解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题，带答案

1. （宁夏17）（本小题满分12分）

如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，

90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．

（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．

解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，

CB AC CD ==，

所以15CBE =∠．

所以6cos cos(4530)4

CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理

2

sin(4515)sin(9015)

AE =-+．

故2sin 30

cos15

AE

=

12

4

⨯

=

=． 12分

2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

【解析】：本小题考查函数的概念、

解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则

cos cos OA BAO θ

=

=∠，

故10

cos OB θ

=

又1010OP tan θ=-，所以1010

1010cos cos y OA OB OP tan θθθ

=++=

++-B

A

C

D

E

B

所求函数关系式为2010sin 10

(0)cos 4

y θ

π

θθ

-=

+≤≤

②若OP=x (km )，则OQ=10-x

，所以OA OB ===

所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤

（2）选择函数模型①，22

10cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)

'cos cos y θθθθθθθ

-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046

ππ

θθ≤≤∴=

当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64

ππ

θ∈时'0y >，y 是θ的增函数；

所以当6π

θ=

时，min 1

20101010y -⨯

=+=

此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边3

km 处。 3. （辽宁17）（本小题满分12分）

在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π

=． （Ⅰ）若ABC △，求a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，2

2

4a b ab +-=

， 又因为ABC △

1

sin 2

ab C =4ab =． ·

······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩

，

，解得2a =，2b =． ·············································· 6分

（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =， ························································· 8分

联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=

⎨=⎩，，

解得

a =

b =

所以ABC △的面积1sin 23

S ab C =

=． ····················································· 12分 4．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）

设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；

（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ． 解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：

3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B b A A b B b ==== 又通过cos 3a B =知：cos 0B >，

则3cos 5B =，4

sin 5

B =，

则5a =．

（2）由1

sin 2

S ac B =，得到5c =．

由222

cos 2a c b B ac

+-=，

解得：b =

最后10l =+．

5．（全国Ⅱ17）（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13

A =-

，3

cos 5B =．

（Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．

解：（Ⅰ）由5cos 13

A =-

，得12sin 13A =，

由3cos 5B =，得4

sin 5

B =． ··········································································· 2分

所以16

sin sin()sin cos cos sin 65

C A B A B A B =+=+=． ····································· 5分

（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313

BC B AC A ⨯

⨯==

=． ··········································· 8分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯8

3

=． ·

···················· 10分 6. （上海17）（本题满分13分）

如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里 有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．

【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得

CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=0

60

在CDO ∆中，2

2

2

2cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分