第三章——傅里叶变换

第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()01012cos t T n t a f t n t dt Tω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。

（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。

（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

（2） 奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()010110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。

（四） 傅里叶有限级数与最小方均误差吉布斯现象：在用有限项傅里叶级数合成原周期函数时，当选取傅里叶有限项级数愈多时，在所合成的波形中出现的峰起愈靠近()f t 的不连续点。

当所选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象通常称为吉布斯现象。

3.2傅里叶变换（一）定义傅里叶正变换：()()j t F f t e dt ωω∞--∞=⎰傅里叶逆变换：()()12j t f t F e d ωωωπ∞-∞=⎰式中()F ω是()f t 的频谱函数，它一般是复函数，可以写作()()()j F F e ϕωωω=习惯上把()F ωω-和()ϕωω-曲线分别称为幅度频谱和相位频谱。

（二）典型非周期信号的傅里叶变换[1] 单边指数信号()0ate f t -⎧=⎨⎩其()1F a j ωω=+，()F ω=，()arctan a ωϕω⎛⎫=- ⎪⎝⎭[2] 双边指数信号()a tf t e-=其()222a F a ωω=+，()222aF a ωω=+，()0ϕω= [3] 符号函数()()1sgn 01f t t +⎧⎪==⎨⎪-⎩其()2F j ωω=，()2F ωω=，()22πϕωπ⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩3.3周期信号的傅里叶变换(一) 正弦、余弦信号的傅里叶变换 由欧拉公式：()()()()()()1cos 21sin 2j t j t j t j t t e e t e e j ωϕωϕωϕωϕωϕωϕ+-++-+⎡⎤+=+⎣⎦⎡⎤+=-⎣⎦和()112j te ωπδωω⎡⎤=-⎣⎦F ()112j t e ωπδωω-⎡⎤=+⎣⎦F可知()()()111cos t ωπδωωδωω=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦F ()()()111sin t j ωπδωωδωω=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦F(二) 一般周期信号的傅里叶变换已知周期信号()f t 的周期为1T ，角频率为1ω，可以将其展开成傅里叶级数()1jn tnn f t F eω∞=-∞=∑其中傅里叶级数的系数为()1112121Tjn t T n F f t e dt T ω--=⎰则该周期信号的傅里叶变换为()()12nn f t F n πδωω∞=-∞=-⎡⎤⎣⎦∑F ★★式表明：周期信号()f t 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些周期信号位于信号的谐频()120,,,ωω±±⋅⋅⋅处，每个冲击的强度等于()f t 的傅里叶级数相应系数n F 的2π倍。

例 若单位冲激函数的间隔为1T ，用符号()T t δ表示周期单位冲激序列，即()()1T n t t nT δδ∞=-∞=-∑求单位周期冲激序列的傅里叶级数和傅里叶变换。

解 因为()T t δ是周期函数，所以可以把它展开成傅里叶级数()1jn tT nn t F eωδ∞=-∞=∑其中()()1111112122121111Tjn t T n T Tjn t T F t e dtT t e dt T T ωωδδ----===⎰⎰于是()111jn tT n t e T ωδ∞=-∞=∑由上★式知()()12nn f t F n πδωω∞=-∞=-⎡⎤⎣⎦∑F所以()()()11T n F t n ωδωδωω∞=-∞==-⎡⎤⎣⎦∑F（三）周期性脉冲序列的傅里叶级数与单脉冲的傅里叶变换的关系已知周期信号()f t 的傅里叶级数是()1jn t n n f t F e ω∞=-=∑其中，傅里叶系数()1112121Tjn t T n F f t e dt T ω--=⎰从周期性脉冲序列()f t 中截取一个周期，得到所谓的单脉冲信号，该单脉冲信号的傅里叶变换()0F ω等于()()11202T j t T F f t e dt ωω--=⎰比较周期性脉冲序列的傅里叶级数的系数n F 和单脉冲的傅里叶变换()0F ω可以得到()1011n n F F T ωωω==◆◆式表明：周期性脉冲序列的傅里叶级数的系数n F 等于单脉冲的傅里叶变换()0F ω在1n ω频率点的值乘以11T 。

例 已知周期矩形脉冲信号()f t 的幅度为E ，脉宽为τ，周期为1T ，角频率为112ωπ=，求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数与傅里叶变换。

解 已知矩形脉冲信号()0f t 的傅里叶变换()0F ω等于()102n F E Sa ωτωτ⎛⎫= ⎪⎝⎭由上◆式可以求出周期矩形脉冲信号的傅里叶系数n F()1101112n n n E F F Sa T T ωωωττω=⎛⎫==⎪⎝⎭这样，()f t 的傅里叶级数为()1112jn tn n E f t Sa e T ωωττ∞=-∞⎛⎫=⎪⎝⎭∑ 再由上★式便可以得到()f t 的傅里叶变换()F ω，它是()()()111122nn n F F n n E Sa n ωπδωωωττωδωω∞=-∞∞=-∞=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑3.4抽样定理（一） 时域抽样信号的傅里叶变换假设连续信号()f t 的傅里叶变换为()()F f t ω=⎡⎤⎣⎦F ； 抽样脉冲序列()p t 的傅里叶变换为()()P p t ω=⎡⎤⎣⎦F ； 抽样后信号()s f t 的傅里叶变换为()()S s F f t ω=⎡⎤⎣⎦F 。

现经分析计算得()()S nsn F P F n ωωω∞=-∞=-∑该式表明：信号在时域被抽样后，它的频谱()S F ω是连续信号频谱()F ω的形状以抽样频率s ω为间隔周期地重复而得到，在重复的过程中幅度被()p t 的傅里叶系数n P 所加权。

（二） 频域抽样信号的傅里叶变换已知连续频谱函数()F ω，对应的时间函数为()f t 。

若()F ω在频域中被间隔为1ω的冲激序列()ωδω抽样，那么抽样后的频谱函数()1F ω所对应的时间函数()1f t 与()f t 的关系如下：()()1111n f t f t nT ω∞=-∞=-∑该是表明：若()f t 的频谱()F ω被间隔为1ω的冲激序列在频域中抽样，则在时域中等效于()f t 以112T πω=为周期而重复。

（三） 时域抽样定理一个频谱受限的信号()f t ，如果频谱只占据m m ωω-+ 的范围，则信号()f t 可以用等间隔的抽样值唯一地表示，而抽样间隔必须不大于奈奎斯特间隔12S m mT f πω==（其中2m m f ωπ=），或者说，最低抽样频率为奈奎斯特频率2s m f f =。

（四） 频域抽样定理若信号()f t 是时间受限信号，它集中在m m t t -+ 的时间范围内，若在频域中以不大于12mt 的频率间隔对()f t 的频谱()F ω进行抽样，则抽样后的频谱()1F ω可以惟一地表示原信号。