高斯平面直角坐标
高斯平面直角坐标系的建立过程
高斯平面直角坐标系的建立过程高斯平面直角坐标系是一种常用的平面直角坐标系，它是基于直
角坐标系的基本概念和高斯投影法而建立的。
建立高斯平面直角坐标系的过程如下：
1. 确定起算点和起算坐标：高斯平面直角坐标系以某一地点的经
纬度作为起算点，对应着该地点的平面直角坐标为起算坐标。
2. 选取中央经线：以起算点为中心，选取一条经线作为中央经线。
3. 制定投影方案：根据高斯投影法的原理，确定投影面、投影方法、坐标系方向和比例因子等参数。
4. 建立坐标网格系统：基于投影方案，在平面上划分均匀的坐标
网格，形成高斯平面直角坐标系。
5. 确定坐标变换关系：通过计算，将某一地点的经纬度坐标转换
为相应的高斯平面直角坐标。
同时，也可以通过逆向计算，将高斯平
面直角坐标转换为经纬度坐标。
以上是高斯平面直角坐标系的建立过程，它为地图制图和测量工
作提供了基础坐标系。
高斯投影及高斯平面直角坐标
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q B MdB dB ln tg( B ) e . (1 esin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
F mBmL N 2 cos2 B cos
EG
12
3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
m2 mL2 cos2 A mBmL cos sin 2A mB2 sin2 A
若使：d dA
(m2
)
mL2
sin
2
A0
2mBmL
cos
c os2 A0
mB2
sin
2 A0
P1x1, y1
椭球面上
投影面上
x1 ax y1 by,
x2 y2 1
x12 a2
y12 b2
1
m
x12 y12
a2x2 b2 y2
a2 cos 2 b2 sin 2
x2 y2
x2 y2
16
3.1.2 地图投影变形及其表述
3、方向变形与角度变形
A
G
s in 2
A
9
3.1.2 地图投影变形及其表述
当A=0°或180 °，得经线方向长度比：
mL
N
E cos B
G 当A = 90°或270 °，得纬线方向长度比： mB N cos B
要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G， 则长度比可表示为：
高斯直角坐标系
高斯直角坐标系高斯直角坐标系是一种用于地图制图的坐标系，也被称为高斯-克吕格投影坐标系。
它是一种平面直角坐标系，用于将地球表面上的点映射到平面上。
在这个坐标系中，地球表面被划分成了许多小区域，每个小区域都有一个唯一的投影中心。
下面将对高斯直角坐标系进行详细介绍。
一、高斯直角坐标系的定义高斯直角坐标系是指在地球表面上建立一个平面直角坐标系，使得该平面上任意一点（x,y）与其所对应的经纬度（B,L）之间存在着确定的函数关系。
二、高斯直角坐标系的原理在高斯直角坐标系中，我们假设地球是一个椭球体，并将其投影到一个平面上。
这个平面可以看作是椭球体的切平面，即与椭球体相切的平面。
我们选择以某个点为中心进行投影，并规定该点处的投影正北方向与地理正北方向重合。
然后根据柏松定理和拉普拉斯方程式来计算每个点在该投影中所对应的坐标。
三、高斯直角坐标系的特点1. 高精度：高斯直角坐标系是一种高精度的坐标系，可以用于制图、导航和测量等领域。
2. 局部性：由于每个小区域都有一个唯一的投影中心，因此该坐标系具有局部性。
在同一小区域内，可以使用相同的投影参数进行计算。
3. 正交性：高斯直角坐标系是一种正交坐标系，即x轴和y轴互相垂直。
这个特点使得计算更加简单。
4. 投影形式多样：高斯直角坐标系有多种投影形式，可以根据不同需求选择不同的投影方式。
四、高斯直角坐标系的应用1. 地图制图：高斯直角坐标系是地图制图中常用的坐标系之一。
它可以将地球表面上的点映射到平面上，便于绘制地图。
2. 导航定位：在导航定位中，可以使用高斯直角坐标系来表示位置信息。
例如，在GPS导航系统中，可以通过将GPS信号转换为高斯-克吕格投影来实现位置定位。
3. 测量应用：在测量应用中，高斯直角坐标系可以用于计算距离、面积等。
例如，在土地测量中，可以使用高斯直角坐标系来计算土地面积。
五、总结高斯直角坐标系是一种常用的地图制图坐标系，具有高精度、局部性、正交性和投影形式多样等特点。
高斯平面直角坐标系同数学中平面直角坐标系的区别
高斯平面直角坐标系是数学中一个重要的概念，它与平面直角坐标系有着一定的区别。
下面我们通过以下几个方面来详细分析高斯平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系的区别。
1. 坐标系定义：高斯平面直角坐标系是由德国数学家高斯在复数分析中引入的一种坐标系，它是复平面上的直角坐标系，以复数的实部和虚部作为坐标轴的坐标值。
而数学中的平面直角坐标系是由两条垂直的坐标轴构成的，其中横轴为x轴，纵轴为y轴，以点的横纵坐标来确定点的位置。
2. 坐标轴单位：在高斯平面直角坐标系中，横轴和纵轴的单位都是复数单位i，而在数学中的平面直角坐标系中，横轴和纵轴的单位分别是实数单位和虚数单位。
3. 笛卡尔坐标系变换：在高斯平面直角坐标系中，可以将复平面上的点(x, y)表示为复数z=x+iy的形式，而在数学中的平面直角坐标系中，点(x, y)的坐标可以表示为(x, y)。
4. 应用领域：高斯平面直角坐标系主要应用于复数分析、电磁学、控制论等领域，在这些领域中，复数的运算和分析是非常重要的。
而数学中的平面直角坐标系则主要应用于几何、代数、微积分等数学学科中，其中二维平面上的点的位置关系是重要的研究对象。
5. 图形表示：在高斯平面直角坐标系中，图形通常表示为复平面上的曲线和点，通过复数的实部和虚部来确定图形的位置和形状。
而在数学中的平面直角坐标系中，图形表示为二维平面上的曲线、点和图形，通过点的横纵坐标来确定图形的位置和形状。
总结起来，高斯平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系有着明显的区别，主要体现在坐标系定义、坐标轴单位、笛卡尔坐标系变换、应用领域和图形表示等方面。
了解这些区别有助于我们更深入地理解复数分析和坐标系的概念，同时也有助于我们更好地应用和理解这些概念在不同领域中的具体问题。
高斯平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系之间的区别并不仅仅体现在其定义、坐标轴单位、坐标系转换、应用领域和图形表示方面。
事实上，它们之间的差异还体现在许多其他重要方面，这些区别对于我们理解和应用这两种坐标系都具有重要意义。
空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系
本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。
这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。
地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。
过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system 1956水准原点高程为72.289m)。
后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。
国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。
它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。
在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。
(2)相对高程。
地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。
在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A 和H'B。
(3)高差。
地面上任意两点的高程(绝对高程或相对高程)之差称为高差。
高斯平面直角坐标系
高斯投影方法2
投影
剪开
展平
高斯投影的规律： (1) 中央子午线的投影为一条直线，且投影
之后的长度无变形；其余子午线的投影均为凹向 中央子午线的曲线，且以中央子午线为对称轴， 离对称轴越远，其长度变形也就越大；
(2) 赤道的投影为直线，其余纬线的投影为 凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴；
方法： （1）先将自然值的横坐 标Y加上500000米； （2）再在新的横坐标Y 之前标以2位数的带号。
2．3°带的划分
若仍不能满足精度要求,可进行3 °带、 1.5 °带的划分。
3 °带计算公式：
λ =3N λ——中央子午线经度, N——投影带号。
高斯—克吕格平面直角坐标系
分带投影后，各带的中央子午线都和赤道垂 直，以中央子午线作为纵坐标轴x，赤道为横坐 标轴y，其交点O为坐标原点。
这样，在每个投影带内，便构成了一个既和 地理坐标有直接关系、又有各自独立的平面直角 坐标系，称为高斯-克吕格坐标系
(3) 经纬线投影后仍保持相互正交的关系， 即投影后无角度变形；
(4) 中央子午线和赤道的投影相互垂直。
1．6°带的划分
为限制高斯投影离中央子午线愈远，长 度变形愈大的缺点，从经度0°开始，自西向 东将整个地球分成60个带，6°为一带。
计算公式： λ =6N-3 λ——中央则无论3°或6° 带，每带的纵坐标轴要西移500 km，即在每带的横 坐标上加500 km。
为了指明该点属于 何带，还规定在横坐标y 值之前，要写上带号。 未加500km和带号的横坐 标值称为自然值，加上 500km和带号的横坐标值 称为通用值。
自然值：Y1 = +36210.140m, Y2 = -41613.070m 通用值：Y1=38 536210.140m,Y2=38 458386.930m 自然值和通用值之间：X不加500km，也不加带号。
高斯直角坐标系简介
高斯直角坐标系简介高斯直角坐标系简介1. 什么是高斯直角坐标系？高斯直角坐标系是一种在数学和物理学中常用的坐标系。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初提出，用于描述平面和空间中的几何问题。
与传统的笛卡尔坐标系不同，高斯直角坐标系是利用参考点和参考方向来构建坐标系的。
2. 高斯直角坐标系的构建方式利用高斯直角坐标系，我们可以用一组有序的数来表示空间中的点。
该坐标系的构建方式如下：- 选择一个参考点作为坐标系的原点，通常选择地球表面的某一点作为参考点。
- 选择参考方向。
在二维情况下，参考方向可以是正北或正东；在三维情况下，参考方向可以是正北、正东和竖直向上。
这些参考方向构成了坐标系的三个轴。
- 以参考点为原点，根据参考方向确定坐标轴的正方向。
这些坐标轴与参考方向垂直，并形成直角关系，因此得名高斯直角坐标系。
3. 高斯直角坐标系的应用领域高斯直角坐标系在测量学、地理学和地震学等领域被广泛应用。
在这些领域中，通过使用高斯直角坐标系，可以更方便地描述和计算地球表面或空间中的位置、距离、方向等物理量。
4. 高斯投影坐标系高斯直角坐标系的一种特殊形式是高斯投影坐标系。
高斯投影坐标系通过投影方式将地球表面上的经纬度位置投影到平面坐标系中。
在地图制作中，高斯投影坐标系常被用于绘制区域或国家的精确地图。
5. 高斯直角坐标系的优点和局限性高斯直角坐标系的优点是能够通过简单的数学计算得到点的位置、距离和方向，适用于各种几何计算。
然而，由于坐标轴的选择和原点的位置没有统一标准，不同地区和不同学科可能会采用不同的高斯直角坐标系，导致坐标值不可通用。
总结与回顾：通过本文，我们了解了高斯直角坐标系的基本概念和构建方式。
高斯直角坐标系在数学和物理学中具有广泛的应用，尤其在测量学、地理学和地震学等领域涉及到位置、距离和方向的计算时被频繁使用。
我们还了解到高斯投影坐标系作为高斯直角坐标系的一种特殊形式，常被用于地图制作。
高斯平面直角坐标系与大地坐标系相互转化
高斯平面直角坐标系与大地坐标系相互转化高斯平面直角坐标系与大地坐标系转换 1. 高斯投影坐标正算公式 (1) 高斯投影正算:已知椭球面上某点的大地坐标(L ，B)，求该点在高斯投影平面上 的直角坐标(x ，y)，即(L ，B)->(x ，y)的坐标变换。
(2) 投影变换必须满足的条件 中央子午线投影后为直线; 中央子午线投影后长度不变; 投影具有正形性质，即正形投影条件。
(3) 投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点P 1 和P 2 ，它们的大地坐标分别为(L ，B)及(l ， B)，式中l 为椭球面上P 点的经度与中央子午线(L 0 )的经度差:l=L-L 0 ，P 点在中央子午 线之东，l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P 1 ’ (x,y)和P 2 ’ (x,-y)。
(4) 计算公式 4 ' ' 2 2 3 4 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ) 9 5 ( cos sin 2 sin 2 l t B B N BlN X x 5 ' ' 4 2 5 5 ' ' 3 ' ' 2 2 3 ' ' ' ' ' ' ) 18 5 ( cos 120 ) 1 ( 6 cos l t t B N l t B NBl N y 当要求转换精度精确至0.001m 时，用下式计算: 6 ' ' 4 2 5 6 ' ' 4 ' ' 4 2 2 3 4 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ) 58 61 ( cos sin 720 ) 4 9 5( cos sin 24 sin 2 l t t B B N l t B B N Bl N X x5 ' ' 2 2 2 4 2 5 5 ' ' 3 ' ' 2 2 3 3 ' ' ' ' ' ' ) 58 14 18 5 ( cos 720 ) 1( cos 6 cos l t t t B N l t B N Bl N y2. 高斯投影坐标反算公式 (1) 高斯投影反算:已知某点的高斯投影平面上直角坐标(x,y)，求该点在椭球面上 的大地坐标(L,B)，即(x,y)->(L,B)的坐标变换。
简述高斯平面直角坐标系
简述高斯平面直角坐标系
高斯平面直角坐标系是二维坐标系中常用的一种，也称为笛卡尔坐标系。
它是由数学家高斯所提出的，用于描述平面内的点的位置。
高斯平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴构成的，通常我们称它们为x轴和y轴。
x轴和y轴的交点被称为坐标原点，它的坐标值为(0,0)。
在高斯平面直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序数对(x,y)，其中x代表该点在x轴上的坐标值，y代表该点在y轴上的坐标值。
高斯平面直角坐标系的特点是，它能够对平面内的点进行精确地描述和定位。
通过在坐标系中画出线段、曲线、图形等，我们可以更加直观地理解数学中的各种概念和定理。
在高斯平面直角坐标系中，我们可以通过两点之间的距离公式来计算两点之间的距离。
同时，我们也可以通过勾股定理来计算任意直角三角形的边长和斜边长。
高斯平面直角坐标系还可以用来描述向量的运算。
在二维平面中，向量可以表示为有向线段，它有大小和方向，可以进行加减乘除等运算。
通过向量的运算，我们可以更好地解决平面内的几何问题。
高斯平面直角坐标系是数学中非常重要的一种工具，它可以用来描述平面内的点的位置和向量的运算。
在学习数学和物理等科学领域
时，熟练掌握高斯平面直角坐标系的使用方法是非常必要的。
高斯平面直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（4）反算公式
当l＜3.5°时，上式换算精度达0.0001″。 欲使换算精确至0.01″，可对上式简化成：
大测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
平 时 作 业 用编程进行高斯投影正反算。 已知
B 51 3843.9023 L 111 0213.1360
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
即有：
在数学上，F1为 l 的偶函数，F2为 l 的奇函数。 因为在每带中，l/ρ˝不大，是一个微小量，可展成幂级 数。
m０，ｍ１，ｍ２，…，是待定系数，它们都是纬度B的函 数。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
大地测量学基础
4.9 高斯平面 直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
三、高斯投影坐标正反算公式 1、高斯投影坐标正反算的定义 （1）高斯投影正算： 已知椭球面上某点的大地坐标B、L，求其 该点在高斯平面直角坐标系中的坐标x、y的工作 叫高斯投影正算。 （2）高斯投影反算： 已知椭球面上某点在高斯平面直角坐标系中 的坐标x、y，求其该点的大地坐标B、L的工作 叫高斯投影反算。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（3）反算公式推导思路： 和正算公式基本一样，也是根据高斯投影的3个条件来 推导的。 ①由对称条件，同样可得： 把B、l 展成y的幂级数，而φ1为y的偶函数， φ2为y的奇 函数。
式中 n ０ ，ｎ １ ，ｎ ２ … 是待定系数，它们都是纵坐标 x 的函数 ,与y无关。
高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系
高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系测量学中使用的平面直角坐标系统包括高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系高斯平面直角坐标系简称高斯坐标，是经高斯投影后的地面点坐标。
地面点的x坐标值，表征此地面点至赤道的距离，中国位于北半球，X坐标值均为正值，“位于北半球”的“N”也常省略；地面点的Y坐标值、表征此地面点至中央子午线的距离，当地面点位于中央子午线以东时为正，位于以西时为负。
通常将纵坐标轴向西平移500千米，不仅可保证六度带投影和三度带投影后的Y坐标值不出现负值，并可使其千米数是3位数，以便与前面所加的带号区别开。
全球有60个（对于六度带投影）或120个（对于三度带投影）地面点具有相同的Y坐标值，为使Y坐标值能与地球椭球体面上的地面点一一对应，并反映地面点所处投影带的带号，常在移轴后的Y坐标值之前，加上相应的带号，此时Y坐标值连同相应的X坐标值，称高斯坐标的通用值（常称高斯坐标）。
而将未经移轴加带号者称高斯坐标的自然值。
当Y坐标值大于500千米时，表示此地面点位于中央子午线以东，反之位于以西。
中国疆域位于六度带投影的第13带～23带和三度带投影的第25带～45带之间，故带号24作为区分六度带投影抑或三度带投影的标志。
如：中国有两地面点分别为XA=432123.567米，YA=19623456.789米；XB=345678.912米，YB=38356789.123米。
即此地面点A位于赤道以北432123.567米、六度带投影的第19带，其中央子午线的经度为东经110，位于中央子午线以东123456.789米；地面点B位于赤道以北345678.912米、三度带投影的第38带，其中央子午线的经度为东经140°，位于中央子午线以西143210.877米。
独立平面直角坐标系当地形图测绘或施工测量的面积较小时，可将测区范围内的椭球面或水准面用水平面来代替，在此水平面上设一坐标原点，以过原点的南北方向为纵轴(向北为正，向南为负)，东西方向为横轴(向东为正，向西为负)，建立独立的平面直角坐标系，测区内任一点的平面位置即可以其坐标值表示。
高斯平面直角坐标系
高斯平面直角坐标系1. 引言高斯平面直角坐标系是一个二维坐标系统，常用于描述平面中的几何问题和物理量。
它由两个相交的轴线组成，分别称为横轴（x轴）和纵轴（y轴）。
本文将详细介绍高斯平面直角坐标系的基本概念、坐标表示和常用运算等内容。
2. 基本概念在高斯平面直角坐标系中，每个点都由一对有序实数（x, y）表示，其中x表示点在横轴上的位置，y表示点在纵轴上的位置。
点的位置由坐标确定，而坐标则由点决定。
坐标系中的原点（0，0）位于横轴和纵轴的交点处，并作为坐标的起始位置。
横轴和纵轴向右和向上的方向分别为正方向，向左和向下的方向为负方向。
3. 坐标表示在高斯平面直角坐标系中，坐标表示的一般形式为(x, y)，其中x和y分别表示点在横轴和纵轴上的位置。
例如，点A在横轴上的位置为2，纵轴上的位置为3，则点A的坐标表示为(2,3)。
4. 坐标运算在高斯平面直角坐标系中，可以进行一些基本的坐标运算，如求两点间距离、求两点的中点等。
4.1 两点间距离设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B之间的距离可以按照以下公式计算：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)4.2 两点的中点设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B的中点的坐标可以按照以下公式计算：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 25. 坐标系转换高斯平面直角坐标系可以与其他坐标系之间进行转换。
常见的坐标系转换包括直角坐标系到极坐标系的转换和直角坐标系到正交曲线坐标系的转换等。
5.1 直角坐标系到极坐标系的转换在直角坐标系中，点的坐标为(x, y)，转换为极坐标系的坐标(r, θ)可以按照以下公式计算：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)5.2 直角坐标系到正交曲线坐标系的转换在直角坐标系中，点的位置可以通过正交曲线坐标系的等值线图进行表示，转换公式如下：x = x(u, v)y = y(u, v)结论高斯平面直角坐标系是一个二维坐标系统，用于描述平面中的几何问题和物理量。
高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系
测量学中使用的平面直角坐标系统包括高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系高斯平面直角坐标系简称高斯坐标，是经高斯投影后的地面点坐标。
地面点的X坐标值，表征此地面点至赤道的距离，中国位于北半球，X坐标值均为正值，''位于北半球‘'的''N''也常省略；地面点的Y坐标值、表征此地面点至中心子午线的距离，当地面点位于中心子午线以东时为正，位于以西时为负。
通常将纵坐标轴向西平移500千米，不仅可保证六度带投影和三度带投影后的Y坐标值不消失负值，并可使其千米数是3位数，以便与前面所加的带号区分开。
全球有60个（对于六度带投影）或120个（对于三度带投影）地面点具有相同的Y坐标值，为使Y坐标值能与地球椭球风光上的地面点一一对应，并反映地面点所处投影带的带号，常在移轴后的Y坐标值之前，加上相应的带号，此时Y坐标值连同相应的X坐标值, 称高斯坐标的通用值（常称高斯坐标）。
而将未经移轴加带号者称高斯坐标的自然值。
当Y坐标值大于500千米时，表示此地面点位于中心子午线以东，反之位于以西。
中国疆域位于六度带投影的第13带〜23带和三度带投影的第25 带〜45带之间，故带号24作为区分六度带投影抑或三度带投影的标志。
如：中国有两地面点分别为XA=432123.567米，YA=19623456.789米；XB=345678.912米，YB=38356789.123米。
即止匕土也面点A位于赤道以北432123.567米、六度带投影的第19带，其中心子午线的经度为东经110, 位于中心子午线以东123456.789米；地面点B位于赤道以北345678.912 米、三度带投影的第38带，其中心子午线的经度为东经140。
，位于中心子午线以西143210.877米。
独立平面直角坐标系当地形图测绘或施工测量的面积较小时，可将测区范围内的椭球面或水准面用水平面来代替，在此水平面上设一坐标原点，以过原点的南北方向为纵轴（向北为正，向南为负），东西方向为横轴（向东为正，向西为负），建立独立的平面直角坐标系，测区内任一点的平面位置即可以其坐标值表示。
高斯平面直角坐标系
则长度比公式简化为:
x 2 y 2 q q m2 r2 x 2 y 2 l l r2
E G m N cos B N cos B
柯西__黎曼条件的几何意义
AB AC cos AB AC BB C C sin AB CC
AB? AC? AB’? BB’? CC’? AC’? 同样推出柯西__黎曼条件，同时得到 子午线收敛角公式
y x tan B L x y B L
3 f
n2
tf 2 N 2 cos B f f t f 5 6t 2 2 4 4 f f f 24N 4 cos B f f
n4
5 28t 2 24t 4 6 2 8 2 t 2 f f f f f t f 61 180t 120t 46 48 t
3 5
h
X
P x, y
其中mi是B的函数 对l和q求导
x
O
y
x l x q y l y q
2m2l 4m4l 3 dm0 dm2 2 dm4 4 l l dq dq dq m1 3m3l 2 5m5l 4 dm3 3 dm5 5 dm1 l l l dq dq dq
其各阶导数为：
dX N cos B, dq
d2X d dX dB 2 dq dq N sin B cos B dq dB
d3X N cos3 B(t 2 1 2 ) dq3 d4X N sin B cos3 B(5 t 2 9 2 4 4 ) dq4 d5X N cos5 B(5 18t 2 t 4 14 2 58t 2 2 ) dq5 d6X N sin B cos5 B(61 58t 2 t 4 270 2 330t 2 2 ) 6 dq
[整理](第8章)高斯平面直角坐标.
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第八章高斯平面直角坐标§1 正形投影的基本公式一、地图投影的概念1.投影的必要性及其方法①投影的必要性：测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。
因：1）椭球面上计算复杂；2）地图是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。
②投影的方法：按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)式中B，L——椭球面上的大地坐标x，y——投影平面上的直角坐标按高斯投影方法得到的平面直角坐标x，y叫高斯平面直角坐标。
2.投影的分类椭球面是不可展开的曲面（圆柱，圆锥面是可展开曲面）。
若展开成平面，必产生变形。
投影按变形的性质可分为：等距离投影━投影后地面点见的距离不变等面积投影━保证投影后面积不变等角投影━投影后微分范围的形状相似3.测量采用的投影测量工作从计算和测图考虑，采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。
其便利在于：1）可把椭球面上的角度，不加改正地转换到平面上。
（注：椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。
为实用，需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向，称方向改化。
方向改化是在平面上为实用而做的工作，非投影工作。
且：①改化小，公式简单；②只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及）2）因微分范围内投影前后图形相似，则大比例尺图的图形与实地完全相似，应用方便。
二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如图：对于保角投影：A′＝A；B′＝B；C′＝C所以长度比 cc b b a a md d d d d d '='='=故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。
即投影后保持图形相似。
例如下图，对一个任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影：m obb o oa a o =='='但上述特点只在微分范围内成立。
在广大范围内，投影前后图形保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展开）。
高斯平面直角坐标系特点
高斯平面直角坐标系特点高斯平面直角坐标系，这个名字听起来有点拗口，但其实它并没有你想象中的那么复杂。
今天，我们就来聊聊它的特点，让这些数学术语变得简单易懂。
1. 什么是高斯平面直角坐标系？1.1 平面上的坐标首先，我们得搞清楚什么是“高斯平面直角坐标系”。
这个系统主要用来在平面上定位点的位置。
简单来说，它就是一个二维的网格，帮助我们准确找到任何一个点的位置。
想象一下，我们把这个平面当成一张大地图，坐标系就像是地图上的经纬线，帮助你确定你在地图上的哪个角落。
1.2 坐标轴的角色在这个系统里，我们有两条基本的直线——x轴和y轴。
x轴是水平的，y轴是垂直的。
它们在平面上交叉形成一个“十字”，而交叉点就是原点，通常我们用字母“O”表示。
原点就像是坐标系的起点，从这里我们可以用坐标来描述任何一个点的位置。
2. 高斯坐标系的主要特点2.1 坐标的表示在高斯坐标系中，任何一个点的具体位置是用一对数字来表示的，这对数字就是坐标。
第一个数字表示点在x轴上的位置，第二个数字表示点在y轴上的位置。
比如，点(3, 4)表示这个点离x轴3个单位，离y轴4个单位的位置。
2.2 坐标系的优势这个坐标系有个特别大的好处，就是它很直观。
你只要知道点的坐标，就可以在图纸上很轻松地找到那个点。
它帮助我们处理各种图形、计算位置，也能帮助解决实际问题。
比如，你在设计一个建筑图纸时，就可以用坐标系来确定每个墙壁、窗户的准确位置。
3. 高斯坐标系的应用场景3.1 日常生活中的应用即使我们没有意识到，高斯坐标系其实已经渗透到我们的生活中了。
比如你在玩游戏时，游戏中的角色位置、障碍物的布置，很多时候都是用这种坐标系统来规划的。
就像是玩“寻宝游戏”，你需要根据坐标找到宝藏的位置。
3.2 科学与工程中的应用不仅如此，科学家和工程师们在做实验、设计机器时，也离不开高斯坐标系。
它能帮助他们精确计算、规划实验方案。
比如，建筑师在设计桥梁的时候，会用这种坐标系来确保桥梁的每一部分都在正确的位置上，从而保证结构的稳定性和安全性。
高斯平面直角坐标系与大地坐标系相互转化
高斯平面直角坐标系与大地坐标系相互转化高斯平面直角坐标系与大地坐标系转换 1. 高斯投影坐标正算公式(1) 高斯投影正算:已知椭球面上某点的大地坐标(L，B)，求该点在高斯投影平面上的直角坐标(x，y)，即(L，B)->(x，y)的坐标变换。
(2) 投影变换必须满足的条件中央子午线投影后为直线; 中央子午线投影后长度不变; 投影具有正形性质，即正形投影条件。
(3) 投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点P 1 和P 2 ，它们的大地坐标分别为(L，B)及(l，B)，式中l 为椭球面上P 点的经度与中央子午线(L 0 )的经度差:l=L-L 0 ，P 点在中央子午线之东，l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P 1 ’(x,y)和P 2 ’(x,-y)。
(4) 计算公式 4 ' ' 2 2 3 4 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ) 9 5 ( cos sin 2 sin 2 l t B B N Bl N X x 5 ' ' 4 2 5 5 ' ' 3 ' ' 2 2 3 ' ' ' ' ' ' ) 18 5 ( cos 120 ) 1 ( 6 cos l t t B N l t B N Bl N y 当要求转换精度精确至0.001m时，用下式计算: 6 ' ' 4 2 5 6 ' ' 4 ' ' 4 2 2 3 4 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ) 58 61 ( cos sin 720 ) 4 9 5 ( cos sin 24 sin 2 l t t B B N l t B B N Bl N X x5 ' ' 2 2 2 4 2 5 5 ' ' 3 ' ' 2 2 3 3 ' ' ' ' ' ' ) 58 14 18 5 ( cos 720 ) 1( cos 6 cos l t t t B N l t B N Bl N y2. 高斯投影坐标反算公式(1) 高斯投影反算:已知某点的高斯投影平面上直角坐标(x,y)，求该点在椭球面上的大地坐标(L,B)，即(x,y)->(L,B)的坐标变换。
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高斯平面直角坐标系
大地坐标系是大地测量的基本坐标系。
常用于大地问题的细算，研究地球形状和大小，编制地图，火箭和卫星发射及军事方面的定位及运算，若将其直接用于工程建设规划、设计、施工等很不方便。
所以要将球面上的大地坐标按一定数学法则归算到平面上，即采用地图投影的理论绘制地形图，才能用于规划建设。
椭球体面是一个不可直接展开的曲面，故将椭球体面上的元素按一定条件投影到平面上，总会产生变形。
测量上常以投影变形不影响工程要求为条件选择投影方法。
地图投影有等角投影、等面积投影和任意投影三种。
其中等角投影又称为正形投影，它保证在椭球体面上的微分图形投影到平面后将保持相似。
这是地形图的基本要求。
正形投影有两个基本条件：
①保角条件，即投影后角度大小不变。
②长度变形固定性，即长度投影后会变形，但是在一点上各个方向的微分线段变形比m是个常数k：
式中：ds—投影后的长度，dS—球面上的长度。
1.高斯投影的概念
高斯是德国杰出的数学家、测量学家。
他提出的横椭圆柱投影是一种正形投影。
它是将一个横椭圆柱套在地球椭球体上，如下图所示：
椭球体中心O在椭圆柱中心轴上，椭球体南北极与椭圆柱相切，并使某一子午线与椭圆柱相切。
此子午线称中央子午线。
然后将椭球体面上的点、线按正形投影条件投影到椭圆柱上，再沿椭圆柱N、S点母线割开，并展成平面，即成为高斯投影平面。
在此平面上：
①中央子午线是直线，其长度不变形，离开中央子午线的其他子午线是弧形，凹向中央子午线。
离开中央子午线越远，变形越大。
②投影后赤道是一条直线，赤道与中央子午线保持正交。
③离开赤道的纬线是弧线，凸向赤道。
高斯投影可以将椭球面变成平面，但是离开中央子午线越远变形越大，这种变形将会影响测图和施工精度。
为了对长度变形加以控制，测量中采用了限制投影宽度的方法，即将投影区域限制在靠近中央子午线的两侧狭长地带。
这种方法称为分带投影。
投影带宽度是以相邻两个子午线的经差来划分。
有6°带、3°带等不同投影方法。
6°带投影是从英国格林尼治子午线开始，自西向东，每隔6°投影一次。
这样将椭球分成60个带，编号为1～60带，如下图所示：
各带中央子午线经度(L)可用下式计算：
式中n为6°带的带号。
已知某点大地经度L，可按下式计算该点所属的带号：
有余数时，为n的整数商+1。
3°带是在6°带基础上划分的，其中央子午线在奇数带时与6°带中央子午线重合，每隔3°为一带，共12 0带，各带中央子午线经度(L)为：
式中n′为3°带的带号。
我国幅员辽阔，含有11个6°带，即从13～23带(中央子午线从75°～135°)，21个3°带，从25～45带。
北京位于6°带的第20带，中央子午线经度为117°。
2.高斯平面直角坐标系
根据高斯投影的特点，以赤道和中央子午线的交点为坐标原点。
，中央子午线方向为x轴，北方向为正。
赤道投影线为y轴，东方向为正。
象限按顺时针Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ排列，如下图所示：
在同一投影带内y值有正有负。
这对计算和使用很不方便。
为了使y值都为正，将纵坐标轴西移500km，并在y坐标前面冠以带号，如在第20带，中央子午线以西P点：
在20带中高斯直角坐标为：
高斯直角坐标系与数学中的笛卡尔坐标系不同，如下图所示：
高斯直角坐标系纵坐标为x轴，横坐标为y轴。
坐标象限为顺时针划分四个象限。
角度起算是从x轴的北方向开始，顺时针计算。
这些定义都与数学中的定义不同。
这样的做法是为了将数学上的三角和解析几何公式直接用到测量的计算上。