全国高中物理竞赛 质心问题

r c m ir i/M mN y c
ri
直角坐标系中
m1 rN
rc
xcmixi /M yc miyi /M
r1
r2 O
mi
m2 x
zc mizi /M z
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对于质量连续分布的物体
r
rrc
rdm dm
rr d m
m
y
直角坐标系下
xc xdm/M yc ydm/M zc zdm/M 线分布 dmdl
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统-- 研究对象称为质点系。
内力：系统内部各质点间的相互作用力
f'
特点：成对出现；大小相等方向相反
f
结论：质点系的内力之和为零 fi 0
i
质点系 F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力
约定：系统内任一质点受力之和写成
m n a r n m n d d v r t n F r n f r n 1 f r n 2 L f r n n 1
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对于内力 f 1 2 f 2 1 0 , ,f i n f n i 0 ,
m ia i F i
ac
miai mi
ac m Fii
外力之和
Fi fi
内力之和
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二、 质心
Y 质点系的质量分布中 心，简称质心。
C
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
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对于N个质点组成的质点系：
m 1 , m 2, , m i, m N Mmi r 1 ,r 2 , ,r i, r N
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动量守恒定律
如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0），则
系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律.
条件 Fi 0
å r
定律 P=
m iv ri= 常 量
直角坐标系下的分i 量形式
Fix 0 时
px mivix
Fiy 0时
py miviy =常量
Fiz 0时
pz miviz
c
mx 1m2
xc
m1x1m2x2 m1m2
0
x1
x2
l
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动量守恒定律
x2 m1m 1m2l0.8(m)
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动量守恒定律
解: 由于在水平方向上系统不受外力。因此，根据质心 运动定理，质点系质心的加速度沿水平方向的分量
来自百度文库
为零。
r acx
0
即人在走动的过程中系统质心始终静止
xc 0
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设人走之前，相对湖岸人的位置坐标
为 x 1 ，船的质心坐标为 x 2 。这时人船系
统质心的坐标为
x m1x1m2x2
rC
r C drm r
O
x
面分布 dmdS
z
体分布 dmdV
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三、 质心运动定理
设有一个质点系，由n 个质点组成，它的质
心的位矢是：
rc
miri mi
m 1 r 1 m 2 r 2 m n r n
m 1 m 2 m n
质心的速度为
vc
d rc dt
r
mi
dri dt
mi
r
mi vi
mi
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质心的加速度为
ac
dvc
dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛顿第二定律得
m 1 a 1 m 1 d d v t 1 F 1 f 1 2 f 1 3 f 1 n
m 2 a r 2 m 2 d d v r t 2 F r 2 f r 2 1 f r 2 3 L f r 2 n
Fi
M
F i M ac
质心运 动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作 用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质 量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上 的一个质点的运动一样。内力不改变质心运动。
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质心运
动定理
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动量守恒定律
例 一质量 m1 5的0k人g站在一条质量为 m2，长20度k0g
l 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到
船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。）
解：
y
选人和船组成
x1
x1
的质点系为研
c b c b
究对象，如图 o x 2 x 2 d
x
所示。
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F i M ac
r
r
If Fi 0, ac 0
r
vrc
mivi 常 矢 量 m
质心保持匀速直线运动状态或静止状态
系统的总动量保持不变
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Figure . Multiflash photograph showing an overhead view of a wrench moving on a horizontal surface. The white dots are located at the center of mass of the wrench and show that the center of mass moves in a straight line as the wrench rotates.