概率论2014-2015-1B

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概率论abc

概率论abc概率论是一门研究随机现象规律的数学学科。

其研究内容涉及到随机事件的概率、随机变量及其分布、极限理论等方面。

A-随机事件和概率随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

例如：掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是可能事件，因为在掷的过程中，无法确定它将会朝哪个方向翻转。

概率是对随机事件发生的可能性进行度量的数学方法。

概率有三种定义方式：经典概率、几何概率和古典概率。

经典概率是指在随机试验中，每个基本事件出现的次数都是有限的，且每个基本事件出现的可能性相等的情况下，某一事件发生的可能性等于该事件发生的基本事件数与样本空间中基本事件数的比值。

几何概率是指在某些特殊情况下，概率可以用几何图形的面积、长度、体积等形式表示。

例如：掷一枚均匀的硬币，正反面出现的概率相等，可以通过在平面上绘制一个1:1的正方形来表示。

古典概率是指在随机试验中，基本事件出现的可能性不一定相等，但是我们可以通过历史数据或经验得到每种基本事件出现的概率，从而计算某一事件发生的概率。

B-随机变量和分布随机变量是指随机现象中用数值来表示其结果的变量。

例如：掷一枚硬币，正面朝上为1，反面朝上为0，我们可以将这个随机过程用随机变量X=1表示。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。

离散型随机变量的取值为有限个或可数个；连续型随机变量的取值可以是任意实数。

概率分布是指随机变量在各个取值点上的概率。

离散型随机变量的概率分布可以表示为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF），连续型随机变量的概率分布可以表示为概率密度函数（Probability Density Function，PDF）。

C-极限理论极限理论是概率论中的重要内容，它涉及到许多基本概念和定理，如大数定律、中心极限定理等。

大数定律是指在随机试验中，当试验次数增加时，随机事件发生的频率趋近于该事件的概率。

例如：我们多次掷硬币，当投掷的次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将逐渐趋近于0.5。

14本二《概统》AB答案

河北科技大学2014-2015学年第一学期《概率论与数理统计》试卷答案及评分标准班级一．单选题（每小题3分，共24分）A 卷 DBC AD A B C B 卷 B A D B C D C A7. 2111111()()()()()2(,)244X X D X D D X X D X D X Cov X X n σ+⎡⎤=<=+=++⎣⎦ 211111111123()()2(,)()()(,)444n i i n D X D X Cov X X D X D X Cov X X n n n σ=+⎡⎤⎡⎤=++=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑二．填空题（每小题3分，共24分）A 卷 1. 0.7 2. 1 3.1e - 4.49 5.(1,6)N - 6. 137. (7.51,8.49) 8./2(1)t n α⎫≥-⎬⎭ B 卷 1. 0.62 2. 1 3.22e - 4.29 5.(2,9)N 6. 21 7. (8.51,9.49)8./2z α⎫≥⎬⎭三. 计算题（共52分）1.（10分）设A 为“接收站收到信息0”，B 为事件“原发信息是0”，已知21(),(),()0.98,()0.0133P B P B P A B P A B ==== …………………………2分（1）21197()()()(|)()0.980.0133300P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=；……………4分（2） 1971963101.03298.03298.0)()()()(=⨯+⨯⨯==A P B A P B P A B P . ………………………4分 2．（10分）(1) 已知001()()2x x f x dx A e dx e dx A +∞+∞--∞-∞==+=⎰⎰⎰所以 A =12.………4分(2) 当0x <时，11()()22xx t x F x f t dt e dt e -∞-∞===⎰⎰；………………………………2分当0x ≥时，00111()1222x t t x F x e dt e dt e ---∞=+=-⎰⎰.……………………………… 2分故X 的分布函数1,0;2()11,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩(3) {}111122x P X e dx e+∞->==⎰. ………………………………………………… 2分10101/401/4101/20-X Y3．(10分)（1）(X ,Y )有六对可能值(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), ……………1分由已知{0}1P XY ==，得{0}0P XY ≠=,即 {1,1}{1,1}0P X Y P X Y =-===== …………………………………………2分又由X 和Y 的边缘分布律，得1{1,0}4P X Y =-== ………………………………1分1{1,0}4P X Y === ………………………………………………………………1分1{0,1}2P X Y === ………………………………………………………………1分{0,0}0P X Y === ………………………………………………………………1分于是，X 和Y 的联合分布律为(2)由于111{0,0}{0}{0}224P X Y P X P Y ==≠===⨯=,所以X 与Y 不相互独立.3分4．（10分） (1) 2033,01()(,)0x X xdy x x f x f x y dy +∞-∞⎧⎪=<<==⎨⎪⎩⎰⎰，其它， ………… 3分1233(1),01()(,)20y Y xdx y y f y f x y dx +∞-∞⎧⎪=-<<==⎨⎪⎩⎰⎰其它； ……………………………3分 (2)1121112215(1)(,)3(63)8x x x y P X Y f x y dxdy dx xdy x x dx -+≥+≥===-=⎰⎰⎰⎰⎰. …………4分5．（12分）已知()X E X =,而1101()(;)(1)2E X xf x dx x dx θθθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰，…4分令12X θθ+=+，解得21ˆ1X X θ-=-，于是未知参数θ的矩估计量为21ˆ1X X θ-=-;…… 2分对于总体X 的样本值n x x x Λ,,21，似然函数为121()(;)(1)(),01,1,2,,nn i n i i L f x x x x x i n θθθθ===+<<=∏L L ……… 2分对数似然函数为 1ln ()ln(1)ln ,01,1,2,,ni i i L n x x i n θθθ==++<<=∑L …… 1分对θ求导数，并令1ln ()ln 01ni i d L nx d θθθ==+=+∑，…………………………… 2分解得1ˆ1ln nii nxθ==--∑，于是未知参数θ的最大似然估计量为1ˆ1ln nii nxθ==--∑. …1分。

概率论第一章ppt课件

i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）：即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：

概率论与数理统计 --- 第一章{随机事件的概率} 第二节：随机事件的概率

C 取得一件正品一件次品 ,
解 1 采取有放回抽样 .
概率论
2
从箱子中任取两件产品 , 每次取一件 , 取法总数为 12 .
即样本空间中所含的基本事件数为 12 .
2
事件 A 中所含有的基本事件数为 C9C9 9 . 2 9 9 . 所以 P A 2 12 16
1 1 2
所以由可列可加性及性 1 , 有质
P A1 A2 An P A1 A2 An P A1 P A2 P An P P P A1 P A2 P An 0 0 P A1 P A2 P An .
概率论
定义: 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
概率论
记 A={摸到2号球}
2
P(A)=?
P(A)=1/10
记 B={摸到红球} P(B)=? 1 2 345 6
P(B)=6/10
85 1 9 4106 72 3
1 4
,
, 就下列三种情况求概率 P BA .
1 A 与 B 互斥 ;
解
2 A B ;
3 P AB .
9

1
1由于 A、B 互斥 , 所以
B A
于是所以 BA B
P BA P B
1 2 .
A
B
A、B 互斥
概率论
2 因为 A B , 所以
故由性质 4 , 可得 P A P 1 .

概率论第一讲

26
§2.2 离散型随机变量
(一) 概率分布 (二)常设见离的散概型率随机分变布量X所有可能取1的.(值0-为1x)分k(k布=1,2,···),X取各个值的2概.二率项,即分事布件｛X=x費k｝的概率
为=为分下P任定p43离布两ko..意的iP几,散律条sok正非sln何i=i.型件Pom1s整负｛n,分s随C定2数整:Xonk,机=布np理·数.xnk分·设变(·k1｝k布n量,p有p设nXn)=的nλ((λ12k＞)概),p则kk0率1则对是kppkek0分!k,称于常满k布1上任数足1或,式一2,如n,是固27
P( A)
在事件A发生条件下事件B发生的条件概率.
16
2.乘法定理
§1.5
设P(A)＞0,则
全
概有 P(AB)=P(B|A)P(A)
率
公式
一般地,设A1,A2,···,An为n个事件
和贝
(n≥2),且P(A1A2···An)>0,则有
叶
斯 P(A1A2···An)=P(An|A1···An-1)···P(A2|A1)P(A1)
f数n(值A1∪称A为2…事∪③件Ak对)A=出不fn现可(A的能1)概事+率f件n，(ΦA记2，)为+P…（P（+ΦfA）(）A=。k104)。
§1.4 概率
（一）概率（定样二义本）空概间。设率对Ｅ性于是质Ｅ随的机每试一验个,Ｓ事是件它Ａ的赋
性性性性性性予函((12质质质质质质一数))对P456个Ｐ(123于Ｓ对对对(实则设有 P·每)()于于于=数A有限满一 1,任任任);，BP可足个是意一一记B加下0事两事事两为列性件事件件A个 P条（AAA件事 ,,,件有PAＡ有P件 ,(P:BA）PB,(,()若有A,Ａ)如1A).P果≥1A集0BP;,(合A).

2014-2015秋概率论试卷答案B

系部专业班级学号姓名密封线答题留空不够时，可写到纸的背面注意保持装订完整，试卷折开无效装订线2. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4), Y ~N (-2,1), 则(23)D X Y -= ( C ) (A) 5(B) 13(C) 25 (D) 443. 设离散型随机变量ξ的概率分布为ξ-1 0 1 2 P0.40.20.20.2其分布函数为)(x F ，则(0)F =（ B ）(A) 0.4 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 14. 样本),,,(21n X X X 取自总体X ，2(),()E X D X μσ==，则有( D ). (A)(1)i X i n ≤≤是μ的无偏估计 (B) 111ni i X n =-∑是μ的无偏估计 (C) 2 i X 是2σ的无偏估计 (D) 2S 是2σ的无偏估计 5. 下列函数中，（ A ）可以作为连续型随机变量的分布函数.)(A ⎩⎨⎧≥<=0,10,)(x x e x F x ； )(B ⎩⎨⎧≥<=-0,10,)(x x e x G x ；)(C 0,0()1,0xx K x e x <⎧=⎨-≥⎩； )(D ⎩⎨⎧≥+<=-0,10,0)(x e x x H x ．三. 解答下列各题（共70分）1. （10分）设A 、B 为两个事件，()0.6P A =，()0.3P B =，且()0.7P A B ⋃= ，求(A )P B 、()P AB解：由)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃,得（2分）2.07.03.06.0)()()()(=-+=⋃-+=B A P B P A P AB P （4分）()()()()0.60.20.4P AB P A AB P A P AB =-=-=-=. （6分）3.07.01)(1)()(=-=⋃-=⋃=B A P B A P B A P . （10分）桂林理工大学考试试卷( 2014— 2015 学年度第一学期 )课程名称：概率统计 B 卷命题：基础教研室题号一二三总分得分一. 填空题（每空3分，共15分）1. 设袋中有4只白球和2只黑球, 现从袋中无放回地依次摸出两只球，求这两只球都是白球的概率为2/5.2. 设离散型随机变量的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=21213110)(x x x x F ，则(1)P X =-=1/3.3. 设总体X ～()E λ，12,,,n X X X 为来自总体X 的一个样本，算得样本均值18X =，则参数λ的矩估计值是1/18.4. 设连续型随机变量X 的概率密度为2211()xx f x e π-+-=，则=DX （）1/2. 5.设随机变量(01)X N ，,2(5)Y χ ,X ,Y 相互独立，又5X T Y =，则2T F(1,5) 二、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分。

2014-2015《概率论与数理统计》试卷答案

12014学年第一学期《概率率与数理统计》（A 卷）标准答案和评分标准一、选择题1. D2. C3. A4. D5. D6. C7. B8. B9. D 10. B 二、填空题1. 0.12. 0.73. 2e -，,0()0,0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩ 4. 4/5或0.85. 2(2)1Φ-或(2)(2)Φ-Φ-6. 4，127. 7， 8三、1.解：设123,,A A A 分别表示被保险人为“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”，B 表示被保险人在一年内出了事故。

（1分）依题意，有 123()0.2,()0.5,()0.3P A P A P A ===， 111(|)0.05,(|)0.1,(|)0.3P B A P B A P B A ===，（2分）所以，由贝叶斯公式可得（1分）1111112233()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++ （4分） 0.20.0510.06670.20.050.50.10.30.315⨯===⨯+⨯+⨯ （2分） 2.解：根据题意，X 可能的取值有1，2，3，（1分）取值的概率分别为13241(1)2C P X C ===，12241(2)3C P X C ===，2411(3)6P X C ===故X (6分）11113(21)(211)(221)(231) 4.332363E X +=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== （3分）3.解：（1）由120()d d 13cf x x cx x +∞-∞===⎰⎰ 知3c =；（2分）（2）当0x ≤ 时，()()d 0d 0x xF x f x x x -∞-∞===⎰⎰；当01x <≤ 时，230()()d 3d xxF x f x x x x x -∞===⎰⎰；当1x > 时，120()()d 3d 1x F x f x x x x -∞===⎰⎰；所以30,0,(),0 1.1, 1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩（4分）2（3）1203()()30.754E X xf x dx x x dx +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分）1222203()()30.65E X x f x d x x x d x +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分） 223()()[()]0.37580D XE X E X =-== （2分）（4）解法一：因为1Y X =-是严格单调的函数，所以当01y <<时，即，01x <<时，2()(1)(1)3(1)Y X f y f y y y '=--=- 当Y 为其他值时， ()(1)(1)0Y X f y f y y '=--= 所以,1Y X =-的密度函数为：⎩⎨⎧<<-=其他,010,)1(3)(2y y y f Y （4分）解法二：1Y X =-的分布函数()Y F y 为()()(1)(1)Y F y P Y y P X y P X y =<=-<=>-1(1)1(1),X P X y F y =-≤-=--而其它100)1(3)1()]1(1[)()(2<<⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--==y y y f y F dy d dy y dF y f X X Y Y （4分）四、1. 解：矩法估计，因为1()xxxxE X xe dx xdexee dx θθθθμθ+∞+∞+∞----+∞===-=-+⎰⎰⎰0xeθθθ-+∞=-=或因为1XE θ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()E X μθ== （4分）由矩法估计ˆX μ= ，所以ˆX θ=。

概率论与数理统计整理（一二章）

概率论与数理统计整理（⼀⼆章）⼀、随机事件和概率考试内容：随机事件(可能发⽣可能不发⽣的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对⽴)与运算(交换分配结合德摸根对差事件⽂⽒图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(⾮负性规范性可列可加性) 古典型概率⼏何型概率条件概率概率的基本公式事件的独⽴性独⽴重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和⼏何型概率(弄清⼏何意义)，掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进⾏正确的划分)，以及贝叶斯公式．3．理解事件的独⽴性(PAB=PA*PB)的概念，掌握⽤事件独⽴性进⾏概率计算；理解独⽴重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的⽅法．整理重点：1. 随机事件：可能发⽣也可能给不发⽣的事件。

0<概率<1。

2. 样本空间：实验中的结果的每⼀个可能发⽣的事件叫做实验的样本点，实验的所有样本点构成的集合叫做样本空间，⼤写字母S表⽰。

3. 事件的关系：（1）包含：事件A发⽣必然导致事件B发⽣，称事件B包含事件A。

（2）相等：事件A包含事件B且事件B包含事件A。

（3）和：事件的并，记为A∪B。

（4）差：A-B称为A与B的差，A发⽣⽽B不发⽣，A-B=A-AB。

（5）积：事件的交，事件A与B都发⽣，记为AB或A∩B。

（6）互斥：事件A与事件B不能同时发⽣，AB=空集。

（7）对⽴：A∪B=S。

4. 集合的运算：（1）交换律：A∪B=B∪A AB=BA (2结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A（B C）(3)分配率：A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律5. 完全事件组：如果n个事件中⾄少有⼀个事件⼀定发⽣，则称这n个事件构成完全事件组（特别地：互不相容的完全事件组）。

2015年高考数学总复习精品课件：第14章第1讲随机事件的概率

解：(1)P(A)＝10100，P(B)＝110000＝1100，P(C)＝150000＝210. 故事件 A，B，C 的概率分别为10100，1100，210. (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C. ∵A，B，C 两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝1＋11000＋0 50＝160100.故 1 张奖券的中奖概率为160100.
是随机事件，基本依据就是在一定条件下，所求的结果是否一
定出现、不可能出现还是既可能出现也可能不出现.
第十三页，编辑于星期五：十一点二十五分。
【互动探究】 1．一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意取出一个球． (1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？ (2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是
(3)A1，A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时，在 40 分钟内赶到火
车站；
B1，B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时，在 50 分钟内赶到火车
站．
由(2)知 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)． ∴甲应选择 L1. P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)， ∴ 乙应选择 L2.
第十四章概率
第 1 讲随机事件的概率
第一页，编辑于星期五：十一点二十五分。
考纲要求
考情风向标
本考点考题经常在选择
1.了解随机事件发生的不确定题、填空题或解答题的第一、性和频率的稳定性，了解概率第二题出现，多与其他知识相

14-15I 概率论与数理统计试卷(A)48学时参考答案与评分标准

| | | | | | | |装|| | | |订| | | | | |线|| | | | | | |防灾科技学院2014~2015年第一学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）考试形式闭卷使用班级本科48学时班答题时间120分钟（请将答案写在答题纸上）一、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）1、若以事件i A 表示“一个工人生产的第i 个零件是合格品”(n i ≤≤1)，则事件“没有一个零件是不合格品”用i A 表示为 12n A A A ；2、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=⋃)(B A P 0.62 ．3、假设某潜在震源区年地震发生数X 服从参数为2=λ的泊松分布，则未来一年该震源区发生至少一次地震的概率为21--e ；4、10张彩票中有5张是有奖彩票。

每人依次抽取一张彩票，第2个人抽中奖的概率为 1/2 ；5、假设英语四级考试有60个选择题，每题有四个选项，其中只有一个为正确选项。

小明没有复习而选择 “裸考”，答案全是随便“蒙”的，则Ta “蒙”对题数的期望是 15 ；6、随机变量X 的分布函数是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤--<=x x x x x F 3,131,6.011,4.01,0)(，则X 的分布律是1130.40.20.4X-⎛⎫ ⎪⎝⎭，=≤<-)31(X P 0.6 ；二、单项选择题（本大题共7小题，每题3分，共21分）7、设离散型随机变量X 的分布律为k k X P αβ==}{， ,2,1=k 且0>α，则参数=β（A ）11-=αβ （B ）1+=αβ （C ）11+=αβ （D ）不能确定（ C ） 8、设随机变量)1,0(~N X ，X 的分布函数为)(x Φ，则)2(>X P 的值为（A ）)]2(1[2Φ-. （B ）1)2(2-Φ.（C ）)2(2Φ-. （D ）)2(21Φ-. （ A ）9、某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为（ D ）)(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9434与． 10、设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ B ）（A ）X 与Y 独立. （B ）)()()(Y D X D Y X D +=-. （C ）)()()(Y D X D Y X D -=-. （D ）)()()(Y D X D XY D =.11、设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为若Y X ,独立，则βα,的值为（A ）91,92==βα. （B ）92,91==βα.（C ） 61,61==βα （D ）181,185==βα. （ A ） 12、设样本4321,,,X X X X 为来自总体)1,0(N 的样本，243221)(X X X C X Y +++=，若Y 服从自由度为2的2χ分布，则=C （ B ）(A) 3； (B) 1/3； (C) 0； (D) -3 . 13、设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（A ）（B ）(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβX Y 010.40.6X P 010.40.6Y P ()0.P X Y ==()0.5.P X Y ==（C ）（D ）（ C ） 14、设总体)4,2(~2N X ，n X X X ,,,21 为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（A ）)1,0(~42N X -. （B ）)1,0(~162N X -. （C ）)1,0(~22N X -. （D ）)1,0(~/42N nX -. （ D ）三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分）15、计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。

上海大学2014～2015学年冬季学期试卷概率论和数理统计B试题(a卷)答案和评分参考

同时：
lim
n
P(|
pˆ
p
|
)
lim
n
p(1 p) n 2
0 ，也是相合估计。（1+1
分）
2、（本题 5 分）如果总体 X 与Y 独立，且服从相同的正态分布 N (, 2 ) ， S12 与 S22 为具
有相同样本容量（样本容量不小于
2）的各自的样本方差。证明： Sw2
1 2
( S12
S22
)
也是
第1页 (共4页)
成
上海大学 2014～2015 学年冬季学期试卷（A 卷）绩
二、填空题 (每格 2 分，共 10 分) 1、设 P( A) 0.3 ， P(B A) 0.1 ，则 P( A B) P( A) P(B A) 0.3 0.1 0.4 。
课程名：概率论与数理统计（B）课程号：
弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。
应试人题号
应试人学号
一
二
应试人所在院系
三
四
五
3、把 3 个球独立随机放入 10 个盒子内，每个盒子所放球的个数不限，则没有球的盒子
个数的数学期望为10
9 10
3
7.29
。
得分
10
10
10
60
一、是非题 (每题 2 分，共 10 分) 1、对满足条件 P( A) P(B) 的任意事件 A 和 B ，一定成立 A B 。
注：方法正确，计算误差允许 0.05
(1)(2 分)求证 P( A) P( A1) P( A2 ) P( A3) ； (2)(3 分 )证明 P( A) P( A1) P( A2 ) P( A3) 2 .

2014-2015学年第一学期概率论B卷答案

)0.4, B=式得(5)P X μσ-≥≤125. 二、单项选择题（共20分，每小题4分）1.设有10件产品，其中8件是合格品，2件是次品. 现从中不放回任意抽取3件产品，求这3件产品中恰有一件是次品的概率为（ ① ）①715； ② 916 ； ③ 34； ④ 516. 2．若随机变量X 的分布函数为)(x F ，则下列结论中不一定正确的是（ ④ ）.① 0)(=-∞F ； ② 1)(=+∞F ；③ 1)(0≤≤x F ； ④ )(x F 在),(+∞-∞内连续.3．若随机变量X 与Y 方差均存在，且满足10.5Y X =-，则相关系数=),(Y X R （ ② ）.① 1； ② -1； ③ 0.5； ④ -0.5.4. 设随机变量X 的概率密度为2(3)4(),x f x x +-=-∞<<∞，且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ ③ ）.① 1/2,3/2a b ==-； ② 1/2,3/2a b ==； ③1/3/a b == ④a b ==-. 5. 随机变量X 与Y 相互独立是0),cov(=Y X 的（ ② ）条件。

① 充要； ② 充分； ③ 必要； ④ 即非充分又非必要. 三、某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，由于设备差别，各车间的生产量分别占总产量的70% 、 20%、 10%，各车间生产的产品优质品率分别为70%、 80%、 90%. 现从总产品中随机挑选一件，求此产品为优质品的概率.（10分）=10080.984.1024≈ （10分）五、若连续型随机变量X 的分布函数为0,1()(1),11,1,1x F x A x x x <-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥⎩求:（1）A ；（2）X 的概率密度()f x ；（3）1(0)2P X <<. (10分)解：(1) 由函数()F x 在1x =处连续，得12A =. (4分) (2) 由()()f x F x '=，得1,11()20,x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. (7分)(3)111(0X )()(0)224P F F <<=-=. (10分)六、设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为,01,01(,)0,kxy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他. （1）确定常数k ;（2）求边缘概率密度(),()X Y f x f y ; （3）讨论X 和Y 的独立性.（10分）解：（1）11001(,),44k f x y dxdy kxydxdy k +∞+∞-∞-∞===∴=⎰⎰⎰⎰. （3分）（2）()X f x =10(,)42,(01)f x y dy xydy x x +∞-∞==<<⎰⎰故2,01()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它()Y f y =1(,)42,(01)f x y dx xydx y y +∞-∞==<<⎰⎰=（3分）0.0475.23.7523.75()4.75 4.75x x P m x P --⎫⎛⎫≤=≤≈Φ ⎪⎪⎝⎭⎭. （7分）（注：把“约等号”写为“等号”，扣1分）查表得(1.29)0.90150.9Φ=>,故取23.751.29,4.75x -= 于是有23.75 1.29 4.7529.88x =+⨯≈. （10分）即：至少备30条外线才能以90%的概率满足每个分机在使用外线时不用等候.。

概率论课后习题答案第一章

2008年4月第一章1.1 解⑴记9件合格品分别为正1正2�6�7正9记不合格品为次则Ω正1正2正1正3正1正4�6�7正1正9正1次正2正3正2正4�6�7正2正9正2次正3正4�6�7正3正9正3次�6�7 正8正9正8次正9次A正1次正2次正3次�6�7正9次⑵记2个白球分别为w1w23个黑球分别为b1b2b34个红球分别为r1r2r3r4。

则Ωw1w2b1b2b3r1r2r3r4 ⅰA w1w2。

ⅱB r1r2r3r4。

1.2 解⑴事件ABC表示该生是三年级男生但不是运动员。

⑵ABCC等价于CAB表示全系运动员都是三年级的男生。

⑶当全系运动员都是三年级学生时。

⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。

1.3 解⑴1niiA⑵22221222211nCDniCDiCDCDnCDACDCD ⑶11nnijijjiAA⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”可表为1nijijijAA。

1.4 解1—4显然5和6的证法分别类似于课文第10—12页1.5式和1.6式的证法。

1.5 解样本点总数为28A8×7。

所得分数为既约分数必须分子分母或为71113中的两个或246812中的一个和71113中的一个组合所以事件A“所得分数为既约分数”包含28A218A×15A3×22×3×52×3×6个样本点。

于是PA23698714。

1.6 解样本点总数为5310。

所取三条线段能构成一个三角形这三条线段必须是3、5、7或5、7、9。

所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点于是PA310。

17解显然样本点总数为13事件A“恰好组成MATHEMATICIAN”包含3222个样本点。

所以3222481313PA 18解任意固定红“车”的位置黑“车”可处在9×10-189个不同位置当它处于和红“车”同行或同列的9817个位置之一时正好互相“吃掉”。

概率论与数理统计课堂教学设计

课堂教学设计（2014～2015学年第1学期）课程名称：概率论与数理统计所属系部：理科部制定人：制定时间： 2014年10月课堂教学设计3、讲授新课定义1若事件A1，A2满足P（A1A2）=P（A1）P（A2），则称事件A1，A2是相互独立的.教学环节师生活动设计意图独立性概念的引入师：问题1：设A，B为两个事件，可以用其他等式表示事件A 将从经验上理解两个事件相互独立和书本定义的独立联系起定理1 若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B，A与B，A与B.教学环节师生活动设计意图独立性的理解师：问题1：当事件A为必然事件或不可能事件时，与事件B相互独立吗？生：思考，回答此环节比较简单，学生不难想到，因此鼓励学生独立思考，自主推导.师：问题2：当P（A）=1或P （A）=0时，判断事件A与事件B相互独立吗？生：思考，回答通过这个简单的问题，希望使能学生们打开思路，同时领略到 P（A）=1与事件A为必然事件， P（A）=0与A为不可能事件是不同的概念。

师：问题3：事件A与事件B 互斥，事件A与事件B独立，这两个概念的联系与区别是什么？生：思考，观察，回答这个问题一来进一步理解独立性。

定理2若事件A，B相互独立，且0＜P（A）＜1,则P（B｜A）=P（B｜A）=P（B）.练习环节题目设计意图判断两个事件是否独立练习1.判断下列事件是否为相互独立事件.①篮球比赛的“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了. 事件B：第二次罚球，球进了.②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.事件A：第一次从中任取一个球是白球.事件B：第二次从中任取一个球是白球.③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球.事件B：第二次从中任取一个球是白球.1、巩固事件独立的概念；2、经验判断事件A与B是否独立:A发生与否不影响B发生的概率，B发生与否不影响A发生的概率。

区别两个事件是互斥还是独立练习2、判断下列各对事件的关系①运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；②甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环互斥事件:两个事件不可能同时发生；相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响；在实际应用中，还经常遇到多个事件之间的相互独立问题，例如：对三个事件的独立性可作如下定义.定义2设A1，A2，A3是三个事件，如果满足等式P（A1A2）=P（A1）P（A2），P（A1A3）=P（A1）P（A3），P（A2A3）=P（A2）P（A3），P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3），则称A1，A2，A3为相互独立的事件.这里要注意，若事件A1，A2，A3仅满足定义中前三个等式，则称A1，A2，A3是两两独立的.由此可知，A1，A2，A3相互独立，则A1，A2，A3是两两独立的.但反过来，则不一定成立。

2014概率第一讲.

4
(2) P A B P B 1
2
(3) P A B P A P B P AB 23
36
20
五、条件概率
1、条件概率的计算方法（1）利用公式P( A B) P( AB) 求得；
P(B) （掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}，C={掷出奇数点}，
(2)P( A) 4 3 1 , P(B) 48 8 4 16 ;
1211 11
12 11 33
(3)P( A)
C
2 4
C122
1, 11
P(B)

C
C1 1
48
C122

16 . 33
11
例3：两封信随机地投至Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4 个邮筒，求第2个邮筒恰好被投入一封信的概率。
22例1掷一颗均匀骰子a掷出2点b掷出偶数点c掷出奇数点23例2给定甲乙两城市设a甲市下雨b乙市下雨已知不放回抽样有放回抽样两种方式摸球三次概率求第三次才摸得白球的每次摸得一球可表示为第三次才摸得白球则事件abc25125162627若事件原因都可以导致事件b结果发生且发生的概率以及在若事件原因都可以导致事件b结果发生且发生的概率以及在贝叶斯定理由果寻因
18
例2、已知 P( A) 0.5, P(B) 0.3, P( AB) 0.2, 求 (1)P( A B ),(2)P( AB ),(3)P( A B ).
例2解：
(1) P( A B ) P( AB ) 1 P( AB) 0.8, (2) P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) 0.3, (3) P( A B ) P( A) P(B) P( AB)

西大2014《概率论》作业答案(6次作业-已整理)

西大2014《概率论》作业答案(6次作业-已整理)西南大学2014年秋季学期《概率论》作业答案（6次作业,已整理）第一次作业1：[判断题]"A∪B∪C”表示三事件A、B、C至少有一个发生。

参考答案：正确2：[判断题]从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A 表示"抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示"抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。

参考答案：错误3：[判断题]已知：P(A)=0.2, P(B)=0.5, P(AB)=0.1,则P(A∪B)=0.6参考答案：正确4：[判断题]设A、B、C为三事件，若满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P (C),则三事件A、B、C必然相互独立。

参考答案：错误5：[判断题]每一个连续型随机变量均有方差存在。

参考答案：错误6：[判断题]设X、Y是随机变量，若E(XY)=EX•EY,则X 与Y相互独立.参考答案：错误7：[判断题]X为随机变量，a,b是不为零的常数，则E(aX+b)=aEX+b.参考答案：正确8：[判断题]X～N(3,4),则P(X<3)= P(X>3).参考答案：正确9：[判断题]任意随机变量均存在数学期望。

参考答案：错误10：[判断题]一批产品有10件正品，3件次品，现有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，用随机变量ξ表示取到正品时的抽取次数，则ξ服从几何分布。

参考答案：正确11：[单选题]设X是随机变量，且EX=DX,则X 服从（）分布。

A：二项B：泊松C：正态D：指数参考答案：B12：[单选题]（）是离散型随机变量的分布。

A：正态分布B：指数分布C：均匀分布D：二项分布参考答案：D13：[填空题]一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）"第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为；（2）"第一卷出现在旁边”的概率为。

概率论

P ( AB) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ).
n i 1 1 i j n
P( A1 A 2 An ) P( A i )
P( A i A j )

1 i j k n

P( A i A j A k ) P( A 1 A 2 A n ).
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
21
(三) 全概率公式和贝叶斯公式: 1. 样本空间的划分
定义 : 若B1 , B 2 , , Bn一组事件满足: (i) B i B j φ, i j, i, j 1, 2, ..., n, n S (ii) B i S, B2 B1 i 1 则称B1 , B 2 , B n为样本空间S的一个划分. Bn ... B3
27
第二章随机变量及其分布 §2.1 随机变量
及理论的研究 , 因而引入以下变量 X,
例1. 抛硬币试验中 S {H,T}, H与T不是数量, 不便于计算
0, e T， X X (e ) 1, e H.
即X(e)是定义在样本空间S上的一个实函数,对于不同的例 2. 测试灯泡寿命试验 , 其结果是用数量表示试验结果 e, X取不同的值 , 由于试验前不能预料e的取值, 的 . 记灯泡的寿命为 X, 则X是定义在样本空间因而 X取1还是取0也是随机的 , 故称X(e)为随机变量。 S={e}={t|t≥0}上的函数, 即
23
P(B
j 1
n
j
)P(A | B j )
§6.
独立性
设A,B是试验E的两事件,当P(A)>0, 可以定义P(B|A). P(AB) P(B | A) . P(A)

李志从概率论与数理统计14-15(1)试卷A

河北科技大学2014--2015学年第一学期《概率论与数理统计》期末考试试卷（A ）学院班级姓名学号一．单选题（每小题3分，共24分）1. 设A ，B 为随机事件，P （AB ）=1，则（）A ．A ，B 均是必然事件 B. P (A )= P (B )=1C ．AB 是必然事件 D. A 与B 不独立 2．设随机变量X 的密度函数为)1(1)(2x x f +=π，则X e Y 2=的密度函数为（） A ．21(4ln )y y π+ B ．22(4ln )y y π+ C ．22(4ln )y π+ D ． 22(14ln )y y π+3. 设随机变量X ，Y 不相关，2()()0,D X D Y σ==≠ 则下列命题错误的是（）A. Cov(X,Y)=0B. 2(2)5D X Y σ-=C. X ，Y 相互独立D. E (XY )=E (X )E (Y )4. 对正态总体的数学期望进行假设检验时，如果在显著性水平0.01α=下接受00H :μμ=，则在显著性水平0.05α=下，正确的是（）A ．必接受0HB ．可能接受，也可能拒绝0HC ．必拒绝0HD ．不接受，也不拒绝0H5. 12,X X 是来自正态总体2(0,)N σ的一组样本，下列结论中正确的是（）A ． 212/X X ～t(1) B ． 212212()()X X X X -+～ F （2,2） C ． 12X X -～2(0,)2N σ D ．221221()X X σ+～2(2)χ 6. 设()x Φ为标准正态分布函数，{,1001,2,i X A 1A 0,i Λ==　发生；，事件不发生；事件，且P(A)=0.2，X 1，X 2，…，X 100相互独立。

令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数F （y ）近似于（）A .)420-(y Φ B ．)480(-Φy C ．)1620-(y Φ D ．)1680-(y Φ 7. 设随机变量X ，Y 均服从正态分布，且它们不相关，则( ).A ． X 与Y 一定相互独立;B ． X 与Y 未必独立;C ．（X, Y ）服从二维正态分布;D ． X+Y 服从一维正态分布.8. 设12,,,n X X X L 为正态总体(,4)N μ的一个样本，X 表示样本均值，则μ的置信度为1α- 的置信区间为（） A．/2/2(X z X z αα-+ B．/2/2(((X t n X t n αα--+- C ．/2/2(X z X z αα-+ D ．(X z X z αα-+ 二．填空题（每空3分，共36分）1．设A ，B ，C 是随机事件，P （AB ）=21，P （C ）=41，且B 与C 互不相容，则P （AB |C ）＝__________.2．已知)2(~E X ，~(2)Y π, 且X 与Y 不相关，则D(X -3Y )= .3．设总体~(100,30)X N ，1215(,,,)X X X K 和125(,,,)Y Y Y K 是其两个独立的样本，则D （X ）＝______________，~X Y - . 4. 连续四次掷一枚硬币，已知至少出现一次反面的概率为8165，则每次掷硬币时出现正面的概率为__________.5．设E (X )=E (Y )=2，D (X )=2，D (Y )=8, 3/4XY ρ=，则由切比雪夫不等式{||3}P X Y -≥≤ .6. 设二维随机向量（X ，Y ）的联合分布律为则当α= ， β = 时，X 与Y 相互独立.7. 设,01()0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其它是连续型随机变量X 的概率密度函数，且13EX =，则a = ，b = .8．设1234,,,X X X X 是来自参数为θ的泊松分布总体的样本．现有θ的三个估计量11234()4T X X X X =+++，2123411()()63T X X X X =+++，31234(234)5T X X X X =+++，其中两个估计量是无偏的.9. 若X 服从自由度为n 的t 分布，则2X 服从分布.三．计算题（第一小题1分，其余各小题3分，共16分）设随机变量X和Y的联合分布在以点（0,0）、（0,1）、（1,1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求：（1）联合概率密度函数(,)f x y；（2）；{1}P X Y+≥（3）边缘概率密度函数()Xf x；；（4）条件概率密度函数|(|)Y Xf y x；（5）11 {|)}42 P Y X≥=（6）Z X Y =+,求Z 的概率密度函数(z)Z f四．计算题（8分）设总体X 的密度函数为()+1,01()0,x x f x θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，(1)-θθ>为未知参数，12,,,n X X X L 为总体X 的样本，（1）求θ的矩估计量．（2）求θ的最大似然估计量．五．计算题（8分）在做单选题时（4个备选答案中只有一个正确答案），若一个学生不知道正确答案，他就作随机选择。