专题06 函数的奇偶性与周期性 复习资料(解析版)

考点一 判断函数的奇偶性
例 1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3；
lg(1－x2)
(2)f(x)＝
；
|x－2|－2
x2＋x，x<0， (3)f(x)＝
－x2＋x，x>0.
3－x2≥0，
【解析】 (1)由
得 x2＝3，解得 x＝± 3，
x2－3≥0，
即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}，
角度 1 函数单调性与奇偶性
【例 3－1】(2017·全国卷Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若 f(1)＝－1，则满足
－1≤f(x－2)≤1 的 x 的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
【答案】D
【解析】 (1)∵f(x)为奇函数，
性.
2.本题充分利用偶函数的性质 f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.
角度 2 函数的奇偶性与周期性 【例 3－2】（1）(2017·山东高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当 x∈[－ 3,0]时，f(x)＝6－x，则 f(919)＝________. 【答案】6 【解析】 ∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为 6， ∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)． 又 f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
2021 高考领跑一轮复习资料·数学篇
专题 06 函数的奇偶性与周期性
一、【知识精讲】 1．函数的奇偶性
(1) 奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数
关于 y 轴
对称奇函 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 关于原点对
故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
法二 取一个符合题意的函数 f(x)＝2sin πx，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以 4 为周期 2
的周期数列.
故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]
1．函数奇偶性常用结论
(1)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0.
(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(4)y＝f(x＋a)是奇函数，则 f(－x＋a)＝－f(x＋a)；
小正周期．
3．函数的对称性常见的结论
a＋b (1)函数 y＝f(x)关于 x＝ 对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
2
特殊：函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)； 函数 y＝f(x)关于 x＝0 对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)． (2)函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函数 y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称． [知识拓展]
综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数.
【解法小结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0.
wenku.baidu.com
因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，
∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.
1－x2>0，
(2)由
得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
|x－2|≠2，
lg（1－x2）
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝
.
－x
lg[1－(－x)2] lg（1－x2）
数
f(x)就叫做奇函数
称
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，
那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最
由 f(x)为奇函数得 f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又 f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
π x
法二：由题意可设 f(x)＝2sin 2 ，作出 f(x)的部分图象如图所示．由图
可 知 ， f(x)
的一个周期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋
f(3)＋f(4)]
＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
1
的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.
3.在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期”的应用.
【易错 注意点】
1.f(0)＝0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
－2).
∴f(x＋4)＝f(x)，则 y＝f(x)的周期为 4.
2π 所以 F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝ .
3
例 3-3（1）(2018·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x)．若
f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
【解法小结】 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，
由待求区间转化到已知区间. 2.若 f(x＋a)＝－f(x)(a 是常数，且 a≠0)，则 2a 为函数 f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造
一个特殊函数，优化了解题过程.
考点三 函数性质的综合运用
∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得 f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
【解法小结】 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称
2.函数 f(x)满足的关系 f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数 f(x)满足的关系 f(a＋x)＝f(b
＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
三、【名校新题】
1.(2019·衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y＝x3
系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
考点二 函数的周期性及其应用
例 2. (1) (2018·全国Ⅱ卷)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x).若 f(1)
＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
＋2＋0＝2.
(2)因为当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x.又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f(0)＝0，
则 f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又 f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数 y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与 x 轴的交点有 7 个.
1 0， (2)当 x∈ 2 时，由 f(x)＝log 1 (1－x)可知，f(x)单调递增且 f(x)>0，又函数 f(x)为奇函数，所以
2
f(x)在区间
1 － ，0
2
上也单调递增，且
f(x)<0.由
f
x＋3 2
＝f(x)知，函数的周期为3，所以在区间
3 1，
2
上，
2
函数 f(x)单调递增且 f(x)<0.
【答案】 (1)C (2)D
【解析】 (1)法一：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由 f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数．
【解法小结】 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函
数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先
利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
【思维升华】
1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性
A.－50
B.0
C.2
D.50
(2)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在
区间[0，6]上与 x 轴的交点个数为________.
【答案】 (1)C (2)7
【解析】(1)法一 ∵f(x)在 R 上是奇函数，且 f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即 f(x＋2)＝－f(x).
因此 f(x＋4)＝f(x)，则函数 f(x)是周期为 4 的函数，
由于 f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令 x＝1，得 f(0)＝f(2)＝0
令 x＝2，得 f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令 x＝3，得 f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
y＝f(x＋a)是偶函数，则 f(－x＋a)＝f(x＋a)． 2．函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a＞0)． (2)若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a(a＞0)．
(3)若 f(x＋a)＝－ ，则 T＝2a(a＞0)．
二、【典例精练】
(2)(2018·洛阳模拟)已知函数 y＝f(x)满足 y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数，且 f(1)＝π，设 F(x)＝f(x) 3
＋f(－x)，则 F(3)＝( )
π A.
3
【答案】B
2π B.
3
C.π
4π D.
3
【解析】由 y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数知 f(－x)＝f(x)，且 f(x＋2)＝f(－x＋2)，则 f(x＋2)＝f(x
又∵f(－x)＝
＝－
＝－f(x)，
x
－x
∴函数 f(x)为奇函数.
(3)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当 x<0 时，－x>0，
则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当 x>0 时，－x<0，
则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
A．－50
B．0
C．2
D．50
x＋3
1 0，
(2)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f 2 ＝f(x)，当 x∈ 2 时，f(x)＝log 1 (1－x)，则 f(x)在区间
2
3 1，
2 内是( )
A．减函数且 f(x)>0
B．减函数且 f(x)<0
C．增函数且 f(x)>0
D．增函数且 f(x)<0