人教A版数学选修2-1同步导练作业：第2章 圆锥曲线与方程 作业18

课时作业18 抛物线的简单几何性质

基础巩固

1．抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x 等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：x ＋p

2＝3，p ＝2，∴x ＝2，选B. 答案：B

2．过定点P (0,2)作直线l ，使l 与曲线y 2＝4x 有且仅有1个公共点，这样的直线l 共有( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

解析：一条切线，一条y 轴，一条平行于x 轴． 答案：C

3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|PQ |的值为( )

A ．10

B ．8

C ．5

D ．6

解析：如图1，F (1,0)由定义知|PQ |＝x 1＋x 2＋2＝8.

图1

答案：B

4．设抛物线y 2＝4px 的焦点弦的两端点为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则y 1y 2的值是( )

A ．p 2

B ．1－p 2

C ．4p 2

D ．－4p 2

解析：F (p,0)设弦方程⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －p )y 2＝4px 消去x 得

ky 2－4py －4kp 2＝0.

由韦达定理y 1y 2＝－4kp 2

k ＝－4p 2. 答案：D

5．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y

25＝1的右焦点重合，则

该抛物线的准线方程为________.

解析：由题意椭圆x 29＋y 2

5＝1， 故它的右焦点坐标是(2,0)，

又y 2＝2px (p ＞0)的焦点与椭圆x 29＋y

25＝1相同，

故p＝4∴抛物线的准线方程为x＝－2.

答案：x＝－2

6．(2017年高考·课标全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.

解析：解法1：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x ＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN 的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0,42)，|FN|＝4＋32＝6.

解法2：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.

答案：6

7．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．解析：由抛物线定义知P到准线l2：x＝－1的距离等于它到焦点(1,0)的距离，所以P到直线l1和l2的距离之和最小值等于焦点到l1的距离

d＝|4×1－3×0＋6|

42＋(－3)2

＝2.

答案：2

8．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．

解：如图2，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，由题设，直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程y2＝4x，

图2

整理得x2－6x＋1＝0.

解法1：解上述方程得

x1＝3＋22，x2＝3－22，

分别代入直线方程得

y1＝2＋22，y2＝2－22，

即A、B的坐标分别为

(3＋22，2＋22)、

(3－22，2－22)，

∴|AB|＝(42)2＋(42)2＝8.

解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

则x1＋x2＝6，x1x2＝1，

∴|AB|＝2|x1－x2|

＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝2×62－4＝8.

解法3：设A(x1，y1)、B(x2，y2)．由抛物线的定义可知，|AF|＝|AA′|＝x1＋1，|BF|＝|BB′|＝x2＋1，

∴|AB|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.

能力提升

1．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )

A ．2 2

B ．2 3

C ．4

D ．2 5

解析：由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则点 M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p

2＝3， ∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x . ∵点M (2，y 0)在抛物线y 2＝4x 上， ∴y 20＝4×2.∴y 0＝±2 2. ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3. 答案：B

2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )

A ．[－12，1

2] B ．[－2,2] C ．[－1,1]

D ．[－4,4]

解析：设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得

⎩

⎪⎨⎪⎧

y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，消去x ， 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.

当k ＝0时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点； 当k ≠0时，应有Δ≥0，即64－64k 2≥0， 解得－1≤k ≤1且k ≠0.

综上可知，l 斜率的取值范围是[－1,1]． 答案：C