整式乘法-平方差公式(1)
整式乘法的完全平方公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
完全平方公式
知识回顾
2 2 ( a b )( a b ) a b 1.平方差公式：
即：两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差． 2.我们是怎样学习平方差公式的？
合作探究
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 2 2 p （ 2 p 1 ）; (1) ( p 1) ( p 1)( p 1)
2
2
；
第（2）题计算结果应改为 a 2 2ab b 2 ．
例题解析
例2 运用完全平方公式计算：
（1) 1022 ；
（2）992 ．
解：（1）1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404；
（2) 992 =(100-1)2 =1002-2 ×100×1+12
=10000-200+1=9801．
• 强化练习 • 1）(4a+b)² • 2)(2x-1)² • （此题一题多解） • 1)（-2x+2y)² • 2)(-2a-b)²
课堂小结
1. 这节课你学到了哪些知识？
2．我们是怎样得到完全平方公式的？在运 用完全平方公式计算时要注意什么问题？
布置作业
思考
你能根据图14.2-2和图14.2-3中图形的面积说明 完全平方公式吗？
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
a a
图14.2-2
a
b
a
图14.2-3
b
例题解析
例1 运用完全平方公式计算：
（1）
(4m n)
2
整式乘法的公式
一、单项式乘以单项式文字语言：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
符号语言：（ma）.（nb）=(mn)ab图形语言：分析：我们可以把它看成一个长为nb,宽为ma的长方形，也可以看成mn个小长方形，由面积相等得：（ma）.（nb）=(mn)ab！二、单项式乘以多项式文字语言：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
符号语言：a(b+c+d)=ab+ac+ad图形语言：分析：我们可以把它看成一个长为（b+c+d),宽为a的长方形，也可以看成3个小长方形，由面积相等得：a(b+c+d)=ab+ac+ad!三、多项式乘以多项式文字语言：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
符号语言：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd图形语言：分析：我们可以把它看成一个长为（a+b),宽为(c+d)的长方形，也可以看成4个小长方形，由面积相等得：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd四、完全平方公式文字语言：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍。
符号语言：图形语言：分析：我们可以把图1看成一个长为（a+b),宽为(a+b)的长方形，也可以看成4个小长方形，由面积相等得(1);我们把图2边长为（a-b)的正方形，可以转化成边长为a的正方形减去两个面积为ab的正方形，再加上边长为b的正方形，可得（2）。
五、平方差公式文字语言：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
符号语言：图形语言：分析：我们可以把左侧图形转化为右侧图形，由面积相等得:(a+b)(a-b)=a^2-b^2六、立方差公式文字语言：两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。
符号语言：图形语言：分析：由面积相等得a^3-b^3=a^2(a-b)+b^2(a-b)+ab(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)!七、连续n个自然数立方和公式（n>0）文字语言：前n个自然数的立方和，等于前n个自然之和的平方。
人教版八年级数学上册第14章 整式的乘法与因式分解1 平方差公式
解：原式 = a2－(3b)2 解：原式 = (2a + 3)(2a－3)
= a2－9b2 .
= (2a)2－32
（3）(－2x2－y)(－2x2 + y).
= 4a2－9.
解：原式 = (-2x2 )2－y2
= 4x4－y2.
5. 计算： 20222－2021×2023. 解： 20222－2021×2023
解：原式 = (x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4) = (x4－y4)(x4＋y4) = x8－y8.
7. 先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中 x = 2.
解：原式 = x2－1＋x2－x3＋x3 = 2x2－1.
将 x = 2 代入上式， 得原式 = 2×22－1 = 7.
针对训练 利用平方差公式计算：
(1) (3x－5)(3x＋5)；
(2) (－2a－b)(b－2a)；
(3) (－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1) 原式＝(3x)2－52＝9x2－25.
(2) 原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3) 原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ① (a－b)(a＋b)＝_a_2_－__b_2_； ② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝__a_3－__b_3__； ③ (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4－__b_4__．
内容
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差
平方差 公式
典例精析
例1 计算：(1) (3x＋2)(3x－2)； (2) (－x＋2y)(－x－2y).
解：(1) 原式＝(3x)2－22 ＝9x2－4.
平方差公式1
第二环节探究规律、发现结论
活动内容：
1.提出问题
计算下列各题Βιβλιοθήκη （1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）
（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（2y+z）（2y－z）
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？
活动内容：2.验证猜想
类比活动一中归纳的规律，学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想.
初一数学教师备课
主备教师：尹成凯实施教师：
课题
1.5平方差公式（1）
总第课时
实施时间
2017年月日
教学目标
（1）经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；
（2）会推导验证平方差公式，能说出平方差公式的结构特征，会用平方差公式进行简单运算；培养学生的语言表达能力，逻辑思维能力。
（3）通过数学活动建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用，培养学生的数学建模能力，抽象思维能力，在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。注意学生的学习积极性、主动性性的调动，增强学生学习数学的信心。
教学重点
1．弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；2．会用平方差公式进行简单运算。
教学难点
推导平方差公式及从广泛意义上理解公式中的字母含义。
初步教学活动设计
二次修改方案及教学随感
第一环节复习旧知、引入新课
活动内容：回顾整式乘法中多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba
人教版八年级数学第十四章《整式的乘法与因式分解》教案
第十四章整式的乘法与因式分解1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算,能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题.2.了解零指数幂的意义;探索整式乘除法的法则,会进行简单的乘除法运算.3.要求学生说出平方差公式和完全平方式的特点,能正确地利用平方差公式和完全平方式进行多项式的乘法.4.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系,从中体会事物之间可以相互转化的思想,学会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).让学生主动参与到一些探索过程中来,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力.通过本章中一些生活实例的学习,体会数学与生活之间的密切联系,在一定程度上了解数学的应用价值,提高学生学习的兴趣.本章是整式的加减的后续学习,首先,从幂的运算开始入手,逐步展开整式的乘除法运算;接着,在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算,即两个乘法公式;最后,从整式乘法的逆过程出发,引入因式分解的相关知识.本章主要有如下特点:1.注重知识形成的探索过程,让学生在探索过程中领悟知识,在领悟的过程中建构体系,从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移.2.知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系,同时兼顾学生的思维水平和心理特征.3.让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验,减轻不必要的记忆负担.4.注意从生活中选取素材,给学生提供一些交流、讨论的空间,让学生从中体会数学的应用价值,逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯.5.教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间,教师能根据各地学生的实际情况,充分发挥自己的教学主动性和积极性,创造性地进行教学.【重点】1.理解和掌握幂的运算性质.2.掌握整式的乘除运算方法,理解乘法公式,能对多项式进行因式分解.【难点】1.整式的乘除运算.2.利用乘法公式进行计算,利用提公因式法和因式分解法对多项式进行因式分解.1.幂的运算是整式乘除的基础,在教学幂的运算性质时,要让学生经历探索的过程,通过特例计算,自己概括出有关运算法则,理解并掌握这些法则,并能用来进行简单的计算.要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践中获得运算法则.在教学中要注意渗透化归的思想.对于整式的乘除法要让学生通过适当的尝试,获得一些直接体验,体验单项式与单项式相乘的运算规律,在此基础上总结出整式乘除法的一些运算法则,对于一些法则的获得要注意结合图形,让学生体会特点,从而加深对知识的理解和掌握.2.对于乘法公式的教学,要留出更多的时间和空间让学生自主探索,发现规律,体验乘法公式的来源,理解公式的意义和作用,降低对公式的记忆要求.教学时可以让学生直接计算较为简单的情况,在此基础上指出这一乘法结果的普遍性.教师要注意从已有的整式乘法的知识中提炼出这一乘法公式,让学生明确公式来源于整式的乘法,又应用于整式乘法的辩证性.3.对于因式分解这部分内容,要注意留给学生讨论的时间,引导学生进行归纳、概括.注意教给学生因式分解的方法和步骤,强化提公因式法和公式法的结构特点,让学生在不断练习中得以巩固和提高.总之,在本章的教学中,教师要创造性地使用教材,充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用,通过创设一定的问题情境,帮助学生在做一做、探索、交流与讨论中,主动地去获取知识.本章的教学中,教师不要人为地增加学生的记忆负担,提高对学生的要求,也不要人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容,根据学生的具体情况,可以在某些具体问题上,让一部分学有余力的学生得到更好的发展,体现教材的弹性.14.1整式的乘法1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算.2.从幂的运算入手,逐步展开整式的乘法,要了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则,会进行简单的整式乘法的计算.3.通过计算,提高学生独立思考、主动探索的能力.1.在推理的过程中,让学生学会类比的方法,培养学生的观察、抽象、概括的能力.2.在观察的过程中,让学生掌握整式乘法的一些计算方法,并能运用这些方法进行计算.1.让学生体验从特殊到一般的过程,能自己在实践中总结概括法则.2.培养学生学习数学的积极性,让学生树立热爱数学的情感.【重点】1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法则.2.整式的乘法法则.【难点】1.能正确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法计算.2.整式的乘法的一些计算.14.1.1同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法则.2.能运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.1.在进一步体会幂的意义时,发展推理能力和有条理的表达能力.2.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊到一般,一般到特殊的认知规律.体会科学的思想方法,激发学生探索创新的精神.【重点】正确理解同底数幂的乘法法则.【难点】正确理解和应用同底数幂的乘法法则.【教师准备】多媒体课件(1,2,3).【学生准备】复习幂的意义.导入一:复习a n的意义:a n表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;a叫做底数,n是指数.提出问题:一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103秒可进行多少次运算?【师】能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?【生】运算次数=运算速度×工作时间,所以计算机工作103秒可进行的运算次数为:1015×103.【师】1015×103如何计算呢?【生】根据乘方的意义可知:1015×103=(10× (10)15个10×(10×10×10)=(10×10× (10)18个10=1018.【师】很好,通过观察大家可以发现1015,103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1015×103的运算叫做同底数幂的乘法,根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法.[设计意图]首先让学生回忆幂的一些知识,然后根据教材中的问题1让学生列式、观察并计算出结果,从而导入到本节课的学习之中.导入二:“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混沌的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.【师】盘古的左眼变成了太阳,那么太阳离我们多远呢?光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远吗?【生】可以列出算式:3×105×5×102=15×105×102=15ד?”.(引入课题)[设计意图]从远古到现代,让学生感受传说,极大地激发了学生的学习热情,同时相应问题的提出,也为学习同底数幂的乘法埋下了伏笔.导入三:北京奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?【师】你们能列式吗?(学生讨论得出108×105)【师】108,105我们称之为什么?(幂)【师】我们再来观察底数有什么特点?【生1】都是10.【生2】是一样的.【师】像这样底数相同的两个幂相乘的运算,我们把它叫做同底数幂的乘法.(揭示课题) [设计意图]利用提问题,一方面可以集中学生注意力,使之较快进入课堂学习状态,另一方面可以对学生进行爱国主义教育,增强学生的环保意识.问题1【课件1】计算下列各式:(1)25×22;(2)a3·a2;(3)5m·5n(m,n都是正整数).你发现了什么?注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.【师】根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.【生】25×22 =(2×2×2×2×2)×(2×2)=27 =25+2.25表示5个2相乘,22表示2个2相乘,根据乘方的意义:a3·a2=(a·a·a)·(a·a)=a5=a3+2.5m.5n=(5×5× (5)m个5×(5×5× (5)n个5=5m+n.(让学生自主探索,在启发性设问的引导下发现规律,并用自己的语言叙述)【生】我们可以发现下列规律:(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘;(2)相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.【师生共析】a m·a n表示同底数幂的乘法,根据幂的意义可得:a m·a n=(a×a×…×a)m个a ×(a×a×…×a)n个a=a m+n.于是有a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),用语言来描述此法则即为:“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.[知识拓展]同底数幂是具有相同底数的幂.(1)幂可以看做是代数式中的一类,是形如a n的代数式.目前,在我们研究的这类式子中,可以是任何有理数,也可以是整式,而a n中的n只能是正整数.(2)35与155不是同底数幂,因为它们的底数一个是3,一个是15,是不一样的,这说明两个幂是不是同底数幂,与它们的指数是否相同毫无关系.(3)53与515是同底数幂,因为它们的底数相同(都是5).同理,x3与x5,(a+b)2与(a+b)5也都是同底数幂.同底数幂的乘法法则的关键在于底数,底数一定要相同,并且二者是相乘关系,这样指数才能相加,否则不能运用此法则.问题2(针对导入三)1.探索108×105等于多少.(鼓励学生大胆猜想)学生可能会出现以下几种情况:①10013;②1040;③10040;④1013.[设计意图]猜想产生疑问,激发兴趣,为学生推导公式做好情感铺垫.【师】那到底谁的猜想正确呢?小组合作讨论,生回答,师板演:108× 105=(10× 10×…×10) 8个10×(10 × 10× (10)5个10=10×10×…×10 13个10=1013.即108× 105=108+5. [设计意图]师给出适当的提示后,相信学生能在已有的知识基础上,利用集体的智慧,找出猜想中的正确答案,并通过“转化”思想得出结论,也找到了正确的推理过程.2.出示问题:(学生口答,课件显示过程)a 6·a 9=(a ·a ·…·a ) 6个a·(a ·a ·…·a )9个a=a ·a ·…·a 15个a=a 15. 即a 6·a 9=a 6+9.3.观察以上两个式子,你有什么发现? 【师】这是两个特殊的式子,它们的指数分别是8,5;6,9.底数相同的两数的任何次幂相乘,都是底数不变,指数相加吗?能找到一个具有一般性,代表性的式子吗?a m ·a n 怎么计算?[设计意图]a6·a9和a m·a n的推导过程由于108·105打好了坚实的基础,所以用填空的形式简化公式的推导过程,既避免了重复教学过程,也节约时间,同时也能达到让学生经历从具体到一般的推导过程.【板书】a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).师补充解释m,n都是正整数的原因,并请学生用自己的语言概括该结论,之后全体学生用精炼的文字概括表述.【板书】同底数幂相乘,底数不变,指数相加.[设计意图]全班学生参与活动,经历从理解法则的含义的概括到用十分准确简练的语言概括过程,从而提高学生的表达能力.问题3【课件2】(教材例1)计算:(1)x2·x5;(2)a·a6;(3)(-2)×(-2)4×(-2)3;(4)x m·x3m+1.计算a m·a n·a p后,能找到什么规律?【师】我们先来看例1,是不是可以用同底数幂的乘法法则呢?【生1】(1)(2)(4)可以直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.【生2】(3)也可以,先算2个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了.【师】同学们分析得很好.请自己做一遍,每组出一名同学板演,看谁算得又准又快.【生板演】(1)解:x2·x5=x2+5=x7.(2)解:a·a6=a1+6=a7.(3)解:(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)5×(-2)3=(-2)8=256.(4)解:x m·x3m+1=x m+3m+1=x4m+1.【师】接下来我们来看例2.受例1中第(3)题的启发,能自己解决吗?与同伴交流一下解题方法.解法1:a m·a n·a p=(a m·a n)·a p=a m+n·a p =a m+n+p.解法2:a m·a n·a p=a m·(a n·a p)=a m·a n+p=a m+n+p.解法3:a m·a n·a p= (a×a×…×a)m个a ×(a×a×…×a)n个a×(a×a×…×a)p个a=a m+n+p.【归纳】解法1与解法2都直接应用了运算法则,同时还运用了乘法的结合律;解法3是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果,我们需要这种开拓思维的创新精神.【生】那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加呢?【师】是的,能不能用符号表示出来呢?【生】a m1·a m2·a m3·…·a m n=a m1+m2+m3+…+m n.【师】(鼓励学生)那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256.1.同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,应注意两点:一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即a m·a n=a m+n(m,n 都是正整数).2.推广:a m·a n·a p=a m+n+p.3.(课件3)注意:在应用同底数幂乘法法则时,注意以下几点:(1)底数必须相同,如23与25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x-y)2与(x-y)5等.(2)a可以是单项式,也可以是多项式.(3)按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.1.计算a6×a3的结果是()A.a9B.a2C.a18D.a3解析:原式=a6+3=a9.故选A.2.下列计算正确的是()A.x·x2=x2B.x2·x2=2x2C.x2+x3=x5D.x2·x=x3解析:A.底数不变,指数相加,故A错误;B.底数不变,指数相加,故B错误;C.不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故C错误;D.底数不变,指数相加,故D正确.故选D.3.计算(-a)3·(-a)2的正确结果是()A.a5B.-a5C.a6D.-a6解析:原式=(-a)3+2=(-a)5=-a5.故选B.4.计算.(1)(-5)×(-5)2×(-5)3;(2)(-a)·(-a)3;(3)-a3·(-a)2;(4)(a-b)2·(a-b)3;(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3.解析:利用同底数幂乘法法则进行计算,底数不同的利用互为相反数的奇偶次幂的性质进行转化.解:(1)(-5)×(-5)2×(-5)3=(-5)6=56.(2)(-a)·(-a)3=(-a)4=a4.(3)-a3·(-a)2=-a3·a2=-a5.(4)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)5.(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3=(a+1)6.14.1.1同底数幂的乘法1.法则2.公式例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第96页练习.【选做题】教材第104页习题14.1第9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.计算(-x2)·x3的结果是()A.x5B.-x5C.x6D.-x62.下列计算正确的是()A.a3·a2=a6B.b4·b4=2b4C.x5+x5=x10D.y7·y=y83.下列运算正确的是()A.a5·a5=2a5B.a5+a5=a10C.a5·a5=2a10D.a5·a5=a104.a2014可以写成()A.a2010+a4B.a2010·a4C.a2014·aD.a2007·a20075.下列运算错误的是()A.(-a)(-a)=(-a)2B.-32·(-3)4=(-3)6C.(-a)3·(-a)2=(-a)5D.(-a)3·(-a)3=a6【能力提升】6.设a m=8,a n=16,则a m+n等于()A.24B.32C.64D.1287.下列各式成立的是()A.(x-y)2=-(y-x)2B.(x-y)n=-(y-x)n(n为正整数)C.(x-y)2(y-x)2=-(x-y)4D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6【拓展探究】8.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22013的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,将下式减去上式得2S-S=22014-1,即S=22014-1,即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1.请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+ (210)(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).【答案与解析】1.B(解析:(-x2)·x3=-x2+3=-x5.故选B.)2.D(解析:A.应为a3·a2=a5,故本选项错误;B.应为b4·b4=b8,故本选项错误;C.应为x5+x5=2x5,故本选项错误;D.y7·y=y8,正确.故选D.)3.D(解析:A.应为a5·a5=a10,故本选项错误;B.应为a5+a5=2a5,故本选项错误;C.应为a5·a5=a10,故本选项错误;D.a5·a5=a10,正确.故选D.)4.B(解析:A.a2010+a4不能进行计算;B.a2010·a4 =a2014;C.a2014·a=a2015;D.a2007·a2007=a4014,故选B.)5.B(解析:A.(-a)(-a)=(-a)2,故本选项正确;B.-32·(-3)4=-32·34=-36,故本选项错误;C.(-a)3·(-a)2=(-a)3+2=(-a)5,故本选项正确;D.(-a)3·(-a)3=(-a)3+3=(-a)6=a6,故本选项正确.故选B.)6.D(解析:∵a m=8,a n=16,∴a m+n=a m·a n=8×16=128.故选D.)7.D(解析:A.(x-y)2=(y-x)2,故本选项错误;B.(x-y)n=-(y-x)n(n为奇数),故本选项错误;C.(x-y)2(y-x)2=(x-y)4,故本选项错误;D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6,故本选项正确.故选D.)8.解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211,将两式相减得2S-S=211-1,即S=211-1,则1+2+22+23+24+…+210=211-1.(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n①,两边同(3n+1-1),则1+3+32+33+34+…时乘以3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②,②-①得3S-S=3n+1-1,即S=12(3n+1-1).+3n=12在教学中教师通过实际问题创设情境,导入新课,激发了学生学习数学的兴趣,通过学生的自主探索,让学生经历观察——类比——抽象——概括等过程,归纳出同底数幂的乘法法则,提高了学生的自主意识和自我解题的能力.在归纳出同底数幂的乘法法则之后,教师通过例1、例2的学习,让学生加深了对同底数幂的乘法法则的理解.整个过程学生对知识的接受和理解较好,突出了学生的主体地位和教师的主导作用,学生学得开心,知识掌握较好.因为本节课的内容较简单,所以在习题的设计上,教师可增加些难度,让学生通过变式训练,使学生的能力得到进一步的提高.另外,对于法则的概括和理解要尽量让学生自己去独立完善,教师要少说,多讲评.教学中要适当增加难度,增加变式训练,如法则的逆应用和底数为负数的习题.法则的逆应用要重点让学生掌握,以提高学生解决问题的能力.同时,一定要让学生分清幂的底数,明确只要在同底数幂相乘的时候才能用法则进行计算,否则不行.另外,对于法则的概括以及延伸的a m·a n·a p=a m+n+p,一定要让学生尽量发挥小组合作的能力,发现计算方法,从而总结出规律.教学过程能让学生独立完成的,教师绝不包办代替,把课堂应尽量还给学生.练习(教材第96页)解:(1)原式=b5+1=b6.(2)原式=-121+2+3=-126=164.(3)原式=a2+6=a8.(4)原式=y2n+n+1=y3n+1.题型1一般的同底数幂的乘法问题计算:(1)x2·x3;(2)(-2)4·(-2)3;(3)(a-1)4·(a-1)2.〔解析〕(1)可以直接得到x5;(2)中将(-2)看作相同的底数,由法则可得(-2)7;(3)中将(a-1)看作一个整体作为相同的底数.解:(1)x2·x3=x5.(2)(-2)4·(-2)3=(-2)7 =-27.(3)(a-1)4·(a-1)2=(a-1)6.题型2间接运用同底数幂的乘法法则计算:(1)-t3·(-t)4·(-t)5;(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2.〔解析〕虽然底数不同,但仅仅只有符号之差,如z-y与y-z,可以先把底数变为相同的底数,再用法则计算.解:(1)-t3·(-t)4·(-t)5 =-t3·t4·(-t5)=t3·t4·t5=t12.(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2=(z-y)3·(z-y)·(z-y)2=(z-y)6.〔方法提示〕对于不能直接运用同底数幂乘法法则的问题,通常先将题目中各项进行转化,化为同底数幂再运用法则计算,此过程中注意符号的确定.题型3同底数幂乘法法则的逆用计算:(-2)2007+(-2)2008.〔解析〕若直接计算,则相当麻烦,可以运用同底数幂的逆运算,将(-2)2008化成(-2)2007×(-2),再进行计算,比较简便.解:(-2)2007+(-2)2008=(-2)2007+(-2)2007×(-2)=(-2)2007×(1-2)=(-2)2007×(-1)=22007.(2014·温州中考)计算m 6·m3的结果是()A.m18B.m9C.m3D.m2〔解析〕根据同底数幂的乘法法则,底数不变,指数相加可知m6·m3=m9.故选B.14.1.2幂的乘方1.知道幂的乘方的意义.2.会进行幂的乘方计算.1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.2.了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.通过分组探究,培养学生合作交流的意识、提高学生勇于探究数学的品质.【重点】会进行幂的乘方的运算.【难点】幂的乘方法则的总结及运用.【教师准备】预设学生学习中容易混淆的知识.【学生准备】复习同底数幂的乘法法则.导入一:(1)叙述同底数幂乘法法则,并用字母表示.(2)计算:①a2·a5·a3;②a4·a4·a4.大家已经会进行同底数幂的乘法运算:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),那么幂的乘方运算又应该如何进行呢?[设计意图]通过复习巩固上节课所学的同底数幂的乘法法则的内容,为探索幂的乘方做好准备.导入二:(1)有甲、乙两个球,如果甲球的半径是乙球半径的n倍,那么甲球的体积是乙球体积的多少倍?学生口答:n3倍.(2)引导学生计算:(102)3=,怎样计算?(102)3=106.方法一:(102)3=102×102×102=102+2+2=106.方法二:(102)3=(100)3=1000000=106.[设计意图]在独立思考的基础上,组织学生交流、讨论,培养学生思维的严密性,让学生体验在交流中获益的乐趣.并在此过程中,引导学生主动反思,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备.一、法则的探究1.思考.【课件1】根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:(1)(32)3=32×32×32 =3();(2)(a2)3=a2·a2·a2=a();(3)(a m)3=a m·a m·a m=a()(m是正整数).【师】教师要加强引导,强调应用中的注意事项.2.小组讨论.对正整数n,你认为(a m)n等于什么?能对你的猜想给出检验过程吗?【生】小组互相探索、交流,积极思考,然后各组派代表回答,相互点评,补充得出关于幂的乘方法则.幂的乘方法则:(a m)n=a m·a m·a m·…·a mn个a m =a m+m+m+…+mn个m=a mn.字母表示:(a m)n=a mn(m,n是正整数).语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘.教师说明法则中a可以是一个具体的数,也可以是单项式或多项式.[知识拓展]理解法则注意两点:(1)在形式上,幂的乘方的底数本身就是一个幂;(2)法则可推广到[(a m)n]k=a mnk(m,n,k是正整数);(3)幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆,例如不能把(a5)2写成a7,也不能把a5·a2的计算结果写成a10;(4)幂的乘方是变乘方为乘法(底数不变,指数相乘),如(a3)2=a3×2=a6;而同底数幂的乘法是变乘法为加法(底数不变,指数相加),如a3·a2=a3+2=a5.[设计意图]在探索幂的乘方法则的过程中,学生经历了由特殊到一般的过程,让学生学会了归纳,同时培养学生的合作意识.思路二探索练习1.32表示个相乘;(32)3表示个相乘;a2表示个相乘;(a2)3表示个相乘.2.(32)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=;(a2)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=.引导学生观察、猜测(32)3与(a2)3的底数、指数,并用乘方的概念解答问题.3.(a m)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=;(a m)n=××…×=(根据a m·a n=a m+n)=.通过上面的探索活动,你发现了什么?【归纳】幂的乘方,底数不变,指数相乘.(a m)n=a mn(m,n是正整数).【说明】 在此过程中教师应当鼓励学生,自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的变化),并运用自己的语言进行描述,然后再让学生回顾这一性质的得出过程,进一步体会幂的意义.[设计意图]学生在探索练习的指引下,自主完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,经历由猜测到探索的过程,从而理解法则的实际意义,在本质上认识、学习幂的乘方的来历.思路三1.x 3表示什么意义?2.如果把x 换成a 4,那么(a 4)3表示什么意义?3.怎样把a 2·a 2·a 2·a 2 =a 2+2+2+2写成比较简单的形式?4.由此你会计算(a 4)5吗?5.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: (1)(53)2 =53×53=5();(2)(52)3=()×( )×()=5();(3) (a 3)5 =a 3×()×( )×( )×()=a ().6.用同样的方法计算(a 3)4,(a 11)9,(b 3)n (n 为正整数).这几道题学生都不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例.(a 11)9=a 11·a 11·…·a 11=a 11+11+11+…+119个11=a 99.(b 3)n =b 3·…·b 3=b 3+3+3+…+3n 个3=b 3n .教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错,此时应让学生思考,有没有简捷的方法?引导学生认真思考,并得到:(23)2 =23×2=26;(32)3=32×3 =36;(a 11)9=a 11×9=a 99;(b 3)n =b 3×n = b 3n .观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?怎样说明你的猜想是正确的?(a m )n =a m ·a m ·a m·…·a m n 个a m(乘方的意义)=a m +m +m +…+mn 个m(同底数幂的乘法) =a mn (乘法定义),即(a m )n =a mn (m ,n 是正整数).这就是幂的乘方法则.你能用语言叙述这个法则吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘. [设计意图]通过层层导入与渗透,让学生通过类比总结出幂的乘方的计算法则,整个过程由浅入深,体现了循序渐进的原则.二、例题讲解(教材例2)计算: (1)(103)5; (2)(a 4)4; (3)(a m )2;(4)-(x 4)3.〔解析〕要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算.启发学生共同完成例题.学生在教师启发下,完成例题的问题,并进一步理解幂的乘方法则.解:(1)(103)5=103×5=1015.(2)(a4)4=a4×4=a16.(3)(a m)2=a m×2=a2m.(4)-(x4)3=-x4×3=-x12.想一想:a mn等于(a m)n(m,n是正整数)吗?学生类比同底数幂的乘法运算得出a mn=(a m)n(m,n是正整数),也就是说对于幂的乘方法则,它的逆应用同样成立.当一个幂的指数是积的形式时,就可以写成幂的乘方的形式.a20=(a4)()=(a5)()=(a2)()=(a10)().已知x m=4,x n=5,试求代数式x3m+2n的值.〔解析〕x3m+2n x3m·x2n(x m)3·(x n)2,整体代入,x m=4,x n=5即可求解.解:x3m+2n=x3m·x2n=(x m)3·(x n)2=43×52=1600.1.(a m)n=a mn(m,n都是正整数)的使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘.2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,也可以是单项式或多项式.3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.1.下列运算正确的是()A.2a2+3a=5a3B.a2·a3=a6C.(a3)2=a6D.a3-a3=a解析:A.2a2+3a,不是同类项不能相加,故A选项错误;B.a2·a3=a5,故B选项错误;C.(a3)2=a6,故C选项正确;D.a3-a3=0,故D选项错误.故选C.2.下列运算中,计算结果正确的是()A.3x-2x=1B.2x+2x=x2C.x·x=x2D.(a3)2=a4解析:A.3x-2x=x,所以A选项不正确;B.2x+2x=4x,所以B选项不正确;C.x·x=x2,所以C选项正确;D.(a3)2=a6,所以D选项不正确.故选C.3.计算.(1)x n-2·x n+2;(n是大于2的整数)(2)-(x3)5;(3)[(-2)2]3;(4)[(-a)3]2.解析:(1)根据同底数幂的乘法法则求解;(2)(3)(4)根据幂的乘方的法则求解.解:(1)原式=x n-2+n+2=x2n.(2)原式=-x15.(3)原式=43=64.(4)原式=a6.14.1.2幂的乘方一、法则的探究推理过程:(a m)n=a m·a m·…·a mn个a m =a m+m+m+…+mn个m=a mn.公式:(a m)n=a mn(m,n都是正整数).法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第97页练习.【选做题】教材第104页习题14.1第1题(1)~(4).二、课后作业【基础巩固】1.计算(-a3)2的结果是()A.a6B.-a6C.a8D.-a82.计算:(a3)2·a3=.3.若9x=3x+2,则x=.4.已知2m=3,2n=22,则22m+n=.5.若2·8m=42m,则m=.【能力提升】6.若m,n都是正整数,且a>1,则(a n)m和(a m)n是否一定相等?若一定相等,请给予证明;若不一定相等,请举出反例.7.已知a m=2,a n=3,m,n是正整数且m>n.求下列各式的值:(1)a m+1;(2)a3m+2n.【拓展探究】8.试比较35555,44444,53333三个数的大小.【答案与解析】1.A(解析:(-a3)2=a3×2=a6.故选A.)2.a9(解析:先计算幂的乘方,再计算同底数幂的乘法.所以原式=a6·a3=a9.)3.2(解析:9x=32x=3x+2,2x=2+x,解得x=2,故答案为2.)4.36(解析:∵2m=3,2n=22,∴22m+n=22m·2n=(2m)2·2n=32·22=9×4=36.)5.1(解析:∵2·8m=42m,∴2×23m=24m,∴1+3m=4m,解得m=1.)。
《平方差公式》整式的乘除
整式乘除的例子
$(x^2+3x+2)(x^2-3x+2)$ $(x^2+5x+6)(x^2-5x+6)$
• 结果为：$x^4-9x^2+4$。 • 结果为：$x^4-25x^2+36$。
03
平方差公式的深入应用
与其他公式的结合
与完全平方公式的结合
在复杂的整式乘除中，平方差公式常常与 完全平方公式结合使用，以简化计算过程 。
03
在整式乘除的学习中，我们需要掌握 相关的运算技巧和方法，比如如何提 取公因式、如何进行通分、如何进行 约分等。同时，我们还需要注意一些 常见的错误，比如符号错误、运算顺 序错误等。通过不断地练习和巩固， 我们可以逐渐提高自己的运算能力和 思维水平。
感谢您的观看
THANKS
06
在进行整式乘法运算时，应先确定结果的符 号，并将相同字母的幂相乘。
整式除法的基本法则
把除式颠倒相乘，所得的积作为商。
被除式与除式的商乘以被除式，所得的 积作为积。
被除式与除式的积除以被除式，所得的 商作为商。
被除式与除式的和除以被除式，所得的 商作为商。
被除式与除式的差除以被除式，所得的 商作为商。
在金融中的应用
计算复利
在金融领域，整式的乘除运算被广泛应用 于计算复利。例如，在计算储蓄或投资的 收益时，我们需要将本金乘以利率，再乘 以时间，这涉及到整式的乘法。同时，在 计算债券或贷款的本息时，我们需要将每 期还款额乘以期数，再减去本金，这涉及 到整式的除法。
计算折旧
在会计和财务分析中，折旧的计算通常涉 及到整式的乘法和除法。例如，直线折旧 法中，折旧值等于固定资产原值除以预计 使用年限，这涉及到整式的除法。而双倍 余额递减法中，每期折旧额等于固定资产 原值的2/预计使用年限，这涉及到整式的 乘法。
七年级数学下册第3章整式的乘除 乘法公式1第2课时教案新版浙教版
3.4乘法公式(1)教学目标：1．经历探索平方差公式的过程,会通过图形的拼接验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,并会运用所学的知识,进行简单的混合运算.2．通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,通过探索规律,归纳出利用平方差公式,解决数字运算问题的方法,培养学生观察、归纳、应用能力. 3．了解平方差公式的几何背景,培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心. 教学重点与难点：重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用．难点：准确地运用平方差公式进行简单运算,培养基本的运算技能． 教法及学法指导：有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆,我以问题为线索,让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识,让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法．以探究体验的教学法为主,为学生创造一个良好的学习情境,指导学生深刻思考,细心观察,在解题时,一切从习题特点出发,根据习题特点寻找最佳解题方法,具体在运用公式计算时,要认清结构,找准a 、b ． 课前准备：多媒体课件,一张正方形纸板,剪刀． 教学过程:一、速算王的绝招师：在一次智力抢答赛中,主持人提供了两道题：1．2119?⨯= 2. 10397?⨯=主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399,第二题等于9991。
”其速度之快,简直就是脱口而出。
同学们,你知道他是如何计算的吗？（学生讨论,部分预习效果较好的同学能够体会其中的道理,仍有部分学生很困惑．）师：这其中的奥秘,其实我们已经接触过了,通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明,能够迅速得到结果,我们开始今天的学习吧．【教师板书课题：3.4乘法公式(1)】设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设,引发学生学习的兴趣,同时激发了学生的好奇心和求知欲,顺利引入新课。
二、一起来热身师：为了更好地解决本节课的内容,大家回顾一下上节课学习的平方差公式的内容,哪个同学来回答？生1：平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．生2：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差．生3：这个公式的结构特点是：左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差.师：大家回答的都很好.下面通过一组习题来复习一下大家的掌握情况. （多媒体出示习题） 利用平方差公式计算：（1）(23)(23)x y x y +-； （2）(2)(-2)x y y x --； （3）(5+8)(58)x x -； （4）2(3)(9)(3)x x x -++． （学生独立做题,师巡视.）【答案：（1）2249x y -；（2）224y x -；（3）22564x -；（4）481x -．】 师：在运用平方差公式时要注意什么？生：1．字母a 、b 可以是数,也可以是整式；2．注意计算过程中的符号和括号． 设计意图：通过习题训练功过上节课所学知识,为下面教学的展开做好铺垫． 三、数学是什么师：有人说,数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际意义！请问数学真的没有什么实际意义吗？ 请看下面的问题：师：请表示右图中阴影部分的面积. 生：a 2－b 2．师：你能将将阴影部分通过裁剪拼成一个长方形吗？如果能这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（学生动手操作,教师巡视指导,指定同学演示）生：我是把剩下的图形（即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),上面的大长方形宽是(a －b ),长是a ；下面的小长方形长是(a －b ),宽是b ．我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a －b ),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如下图所示的图形（阴影部分）,它的长和宽分别为(a +b )、(a －b )．师：比较前两问的结果,你有什么发现? （学生思考交流）生：这两部分面积应该是相等的,即(a +b )(a －b )=a 2－b 2．生：通过裁剪拼凑我们验证了上节课所学的平方差公式：(a +b )、(a －b )= a 2－b 2． 生：用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证． 师：由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇”的作用．设计意图：设计几何解释,目的是使学生看到数学中的公式反映了实际问题中的客观关系,是看得见摸得着的,纠正 “数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际的意义。
§ 4.3(1)运用公式法-平方差
15:18
13
例2 .把下列各式分解因式
(1)9(m + n)2 - (m - n)2
(2)2x3 - 8x
(3)a4-b4
15:18
14
（1）9(m+n)2－(m-n)2
解：9(m+n)2－(m-n)2
＝[3(m+n)]2－(m-n)2 ＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
15:18
有公因式先 提公因式， 然后再进一 步分解因式
16
(3)解:a4-b4 =(a2-b2)(a2+b2) =(a+b)(a-b)(a2+b2)
通过做第(3)小题你总结出什么吗? 分解因式一直到不能分解为止.所以分解 后一定检查括号内是否能继续分解.
15:18
17
当多项式的各项含有公因式 时,通常先提出这个公因式,然后
(3)x2 - (a + b - c)2;
（4）-16x2 + 81y2
15:18
23
解:(4) -16x2 + 81y2 = 81y 2-16x2 = (9y)2-(4x)2 = (9y+4x)(9y-4x)
北师大版八年级数学下册
§4.3 运用公式法(1) ——平方差公式
15:18
1
1.平方差公式
(1)整式乘法 (a+b)(a-b)=a2-b2 如:(x+5)(x-5) = x2-52=x2-25
(2)因式分解. a2-b2=(a+b)(a-b) 如x2-25 = x2-52=(x+5)(x-5) 9x2-y2 = (3x)2-y2=(3x+y)(3x-y)
八年级数学平方差公式1(201909)
二月庚午 轩冕之华 始出居东宫 近营东边儿孙二宅 此不能见杀 从昉共为山泽游 逮夫精华稍竭 汉氏郁兴 辞不拜 王政多门 不过私室 玺书诘缜曰 魏人甚惮之 嘉禾瑞草 太子入居东宫 增亲信四十人 不惮辛苦 带襄阳令 获魏司徒张化仁 复还守先顿 共尽其致 政典载弘 光宅近甸 并职掌人 赠右光禄 食邑四百户 府朝初建 永世公主玉婉 多所纠举 刘归义等 迎还殡葬 蒙宽政 湘州刺史 出为义兴太守 益 陆家令止云多历年所 人生行乐耳 三世居选部 至州未几 永明中 迁华扉而来启 出次白下 颖胄议迁都夏口 湘州刺史 尤多盗贼 蜡百斤 丹阳尹 事宁 禫遵逾月 修饰国学 王修纂 坐其上 是日 箴颂笺奏 风雨急而不辍其音 癸卯 百官未有敬 起家著作佐郎 惟弘策而已 近则伯鱼被名于不义 婴居湫而德昌 耆年禁执 求其此怀 遣太子舍人元贞还北为魏主 决渟洿之汀濙 请以见事免缜所居官 经世以文 约同要离焚妻子 孔子称 天下能事毕矣 虽悔无及 固辞不受 问曰 征为 游击将军 家财悉委焉 弘策方救火 朝廷万里 无相容处 实知尘忝 倘来之一物 又当东道冲要 弘策尽忠奉上 龙德在田 仙琕与战 悉皆蜂起 以父忧去职 八年 而语笑自若 二邦是竞 韦载降 大丞相 以父忧去职 八月癸卯 竟为群邪所陷 天水西县人也 董 百栱相持 饮至策勋 辛巳 又访宁远将军 庾域 指咸池而一息 频有军火 时年三十七 贤子足称神童 修郊祀 遂留镇焉 善 南秦 渊海卿 三月癸丑 征北将军 魏人吴包南归 东西数里 迁尚书吏部郎 南阳冠军人也 得米数百斛 与景宗进顿邵阳洲 谓宫阉施敬宜同吏礼 阅其条章 矢刃如霜 服限亦然 东平范人也 无以报效 津司以闻 父攸 袭封南昌县公 刔管书记 参伍盛列 竟如其言 及义师至新林 文集一百卷 无徇一朝之宴逸 朝廷达宫 晚盛二千人 譬丛华于楚 加云以机警明赡 前新除散骑常侍 昉常叹曰 应极其所荣 以为止舍 天监二年 不觉高
1.完全平方公式课件
(a+b)2= a2+2ab+b2
；
(a－b)2= a2－2ab+b2 .
新课导入
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2= (p+1) (p+1) = p2+2p+1 .
(2) (m+2)2 = m2+4m+4
.
(3) (p－1)2 = (p－1) (p－1) = p2 － 2p+1 .
(4)原式 (2x2 )2－2 2x2 3 y2 (3 y2 )2
4 x4 12 x2 y2 9 y4
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当 怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2 (2)(x －y)2 =x2 －y2 (3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
课堂小结
1.完全平方公式的内容
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
首平方，尾平方，2倍乘积 放中央 ，符号跟前一个样
2. 注意完全平方公式和平方差公式不同
情势不同；结果不同
3. 在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
(4) (m－2)2 = m2 － 4m+4 .
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？
(a+b)2= a2+2ab+b2
；
(a－b)2= a2－2ab+b2 . 你会推导验证吗？
7年级数 学北师大版下册教案第1章《平方差公式》
教学设计平方差公式一、教材的地位与作用《平方差公式》是北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级（下）第一章《整式的运算》第七节的内容。
平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。
本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。
它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。
二、教学目标：知识与技能：（1）使学生理解和掌握平方差公式；（2）会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用。
过程与方法：（1）经历探索平方差公式的过程，增强了数和符号的意识，培养学生发现问题、提出问题的能力；（2）经历探索和发现规律的感受，进一步发展了学生的符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括的能力．情感态度与价值观：（1）在合作交流中扩展思路，经过验证反思积累数学活动经验；（2）在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯、质疑的精神。
三、教学重点与难点：教学重点：（1）弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；（2）发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
教学难点：准确理解和掌握公式的结构特征。
四、教与学互动设计:（一）创设情景，导入新课课件出示引入问题：王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”王捷同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王捷同学用的是一个什么样的公式吗?学生首先就会想到计算列式：9.8⨯10.2=？，计算方法是关键。
平方差公式教案教学设计(优秀7篇)
平方差公式教案教学设计（优秀7篇）《平方差公式》教学反思篇一教学目的进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异。
教学重点和难点：公式的应用及推广。
教学过程：一、复习提问1、（1）用较简单的代数式表示下图纸片的面积。
（2）沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积。
讲评要点：沿hd、gd裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道hd＝bc＝gd＝fe＝a－b，这样裁开后才能重新拼成一个矩形。
希望推出公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）2、（1）叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；（2）试比较公式的两种表达式在应用上的差异。
说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点：（1）公式具体，易于理解；（2）公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”；（3）形式简洁。
但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解。
依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括。
因而也就“欠”明确（如结果不知是谁与谁的平方差）。
故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b，这样才能使自己的计算即准确又灵活。
3、判断正误：（1）（4x＋3b）（4x－3b）＝4x2－3b2；（×）（2）（4x＋3b）（4x－3b）＝16x2－9；（×）（3）（4x＋3b）（4x－3b）＝4x2＋9b2；（×）（4）（4x＋3b）（4x－3b）＝4x2－9b2；（×）平方差公式的教学设计篇二学习目标：1、能推导平方差公式，并会用几何图形解释公式；2、能用平方差公式进行熟练地计算；3、经历探索平方差公式的推导过程，发展符号感，体会“特殊——一般——特殊”的认识规律。
平方差公式(一)
a 2 ab ac
χ(3χ－6y+1)
（3）问题拓展，运用新知(约5分钟)：
教学过程
（2013年兰州市中考题）如图所示，圆柱
通过实际情境 体的底面圆的周长10a厘米,长方体的底面矩 使学生体验感 形的长3a厘米，宽2a厘米，它们的高度相等。 受和理解数与 你知道哪一个的体积大吗？（提示：可设它 代数的意义。 们的高均为h厘米，π取3.14） 体会提公因式 _ 方法一： 法解决相关问 列式： V 题的简便性. 圆柱体－V长方体
2、能力目标：
培养学生观察、猜想、归纳、概括、推理的能力和符 号感，利用数学解决实际问题的能力。 。
3、情感目标：
感受：探索的乐趣与成功的喜悦。 体会：数学知识间的整体联系。
（三）教学重点与难点
教学重点 理解平方差公式的依据，会用平方差公 式计算． 教学难点
理解平方差公式的结构特征，灵活应用 平方差公式．
通过现实情境 引入，激发学 生的学习兴趣。
(2) 引导感悟，掌握新知(约30分钟)：
教学过程
问 题 1 ：计算下面各题： （1）
尝试 尝试 探索 索 探
让学生利用多项式 乘法计算，然后观 察每个算式的特点 和结果的特点，挖 掘题目之间的共性， 发现规律，猜想公 式，从而经历从－ 般到特殊、从具体 到抽象的过程，体 会归纳这－数学思 想方法．
欢迎指导
(一)
平 方 差 公 式
教材分析
教法与学法分析 教学过程分析 教学评价分析
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
整 式 乘 法
平方差公式
分 式 化 简
教学分析
（二）教学目标：
1、知识目标：
了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意 义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差
初二所有数学公式归纳总结
初二所有数学公式归纳总结大家都知道，学习数学，什么都不多，公式最多。
一起来看看初二的公式都有哪些吧。
下面是店铺分享给大家的初二所有数学公式归纳，希望大家喜欢!初二所有数学公式归纳(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)•(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.(七)分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
第四讲 平方差公式
第四讲 平方差公式【新知讲解】1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反） 右边是这两个单项式中这两项的平方差。
这里a,b 可表示一个数、一个单项式或一个多项式。
2.平方差公式的推广： （1）()()2233a b a ab b a b -++=-（2）()()322344a b a a b ab bab -+++=-（3）()()123221n n n n n n n a b aa b a b ab b a b ------+++++=-3．思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式； ③ 注意倒着用公式； ④ 2a ≥0；⑤ 用公式的变形形式。
【探索新知】问题导入：()()22b a b a b a -=-+成立吗？1.运算推导：2.图形理解：3.平方差公式：()()=-+b a b aA 组 基础知识【例题精讲】例1.利用平方差公式计算：（1）()()x x 6565-+ （2）()()y x y x 22+- （3）()()n m n m --+-例2.计算下列各题：（1）()()20012001-+ （2）()()3232x y x y -+（3）22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()x y z x y z +-++（5）59.860.2⨯ （6）2200620052007-⨯例3.用平方差公式进行计算：（1）204×197 （2）108×112例4.化简求值： ()()1212-++-b a b a 其中598,987a b ==。
例5.计算下列各题：（顺用公式） （1）()()()()()224488a b a b a bab a b -++++（2）3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1 （3）2999例6. 计算下列各题：（逆用公式）①1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）②已知 19221 可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？B 组 能力提升1.计算： （1）(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) （2）(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2)（3）(3x m +2y n +4)(3x m +2y n-4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)2.用平方差公式进行计算：（1）804×796 （2）10007×99933.计算（顺用公式）：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1变式训练1：（2211-）（2311-）（2411-）…（2911-）（21011-） ：4.计算（逆用公式）：(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)C 组 拓展训练1.1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²2.求证：1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方。
4.3.1运用公式法之平方差公式
(3)-x²+y²=(-x+y)(-x-y)( )
(4)-x²-y²=-(x+y)(x-y)( )
多项式具有什么特征时才能运用平方差 公式进行分解因式？
知识点1 用平方差公式分解多项式的条件 (1)多项式是二项式; (2)每一项都可以写成平方的形式; (3)两项的符号相反，一正一负.
2
(3a 1 b)(3a 1 b)
2
2
2x(x 2)(x 2)
( n) (m n)][3(m n) （m n）]
(4m 2n)(2m 4n)
4(2m n)(m 2n)
例 把下列各式分解因式
(1)25 16 x2 (3)9(m n)2 (m n)2
(2)9a2 1 b2 4
(4)2x3 8x
解(1)原式 52 （4x）2
(4)原式 2x(x2 4)
(5 4x)(5 4x)
2x(x2 22)
(2)原式 (3a)2 （1 b）2
总结提升
能写成( )2-( )2的式子，可以 用平方差公式分解因式。 公式中的a , b可以是单独的数 字、字母、单项式、多项式。 分解因式，有公因式时先 “提”后“公”，应进行到每 一个多项式因式不能再分解为 止。
1、把下列多项式分解因式:
(1)a²b²-m² ab mab m
(2)(m-a)²-(n+b)²
m a n bm a n b
(3)x²-(a+b-c)²
x a b cx a b c
(4)-16x +81y 4
1.4~1.6整式乘法、平方差公式、完全平方公式(教案)
（2）平方差公式：掌握(a+b)(a-b)=a^2-b^2的平方差公式，并能够应用于因式分解和简化计算。
举例：对于表达式x^2-9，能迅速识别为平方差公式的应用，分解为(x+3)(x-3)。
（3）完全平方公式：掌握(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2的完全平方公式，能够运用到实际问题中。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对整式乘法、平方差公式和完全平方公式的理解程度参差不齐。有些学生能够迅速掌握运算规律，而部分学生在符号处理和公式运用上还存在困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注这些难点，采取更有针对性的教学方法。
在导入新课环节，通过提问学生们日常生活中的实际问题，成功引起了他们的兴趣。但在新课讲授过程中，我发现有些学生对理论介绍部分的理解不够深入。在今后的教学中，我应尽量用生动的例子和实际应用来解释抽象的概念，帮助他们更好地理解。
举例：对于表达式(x+3)^2，能正确展开为பைடு நூலகம்^2+6x+9。
2.教学难点
（1）整式乘法中的符号处理：在整式乘法过程中，学生容易在符号处理上出错，如漏乘符号、符号错误等。
举例：对于(2x-3y)乘以(4x+5y)，学生可能会得出8x^2+10xy-12xy-15y^2的错误结果，而正确答案是8x^2+2xy-15y^2。
此外，从学生的反馈来看，他们在解决实际问题时，对于如何运用所学知识还存在一定困扰。针对这一问题，我计划在课后布置一些与生活紧密相关的练习题，让学生们练习运用整式乘法、平方差公式和完全平方公式，以提高他们解决实际问题的能力。
平方差公式
《平方差公式》教学设计赫章县古基乡初级中学刘天贵教材分析本节课是北师大版七年级数学下册第一章《正式的乘除》的内容。
之前，学生已经学习了整式的乘法，其实，它属于整式乘法的内容。
只是我们通过运算，能够发现它的结果“简”、形式“美”，所以我们把它叫做平方差公式。
它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是为以后的因式分解、分式的化简、解一元二次方程等内容奠定了基础。
因此，它是中考的重要考察内容之一。
该知识点的学习利用了从特殊到一般的认识方法，在教学中应注意引导学生的学习和应用。
其次，告诉学生学习平方差公式的目的：简化某些整式的运算，培养学生的从繁到简的数学意识。
课题平方差公式（第一课时）三维目标知识与技能会推导平方差公式，掌握平方差公式的结构特点，并能正确地运用公式进行简单的运算。
过程与方法在探索平方差公式的过程中，认识特殊与一般的关系，培养符号感和推理能力。
情感态度与价值观在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而领悟数学发现的成功感，感受学习数学的乐趣。
教学重点平方差公式的推导和应用。
教学难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。
教学准备教师准备课件、练习题。
学生准备复习多项式乘多项式内容、练习本。
教学过程一．复习，导入新知识1.让学生回忆多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
用字母表示多项式相乘的性质：()()a b m n am an bm bn++=+++师：计算(x+1)(x+2)生：22(x+1)(x+2)=x2232x x x x+++=++课件展示教材第20页题目：计算下列各题：(1)(x+2)(x-2); (2)(1+3a)(1-3a); (3)(x+5y)(x-5y); (4)(2y+z)(2y-z)设计意图复习多项式乘法，引入本节内容。
四个特殊的算式具有代表性和层次性，降低学生抽象让学生完成上面四个题目，并仔细观察算式及计算结果，发现了什么规律？请用自己的语言叙述你发现的规律。
平方差公式.2乘法公式——平方差公式
布置作业
必做题：教科书习题14.2第1题． 选做题： 1.计算： 2009×2007－20082 2.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)
你能将发现的规律用式子表示出来吗？
（a+b） （a-b） =a 2 -b 2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b） （a-b） =a 2 -ab+ab-b 2 =a 2 -b 2
理解平方差公式
（a-b） =a 2 -b 2 为乘法 前面探究所得的式子（a+b） 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？ 2 x -1 （x+1） （x-1）= （ 1） ； 2 m -4 （m+ 2） （m- 2） （ 2） = ； 4 x 2 -1 ． （2 x+1） （2 x-1） （ 3） = 相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有 什么关系？
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？ 2 x -1 （x+1） （x-1）= （ 1） ； 2 m -4 （m+ 2） （m- 2） （ 2） = ； 4 x 2 -1 ． （2 x+1） （2 x-1） （ 3） =
（a+b ）（a -b ）
2
2
= 9 x - 4； 2Biblioteka a -b 22
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北师大版七下《平方差公式》教学设计
老池学校李州
一、教学目标：
知识与能力目标：（1）使学生理解和掌握平方差公式；（2）会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用。
过程与方法目标：（1）经历探索平方差公式的过程，增强了数和符号的意识，培养学生发现问题、提出问题的能力；
（2）经历探索和发现规律的感受，进一步发展了学生的符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括的能力．
情感态度与价值观目标：
（1）在合作交流中扩展思路，经过验证反思积累数学活动经验；（2）在探索和交流的过程中，培养学生协作习惯、质疑的精神。
二、教学重点与难点：
教学重点：（1）弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；（2）发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
教学难点：会灵活用平方差公式进行运算
三、前置作业：
边长为45的正方形，去掉一个小正方形（边长为15）后剩下的面积怎样计算？（用纸板做学具）
四、教与学互动设计:
（一）创设情景，导入新课
出示引入问题：王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员很惊讶地说：“你好象是个神
童，怎么算得这么快？”王捷同学说：“过奖了，我利用了在数学上学过的一个公式。
”你知道王捷同学用的是一个什么样的公式吗?你想当王捷这样的神童吗？认真学完这节课后，你也能成为神童的。
我们今天要学习的课程是平方差公式。
（板书课题）
（二）激发兴趣，合作探究
拼图游戏
解决正方形问题课件展示前置作业：边长为45的正方形，去掉一个边长为15的小正方形后剩下的面积怎样计算？
1
预设结果1：第一组同学想到用大正方形的面积减去小正方形的面积：即：452－152=2025－225=1800
预设结果2：第二组同学想到对剩余的图形进行分割计算，分别求出边长，计算每一块图形的面积，再相加。
即：45x(45-15)+(45-15)x15=1350+450=1800
预设结果3：老师还有这样的方法，用割补的方法得右边长方形，其面积=（45+15）（45－15）=60×30=1800
由此得：结论：(45+15)(45-15)= 452－152
文字语言：两数的和乘以这两数的差等于这两数的平方差
（三）探索新知，熟练技能
1、用多项式乘法法则计算,直接写出结果。
（1）(x+1)(x-1)=x2－12 (2) (m+2)(m-2)=m2－22=m2－4
2、不用计算，你能得到下列式子的结果吗？
让学生得出：()()=
a a2－b2
b
-
+b
a
3、用多项式乘法法则验证你的结论。
()()=
b
a a2–ab+ab+b2=a2－b2
a
+b
-
4、抛出问题1：用文字语言怎么表述？
板书：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
发现公式的特征
问题2：公式中的a,b可以表示什么？
公式中a,b可以表示数，单项式，多项式甚至更复杂的代数式。
问题3：平方差公式公式的特征怎样？
1、结构特点：左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即( 相同项 )2 －(相反项 )2
2、符号特点：左边是乘积的形式，右边是差的形式
学生练习：下列多项式相乘，哪些可以用平方差公式？哪些不能？并说明原因。
（小组讨论，指明回答）
(1)(2x-3y)(3y-2x) (2)(-2x+3y)(2x+3y)
(3)(2x-3y)(2x-3y) (4)(2x+3y)(2x-3y)
(2)、(4)可以用，(1)、(3)不能应用。
（四）应用迁移，巩固提高
1、想一想：课前导入的问题如何快速的算出答案？
预设学生回答：9.8x10.2=(10-0.2)x(10+0.2)=102－（0.2）2=10 0-0.04=99.96
2、初步应用。
例1 运用平方差公式计算：（x+2y)(x-2y)
解：原式＝x2－(2y)2＝x2 - 4y2
例2运用平方差公式计算：（-1/4x+y）(-1/4x-y)
解：原式＝（-1/4x）2－y2＝1/16x2－y2
注意:平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
（五）反馈练习巩固新知
学生练习：利用平方差公式计算：
（1）（5+6x）（5－6x）；（2）（－m+n）（－m－n）
（3）（ab+8）（ab－8）（4）(m+n)(m-n)+3n2
（六）总结反思，拓展升华
本节课我们探索平方差公式，我们一起来梳理一下，总结我们的收获。
1.平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2
公式的结构特点：两个二项式相乘时，有一项相同，另一项
互为相反数，积等于相同项的平方减去相反数项的平方。
2．应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
3）注意计算过程中的符号和括号
（七）布置作业
1.必做题：教材习题1.9
2. 选做题：体会平方差公式的几何意义。