线面垂直与面面垂直典型例题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
线面垂直与面面垂直 基础要点
1、若直线αβ所成的角相等,则平面αβ B ) A 、//αβ
B 、α不一定平行于β
C 、α不平行于β
D 、以上结论都不正确
2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ,垂足为H ,则H 一定在( B ) A 、直线AC 上 B 、直线AB 上
C 、直线BC 上
D 、△ABC 的内部
3、如图示,平面α⊥平面β,,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6
π
,过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为,A B '',则:AB A B ''=( A ) A 、2:1 B 、3:1
C 、3:2
D 、4:3
4、如图示,直三棱柱11ABB DCC -中,190,4ABB AB ∠==,
12,1BC CC ==DC 上有一动点P ,则△1APC 周长的最小值是
5.已知长方体1111D C B A ABCD -中,21==AB A A ,
若棱AB 上存在点P ,使得PC P D ⊥1,则棱AD 长
的取值范围是 。
题型一:直线、平面垂直的应用
1.(2014,江苏卷)如图,在三棱锥P-ABC 中,D ,E ,F 分别为
PC ,AC ,AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===,,. 求证:(1) PA DEF 平面;(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明: (1) 因为D ,E 分别为棱PC ,AC 的中点, 所以DE ∥PA.
又因为PA ⊄ 平面DEF ,DE ⊂平面DEF , 所以直线PA ∥平面DEF.
(2) 因为D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点,PA =6,BC =8,所以DE ∥PA ,DE =
12PA =3,EF =1
2
BC =4. 又因 DF =5,故DF 2=DE 2+EF 2,
所以∠DEF =90°,即DE 丄EF.
又PA ⊥AC ,DE ∥PA ,所以DE ⊥AC.
因为AC∩EF =E ,AC ⊂平面ABC ,EF ⊂平面ABC ,所以DE ⊥平面ABC.
线面垂直
线线垂直
面面垂直
B`
A`
B
A
α
β
A
B
C
D 1
B 1
C B 1
1
D A D B
A
又DE ⊂平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABC.
2. (2014,北京卷,文科)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,AB BC ⊥,12AA AC ==,E 、F 分别为11A C 、BC 的中点. (1)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ;(2)求证:1//C F 平面ABE . 证明:(1)在三棱柱111ABC A B C -中,
,AB ABE ⊂平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面.
(2)取AB 的中点G ,连接EG ,FG
E 、
F 分别为11A C 、BC 的中点, 1
,2
FG AC FG AC ∴=
, 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=,,,,则四边形1FGEC 为平行四边形, 111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴平面平面平面.
3.如图,P 是ABC ∆所在平面外的一点,且⊥PA 平面ABC ,平面⊥PAC 平面PBC .求证AC BC ⊥.
分析:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直..
证明:在平面PAC 内作PC AD ⊥,交PC 于D .因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ,
⊂AD 平面PAC ,且PC AD ⊥,所以PBC AD 平面⊥.又因为⊂BC 平面PBC ,于
是有BC AD ⊥①.另外⊥PA 平面ABC ,⊂BC 平面ABC ,所以BC PA ⊥.由①②及A PA AD = ,可知⊥BC 平面PAC .因为⊂AC 平面PAC ,所以AC BC ⊥. 说明:在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直.
4. 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ,如图,︒=∠90BSC ,︒=∠=∠60ASB ASC ,若截取a SC SB SA ===
(1)求证:平面ABC ⊥平面BSC ; (2)求S 到平面ABC 的距离.
分析:要证明平面ABC ⊥平面BSC ,根据面面垂直的判定定理,须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线.
(1)证明:∵a SC SB SA ===, 又︒=∠=∠60ASB ASC ,
∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形, ∴a AC AB ==,
取BC 的中点H ,连结AH ,∴BC AH ⊥.
在BSC Rt ∆中,a CS BS ==,∴BC SH ⊥,a BC 2=
,
∴2)22(222
2
2
2
a a a CH AC AH =-=-=,∴2
22a SH =.
在SHA ∆中,∴222
a AH =,2
22a SH =,2
2a SA =,
∴2
22HA SH SA +=,∴SH AH ⊥,∴⊥AH 平面SBC .
∵⊂AH 平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BSC .
或:∵AB AC SA ==,∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心,
又BSC ∆为∆Rt ,∴H 在斜边BC 上,
又BSC ∆为等腰直角三角形,∴H 为BC 的中点,
∴⊥AH 平面BSC .∵⊂AH 平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BSC . (2)解:由前所证:AH SH ⊥,BC SH ⊥,∴⊥SH 平面ABC ,
∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离,a BC SH 2
2
2==
, ∴点S 到平面ABC 的距离为
a 2
2
. 5、如图示,ABCD 为长方形,SA 垂直于ABCD 所在平面,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ,求证:AE ⊥SB ,AG ⊥SD 6.在四棱锥P-ABCD 中,侧面PCD 是正三角形,且与底面ABCD 垂直,已知底面是面积为32的菱形,︒=∠60ADC ,M 是PB 中点。 (1)求证:PA ⊥CD
(2)求证:平面PAB ⊥平面CDM
7.在多面体ABCDE 中,AB=BC=AC=AE=1,CD=2,
面ABC ,AE//CD 。
(1)求证:AE//平面BCD ; (2)求证:平面BED ⊥平面BCD 题型二、空间角的问题
1.如图示,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,
11,1AB BB ==,E 为1BB 上使11
B E =的点,平面1AE
C 交1D
D 于F ,交11A D 的延长线于G ,求:
(1)异面直线AD 与1C G 所成的角的大小 (2)二面角11A C G A --的正弦值
2.如图,点A 在锐二面角βα--MN 的棱MN 上,在面α内引射线AP ,使AP 与MN
D
C
S G E
F B
P