di带⼊可得：c. 将bi, ci, di带⼊ (i = 0, 1, …, n-2)可得：端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式，但却有n+1个未知量m 。
要想求解该⽅程组，还需另外两个式⼦。
所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。
选择不是唯⼀的，3种⽐较常⽤的限制如下。
三次样条插值
三次样条插值
三次样条插值是插值运算的一种，它具有计算精度高、收敛性好以及曲线拟合准确等特点，是插值运算中最常用的插值方法之
三次样条插值是以曲线为基本元素，把离散点数据连接成一个曲线，并能够在曲线上求出任意点的函数值。
它通过拟合所有离散数据点，来求出一个连续曲线，从而解决了插值法的局限性。
三次样条插值的基本原理是：在离散点的两端，曲线的曲率是零，由此可以计算出曲线的系数，从而得到曲线的表达式，这样就可以得到曲线上任意点的函数值。
三次样条插值的优点在于计算精度高、收敛性好，可以很好地拟合离散数据，并且经过插值后得到的曲线更加平滑，其结果更加可靠。
由于它的优点，三次样条插值得到了广泛的应用，如在统计分析中，用于拟合离散数据；在机械工程中，用于优化加工轨迹；在号处理中，用于滤波等。
总之，三次样条插值是插值运算的一种，它的准确性高，拟合性好，广泛应用于各种领域，是科学研究中的一种重要方法。
三次样条插值cubicsplineinterpolation
三次样条插值cubicsplineinterpolation什么是三次样条插值 插值（interpolation）是在已知部分数据节点（knots）的情况下，求解经过这些已知点的曲线，然后根据得到的曲线进⾏未知位置点函数值预测的⽅法（未知点在上述已知点⾃变量范围内）。
样条(spline)是软尺(elastic ruler)的术语说法，在技术制图中，使⽤软尺连接两个相邻数据点，以达到连接曲线光滑的效果。
样条插值是⼀种分段多项式(piecewise polynomial)插值法。
数学上，曲线光滑需要在曲线上处处⼀阶导连续，因此，在节点处需要满⾜⼀阶导数相等。
另外，为了使得曲线的曲率最⼩，要求曲线⼆阶导连续【1】，在节点处需要⼆阶导相等。
三次及以上多项式可以满⾜节点处光滑和曲率最⼩要求，但是次数⾼的曲线容易震荡，因此，就选⽤三次多项式即可。
数学表述 假设有n个已知节点： 函数关系记为：。
在区间中插值多项式曲线：注意，这⾥头曲线为，尾曲线为。
插值在节点处满⾜条件： （1）曲线经过节点： （2）曲线⼀阶导连续（光滑）： （3）曲线⼆阶导连续（曲率最⼩）： 边界条件：对两端节点的约束。
（B1）⾃然(natural (or free))边界条件 （B2）固定(clamped)边界条件 固定⼀阶导数： , 固定⼆阶导数： , （B3）⾮节点边界(not-a-knot ) 要求在第⼆个节点和倒数第⼆个节点，曲线的三阶导也连续：三次多样式函数的计算 样条函数采⽤n-1个三次多项式，每个三次多项式有4个参数，⼀共是4n-4个参数，因此需要4n-4个⽅程。
条件（1）n-1个曲线每个两端经过节点，提供2（n-1）=2n-2个⽅程； 条件（2）n-1个曲线相邻⼀阶导连续，提供n-2个⽅程； 条件（3）n-1个曲线相邻⼆阶导连续，提供n-2个⽅程； 以上⼀共是4n-6个⽅程，还需要2个⽅程，这两个⽅程由边界条件提供，条件（B1）, （B2）, （B3）每个均提供2个⽅程，这样就凑够了4n-4个⽅程。
【VIP专享】_三次样条插值课件
这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件
和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确 定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x) 在各个子区间xi , xi+1上的表达式S(xi） (i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计 算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找
三次样条插值函数S(x)是一个分段三次多项式,要求出 S(x),在每个小区间xi,xi+1上要确定4个待定参数,若用 Si(x)表示它在第i个子区间xi,xi+1上的表达式，则
Si (x) ai0 ai1x ai2 x2 ai3 x3 i 0,1, , n 1
其中四个待定系数为 ai0 , ai1, ai2 , ai3 ,子区间共有n个 所以要确定S(x)需要4n个待定系数。
第二种类型：给定两端点f(x)的二阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
作为特例,S(x0 ) S(xn ) 0 称为自然边界条件。满 足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样 条插值函数。
第三种类型：当f(x)是以为 xn x0 周期的函数时， 则要求S(x)也是周期函数,这时边界条件应满足 当 f (x0 ) f (xn ) 时，
i 1,2, , n 1
上述二式共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此 还需要2个条件才能确定S(x),通常在区间端点上
a x0 ,b xn 各加一个条件,称为边界条件, 常用边 界条件有三种类型。
第一种类型：给定两端点f(x)的一阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数 S(x) 和 S(x) 在整个插值区间a,b上连续,则要求它们在 各个子区间的连接点 x0 , x1 , , xn1 上连续， 即满足条件
三次样条插值（Spline插值）
三次样条插值（Spline插值）当看到周围的同学抱怨样条的种种困难后，哥终于赶上⼤家的进度，开始写样条插值函数了。
基本情况：我们测试的函数以F(x)=1/(1+x^2)为例，检测样条函数S(x)在[-5,0]范围内的插值效果，样条S(x)满⾜S(xi)=yi，S'(x0)=F'(x0)，S'(xn)=F'(xn)，所以Spline插值将⽤到的数据有，(x0,y0)……(xn,yn)这n+1个点，以及F'(x0)与F'(xn)的值。
假定插值点x在xi~x(i+1)范围内，令h=x(i+1)-xi，t=(x-xi)/h：S(x)=f0(t)*yi+f1(t)*y(i+1)+g0(t)*h*mi+g1(t)*h*m(i+1)，式中的mi=S'(xi)的值，并且由上可知，f0(x)=(2*x+1)*(x-1)^2，f1(x)=(-2*x+3)*x^2，g0(x)=x*(x-1)^2，g1(x)=(x-1)*x^2。
操作流程：从已知点中，求解mi的值,再对插值点寻找插值空间,代⼊进⾏插值。
实现过程：全程⽤float型，matrix[]⽤于存储数据点，M[]⽤于存储mi的值，解出mi的值要⽤到m[]、y[]，分别⽤于存储线性⽅程组的系数与⽅程组的值。
1、数据点的产⽣//数据装载float x=-5;for(int i=0;i<row;i++){matrix[i*3]=x;matrix[i*3+1]=f(x);matrix[i*3+2]=g(x);x+=0.5;}2、线性⽅程组⽤于解mi//基本⽅程组⽣成器float a,b,h1,h2;for(int i=1;i<row-1;i++)//特别注意i值，以防数组越界{h1=matrix[(i+1)*3]-matrix[i*3];//h1表⽰h(i)h2=matrix[i*3]-matrix[(i-1)*3];//h2表⽰h(i-1)a=h2/(h1+h2);b=3*(1-a)*(matrix[i*3+1]-matrix[(i-1)*3+1])/h2+3*a*(matrix[(i+1)*3+1]-matrix[i*3+1])/h1;if(i>1&&i<row-2){i--;m[i*3]=1-a;m[i*3+1]=2;m[i*3+2]=a;y[i]=b;i++;}else if(i==1){m[0]=2;m[1]=a;m[2]=0;y[0]=b-(1-a)*matrix[2];}else if(i==row-2){i--;m[i*3]=0;m[i*3+1]=1-a;m[i*3+2]=2;y[i]=b-a*matrix[i*3+2];i++;}}3、根据产⽣的线性⽅程组的系数特点，⽤追赶法求解各点mi的值//⽤x[]存放mi的值，由于已经给F'(x0)与F'(xn)，故m(0)与m(n)不必求解float *u=new float [row-1];//消元过程u[0]=m[1]/m[0];y[0]=y[0]/m[0];for(int i=1;i<row-1;i++)//u当中的i只有row-1个{u[i]=m[i*3+2]/(m[i*3+1]-u[i-1]*m[i*3]);y[i]=(y[i]-y[i-1]*m[i*3])/(m[i*3+1]-u[i-1]*m[i*3]);}y[i]=(y[i]-y[i-1]*m[i*3+1])/(m[i*3+2]-u[i-1]*m[i*3+1]);//对于最后⼀列,i*3+2与i*3+1意义有所不同//回代过程x[0]=matrix[2];x[row+1]=matrix[(row+1)*3+2];x[row]=y[i];for(i=row-2;i>=0;i--)x[i+1]=y[i]-u[i]*x[i+2];delete []u;4、样条插值float Spline(float x,float *matrix,float *M,int row){float tmp=0,h=0;for(int i=0;i<row;i++)if(x==matrix[i*3])return matrix[i*3+1];else if(matrix[i*3]<x&&x<matrix[(i+1)*3])break;cout<<"插值区间: [ "<<matrix[i*3]<<","<<matrix[(i+1)*3]<<" ]\n";h=matrix[(i+1)*3]-matrix[i*3];tmp=(x-matrix[i*3])/h;return f0(tmp)*matrix[i*3+1]+f1(tmp)*matrix[(i+1)*3+1]+h*g0(tmp)*M[i]+h*g1(tmp)*M[i+1];}总结：写样条其实不难，就是发现问题难；写程序其实也不难，就是调试难。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 M 0 6 1 2 2 1 2 0 M 1 3 0 1 2 2 1 2 M 36 2 0 M 78 0 1 2 3 1 0
Sketch of the Algorithm: Cubic Spline
①
② 计算 M (追赶法等) ; 计算 αi , γi , βi ; i ③ 找到 x 所在区间 ( 即找到相应的 i ) ; ④ 由该区间上的 S(x) 算出 f(x) 的近似值。
Cubic Spline
例
由函数表 i 0 xi 0 0 yi
共有 4n 个待定参数。S(x) 在[a, b]上二阶导数连续，故在内 结点 xi (i 1, 2,, n -1) 处应满足连续性条件
S
k
xi 0 S k ( xi 0),
k 0,1, 2,
共有 3(n-1) 个条件。再加上 n+1 个插值条件，共有4n-2 个 条件。因此，还需要2个条件才能确定S(x)。通常在区间 端点 a = x0 和 b = xn 上各加一个条件（称为边界条件）， 可根据实际问题的要求给定。
此时，对函数值有周期条件 f ( x0 ) f ( xn ).
Cubic Spline由边界条件唯一确定。
定理 三次样条插值问题的解存在且唯一。
Cubic Spline
三弯矩法
/* method of bending moment */
三次样条插值函数 S(x) 可以有多种表达式，有时用二阶 导数值 S( xi ) Mi (i 0,1,, n) 表示时，使用更方便。Mi 在 力学上解释为细梁在 xi 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两 个弯矩有关，故称用 Mi 表示 S(x) 的算法称为三弯矩法。 由于S(x) 在区间 [ xi 1 , xi ] (i 1, 2,, n) 上是3 次多项式, 故 S (x) 在 [ xi 1 , xi ]上是 1 次多项式, 可表示为
Cubic Spline
常用边界条件 /* boundary conditions */
（1）已知两端的二阶导数值，即
Mn . S( x0 ) f0 M0 , S ( xn ) f n
（I 类）
其特殊情况为
S ( x0 ) 0, S ( xn ) 0,
f
5
(k )
( x) S ( x) C
1
(k )
kh
4 k
M , k 0,1,2
4
其中 C 0 384 , Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 24 , C 2 8 .
1
Cubic Spline
注：提高精度只须增加节点，而无须提高样条阶数。
在实际应用中，不仅常用S(x) [ (3.1)式]计算 f(x)
M n 1 2 M n 6 hn
类似
yn yn 1 m n n ( n 1) hn
Cubic Spline
三次样条插值函数的误差估计
在实际应用中，如果不需要规定内节点处的一阶导 数值，那么使用三次样条插值函数会得到很好的效果。 三次样条插值函数 S(x) 不仅在内节点处的二阶导数是连 续的，而且 S(x) 逼近 f(x) 具有很好的收敛性，也是数值 稳定的。由于误差估计与收敛性定理的证明比较复杂， 下面只给出误差估计的结论。
对于I 类边界条件，S( x0 ) M0 , S( xn ) Mn
2 M 0 0 M1 0 n M n1 2 M n n
0 0, 0 2 M 0 n 0, n 2 M n
Cubic Spline
即得关于Mi (i = 0, 1, …, n)的 n+1 元线性方程组
hi 1 hi , i 1 i 其中 i , hi hi 1 hi hi 1
6 yi 1 yi yi yi 1 i 6 f [ xi 1 , xi , xi 1 ] hi hi 1 hi 1 hi
这里有 n+1 个未知数， n1 个方程，还需增加 2 个方程。
f(x) H( x ) S( x )
Cubic Spline
三次样条插值函数 S(x) 是否存在唯一? 如何计算？误差估计？ 三次样条插值函数是分段三次多项式，在每个小区间 [ x i , x i 1] 上可以写成
S( x) ai x3 bi x 2 ci x di , i 0,1,, n 1,
（自由边界）
对应的样条函数称为自然样条 /* Natural Spline */.
（2）已知两端的一阶导数值，即 mn . S( x0 ) f0 m0 , S( xn ) fn （3）周期边界条件
（II类）
（III 类）
S k ( x0 ) S k ( xn ), k 0,1, 2.
i
hi hi yi yi 1 M i 1 M i 6 3 hi
( xi 1 xi )2 ( xi xi )2 yi 1 yi hi 1 S ( x ) Mi M i 1 M i 1 M i 2hi 1 2hi 1 hi 1 6
i 1, 2,, n 1
Cubic Spline
hi hi yi yi 1 h h y y M i 1 M i i 1 M i i 1 M i 1 i 1 i 6 3 hi 3 6 hi 1
可得关于参数 Mi 的方程组，即三弯矩方程的形式为
i Mi 1 2Mi i Mi 1 i , i 1,2,, n 1
x [ xi 1 , xi ], i 1, 2,, n
这是三次样条插值函数的表达式,当求出Mi 后, S(x)就完全确定.
为了求 Mi ,需要利用S(x)在内结点处一阶导数连续的条件, 由上式可得
( xi x )2 ( x xi 1 )2 yi yi 1 hi S ( x ) M i 1 Mi M i M i 1 (3.2) 2hi 2hi hi 6
§3 三次样条插值
背景 代数插值 Hermite插值
/* Cubic Spline Interpolation */
高次插值出现龙格现象
分段插值 在节点处不一定光滑
分段Hermite插值 导数值不容易得到
三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 Hermite插值解决问题） 应用最为广泛
hi 1 yi 1 yi hi 1 hi 1 hi 1 yi 1 yi Mi M i 1 M i Mi M i 1 2 hi 1 6 3 6 hi 1
由 S(x) 在内结点处一阶导数连续，即
S ( xi ) S ( xi )
4 定理 定理 5.5 设函数 f ( x) C [a, b], 记 M 4 max f ( 4) ( x ) ,
h max ( xi 1 xi ), 则 x [a, b], 满足 I 类或 II 类边界条件的 0 i n 1
a xb
三次样条插值函数 S(x) 有估计式
其系数矩阵按行严格对角占优,故有唯一解. 可用追赶法求解. 对于II 类边界条件，S( x0 ) m0 , S( xn ) mn 利用(3.2)式， S ( x0 )
y1 y0 h1 h1 M 0 M1 m0 3 6 h1 6 y1 y0 2 M 0 M1 m0 0 ( 0 1) h1 h1
Lagrange插 值
Cubic Spline
利用插值条件
S ( xi 1 ) yi 1 , S ( xi ) yi
定出积分常数,可以得到
( xi x ) 3 ( x x i 1 )3 S ( x ) M i 1 Mi 6hi 6hi yi 1 M i 1hi 6 hi yi M i hi ( xi x ) 6 hi (3.1) ( x xi 1 )
如：汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）
木样条的来源
样条是绘图员用于描绘光滑曲线的由一些易弯曲材料制成的 窄条。在绘制需要通过某点的光滑曲线时 ,对它在这些点的位置 上‚压铁‛,它就被强制通过或接近图表上确定的描绘点。‚样 条函数‛意在点出这种函数的图像与机械样条画出的曲线很像。
Cubic Spline
S ( x ) x xi x x i 1 M i 1 Mi , hi hi
其中 hi = xi – xi-1 . 对S (x) 积分两次得
( xi x )3 ( x xi 1 )3 S ( x ) M i 1 Mi C1 x C2 6hi 6hi
三次样条插值问题
定义 设 a x0 x1 ... xn b 。三次样条函数 S( x) C
2
[a, b]
,
且在每个[ xi , xi 1 ]上为三次多项式 /* cubic polynomial */。若它同
时还满足 S( xi ) f ( xi ), (i 0,1,, n) ，则称 S(x) 为 f(x) 在结点 xi ( i = 0, 1, …, n) 上的三次样条插值函数 . 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
x [ xi 1 , xi ], i 1, 2,, n
S ( x ) M i 1
( xi x ) ( x xi 1 ) yi yi 1 h Mi M i M i 1 i (3.2) 2hi 2hi hi 6