天津理工电路习题及答案 第十五章 电路方程的矩阵形式
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由基尔霍夫电流定律得：
所以：
对该式 进行讨论，目的是得出一般规律。
⑴ 复合支路中无受控源时：
由KCL得：
变成 将 代入得：
又 所以
对整个电路有： 其中Y为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。
同理可以分析一下两种情况
⑵ 复合支路中无受控源，但电感之间有互感时：
⑶ 复合支路中含有受控源时：
都可以推导出
第二步：写出A、Y、IS、US等矩阵；
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=ATun；u=[uiu2u3……ub]T。un=[uniun2un3……un(n-1)]T。
结点电压方程的矩阵形式的形成过程：
第一步：建立复合支路：
由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。复合支路即第k条支路如下：
第十五章电路方程的矩阵形式内容总结
——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型
1、教学基本要求
初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：
3、典型例题分析
【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。
电路如图15.1（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图15.1（b）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。
图15.1（a）图15.1（b）
解：由图15.1（b）得节点关联矩阵A,
节点电压的列向量，
ajk= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点；
ajk= 0，表示结点j与支路k不关联；
②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：
lⅹb
其中任意元素bjk的定义为：bjk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；
图15.16
【题14】：图15.17所示电路中，R1=1000；R2=3000；C=250F；L=0.1mH.。试建立电路的状态方程。
图15.17
【题15】：图15.18所示电路中，R1=1000；R2=30；R3=10；C=4000F；L=5mH.。试建立电路的状态方程。
图15.18
第十五章电路方程的矩阵形式答案
KCL： ；
消去： ； ；
代入上式：
然后整理成矩阵形式（略）。
方法2系统法
选图（b）中支路1、3、4、6为树支
含电感单连支回路的KVL：
含电容单树支割集的KCL：
【例题3】：求图15.3所示电路的状态方程。
图15.3
解：设uc,i1，i2为状态变量
其中：
从以上方程中消去非状态量，得：
写成矩阵形式：
【例题4】：
题1
(画错一条（包括方向错误）扣2分，错4条以上则无分)
题2：（C）
题3：（D）
题4：（C）
题5：（C）
题6：（A）
题7：
题8：
题9：
题10：
题11：
题12：
题13：
题14：
题15：
qjk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；
qjk= 0，表示割集j与支路k相不关联；
注意：
★ 对于结点关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai= 0；i=[iii2i3……ib]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=ATun；u=[uiu2u3……ub]T。un=[uniun2un3……un(n-1)]T。
★ 对于回路关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：i=BTil；i=[iii2i3……ib]T。il=[iliil2il3……ill]T
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu=0；u=[uiu2u3……ub]T。
★ 对于割集关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi= 0；i=[iii2i3……ib]T。
图15.5
【题3】：图15.6所示电路的图G已给出，则该电路支路导纳矩阵为：答（）
图15.6
【题4】：图15.7所示电路的G已给出，则其支路导纳矩阵为：答（）
图15.7
【题5】：图15.8所示电路支路编号和参考方向如图G所示，则其支路导纳矩阵Yb为：答（）
图15.8
【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为 时，标准支路的形式为图15.9中所示的：答（）
支路电流的列向量，
支路电压的列向量，
支路导纳矩阵，
节点导纳矩阵，
结点电压方程的矩阵形式为：
【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。
电路如图15.2（a）所示，以 为状态变量，列出电路的状态方程。
图15.2（a）图15.2（b）
解：方法1直观法
KVL：
图15.4所示图G的关联矩阵A=________________________。
图15.4
12 34 5 6 源自文库 8 9
A
(每错一个元素扣2分，扣完为止)
3、典型习题
【题1】：已知图G的关联矩阵如下，画出图G。
【题2】：图15.5所示电路的图中，可写出独立的KCL、KVL方程数分别为：答（）
A.3个，3个；B.3个，4个；C.4个，3个；D.4个，4个。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=QfTut；u=[uiu2u3……ub]T。ut=[utiut2ut3……ut(n-1)]T。
④三种矩阵之间的关系（略）
2.三种分析方法的方程的矩阵形式
① 回路电流方程的矩阵形式（略）
② 割集电压方程的矩阵形式（略）
③ 结点电压方程的矩阵形式
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai= 0；i=[iii2i3……ib]T。
图15.9
【题7】：用矩阵法建立图15.10所示电路的节点电压方程。（直接写出无分）
图15.10
【题8】：按下列步骤列出图15.11所示电路节点电压方程的矩阵形式：
1.有向图;（编号按元件参数下标）
2.出所需的各矩阵;
3.出节点电压方程的矩阵公式;
4.出节点电压方程的矩阵形式。
图15.11
【题9】：用矩阵法建立图15.12所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。
图15.12
【题10】：试列出图15.13所示电路的矩阵形式状态方程。
图15.13
【题11】：图15.14所示电路中，R=5；C1=2F；C2=1F；L=2H.。求该电路的状态方程。
图15.14
【题12】：试建立图15.15所示电路的状态方程。
图15.15
【题13】：试建立图15.16所示电路的状态方程。
2、重点和难点
(1)关联矩阵
(2)结点电压方程的矩阵形式
(3)状态变量的选取及状态方程的建立方法
(4)电路状态方程列写的直观法和系统法
.三种主要关联矩阵形式：
①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素ajk的定义为：ajk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；
bjk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；
bjk= 0，表示回路j与支路k相不关联；
③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素qjk的定义为：qjk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；
所以：
对该式 进行讨论，目的是得出一般规律。
⑴ 复合支路中无受控源时：
由KCL得：
变成 将 代入得：
又 所以
对整个电路有： 其中Y为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。
同理可以分析一下两种情况
⑵ 复合支路中无受控源，但电感之间有互感时：
⑶ 复合支路中含有受控源时：
都可以推导出
第二步：写出A、Y、IS、US等矩阵；
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=ATun；u=[uiu2u3……ub]T。un=[uniun2un3……un(n-1)]T。
结点电压方程的矩阵形式的形成过程：
第一步：建立复合支路：
由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。复合支路即第k条支路如下：
第十五章电路方程的矩阵形式内容总结
——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型
1、教学基本要求
初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：
3、典型例题分析
【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。
电路如图15.1（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图15.1（b）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。
图15.1（a）图15.1（b）
解：由图15.1（b）得节点关联矩阵A,
节点电压的列向量，
ajk= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点；
ajk= 0，表示结点j与支路k不关联；
②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：
lⅹb
其中任意元素bjk的定义为：bjk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；
图15.16
【题14】：图15.17所示电路中，R1=1000；R2=3000；C=250F；L=0.1mH.。试建立电路的状态方程。
图15.17
【题15】：图15.18所示电路中，R1=1000；R2=30；R3=10；C=4000F；L=5mH.。试建立电路的状态方程。
图15.18
第十五章电路方程的矩阵形式答案
KCL： ；
消去： ； ；
代入上式：
然后整理成矩阵形式（略）。
方法2系统法
选图（b）中支路1、3、4、6为树支
含电感单连支回路的KVL：
含电容单树支割集的KCL：
【例题3】：求图15.3所示电路的状态方程。
图15.3
解：设uc,i1，i2为状态变量
其中：
从以上方程中消去非状态量，得：
写成矩阵形式：
【例题4】：
题1
(画错一条（包括方向错误）扣2分，错4条以上则无分)
题2：（C）
题3：（D）
题4：（C）
题5：（C）
题6：（A）
题7：
题8：
题9：
题10：
题11：
题12：
题13：
题14：
题15：
qjk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；
qjk= 0，表示割集j与支路k相不关联；
注意：
★ 对于结点关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai= 0；i=[iii2i3……ib]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=ATun；u=[uiu2u3……ub]T。un=[uniun2un3……un(n-1)]T。
★ 对于回路关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：i=BTil；i=[iii2i3……ib]T。il=[iliil2il3……ill]T
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu=0；u=[uiu2u3……ub]T。
★ 对于割集关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi= 0；i=[iii2i3……ib]T。
图15.5
【题3】：图15.6所示电路的图G已给出，则该电路支路导纳矩阵为：答（）
图15.6
【题4】：图15.7所示电路的G已给出，则其支路导纳矩阵为：答（）
图15.7
【题5】：图15.8所示电路支路编号和参考方向如图G所示，则其支路导纳矩阵Yb为：答（）
图15.8
【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为 时，标准支路的形式为图15.9中所示的：答（）
支路电流的列向量，
支路电压的列向量，
支路导纳矩阵，
节点导纳矩阵，
结点电压方程的矩阵形式为：
【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。
电路如图15.2（a）所示，以 为状态变量，列出电路的状态方程。
图15.2（a）图15.2（b）
解：方法1直观法
KVL：
图15.4所示图G的关联矩阵A=________________________。
图15.4
12 34 5 6 源自文库 8 9
A
(每错一个元素扣2分，扣完为止)
3、典型习题
【题1】：已知图G的关联矩阵如下，画出图G。
【题2】：图15.5所示电路的图中，可写出独立的KCL、KVL方程数分别为：答（）
A.3个，3个；B.3个，4个；C.4个，3个；D.4个，4个。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=QfTut；u=[uiu2u3……ub]T。ut=[utiut2ut3……ut(n-1)]T。
④三种矩阵之间的关系（略）
2.三种分析方法的方程的矩阵形式
① 回路电流方程的矩阵形式（略）
② 割集电压方程的矩阵形式（略）
③ 结点电压方程的矩阵形式
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai= 0；i=[iii2i3……ib]T。
图15.9
【题7】：用矩阵法建立图15.10所示电路的节点电压方程。（直接写出无分）
图15.10
【题8】：按下列步骤列出图15.11所示电路节点电压方程的矩阵形式：
1.有向图;（编号按元件参数下标）
2.出所需的各矩阵;
3.出节点电压方程的矩阵公式;
4.出节点电压方程的矩阵形式。
图15.11
【题9】：用矩阵法建立图15.12所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。
图15.12
【题10】：试列出图15.13所示电路的矩阵形式状态方程。
图15.13
【题11】：图15.14所示电路中，R=5；C1=2F；C2=1F；L=2H.。求该电路的状态方程。
图15.14
【题12】：试建立图15.15所示电路的状态方程。
图15.15
【题13】：试建立图15.16所示电路的状态方程。
2、重点和难点
(1)关联矩阵
(2)结点电压方程的矩阵形式
(3)状态变量的选取及状态方程的建立方法
(4)电路状态方程列写的直观法和系统法
.三种主要关联矩阵形式：
①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素ajk的定义为：ajk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；
bjk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；
bjk= 0，表示回路j与支路k相不关联；
③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素qjk的定义为：qjk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；