第三章——傅里叶变换

第三章 傅里叶变换

3.1周期信号的傅里叶级数分析

（一） 三角函数形式的傅里叶级数

满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若

()f t 的周期为1T ，角频率11

2T π

ω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达

式为

()()()0111

cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞

==++⎡⎤⎣⎦∑

各谐波成分的幅度值按下式计算

()01

01t T t a f t dt T +=⎰

()()01

012cos t T n t a f t n t dt T

ω+=⎰

()()01

012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰

其中1,2,n =⋅⋅⋅

狄利赫里条件：

（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；

（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00

t T t f t dt +⎰

等于有限值。

（二） 指数形式的傅里叶级数

周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即

()()11

jn t

n

n f t F n e

ωω∞

=-∞

=

∑

其中

()0110

11t T jn t

n t F f t e dt T ω+-=

⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。

（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系

（1） 偶函数

由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则

()()01

112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰

所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

（2） 奇函数

由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则

()01

0110t T t a f t dt T +==⎰

()()01

011

2cos 0t T n t a f t n t dt T ω+=

=⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项

（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫

=-+ ⎪⎝

⎭）

半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而

不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。

（四） 傅里叶有限级数与最小方均误差

吉布斯现象：在用有限项傅里叶级数合成原周期函数时，当选取傅里叶有限项级数愈多时，在所合成的波形中出现的峰起愈靠近()f t 的不连续点。当所选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳

变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象通常称为吉布斯现象。

3.2傅里叶变换

（一）定义

傅里叶正变换：

()()j t F f t e dt ωω∞

--∞

=⎰

傅里叶逆变换：

()()12j t f t F e d ωωωπ

∞

-∞

=

⎰

式中()F ω是()f t 的频谱函数，它一般是复函数，可以写作

()()()j F F e ϕωωω=

习惯上把()F ωω-和()ϕωω-曲线分别称为幅度频谱和相位频谱。

（二）典型非周期信号的傅里叶变换

[1] 单边指数信号

()0

at

e f t -⎧=⎨⎩

其

()1F a j ωω=

+，(

)F ω=，()arctan a ωϕω⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

[2] 双边指数信号

()a t

f t e

-=

其

()222a F a ωω=

+，()

22

2a

F a ωω=+，()0ϕω= [3] 符号函数

()()1

sgn 01f t t +⎧⎪

==⎨⎪-⎩

其

()2F j ωω=，()2F ωω=，()2

2

πϕωπ

⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩

3.3周期信号的傅里叶变换

(一) 正弦、余弦信号的傅里叶变换 由欧拉公式：

()()()()()()1cos 21sin 2j t j t j t j t t e e t e e j ωϕωϕωϕωϕωϕωϕ+-++-+⎡⎤+=

+⎣

⎦⎡⎤

+=-⎣⎦

和

()112j t

e ωπδωω⎡⎤=-⎣⎦F ()112j t e ωπδωω-⎡⎤=+⎣⎦F

可知

()()()111cos t ωπδωωδωω=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦F ()()()111sin t j ωπδωωδωω=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦F

(二) 一般周期信号的傅里叶变换

已知周期信号()f t 的周期为1T ，角频率为1ω，可以将其展开成傅里叶级数

()1jn t

n

n f t F e

ω∞

=-∞

=

∑

其中傅里叶级数的系数为

()1112

12

1T

jn t T n F f t e dt T ω--=⎰

则该周期信号的傅里叶变换为

()()1

2n

n f t F n π

δωω∞

=-∞

=-⎡⎤⎣⎦∑F ★

★式表明：周期信号()f t 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些周期

信号位于信号的谐频()120,,,ωω±±⋅⋅⋅处，每个冲击的强度等于()f t 的傅里叶级数相应系数n F 的2π倍。