第6章保角变换-数学物理方法

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1 w 0在z平面上的逆象为 z ( z 1 i对应w ). 1 i 由交比不变性知
1 (1,0, w , ) 1, , z ,1 i 1 i w 1 z 1 1 i 1 z 1 , zi z i 即 1 w z 1 1 i 1 i 1 i
定义 设 w f ( z ) 在 z0 的邻域内是解析的, 在 z0 具有保角性和伸缩率不变性，那末 w f ( z ) 在 z0 是共形的，或称 w f ( z ) 在 z0 是共形映射．
也称为第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不 变而方向相反的映射, 称为第二类共形映射
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3.分式线性映射
2z 1 所以 w e , 2 z
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3 又因 f ( z ) e 2, (2 z )
i
i 1 4 e 0, 所以 f 3 2
1 arg f 2kπ 2
2z 1 所求映射为w . 2 z
( k 0,1,2)
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z 例4 问分式线性映射w 将单位圆盘 z 1映 z 1 射成 w 平面上的什么区域 ?
z解出: 解 由已知条件z 1, 故从所给映射中将 w w z , z 1 w 1 w 1
即 w w 1 ( w 1)( w 1) w ( w w ) 1, 1 1 1 所以 w w 1 ( w w ) , 即 Re( w ) , 2 2 2 1 故 z 1映为w平面上的半平面Re( w ) . 2
az b 定义 w (ad bc 0, a , b, c , d均为常数.) cz d 称为分式线性映射. 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: (1)平移映射 w z b ;
( 2)旋转与相似映射 w az ; 1 ( 3)反演映射 w . z
因为 z 1 i 时, w , 所以 1 (1 i ) 0, 1 1 , , 1 i 1 i 1 又 z 1时, w 1, 所以 A i, 1 1 z ( i 1) z 1 1 i 为所求. 故 w i 1 z ( 1 i ) 1 z 1 i
i
f ( z )与 ( w )互为反函数，
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由 arg f (2) 0，
arg ( i ) arg
1 0, f ( 2 )

i 2( w i ) ( i ) 2 e 2 iw
2e i 3 ,
wi
2( w i ) 得 0. 所以 z 2 ， 2 iw z (2 i ) . 故 w iz 2 (1 i )
方法2 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 绕向相同.
则 C的内部就映为 C 的内部. 若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
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分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二
圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区
域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二
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2) 指数函数w e z . 映射特点: 把水平的带形域0 Im( z ) a 映射成 角形域0 arg w a . (w) ( z ) ai
we
z
0 特殊地: ( z ) 2i
0
w e2

(w)
0 如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数.
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0
三、典型例题
( i 1) z 1 所以 w 为所求. z (1 i )
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解2 利用不变对称点
因 z 1 i 时, w , 又 z 1时, w 1,
az b 所以 w , z (1 i )
故 i a b,
由对称点的不变性知， z 1 对应 w 0, 1 i
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2
2
2
iz w e 例5 试证明在映射 下, 互相正交的直线族 Re( z ) C1与 Im( z ) C2依此映射成互相正交的直 线族与圆族 u 2 v 2 e 2C 2 .
证
设 z x iy, w u iv ,
Re( z ) x , Im( z ) y ,
例1 求分式线性映射 , 使 z 1映射成 w 1 , 且使 z 1,1 i 映射成 w 1, .
解1 利用分式线性映射不变交比和对称点
因为w 0与w 是关于圆周w 1的对称点,
1 又 z 1 i 关于圆周 z 1 的对称点为 , 1 i
据分式线性映射不变对 称点的性质知
夹角在其大小和方向上都等同于经过 w f ( z )
映射后跟C1与C2对应的曲线1与 2之间的夹角 .
映射 w f ( z ) 具有保持两曲线间夹角 的大小和
方向不变的性质, 此性质称为保角性.
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4）伸缩率
极限 f ( z0 ) lim ( s表示C上点z0与z间的 z z0 s 弧长, 表示上对应的w0与w之间的弧长)的值称 为曲线C在z0的伸缩率.
(z) (w)
0
0
w zn zn w
0
n 0
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2 w z 将角形域0 arg z 共形映射成w平面上 n 除去正实轴的区域 . (z) (w)
n
特殊地:
0
2 n
w zn zn w
0
因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利 n w z (或根式函数 w n z ) 所构成的共 用幂函数 形映射.
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例2 求一个分式线性映射 w f ( z ) 它将圆 z 1 映成圆 w 1 ,且满足条件 f (1 2) 0, f (1 2) 0. 解 因 z 1映成 w 1 的映射为
za w f (z) e 1 az
i
( a 1)
i
1 因为 a , 2
因为 w e iz e y (cos x i sin x )
所以 u e cos x, v e sin x,
y y
u2 v 2 e 2 y , v u tan x,
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又因为 Re( z ) x C1 , Im( z ) y C2
u2 v 2 e 2C2 , v u tan C1 .
保角变换
复变函数在几何意义上实际上相当于将平 面上的区域变成了平面上的另一个区域（简称 为映射）． 应用：利用复变函数（特别是解析函数）所构 成的映射来实现复杂区域的简单化，这将给实 际问题的研究带来很大的方便．而利用保角变 换法求解数学物理方程边值问题．
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本章内容： 1）保角射的概念； 2）分式线性映射和几个初等函数所构成的 映射； 3）典型实例描述保角映射的应用． 重点： 分式线性变换及其映射特点 难点：
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分式线性映射的性质 1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应. 2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.
如果规定两条伸向无穷远的曲线在z 处 1 的夹角, 等于它们在映射 下所映成的通 z 过原点 0的两条象曲线的夹角 , 则分式线 性映射是保角的.
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3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性
故
b 1, a 1 i ,
(1 i ) z 1 ( i 1) z 1 所以 w 为所求. z (1 i ) z (1 i )
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解3 利用典型区域映射公式
将所求映射设为 w e i
z z A , 1 z 1 z
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w f (z) 例3 求一个分式线性映射 映成圆w 2i 2 ，且满足条件
z2 1 它将圆
f ( 2) i , arg f ( 2) 0.
解
令z 2 ,
w 2i w1 , 2
w1 g( ),
1
w1 g( )
w1 1,
i 2i i , 0 w1 2 2
分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射
成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.
注意：1. 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周.
2. 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无
穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.
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4）分式线性映射具有保对称性.
设点 z1 , z2 是关于圆周 C的一对对称点 , 那么 在分式线性映射下, 它们的象点 w1 , w2也是关于
f ( z0 ) 是经过映射w f ( z ) 后通过点z0 的
的任何曲线C在 z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及
方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
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2.共形映射（保角映射）
设函数w f ( z )在区域 D内解析, z0为 D内一点,
且 f ( z ) 0 , 那末映射w f ( z ) 在 z0 具有两个性 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
C的象曲线 的一对对称点.
这一性质称为保对称性.
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4.唯一决定分式线性映射的条件
在 z平面上任意给定三个相 异的点 z1 , z2 , z3 , 在 w 平面上也任意给定三 个相异的点w1 , w2 , w3 ,
那么就存在唯一的分式 线性映射, 将 zk ( k 1,2,3) 依次映射成wk (k 1,2,3).
分式线性变换与初等函数相结合，求一 些简单区域之间的映射
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第一节 保角映射的概念
1. f ( z ) 的几何意义
3
1) 导数f ( z0 ) 0的幅角Arg f ( z0 )是曲线C经过 w f ( z )映射后在z0处的转动角 . 2) 转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关. 3)保角性 相交于点 z0 的任意两条曲线C1与 C2之间的
由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 故命题得证. [证毕]
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试将如图所示的区域映射到上半平面. y zi i w1 , 解 取分式线性映射 zi 将切点i映射为w1 , 并将
例6
z i映射为w1ห้องสมุดไป่ตู้ 0.
由分式线性映射的保圆性知：
i 2
O
1x
i w1将两相切的圆周映射为 两平行的直线 (且w1 (1) i ).
圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域. 3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
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5. 几个初等函数所构成的映射
1) 幂函数 w z n ( n 2).
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原
点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
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当 w1 g( )时，
w1 i 2 , g ( w1 ) e 1 i w1 2
1
i
( w 2i ) 2 i 2 z2e , 1 ( i 2) (( w 2i ) 2)
i
2( w i ) ( w ), 所以 z 2 e 2 iw
az b 即w (ad bc 0)可由下式给出 : cz d
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
交比不变性
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对确定区域的映射 在分式线性映射下, C的内部不是映射成 C 的内部便映射成 C 的外部. 判别方法: 方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取 一点 z0 , 若 z0的象在 C 内部, 则 C的内部就映为 C 的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映 为 C 的外部.