高三三角函数复习课
三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习
(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移 个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象
高三高考数学复习课件4-6正弦定理余弦定理
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，
则满足条件的三角形有( )
A．1 个
B．2 个
C．0 个
D．无法确定
(2)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc， 则三内角 A，B，C 的度数依次是________．
π A＝ 3 .
由题意得21bcsin A＝3sain2 A，a＝3，所以 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由 bc＝8，得 b＋c＝ 33. 故△ABC 的周长为 3＋ 33.
【思维升华】 (1)对于面积公式 S＝21absin C＝21acsin B＝12 bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
π 又 0<B<π，∴B＝ 3 . (2)因为 a＝2，c＝ 2， 所以由正弦定理可知，sin2 A＝sin2C， 故 sin A＝ 2sin C.
又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C为△ABC的内角， 故sin C≠0， 则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又 A∈(0，π)，所以 A＝3π 4 .
从而
sin
C＝
1 2sin
A＝
22×
22＝12.
由 A＝3π 4 知 C 为锐角，故 C＝π6 .
故选 B.
π 【答案】 (1) 3 (2)B
第5讲 三角函数、解三解形
1 cos 2 2
2 1 与升幂公式： cos 2 2 cos ,1
1 cos 2 , 2
cos 2 2 sin 2 ).
10.辅助角公式中辅助角的确定： sin x b cos x a
（其中 角所在的角限由a,b的 a 2 b 2 sin( x ) 符号确定， 角的值由 tan b 确定）在求最值、
5 36
线上） = +k (k∈Z). (3)终边与 终边关于x轴对称 =- +2k (k∈Z).
(4) 终边与 终边关于y轴对称= - +2k
(k∈Z).
(5) 终边与 终边关于原点对称 = + +2k (k∈Z). (6) 终边在x轴上的角可表示为 =k ,k∈Z; 终边 在y轴上的角可表示为 k , k∈Z; 终边在 坐标轴上的角可表示为 2. 与
2
2
坐标向左（ >0）或向右( <0)平移||个单位得
y=sin(x+ )的图象；②函数y=sin(x+ )图象的纵 坐标不变,横坐标变为原来的
1
sin( x+ )的图象；③图象y=sin( x+ )图象 的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍,得到函数 y=sin ( x+ )的图象；④函数y=Asin( x+ ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上(k>0)或向下(k < 0) 平移|k|个单位得到y=Asin( x+ )+k的图象.要 特别注意，若由y=sin x得到y=sin( x+ )的图 象，则应向左或向右平移 y=sin x的图象？
三角函数的图象与性质(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 27 —
(4)三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性 质，如在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0，则为奇函数，若y为最大或最小值， 则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函 数，则φ＝2π＋kπ(k∈Z)．
A．y＝fx－π4为奇函数 B．y＝fx－4π为偶函数 C．y＝fx＋4π－1为奇函数 D．y＝fx＋π4－1为偶函数
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin
ωx＋π4
＋b(ω>0)的最小正周期为T.若
2π 3
<T<π，且y＝f(x)的图象关于点32π，2中心对称，则fπ2＝( A )
— 10 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
2．(易错题)(2023·宜昌检测)下列函数中，在其定义域上是偶函数的是( B )
A．y＝sin x
B．y＝sin x
C．y＝tan x
D．y＝cosx－π2
解析 对于A，∵y＝sin x的定义域为R，sin(－x)＝－sin x，∴y＝sin x为奇函
数，A错误；对于B，∵y＝
sin
x
的定义域为R，
sin－x
＝
－sin
x
＝
sin
x
，∴y＝
sin x为偶函数，B正确；对于C，∵y＝tan x的定义域为kπ－π2，kπ＋2π(k∈Z)，即定 义域关于原点对称，tan(－x)＝－tan x，∴y＝tan x为奇函数，C错误；对于D，∵y＝
高考数学复习考点知识讲解课件22 三角函数的图象与性质
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— 14 —
(新教材) 高三总复习•数学
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[解析] 由 2x＋π6≠π2＋kπ(k∈Z)，得 x≠π6＋k2π(k∈Z)，故函数 f (x)的定义域为 x|x≠π6＋k2π，k∈Z.故选 D．
— 15 —
(新教材) 高三总复习•数学
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2．(2022·东北师大附中月考)函数 f (x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为( B )
(2)∵f (x)为偶函数， ∴－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得 φ＝56π＋kπ，k∈Z. 又 φ∈(0，π)，∴φ＝56π. ∴f (x)＝3sin2x＋π2＝3cos2x. 由 2x＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝π4＋k2π，k∈Z， ∴f (x)图象的对称中心为π4＋k2π，0，k∈Z.
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— 23 —
(新教材) 高三总复习•数学
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(1)三角函数周期的一般求法 ①公式法． ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或 f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求 f (x)的对 称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求 x 即可；如果求 f (x)的对 称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令ωx＋φ＝π2＋kπk∈Z，求 x 即可．
— 9—
(新教材) 高三总复习•数学
3．函数 f (x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为( C ) A．0，56π B．0，23π C．56π，π D．23π，π
— 返回 —
[解析] 由 2kπ－π≤x＋π6≤2kπ，k∈Z，解得 2kπ－76π≤x≤2kπ－π6，k∈Z，∵x∈[0， π]，∴56π≤x≤π，∴函数 f (x)在[0，π]的单调递增区间为56π，π，故选 C．
三角函数总复习高三
三角函数总复习57.3.的终边上的任意一点（异于原点）0)，sec2sin sin tan tan 1tan tan 2tan 1tan ααβαβαα±-三角函数的化简、计算、注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！tan tan αcos 22α，sin 22cos α，1对角、函数名、式子结构化同)。
x 2sec x =”的内存联系――“知一求二”2cot 2tanCB A =+ ②任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. ③正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为ABC ∆外接圆半径) ④余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，=2b _________________,=2c ___________________.=A cos _______________________,=B cos _________________,=C cos _______________________.⑤面积公式 C ab S ABC sin 2121高＝底⨯=∆=_______=_________=))()((c p b p a p p ---＝rp Rabc=4（其中ABC r R c b a p ∆++=分别为、、)(21的外接圆、内切圆半径） ⑥边角之间的不等关系B A b a B A sin sin >⇔>⇔>15、正余弦定理适用的题型⑴余弦定理适用的题型 ①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角。
⑵正弦定理适用的题型 ①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，这时解三角形会产生多解的情况，举例说明已知时，和、A b a 解的情况如下： i A 为锐角（A b a sin 与的关系）ii A 为钝角（b a 与的关系）16.三角函数的图像和性质1.正弦曲线：正弦函数x y sin =,R x ∈的图像叫做正弦曲线。
三角函数的图象与性质课件高三数学一轮复习
4π
3
4π
C.
3
≤ φ ≤ 2π
4π
D.
3
≤φ≤
[解析] 因为 ∈ [− , ],所以�� + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以
+ ≤ ,
−
+ ≥ ,
解得
+<
,且函数
≤≤
,即
在[− , ]上单调递增,
φ = kπ +
π
2
k∈ .
③若y = Atan ωx + φ 为奇函数,则有φ = kπ k ∈ .
自测诊断
1.函数f x = 2sin
A.
π
2
1
x
2
−
π
4
的最小正周期为(
B.π
[解析] 由题意知,在 =
D )
C.2π
−
D.4π
中, = ,∴ =
=
π 3π
π π
A.
B. ,
C. − ,
D.
4 4
2 2
[解析] 因为 = + − = + = − ,
令 − ≤ ≤ + , ∈
,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,
高三复习课件_三角函数的图像和性质
， k∈ Z，
考点 2
三角函数的值域及最值
求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为： (1)y ＝ asinx ＋ bcosx 型可引用辅助角化为 y ＝ a2＋b2 b sin(x＋φ)(其中 tanφ＝a)． (2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x 型可通过降次整理化为 y＝Asin2x＋Bcos2x. (3)y＝asin2x＋bcosx＋c 型可换元转化为二次函数． (4)sinxcosx 与 sinx± cosx 同时存在型可换元转化． asinx＋b acosx＋b (5)y＝ (或 y＝ )型， 可用分离常数法或由 csinx＋d ccosx＋d |sinx|≤1 来解决． asinx＋b (6)y＝ 型，可用斜率公式来解决． ccosx＋d
对称中心
[小题能否全取]
π 1．函数 y＝tan4－x的定义域是 π A.xx≠4 ，x∈R
(
)
π B. x x≠－4
，x∈R ，k∈Z，x∈R ，k∈Z，x∈R
π π sin－18>sin－10.
答案：>
π 5．(教材习题改编)y＝2－3cosx＋4 的最大值为________．
此时 x＝________.
解析： 当
π cosx＋4 ＝－1
时， 函数
π y＝2－3cosx＋4 取
奇偶性
奇
函数
y＝ sinx
y＝ cosx 对称中心 (kπ
y＝ tanx 对称中心
π ＋ ， 0)， k∈ kπ 2 ( kπ ， 0)， k∈ Z ( ， 0)， k∈ Z 对称 2 Z 性 对称轴 l：x＝ 对称轴 l：x＝ 无 π k π ＋ ， k∈ Z kπ ， k∈ Z 2 周期 性 2π 2π π
第一方案高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节两角和与差的正弦余弦和正切公式课件
•关 注 热 点
•1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进 展三角函数式的化简求值是高考常考的内容．
•2.公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变 形用)是高考热点．
•3.在选择题、填空题、解答题中都可以考察.
•1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
•2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
•(1)sin2α＝ 2sinαcosα
(2009·陕西高考)若3sinα＋cosα＝0，则
cos2α＋1 sin2α的值为(
)
10
5
A. 3
B.3
2 C.3
D．－2
•【思路导引】 1的变用：1＝sin2α＋cos2α， 代入化简即可．
【解析】 由已知cosα＝－3sinα， ∴cos2α＋1 sin2α＝coss2iαn2＋α＋2scinoαs2cαosα＝9ssiinn22αα＋－96ssiinn22αα ＝130ssiinn22αα＝130.
2＋2cos8＋2 1－sin8的化简结果是( )
A．4cos4－2sin4
B．2sin4
C．2sin4－4cos4
D．－2sin4
•【思路导引】 因为8＝2×4，所以可利用二 倍角公式，升幂开方化简即可．
【解析】 2＋2cos8＋2 1－sin8 ＝ 21＋cos8＋2 1－2sin4cos4 ＝ 2×2cos24＋2 sin4－cos42 ＝－2cos4＋2(cos4－sin4) ＝－2sin4.
时，选正、余弦函数；若角范围是(0， π2 )，正、余弦函数均
可；若角范围是(0，π)时，一般选余弦函数；若是(－
π 2
，
π2)，则一般选正弦函数等．
3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始
高三数学 三角函数复习
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三基能力强化
2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)， 则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
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三基能力强化
解析：选A.当k＝2m＋1(m∈Z)时， α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°， 故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时， α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角， 由此应选A.
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z
α2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z
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基础知识梳理
1.终边相同的角相等吗？ 【思考·提示】 不一定相 等．终边相同的角有无数个，它们相 差360°的整数倍．
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基础知识梳理
2．弧度制 (1)把长度等于
试确定 2α，α2终边所在的位置．
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课堂互动讲练
解：∵α是第三象限角， ∴180°＋k·360°<α<270°＋ k·360°(k∈Z)． ∵360°＋2k·360°<2α<540°＋ 2k·360°(k∈Z)， 即(2k＋1)·360°<2α<180°＋(2k＋ 1)·360°(k∈Z)， ∴2α的终边在第一或第二象限， 或在y轴的正半轴上．
图中有向线段MP，OM，AT分别 表示正弦线 、余弦线 和正切线 ．
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高三数学复习(理)：第4讲 第1课时 三角函数的单调性与最值
第4讲 三角函数的图象与性质[学生用书P77]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且x ≠kπ＋π2，k ∈Z }值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶 性奇函数偶函数奇函数单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ＋π2，0)(k∈Z)对称中心是(kπ2，0)(k∈Z)常用结论(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π|ω|，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．(3)三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．()(2)若y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.()(3)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( )(4)函数y ＝sin x 图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )． ( ) (5)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视y ＝A sin x (或y ＝A cos x )中A 对函数单调性的影响； (2)忽视正、余弦函数的有界性； (3)不注意正切函数的定义域．1．函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是________． 答案：[2k π－π，2k π]，k ∈Z2．函数y ＝－cos 2x ＋3cos x －1的最大值为________． 答案：13．函数y ＝cos x tan x 的值域是________． 答案：(－1，1)第1课时 三角函数的单调性与最值[学生用书P78]三角函数的定义域(自主练透) 1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6（k ∈Z ）解析：选D.由2x ＋π6≠k π＋π2，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z )． 2．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎨⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎨⎧sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎨⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数y 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z3．(一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． 解析：方法一：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．方法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }． 方法三：sin x －cos x ＝2sin(x －π4)≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以函数y 的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }． 答案：{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．函数的单调性(多维探究) 角度一 求三角函数的单调区间(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．(2)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间是________．(3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )， 得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．(3)因为y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在R 上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 【迁移探究】 本例(3)中，将x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2改为x ∈[－π，π]，则函数的单调递减区间是________．解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π＋π2≤x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π6≤x ≤2k π＋7π6(k ∈Z )，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在R 上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋7π6(k ∈Z )．又x ∈[－π，π]，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．角度二 根据单调性求参数(1)(一题多解)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B ．π2 C.3π4D ．π(2)(一题多解)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是________．【解析】 (1)方法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，a ＋π4，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.方法二：f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.于是，由题设得f ′(x )≤0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在区间[0，a ]上恒成立．当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，a ＋π4，所以a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.(2)方法一：因为x ∈[－π2，2π3](ω>0)， 所以ωx ∈[－ωπ2，2πω3]，因为f (x )＝2sin ωx 在[－π2，2π3]上是增函数， 所以⎩⎨⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34. 方法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在[－π2，2π3]上是增函数，需⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω(ω>0)，即0<ω≤34.方法三：由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω](k ∈Z )，由题意知[－π2，2π3]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω](k ∈Z ，ω>0)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π2，π2ω≥2π3，即0<ω≤34.【答案】 (1)C (2)(0，34]已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的3种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：选A.A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cosx 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.2．(2020·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z 解析：选B.由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z ，故选B.3．若函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， 所以g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．又因为函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a ，7π6上均单调递增，所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，0<a 3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，7π24三角函数的值域(师生共研)(1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.(3)设t ＝sin x －cos x ，则－2≤t ≤2，t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，则sin x cos x ＝1－t 22，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1求三角函数的值域(最值)的4种类型及解法思路(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)形如y ＝t ＋at (a >0，t >0)的可考虑基本不等式．1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，－π3≤x ≤π6，则f (x )的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 3D.3＋1解析：选C.f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为－π3≤x≤π6，所以－π6≤x ＋π6≤π3，故当x ＝π6时，f (x )取最大值为 3.故选C.2．设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1的最大值为________．解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0，y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1＝2sin x cos x 3sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 3tan 2x ＋1＝23tan x ＋1tan x≤223＝33，当且仅当3tan x ＝1tan x 时等号成立，故最大值为33. 答案：33[学生用书P80]思想方法系列8 换元法求三角函数的最值(值域)已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则实数m 的取值范围是________． 【解析】 记t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，则函数f (x )可转化为g (t )＝－10t 2－10t－12＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋2. 因为函数的最大值为2，显然此时t ＝－12. 令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由题意知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，当x ＝－π2时，t ＝－1，g (－1)＝－12，结合g (t )的图象及函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，可得－12≤sin m ≤0，解得－π6≤m ≤0.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0对于函数y ＝a sin 2(ωx ＋φ)＋b sin(ωx ＋φ)＋c 的最值或值域问题，可通过换元(令t ＝sin(ωx ＋φ))转化为y ＝at 2＋bt ＋c 的最值或值域问题．用换元法求解此类问题时，需注意换元后“元”的取值范围的变化．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________．解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ， 则t ∈[－2，2]， 且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72. 答案：72[学生用书P377(单独成册)][A 级 基础练]1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( )A ．{x |x ≠π4}B ．{x |x ≠－π4}C ．{x |x ≠k π＋π4(k ∈Z )}D ．{x |x ≠k π＋3π4(k ∈Z )}解析：选D.y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由x －π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠k π＋3π4(k ∈Z )．故选D.2．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A ．[－π2，π2] B ．[0，π] C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]解析：选D.将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：选 D.y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2.结合选项中图形知，D 正确．4．(2020·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x ，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z ) B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z ) C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )解析：选A.f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选A.5．(2020·昆明市三诊一模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，72 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，72 解析：选B.方法一：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，ω>0，所以ωx －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，ωπ2－π4.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3，故选B.方法二：当ω＝2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，满足题意，故排除A ，C ，D ，故选B.6．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.解析：因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.答案：＞7．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin＝23.答案：238．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10－2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，则实数a 的最大值是________．解析：方法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π5，7π5上单调递减，所以a 的最大值为7π5.方法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10， 而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5. 答案：7π59．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．解：令－π2≤2x －π6≤π2，则－π6≤x ≤π3. 令π2≤2x －π6≤3π2，则π3≤x ≤5π6.因为－π12≤x ≤π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2上单调递减． 当x ＝π3时，f (x )取得最大值为1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，所以当x ＝－π12时，f (x )min ＝－32. 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.[B 级 综合练]11．(2020·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对于一切x ∈R 恒成立，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )解析：选B.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对于x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为函数f (x )的最大值，即2×π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，2π)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ π6.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．故选B.12．(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＋1，则下列选项正确的是( )A ．当x ＝π6时，f (x )取得最大值B ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增C ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上单调递减D ．f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π12解析：选C.由题意可知f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.对于选项A ，当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，不是最大值，选项A 错误；对于选项B ，当2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )单调递增，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0不是f (x )的单调递增区间，选项B 错误；对于选项C ，当2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 时，f (x )单调递减，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6是f (x )的单调递减区间，选项C 正确；对于选项D ，由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，所以直线x ＝π12不是f (x )的图象的一条对称轴，选项D 错误．故选C.13．(2021·沈阳市教学质量监测(一))设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点，则ω的取值范围是________．解析：当x ∈[0，2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5，因为f (x )＝[0，2π]有且仅有5个零点，所以5π≤2πω＋π5<6π，所以125≤ω<2910.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，291014．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－π，π]，解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.[C 级 提升练]15．(2021·湖北八校第一次联考)若函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在区间[a ，b ]上是减函数，且f (a )＝2，f (b )＝－2，则函数g (x )＝cos x －3sin x 在区间[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值2D ．可以取得最小值－2解析：选 D.f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，g (x )＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3.f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，且f (a )＝2，f (b )＝－2，不妨令a ＋π3＝π2，b ＋π3＝3π2，则a ＋π2＋π3＝π，b ＋π2＋π3＝2π，故g (x )在[a ，b ]上既不是增函数，也不是减函数，g (x )在[a ，b ]上可以取得最小值－2，故选D.16．已知函数f (x )＝(x －a )k ，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( )A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cosB )B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B )C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B )D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )解析：选D.A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，因为A ＋B ＞π2，所以π2＞A ＞π2－B ＞0，所以sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，cos A ＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝sin B ，且sin A ，sin B ，cos A ，cos B ∈(0，1)．当k ＝1，a ＝2时，函数f (x )＝x －2单调递增，所以f (sin A )＞f (cos B )，f (cos A )＜f (sin B )，故A ，B 错误；当k ＝2，a ＝1时，函数f (x )＝(x －1)2在(0，1)上单调递减，所以f (sin A )＜f (cosB )，f (cos A )＞f (sin B )，故C 错误，D 正确．。
三角函数公开课(高三复习) PPT课件 图文
(2)由S＝12bcsin A＝12bc·23＝ 43bc＝5 3，得bc＝20.又b＝ 5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝ 21，故a＝ 21.
又由正弦定理得sin Bsin C＝basin A·acsin A＝bac2sin2A＝2201 ×34＝57.
(1)求ω的值； (2)求 f(x)在区间 π，32π 上的最大值和最小值．
[自主解答]
(1)f(x)＝ 3－ 3sin2ωx－sin ωxcos ωx 2
＝ 3－ 2
3·1－cos 2
2ωx－12sin
2ωx
＝
3cos 2
2ωx－1sin 2
2ωx＝－sin
2ωx－π 3
.
因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π， 4
入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 2．三角恒等变换的“五遇六想” (1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差异，想联
系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引辅 角．
——————————————————————
练习 1.(2013·北京高考)已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋ 1cos 4x. 2
(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数 的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化 为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后再求解．
(2)对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函数，要通过
引入辅助角化为y＝ a2＋b2 sin(ωx＋φ) cos φ＝ a2a＋b2，
b
＝cos C，求函数 f(A)的取值范围． cos B
高三数学三角函数复习教案
高三数学三角函数复习教案函数的知识是高中里面比较重要的知识，教师需要好的教案来教诲学生，今天作者在这里整理了一些高三数学三角函数复习教案，我们一起来看看吧!高三数学三角函数复习教案1“函数的单调性”教案【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面知道函数单调性的概念，学会利用函数图像知道和研究函数的性质，初步掌控利用函数图象和单调性定义判定、证明函数单调性的方法.【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生视察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.【德育目标】通过知识的探究进程培养学生仔细视察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特别到一样，从感性到理性的认知进程.【教学重点】函数单调性的概念、判定及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际运用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判定或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判定或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用以下(1)函数的单调性起着承前启后的作用。
一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系;函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
(2)函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准肯定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质ppt课件.ppt
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
注 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期 性是: 弦减半、切不变.
课
前 热 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
身
1.给出四个函数:
(A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
要特别注意, 若由 或向右平移应平移 |
y=s| i个n(单x位) 得. 到
y=sin(x+)
的图象,
则向左
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(xR) 是奇函数, 对称中心是 (k, 0)(kZ), 对 对称称轴 中是 心直 是线(kx+=k2,+0)2(k(kZZ),);对余称弦轴函是数直y线=coxs=xk(x(kR)Z是)(偶正函, 数余,
1、 解：（1） m n 2 3sin xcos x 2cos2 x
作函数
y
2
s
in(1
x
3
)
的图象，并说明图象可
由函数 y sin x 的图象经过怎样的变换得到.
高三高考数学第一轮复习课件三角函数复习
最小值分别为M和m，则有（B）
（A）M=2 2-1, m=-4
（B）M=2 2-1, m=-1-2 2
（C）M=-2, （D）M=2
m=-2-2 2 +2 1, m=-1-2
2
第十八页，共29页。
二、填空题
13）已知|sinθ|= __2_或__-_12___。
4 5
,sin2θ<0,则tan
的2 值是
条对称轴；
③在区间[
4
,
5
4
]上函数y=sinx+cosx是
增函数；
④函数y=sinx+cosx的图象可由y= 2sinx 的图象向右平移 个单位而得到。其中所 有正确命题的序号4 为__②___。
第二十页，共29页。
三、简答题
17）求函数y=
2sinxcos2 1sinx
x
的最大值及此时x
2、两角和差三角函数：（1）两 角和及差的正弦、余弦、正切；（2） 二倍角的正弦、余弦、正切。
第三页，共29页。
3、三角函数的图象及性质：（1） 正余弦函数的图象及性质；（2）函 数y=Asin(ωx+φ )的图象及性质； （3）已知三角函数值求角。
（二）典例分析
第四页，共29页。
例1 函数f(x)=Msin(ωx+φ ) (ω>0)在区间
14）sin110
3 co1s0
_4___
15）函数y=2sin(2x+ )(x∈[-π,0])的单调
递减区间是__[__5_6__，_6__3_]_。
第十九页，共29页。
16）已知函数y=sinx+cosx，给出以下四个
命题：
高三一轮复习——三角函数的概念完整版课件
1、在平面直角坐标系中 ，角的定点与原点重合，始 边 与x轴的非负半轴重合，终 边过点P( 3,1),则tan ___, cos sin( ) ___.
2
2、在平面直角坐标系中 ，角与角均以Ox为始边， 它们的终边关于 y轴对称.若sin 1 ,则cos( ) ____;
1、已知函数f (x) sin 2 x cos2 x 2 3 sin x cos x(x R)
(1)求f ( 2 )的值；
3 (2)求f (x)的最小正周期及单调递 增区间.
三、三角函数的性质——单调性与值域
2、已知函数f (x) sin 2x a cos2x的图象关于x 对称，
3
4
是函数f
(x)
sin x(
0)
相邻的两个极值点，则 ________.
三、三角函数的图象与性质
5、设函数f (x) 2sin(x ), x R,其中 0,| | ,
若f (5 ) 2, f (11 ) 0,且f (x)的最小正周期大于 2，
8
8
则 ______, _______.
6、设函数f (x) Asin(x )(A 0, 0)在区间[ , ]
62
上具有单调性，且 f ( ) f ( 2 ) f ( ),
2
3
6
则f (x)的最小正周期为 ________;
三、三角函数的图象与性质
7、设函数f (x) sin 2 x bsin x c,则f (x)的最小正周期 A、仅与b有关B、仅与c有关C、都有关D、都无关
6 则a的值为_______;
3、设函数f (x) cos(x )( 0).若f (x) f ( )对任意
6
中学高三数学三角函数的图像与性质复习课件新人教A版
的图象关于直线
x=-
8
对称,
求a
解: y=sin2x+acos2x= a2+1 sin(2x+), 其中, tan=a.
法1 ∵∴∴函当2(-数x=8y-)=+s8in时=2k,x++ya取c2o,最sk2大x 的Z值.图或∴象最关小=于值k直.+ 线34x, =k-8Z对. 称,
∴a=tan=tan(k+
3
4
)=-1.
法2
∵函数
y=sin2x+acos2x
的图象关于直线
x=-
8
对称,
∴当 x=-
8
时,
y 取最大值或最小值.
|sin2(-
8
)+acos2(-
8
)|2=a2+1
解得 a=-1.
第二十一页，共30页。
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2.如果函数 的值.
y=sin2x+acos2x
的图象关于直线
x=-
8
对称,
求a
第八页，共30页。
返回目录
例2：如何由y=sinx 的图象得到y=3sin(2x+
π
3)
方法1： y=sinx
纵向伸长3倍
y=3sinx
y
左移 π
3π
y=3s横i向n(缩x+短31)
y=3sin(2x+ 2π)
y=sinx
3
－
－ 3
6
O
y=3sin(2x+ ) )
3
x
y=3sin(x+ )
3
法3
∵函数
y=sin2x+acos2x
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任意角的概念
角的度量方法 （角度制与弧度制）
弧长公式与 扇形面积公式
正弦型函数的图象
y Asin x
同角公式
任意角的 三角函数
诱导公式
两角和与差的 三角函数
三角函数的 图形和性质
二倍角的 三角函数
三角函数式的恒等变形 （化简、求值、证明）
已知三角函数值，求角
(一)三角函数的图象与性质
求 sin2 20 cos2 50 sin 20 cos 50值.
基本思路:
①利用降幂公式sin2α 1 cos 2α，cos2α 1 cos 2α
2
2
②利用积化和差公式sinαcosβ 1 [sin(αβ) sin(αβ)]
③利用和差化积公式cosα
2
cosβ
2 sinαβsinαβ
2
2
例4(94年，上海)
已知sinα 3，α (π,π)，tg(π－β) 1 ,
5
2
2
求tg(α－2β)值.
解题步骤:
①由sinα值求出cosα值，得出tgα值;
②由tg(πβ)值，求出tgβ值，再求tg2β值; ③再利用差角公式求出tg(α 2β)值.
答案:tg(α－2β)=7/24.
例5(1995年, 全国)
①当函数 y取得最大值时，求自变量 x
的集合。
②该函数的图象可由 y sin x(x R)的图 象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
列表取值方法：是先对ωx+φ取 0，π/2，π，3π/2，2π
法二：图象变换法 2、y=Asin(ωx+φ)关于 A、ω、φ的三种变换
（1）振幅变换（对A） （2）周期变换（对ω） （3）相位变换（对φ）
3、求y=Asin(ωx+φ)+K 的解析式的方法
1、先由图象确定A与T 2
2、由ω= T 求ω 3、特殊点代入法求
1、求定义域 （注意与不等式的结合）
2、求值域题 如：求y=asinx+bcosx的最值题及其变换题
3、求周期
4、奇偶性
5、单调性：如求单调区间、比较大小
四、图象变换题
1、画图和识图能力题：如：描点法、
五点法作图、变换法
2、已知图象求解析式（五点法作图的应用）
例3 已知函数y 3 sin x cos x，x R ①当函数y取得最 大值时，求自变量x的集合; ②该函数图象可由y sin x，x R的图象经过怎样
的平移和伸缩变换而得到？
解题步骤:
1.化函数为y
2 sin( x
π)，x
R
3分
2.y取最大值时得x的集合为6{x｜x
2kπ
π ,
k
Z}
6分
3.指出变换过程:
3
①将y sin x图象向左平移π，得到y sin(x π)图象 9分
6
6
②将所得图象上所有点的横坐标不变，把纵坐标
伸长到原来的2倍, 得到y 2sin(x π/ 6)的图象. 12分
最后结果: 原式 3 4
例6(1996年, 全 国) 已知△ABC中，三内角为A, B,C，满足
A C 2B， 1 1 2 ，求cos A C 的值.
cos A cos C cos B
2
解 :由题设有B 60, A C 120,则cos B 1 . 2
有 1 1 2 2, cos A cos C
成立的 x 取值范围是（C）
(
A)(
4
,
2
)
(
,
5
4
)(
B)(
4
,
)
2、（(C00)(年4 ）, 54函)(数D)y(
4
,x c)os x(的54部, 3分2 )图
象是（ D ）
y
y
y
y
0x
( A)
0x
(B)
0x
(C)
0x
(D)
例8、(00年)已知函数
y 3 sin x cos x, x R
①其最小正周期是2π/3； ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位得到； ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4)； ④在x∈[π/12，5π/12]上为增函数.
其中正确的命题的序号是_①___④_____
2、已知三角函数求角 3、求正弦、余弦型函数的解析式 三、三角函数的图象与性质题
4、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象的对称中心 和对称轴方程
对称轴：ωx+=k+ 2
2k+-2 x= 2ω
k-
对称中心: ω ,0
k为整数
课堂练习
1.给出四个函数:
(A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
(C)y=sin(x/2+π/6) (D)y=tan(x+π/6)
A 则同时具有以下两个性质的函数是(
)
①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称.
2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论中
正确的是(D )
(A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π
(B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1
(C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象
(D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象
3.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移π/4个单位后再 作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x，则f(x)
是( B)
(A)cosx (B)2cosx (C)sinx (D)2sinx
４.关于函数f(x)=２sin(3x-3π/4），有下列命题：
即cos A cosC 2 2 cos AcosC
即2cos A C cos A C 2[cos(A C) cos(A C)]
2
2
AC 2
cos
2 cos(A C)
2
2
cos A C 2
2 2
2 (2 cos 2
A
2
C
1) cos
A
2
C
2. 2
例7
1、（02年）在 0, 2 内使sin x cos x
3、正切函数的图象与性质
y=tanx
y 图
象 3
2
2
o
Hale Waihona Puke 232x
定义域 {x | x k , k N}
2
值域 R
周期性 T
奇偶性 奇函数
单调性(k , k )(k Z )
2
2
(二) y=Asin(ωx+φ)的相关问题 1、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法
法一：五点法
y=sinx
y
图
1
象
2
-1
o
2
3
2
2 x
定义域
R
值域 性 周期性
[-1，1]
T=2
奇偶性
奇函数
质 单调性
[2k ,2k ]增函数
2
2
[2k ,2k 3 ]减函数
2
2
y=cosx
y 1
o 3 2 x
2 -1 2
2
R
[-1，1]
T=2
偶函数
[2k ,2k ]增函数
[2k ,2k ]减函数