浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法
数学期望概念的教学方法研究
数学期望概念的教学方法研究1. 引言1.1 背景介绍数统计等。
数学期望是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的平均值。
它在金融、统计学、工程等领域都有着重要的应用价值。
随着现代教育理念的不断更新和发展，针对数学期望概念的教学方法也越来越受到重视。
传统的教学方法往往以理论为主，缺乏实际案例和实践操作的引导，导致学生对数学期望概念的理解和掌握程度有限。
如何通过案例教学、实践操作和跨学科融合等教学方法，来提高学生对数学期望概念的理解和应用能力，成为当前教学研究的重要课题之一。
本文将从数学期望概念的概述开始，分析传统教学方法的局限性，然后探讨基于案例教学、实践操作和跨学科融合的教学方法，最后比较和总结各种教学方法的优缺点，展望未来的研究方向。
部分为重点内容，对理解整个研究内容具有重要意义。
1.2 研究意义数统计、排版等。
谢谢！数学期望是概率论中一个极为重要的概念，它可以用来描述一个随机变量的平均值或预期值。
深入理解数学期望的概念不仅有助于学生掌握概率论的基础知识，还能帮助他们在日常生活中更好地理解事件的发生规律，从而提高分析和解决问题的能力。
本研究旨在探讨不同的教学方法对于数学期望概念的传授效果，通过比较传统教学方法、案例教学方法和实践操作教学方法的优缺点，可以为教师提供更灵活多样的教学策略。
尤其是跨学科融合教学方法的探讨，将数学期望概念与其他学科知识相结合，有助于拓展学生的思维方式和视野，提高他们的综合能力。
本研究不仅对于提升数学教学的有效性和效率具有重要的指导意义，更能够促进教育教学改革和创新，推动教育教学质量不断提升。
深入研究数学期望概念的教学方法，具有重要的理论和实践意义。
2. 正文2.1 数学期望概念概述数、样式、格式等等。
以下是关于数学期望概念概述的内容：数学期望是概率论和统计学中一个非常重要的概念，通常用来描述随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要对一些随机事件进行预测和分析，而数学期望可以帮助我们更准确地理解和预测这些事件的平均结果。
数学期望在实际问题中的应用探讨
数学期望在实际问题中的应用探讨摘要：数学期望是概率论中的一个重要概念，是随机变量的数字特征之一，体现了随机变量总体取值的平均水平，本文主要阐述了数学期望的定义和性质，讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果。
关键词：数学期望；实际问题；应用在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决，风险决策中的期望值法便是处理风险决策问题常用的方法。
数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平。
1 期望的概念及性质1.1 离散型随机变量的数学期望设X 是离散型随机变量，其分布律为P(X =i x )= i p （i=1，2……），若级数1i i i x p ∞=∑ 绝对收敛，则称该级数的和为X 的数学期望，记作)(X E ，即： ∑∞==1)(i i i p x X E1.2 连续型随机变量的数学期望设)(x f 为连续型随机变量X 的概率密度，若积分()xf x dx +∞-∞⎰绝对收敛，则称它为X 的数学期望，记作)(X E ，即： ⎰∞∞-=dx x xf X E )()( 1.3 期望的性质1）c c c E ,)(=为任意常数；2）c X cE cX E ),()(=为常数，X 为变量；3）Y X Y E X E Y X E ,),()()(+=+为变量；4）若Y X ,独立，则)()()(Y E X E XY E =。
2 期望的应用2.1 求职面试问题假如你得到三个有可能成为你的雇主的面试通知，每个雇主都有不同的空缺职位：一般的，好的，极好的，其工资分别为Y2500，Y3000，Y4000．你估计你得到一般的职位可能为0.4，而得到好的和极好的职位的可能性分别为0.3和0.2，有0.1的可能性使你得不到任何职位．每家公司都要求你在面试结束时表态接受或拒绝他们提供给你的职位你应遵循什么策略呢？分析：一般来说，你可以采取的每个行动方案的期望值把决策建立在第一次面试该做什么的基础上，就本问题而言要这样做是困难的，因为一种决策方案(继续去做第二次面试)会由于在第一次面试结束时我们可以做出另一个决策而有不确定的结果。
比赛概率问题及解决方法
比赛概率问题及解决方法比赛概率问题是一个常见的数学问题，涉及到概率论和统计学的知识。
这类问题通常涉及到各种比赛，比如足球、篮球、网球等，需要计算某个事件发生的概率。
解决比赛概率问题的一般步骤如下：1. 确定事件：首先需要明确要计算哪个事件发生的概率，比如进球、胜利、输掉比赛等。
2. 列举所有可能的结果：将所有可能的结果列举出来，并确定每个结果发生的概率。
3. 计算概率：根据概率的定义，概率是某个事件发生的次数与所有可能结果的总数之比。
因此，需要计算出某个事件发生的次数和所有可能结果的总数，然后相除得到概率。
4. 给出答案：将计算出的概率值作为答案，并解释其含义和背景。
以下是一个具体的例子：在一场足球比赛中，甲队和乙队进行比赛，每队有11名球员。
如果一名球员被罚下场，该队将少一人。
假设甲队和乙队都有一名球员被罚下场，那么甲队获胜的概率是多少？首先，我们需要确定事件：甲队获胜。
接下来，列举所有可能的结果：甲队和乙队都有一名球员被罚下场，那么甲队和乙队各有10名球员。
在这种情况下，甲队获胜的情况有：1. 甲队进了1个球，而乙队没有进球；2. 甲队进了2个球，而乙队只进了1个球；3. 甲队进了3个球，而乙队进了1个球；4. 甲队进了3个球，而乙队没有进球；5. 甲队进了4个球，而乙队进了1个球；6. 甲队进了4个球，而乙队没有进球。
根据这些情况，我们可以计算出甲队获胜的概率：1. 甲队进了1个球，而乙队没有进球的概率是P(A)=××××…×（因为总共进行了100次进攻）；2. 甲队进了2个球，而乙队只进了1个球的概率是P(B)=××××…×；3. 甲队进了3个球，而乙队进了1个球的概率是P(C)=×××××…×；4. 甲队进了3个球，而乙队没有进球的概率是P(D)=×××××…×；5. 甲队进了4个球，而乙队进了1个球的概率是P(E)=××××××…×；6. 甲队进了4个球，而乙队没有进球的概率是P(F)=××××××…×。
数学期望在体育比赛中的应用
数学期望在体育比赛中的应用摘要:文章介绍了离散型随机变量数学期望的概念。
并利用离散型随机变量对NBA季后赛火箭对爵士的比赛场数进行预测,最后给出预测结果;另外,就乒乓球比赛中的两种赛制,以中国队和韩国队为例,利用离散型随机变量分析不同赛制对中国队的优劣。
关键词:数学期望;二项式定理;乘法公式1离散型随机变量的数学期望我们知道,随机变量的分布函数或密度函数能完整的描述随机变量的统计规律性,但在许多实际问题中,确定随机变量的分布并不容易。
因此,讨论实际问题有时并不需要强求随机变量的分布,而只需要知道它的某些数字特征就够了。
下面给出离散型随机变量X数学期望的定义[1]。
设离散型随机变量X的分布律为:X X1X2……Xk……P P1P2……pk……若级数∑∞k=1xkpk绝对收敛,则称级数∑∞k=1xkpk为X的数学期望,记为E(X)。
所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值。
而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的2利用数学期望预测NBA比赛的场数随着姚明和易建联在NBA中取得成功,现在NBA比赛越来越多地受到中国观众的青睐。
而由于体育比赛结果的偶然性,使得大家对比赛结果的预测越来越感兴趣。
以2008年爵士队和火箭队在NBA季后赛的第一轮相遇为例。
根据NBA规则,比赛是七场四胜制。
现在我们就可以提出这样一个问题,假设火箭对爵士每场比赛的获胜的概率都为50%,那么第一轮比赛结束时两队所需比赛的场数是多少。
很容易想到,两个队比赛结束的前提就是其中一个队已经获得四场比赛的胜利。
所以上述问题可能的结果有4、5、6、7场四种结果。
我们下面应用数学期望的知识对其进行预测。
首先,计算四种结果所对应的概率。
由于每场比赛双方获胜概率一样,所以只需计算其中一队最后乘以二即可。
以两队比赛结束时共赛五场为例,假设火箭最终胜利。
即火箭第五场胜利,且前面四场恰好胜三场。
竞赛所存在的问题以及解决措施
竞赛所存在的问题以及解决措施竞赛所存在的问题以及解决措施序号一、引言竞赛是一种广泛应用于各个领域的活动，可以促进个人和团队的成长与进步。
然而，竞赛也存在一些问题，如激烈竞争导致人们过度追求荣誉、压力过大、不公平竞争等。
本文将探讨竞赛所存在的问题，并提出一些解决措施，以期能更好地改善竞赛环境。
序号二、竞赛存在的问题1.1 过度追求荣誉在很多竞赛中，个人和团队往往会过度追求荣誉，将荣誉视为唯一的目标，而忽视了真正的学习和成长。
这种心态会使得一些人为了取得好成绩，不择手段地作弊、抄袭或者不公平竞争。
1.2 压力过大竞赛中的竞争压力常常给参与者带来巨大的心理负担。
有些人为了取得好成绩，不断地加大自己的学习负担，忽视了身心健康。
长期承受高强度的学习和竞争压力，容易导致焦虑、抑郁等心理问题。
1.3 不公平竞争在一些竞赛中，存在着不公平竞争现象。
一些参赛者可能会利用家庭、财务等优势来取得不公平的竞争优势，导致其他参赛者无法公平竞争。
1.4 忽视团队合作一些竞赛偏重个人的表现，而忽视了团队合作的重要性。
这种情况下，参赛者会更注重自己的个人成绩，而忽视与团队成员合作和沟通的能力。
序号三、解决措施2.1 培养正确的竞争观念为了解决过度追求荣誉的问题，我们需要从教育入手，培养学生正确的竞争观念。
要让学生明白，竞争不是唯一的目标，更重要的是通过参与竞赛，提升自己的技能和能力，培养自身的创新思维和团队合作精神。
2.2 强调综合素质的培养竞赛评价体系应该更加注重综合素质的培养，而不仅仅是片面追求分数的高低。
应该鼓励学生积极参与社会实践、团队合作、创新能力等方面的培养，使其在竞赛中展示全面发展的素质。
2.3 加强监管和执法为了解决不公平竞争问题，我们需要加强竞赛的监管和执法力度。
对于违规行为，应该进行严肃处理，同时要建立公平透明的竞赛评价机制，确保竞赛的公平性和公正性。
2.4 改变评价体系竞赛评价体系需要更加注重综合能力和创新精神，而不仅仅是记忆和应试能力的考核。
高中数学联赛常用的解题方法与技巧
引言
构造法
反证法
数学归纳法
课外思考一 课外思考二课外思考三
1
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学，通 常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数 学基础知识去进行探索与尝试、 选择与组合。 这当中， 经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证 法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原 理……） ，同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味 的奥林匹克技巧。有人说： “竞赛的技巧不是低层次 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学 技巧的技巧， 又是创造数学技巧的技巧， 更确切点说， 这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平 的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。 ”
17
构造一个隔板模型,取 18 个相同的小球排成一列,用 9 块隔板将 18 个小球分隔成 10 个空间,第 i (1 ≤ i ≤ 10) 个空 间的小球对应第 i 个班级的学生的名额,因此,名额分配方 案的种数与隔板的插入数相等.
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课外思考二: 构造 f ( x) ax 2 bx c 1.设 abc 是十进制中的素数,求证: b2 4ac 不是完全平方数 2.( 第 19 届 IMO 试题(1977 年))在一个有限的实数列中,任意 7 个连续项之和都是负数,而任意 11 个连续项之和都是正数 试问:这样的数列最多有多少项?
构造一次函数 f ( x ) (b c ) x bc 1
还有没有其他方法
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思考 4: 1 1 1 4 2 已知 2 3 0, n n 3 且 n2 , m m m 4 2 mn n 3 构造一元二次方程 . 求 的值. 2 m 思考 5: 已 知 x , y , z 为正数 且 xyz( x y z ) 1 , 求表达 式 ( x y )( y z ) 的最小值. 构造三角形的面积.
数学期望的计算及应用
数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。
因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。
在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞==1)(k k kp xX E ；2. 应用随机变量函数的期望公式∑∞==1)())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。
但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将介绍一些解决这些难题的简单方法。
在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。
如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。
就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。
下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。
1. 变量分解法]1[如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。
这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。
例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。
注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。
国家集训队2009论文集浅析竞赛中一类数学期
浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法福建省福州第八中学汤可因摘要期望在我们生活中有着十分广泛的应用，而对于我们信息学奥赛也出现了不少求解期望值的问题。
本文对于竞赛中涉及求离散型随机变量的数学期望的题目所使用的常用方法归纳成为两大类，并进行了总结与分析。
关键字期望递推动态规划方程组目录引言 (3)预备知识 (3)一、期望的数学定义 (3)二、期望的线性性质 (3)三、全概率公式 (4)四、条件期望与全期望公式 (4)一、利用递推或动态规划解决 (4)例题一：聪聪与可可 (5)分析 (5)小结 (6)例题二：Highlander (6)分析 (6)小结 (8)例题三：RedIsGood (8)分析 (8)小结 (9)二、建立线性方程组解决 (10)引入 (10)分析 (10)需要注意的地方 (12)例题四：First Knight (12)分析 (12)例题五：Mario (15)分析 (15)总结 (16)参考文献 (17)引言数学期望亦称为期望，期望值等，在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的期望值是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
而期望在我们生活中有着十分广泛的应用。
例如要设计一个彩票或赌博游戏，目标为赢利，那么计算能得到的钱以及需要付出的钱的期望，它们的差则需要大于0。
又例如对于是否进行一项投资的决策，可以通过分析总结得出可能的结果并估算出其概率，得到一个期望值而决定是否进行。
期望也许与每一个结果都不相等，但是却是我们评估一个事情好坏的一种直观的表达。
正因为期望在生活中有如此之多的应用，对于我们信息学奥赛也出现了不少求解期望值的问题。
而其中大多数又均为求离散型随机变量的数学期望。
本文对于这类题目所会涉及到的常用方法进行了归纳，总结与分析。
预备知识一、期望的数学定义如果X 是一个离散的随机变量，输出值为 x 1, x 2, ...， 和输出值相应的概率为p 1, p 2, ... （概率和为1）, 那么期望值 ∑=ii i x p X E )(。
数学期望概念的教学方法研究
数学期望概念的教学方法研究作为概率论重要的概念之一，数学期望在高中数学中也有所涉及。
然而，学生对数学期望的理解往往存在一些问题。
本文将从教学方法的角度出发，探讨如何有效地教授数学期望这一概念。
一、概念引入数学期望作为概率论的一个概念，主要是用来描述随机变量的平均值的。
在教学中，可以通过引入某个具体的例子来引出数学期望，如掷骰子或抽卡片等。
例如，老师可以拿几枚骰子，让学生进行投掷，记录下每次投掷的点数，并求出这些点数的平均值。
引出这个例子之后，再说明这个平均值就是这个随机变量的数学期望。
二、概率分布图的绘制为了帮助学生更好地理解数学期望，可以引入概率分布图进行讲解。
概率分布图主要是用来表示随机变量不同取值的概率大小。
例如，对于投骰子的例子，可以绘制出点数和概率的柱状图。
通过这个图形，学生可以很直观地看到每个点数出现的概率以及它们的平均值，即数学期望。
同时，也可以利用这个图形来说明数学期望的意义，即它代表了随机变量的“中心位置”。
三、计算的方法在引入数学期望的基本概念之后，可以进行具体的计算。
对于离散型随机变量，数学期望的公式为：E(X) = Σ(x_i * P(X=x_i))其中，x_i表示随机变量X的第i个取值，P(X=x_i)表示X等于x_i的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的公式为：其中，f(x)表示X的概率密度函数。
在进行具体计算的过程中，可以给学生提供一些练习题，帮助他们理解和掌握计算的方法。
四、应用实例为了帮助学生更深入地理解数学期望的应用，可以设计一些实际问题，让他们进行分析和计算。
例如，可以给出一个简单的赌博游戏，让学生计算该游戏的期望收益。
同样，也可以让学生分析一些实际问题，如投资、保险等，来引出数学期望的应用。
总之，教学数学期望这一概念需要结合具体例子和练习，从多个角度进行讲解，才能让学生更好地掌握和理解。
2023华数杯数学建模竞赛c题思路
2023华数杯数学建模竞赛c题思路在2023年的华数杯数学建模竞赛中，C题的思路是一个重要的问题，它要求参赛者结合已知信息，利用数学建模的方法，提出合理且高效的解决方案。
下面我将根据这个主题，深入探讨一下我的观点和理解。
我们需要对C题的背景和要求进行全面的评估。
在评估过程中，我们需要着重考虑问题的深度和广度，以确保我们的解决方案能够全面覆盖已知信息，并能够从多个角度对问题进行分析。
这也是撰写高质量文章的关键之一。
C题的思路需要我们从简到繁地探讨问题，从表面到深层进行剖析。
在文章中，我们需要多次提及C题的相关内容，以确保读者能够全面了解我们对问题的思考和解决方案。
我们还需要对已知信息进行总结和回顾，以便能够全面、深刻和灵活地理解问题。
在我看来，C题的思路是一个非常有挑战性和思考性的问题。
通过对问题的分析和思考，我们可以更好地理解数学建模的重要性和应用价值。
我们也可以锻炼自己的逻辑思维能力和问题解决能力。
在撰写这篇文章的过程中，我会按照非Markdown格式的普通文本撰写，遵循知识文章格式。
我会使用序号标注文章的内容，并在文章中多次提及C题的相关内容，确保读者能够全面理解我的观点和思考方式。
根据我对C题的个人观点和理解，我将撰写一篇超过3000字的文章，深入探讨C题的思路和解决方案。
希望通过我的努力和思考，能够为参赛者提供一些有价值的参考意见和建议。
C题的思路是一个需要充分思考和分析的问题，通过深入的研究和探讨，我们可以更好地理解数学建模的重要性，提高自己的综合解决问题的能力。
希望我能在这篇文章中发挥出色，为大家带来一些有价值的启发和帮助。
在撰写这篇文章的过程中，首先我们需要对C题的背景和要求进行全面的评估。
这包括对已知信息的深入了解，以确保我们能够充分理解问题的要求和限制条件。
如果C题是关于某个实际问题的数学建模，我们需要对这个实际问题有足够的了解，包括背景知识和相关数据。
只有充分了解了问题的背景和要求，我们才能够展开深入的思考和分析。
算法合集之《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》-PPT精选文档
引入模型
方程形式：
1 1 2 1 0.5 3 0.5
F P F W i ,j i , k k ,j 1 i
( i , k ) E
对于右图可以得到如下方程组
4
F1 F2 1 F F 1 2 3 F3 0 . 5 F1 0 . 5 F4 1 F4 0
引入模型
F P F W i ,j i , k k ,j 1 i
( i , k ) E
1 1 2 1 0.5 3 0.5
高斯消元
1 0 -0.5 0 -1 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 -0.5 1 1 1 1 0
4
引入模型
方程组中只含有与s相关的点。 方程组没有唯一解的情况。 可以调整消元顺序让所要求的Fs放在最 后，这样就可以不用回代。 若权在边上而不在点上的话，设边(u, v)的权值为Wu,v，那么同理方程即为
对于这种不存在环的有向图。 0.5 设Fi表示从顶点i出发的路 2 径权期望。 可以分成两类情况。 从顶点i出发经过相邻顶点k的路 径权期望为Fk +Wi ，概率Pi, k 。 停止行动路径权Wi 。
1 0.5 1 1 3
4
引入模型
可以得到如下的递推式 并按照拓扑序来递推
( i , k ) E
引入模型
所以对于一般的情况，可 以设Fi,j为从顶点i出发，经 步所走路径的路径权 过 若j F i,j当 j→∞时收敛，设 期望。 收敛于F
i
1 1 2 1 0.5 3 0.5
4
那么答案即为 Fs。 那么有： Fi,0 Wi 当j > 0时
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谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
如何突破希望杯中的计算问题
如何突破希望杯中的计算问题一年一度的全国“希望杯”数学竞赛，对于我们所有的学生和家长来说一直都具有不可抵挡的魅力。
“希望杯”全国数学邀请赛自1990年举办以来，至今已经17届了。
从第l届就有11万名中学生参加，到了第9届，每年的参赛人数都已经超过百万。
17届以来，参赛中学生累计超过1200万。
国内中学生学科竞赛活动，有如此大的规模，有如此众多的中学生参加，除“希望杯”之外，还没有第二个。
中学生为什么喜欢参加“希望杯”？这有两个重要的原因。
其一就是“希望杯”的题目出得好，将现在数学课堂上的内容和课本以外的数学知识进行了充分的结合，出得漂亮，学生有较大的思维空间。
同学们正是通过做这些题，学习它们、研究它们，从而更扎实、更开阔地掌握了知识，增长了智慧和才干，使学习更有信心，成绩更出色。
另一个重要的原因就是“希望杯”试题在难度上，与北京很多名校考试的附加题以及中考压轴题的难度相当。
并且北京各重点高中在签约和提前录取中都会参考竞赛获奖成绩。
去年人大附中的学生登记表中就把“竞赛获奖”作为重要的参考内容。
因此，“希望杯”的试题资源也成为众多名校考试附加题和中考试题的一个主要来源。
下面我就近几年“希望杯”的部分考点谈谈自己的看法。
同学们可能会说，计算有什么问题可说的，不就是按照四则运算规律一步一步的算下去得到正确结果就可以了。
其实不然，好的计算习惯，方法，技巧对于我们的解题会有事半功倍的效果。
咱们知道不管是中考还是将来的高考考的都是我们的综合素养和综合能力，而这其中的计算问题就是关键中的关键。
为什么这么说呢？我们知道中考或是高考都要求在规定的2个小时的时间内完成答卷。
也就是说我们要将几年内所学的知识进行筛选，归类，整合用最短的时间将客观题(即选择题和填空题)做完，然后才能有充裕的时间去完成主观题。
否则很难在规定的时间内做完所有的考题，更不用说得高分了。
因此，要求我们学生在平时一定要注意口算，心算和笔算的锻炼和积累。
高等教育数学：数学期望例题解析
数学期望一射手进行打靶练习，规定射入区域2e （图4-1）得2分，射人区域1e 得1分，脱靶，即射人区域0e ，得O 分，射手一次射击得分数X 是一个随机变量．设X 的分布律为 P{X=k}=k p ，k=0，1，2．现在射击N 次，其中得0分的有0a 次，得1分的有1a 次，得2分的有2a 次，0a +1a +2a =N ．他射击N 次得分的总和为0a ×0+1a ×1+2a ×2．于是平均一次射击的得分数为=⨯+⨯+⨯Na a a 210210Na kkk ∑=2. 这里，N a k /是事件{X=k}的频率．在第五章将会讲到，当N 很大时，N a k /在一 定意义下接近于事件{X=k}的概率k p 量，就是说，在试验次数很大时，随机变量 X 的观察值的算术平均∑=2k k N ak/在一定意义下接近于∑=20k k k p ，我们称∑=2k k k p 为随机变量X 的数学期望或均值．一般，有以下的定义，定义 设离散型随机变量X 的分布律为P{X=k x }=k p ，k=0，1，2，…．若级数∑∞=1k k kp x绝对收敛，则称级数∑∞=1k k kp x的和为随机变量X 的数学期望，记为E(X)．即E(X)=∑∞=1k k kp x. (1.1)设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分dx x f x )(-⎰∞∞绝对收敛，则称积分dx x f x )(-⎰∞∞的值为随机变量X 的数学期望，记为E(X)．即E(X)=dx x f x )(-⎰∞∞． (1.2)数学期望简称期望，又称为均值．数学期望E(X)完全由随机变量X 的概率分布所确定，若X 服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望．例l 某医院当新生儿诞生时，医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的情况进行评分，新生儿的得分X 是一个随机变量．据以往的资料表明X试求X 的数学期望E(X)．解 E(X)=0×0. 002+1×0.001+2×0.002+3×0.005+4×0.02+5×0.04+6×0.18+7×0. 37+8×0.25+9×0.12+10×0.01=7.15（分） 这意味着，若考察医院出生的很多新生儿，例如1000个，那么一个新生儿的平均得分约7. 15分，1 000个新生儿共得分约7 1 50分．例2 有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命（以小时计）k X ((k=l ，2)服从同一指数分布，其概率密度为)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-,0,0,0,1x x e x θθ.0>θ若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）N 的数学期望．解 k X ((k=l ，2)的分布函数为)(x F =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,00,-1x x e x ，θ由第三章§5的(5.12)式N= min{1X ，2X }的分布函数为[]=--=2min )(11)(x F x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-,0,0,0,-12x x e x θ因而N 的概率密度为=)(min x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,22x x ex θθ于是N 的数学期望为E(X)==⎰∞∞dx x f x )(min -dx e xx θθ202-∞⎰=2θ. 例3 按规定，某车站每天8：00～9：00，9：00～10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立．其规律为 一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望．在上表中，例如P{X=70}=P(AB)=P(A)P(B)=6361⨯， 其中A 为事件“第一班车在8：10到站’’，B 为“第二班车在9：30到站”．候车时间的数学期望为E(X) =10×63+30×62+50×361+70×363+90×362 =27. 22（分）．例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式．记使用寿命为X （以年计），规定：X ≤1，一台付款1 500元； 1<X ≤2，一台付款2 000元； 2<X ≤3，一台付款2 500元； X>3，一台付款3 000元． 设寿命X 服从指数分布，概率密度为)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,10110x x ex试求该商店一台这种家用电器收费Y 的数学期望．解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率．即有P{x ≤1} =dx e x 1010101-⎰=1.0-e -1=0.095 2， P{1 <X ≤2} =dx e x 1021101-⎰=2.0-1.0e --e =0. 086 1, P{2<X ≤3}=dx e x 1032101-⎰=3.0-2.0e --e =0. 077 9,P{x>3} =dx e x 103101-∞⎰=3.0-e =0. 740 8.得 E(Y) =2 732. 15，即平均一台收费2732. 15元．例5 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血，可以用两种方法进行．(i)将每个人的血分别去验，这就需验N 次．(ii)按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人的血就只需验一次．若呈阳性，则再对这是个人的血液分别进行化验．这样，k 个人的血总共要化验k+1次．假设每个人化验呈阳性的概率为p ，且这些人的试验反应是相互独立的．试说明当p 较小时，选取适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数．并说明k 取什么值时最适宜．解 各人的血呈阴性反应的概率为q=l-p ．因而k 个人的混合血呈阴性反应的概率为k q ，k 个人的混合血呈阳性反应的概率为l-k q ．设以k 个人为一组时，组内每人化验的次数为X ，则X 是一个随机变量，其分布律为X 的数学期望为E(x)=k 1k q +（1+k 1）（1-k q ）=1-kq +k1． N 个人平均需化验的次数为N(1-kq +k1)． 由此可知，只要选择k 使1-kq +k1<1， 则N 个人平均需化验的次数<N ．当p 固定时，我们选取k 使得L=1-kq +k1 小于1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法．例如，p=0.1，则q=0.9，当k=4时，L=1-kq +k1取到最小值．此时得到最好的分组方法．若N=1000，此时以k=4分组，则按第二种方法平均只需化验1000(1-419.04+)=594(次)． 这样平均来说，可以减少40%的工作量．例6 设X ～）（λπ，求E(X)． 解 X 的分布律为}{==k X P 0,,2,1,0,!>=-λλλk k e k ．X 的数学期望为E(x)=∑∞=0k k!k e k λλ-=()∑∞=---11!1k k k eλλλ= λλλe e⋅-=λ，即 E(X)=λ．例7 设X ～U （a ，b ），求E(X)． 解 X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=.,0,1)(其他bx a a b x fX 的数学期望为E(x)=dx x f x )(-⎰∞∞=dx a b x ab⎰-=.2b a + 即数学期望位于区间（a ，b ）的中点．我们经常需要求随机变量的函数的数学期望，倒如飞机机翼受到压力W=2kV （V 是风速，k>0是常数）的作用，需要求W 的数学期望，这里W 是随机变量V 的函数．这时，可以通过下面的定理来求W 的数学期望．定理 设Y 是随机变量X 的函数：Y=g(X)（g 是连续函数）．(i)如果X 是离散型随机变量，它的分布律为P{X=k x }=k p ，k=0，1，2，…，若∑∞=1)(k kkp xg 绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=∑∞=1)(k k kp xg ． (1.3)(ii)如果X 是连续型随机变量，它的概率密度为)(x f ，若 dx x f x g )()(⎰∞∞-绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=dx x f x g )()(⎰∞∞- (1.4)定理的重要意义在于当我们求E(Y)时，不必算出Y 的分布律或概率密度，而只需利用X 的分布律或概率密度就可以了，定理的证明超出了本书的范围．我们只对下述特殊情况加以证明．证 设X 是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章§5中定理的条件． 由第二章§5中的(5.2)式知道随机变量y=g(X)的概率密度为[]⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,)()()('其他，βαx y h y h f y f x Y于是E(Y)=dy y f y Y )(-⎰∞∞=[].)(')(dy y h y h f y x ⎰βα．当)('y h 恒>0时E(Y)= []dy y h y h f y x )(')(⎰βα=dx x f x g )()(⎰∞∞-.当)('y h 恒<0时E(Y)= －[]dy y h y h f y x)(')(⎰βα= －dx x f x g )()(-⎰∞∞=dx x f x g )()(⎰∞∞-.综合上两式，(1.4)式得证．上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况． 例如，设Z 是随机变量X,Y 的函数Z=g(X ，Y)（g 是连续函数），那么，Z 是一个一维随机变量．若二维随机变量(X ，Y)的概率密度为),(y x f ，则有E(Y)=E []),(Y X g =dxdy y x f y x g ),(),(⎰⎰∞∞-∞∞-, (1.5)这里设上式右边的积分绝对收敛．又若(X ，Y)为离散型随机变量，其分布律为P{X=i x ,Y=i y )=j i p ,i,j=l,2，．．．，则有E(Z)=E []),(Y X g =),(11j i i j y x g ∑∑∞=∞=j i p ， (1.6)这里设上式右边的级数绝对收敛．例8 设风速V 在（0，a ）上服从均匀分布，即具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=.,0,0,1)(其他a a f υυ又设飞机机翼受到的正压力w 是V 的函数：W=2kV (k>0，常数)，求w 的数学期望．解 由(1.4)式有E(W)=υυυd f k )(2⎰∞∞-=υυd a k a102⎰=.312ka例9 设随机变量(X ，Y)的概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<=.,0,1,1,23),(23其他x x y xy x y x f ．求数学期望E(Y)，E （XY1）． 解 由(1.5)式得 E(Y)=dydx y x f y ),(⎰⎰∞∞-∞∞-=dydx yx xx31123⎰⎰∞=[]dx y In x xx131123⎰∞=dx x x In 313⎰∞ =∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1223x Inx +dx x ⎰∞13123=43． E （XY1）=dydx y x f xy ),(1⎰⎰∞∞-∞∞-=53233411=⎰⎰∞dy y x dx x x ． 例10 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量．他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品导致n 元的损失．再者，他们预测销售量Y(件)服从指数分布，其概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤>=,0.0,00,1)(-θθθy y e y f y Y ，问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m ，n ，θ均为已知）?解 设生产x 件，则获利Q 是x 的函数Q=)(x Q =⎩⎨⎧≥<--.,,),(x Y mx x Y Y x n mYQ 是随机变量，它是Y 的函数，其数学期望为E(Q)=dy y Qf Y )(0⎰∞=[]dy e y x n my y xθθ-⎰--1)(0+dy e mx y xθθ-∞⎰1=nx en m n m x -+-+-θθθ)()(．令dxd E(Q)=n en m x -+-θ)(=0 ， 得 nm nIn x +-=θ ．而 22dxd E(Q)= 0)(<+--θθx e n m ， 故知当nm nInx +-=θ时E(Q)取极大值，且可知这也是最大值． 例如，若⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤>=,0,00,000101)(00010-y y e y f y Y ，且有m=500元，n=2000元，则x =0002500000200010+-In=2 231.4．取x=2231件．例11 某甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜．若甲中标，他就将此项目以10千美元转让给他人．可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在7～11千美元之间均匀分布．问甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大（若甲中标必须将此项目以他自己的报价买下）．解 设321,,X X X 是其他三人的报价，按题意321,,X X X 相互独立，且在区间(7，11)上服从均匀分布，其分布函数为.11,1,117,47,7,0)(≥<≤-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=u u u u u F 以Y 记三人最大出价，即Y=max{321,,X X X }．y 的分布函数为.11,1,117,47,7,0)(3≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=u u u u u F Y 若甲的报价为x ，按题意7≤x ≤10，知甲能赢得这一项目的概率为{}()347⎪⎭⎫⎝⎛-==≤=x x F x Y P p Y (7≤x ≤10)．以G(x)记甲的赚钱数，G(x)足一个随机变量，它的分布律为E[G(x)]= 347⎪⎭⎫⎝⎛-x (10-x)．令[])(x G E dx d =()()[]x x 43774123--=0， 得 x=37/4，x=7（舍去）．又知 []4/3722)(=x x G E dx d <0． 故知当甲的报价为x=37/4千美元时，他赚钱数的数学期望达到极大值，还可知这也是最大值．现在来证明数学期望的几个重要性质 ①（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）．1 设C 是常数，则有E(C) =C ．2 设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E(CX) =CE(X)．3 设X ，Y 是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)十E(Y)． 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况．4 设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)．这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况，证1、2由读者自己证明．我们来证3和4．———————————————————① 这里我们只对连续型随机变量的情况加以证明，读者只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到离散型随机变量情况的证明．设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为),(y x f ．其边缘概率密度为)(x f X ，)(y f Y ．由(1.5)式E(X+Y)= dxdy y x f y x ),()(⎰⎰∞∞-∞∞-+=dxdy y x f x ),(⎰⎰∞∞-∞∞- +dxdy y x f y ),(⎰⎰∞∞-∞∞-= E(X)十E(Y)．3得证．又若X 和Y 相互独立， E(XY) =dxdy y x yf x ),(⎰⎰∞∞-∞∞- =dxdy y f x f y x Y X )()(⎰⎰∞∞-∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰∞∞-∞∞-dy y f y dxx f x Y x )()(= E(X)E(Y)． 4得证．例12 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车．如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求E(X)（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各位旅客是否下车相互独立）．解 引入随机变量 .10,,2,1,1,0 =⎩⎨⎧=i i i X i 站有人下车，在第站没有人下车，在第易知 .1021X X X X +++= 现在来求E(X)．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为109，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为 20109⎪⎭⎫ ⎝⎛，在第i 站有人下车的概率为1-20109⎪⎭⎫⎝⎛，也就是{}==0i X P 20109⎪⎭⎫ ⎝⎛， {}==1i X P 1-20109⎪⎭⎫⎝⎛,i=l ，2， (10)由此E(i X )=1-20109⎪⎭⎫⎝⎛,i=1.2， (10)进而 E(X)= ).(1021X X X E +++ =).()()(1021X E X E X E +++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-20109110=8. 784(次) ．本题是将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的，这种处理方法具有一定的普遍意义．例13 设一电路中电流I(A)与电阻R(Q)是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=⎩⎨⎧≤≤=.0,30,9h(r),0,10,2)(2其他，其他，r r i i i g 试求电压V-=IR 的均值．解 E(V)=E(IR)= E(I) E(R)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰∞∞-∞∞-dr r rh di i g i )()(=)(2392303102V dr r di i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰．。
数学期望的计算方法及其应用
可得
由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，鼓起积分为0，第二个积分恰为，故得．
2.3 利用特征函数
特征函数的定义：设是一个随机变量，称 , ，为的特征函数，设连续随机变量有密度函数，则的特征函数为
根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：求出数学期望，即．
关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法
ABSTRACT：
离散型随机变量数学期望的计算方法及应用
利用数学期望的定义，即定义法
定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为
则随机变量Ｘ的数学期望 QUOTE E(ξ)=np E(X)=
注意：这里要求级数绝对收敛，若级数不收敛，则随机变量Ｘ的数学期望不存在
例11 设随机变量，求．
解 因为随机变量，则的特征函数为
其一阶导数为
则
由特征函数的性质得
注：此题关键是球正态分布的特征函数，我们可以先求出标准正态分布的特征函数，在利用特征函数的性质求出正态分布的特征函数。
2.4 逐项微分法
这种方法同样适用于密度函数中含有参数的连续型随机变量分布，也是对两边对参数求导数来解出数学期望。
例14 设电力公司每月可以供应某工厂的电力服从上的均匀分布，而该工厂每月实际需要的电力服从上的均匀分布。如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每电可以创造30万元的利润，若工厂得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径解决，由其他途径得到的电力每获利10万元，失球该厂每个月的平均利润。
解 从题意知，每月供应电力,而工厂实际需要电力。若设工厂每月的利润为万元，则按题意可得
例19 若正的独立随机变量，服从相同的发布，是证明
证明 由分布的对称性知 同分布，故
2023华数杯解题思路
2023华数杯解题思路【实用版】目录1.2023 华数杯 C 题概述2.题目分析3.母亲身心健康对婴儿成长的影响4.解决此类问题的思路和方法5.结论正文一、2023 华数杯 C 题概述2023 年华数杯数学建模竞赛的 C 题为“母亲身心健康对婴儿成长的影响”，此题旨在考察参赛者对社会现象的分析和建模能力。
题目要求参赛者根据给定的数据，分析母亲心理健康状况对婴儿认知、情感、社会行为等方面的影响，并提出解决方案。
二、题目分析本题涉及的是心理学、生理学等多学科交叉的问题。
首先需要理解母亲心理健康状态与婴儿成长之间的关系，再根据给定的数据进行分析，建立合适的数学模型来描述这种关系。
三、母亲身心健康对婴儿成长的影响母亲是婴儿生命中最重要的人之一，她为婴儿提供营养物质、身体保护、情感支持和安全感。
如果母亲心理健康状态不良，如抑郁、焦虑、压力等，可能会对婴儿的认知、情感、社会行为等方面产生负面影响。
另外，压力过大的母亲可能会对婴儿的生理和心理发展产生负面影响，例如影响婴儿的睡眠等。
四、解决此类问题的思路和方法解决此类问题的思路通常包括以下几个步骤：1.收集相关数据：包括母亲身心健康状况、婴儿成长情况等方面的数据。
本题给定了包括 390 名 3 至 12 个月婴儿以及其母亲的相关数据，可供参赛者进行分析。
2.数据预处理：对收集到的数据进行清洗、整理和转换，以便于后续建模分析。
3.建立数学模型：根据题目要求和数据特点，选择合适的数学模型来描述母亲心理健康状态与婴儿成长之间的关系。
这可能包括线性回归、逻辑回归、决策树、支持向量机等模型。
4.模型训练与优化：使用训练数据对所选模型进行训练，并通过交叉验证等方法进行模型优化。
5.结果分析与验证：将训练好的模型应用于测试数据，分析模型的预测效果，并验证模型的合理性。
6.提出解决方案：根据模型分析结果，提出改善母亲心理健康状况、促进婴儿成长的具体建议和措施。
五、结论本题要求参赛者分析母亲心理健康状况对婴儿成长的影响，并提出解决方案。
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x
x
Ex, y
方程
未知量
例题：First Knight
[优化]
与开始的mn个方程相比，减少的方程 数和消去的未知量数相等。
y y
x
x
Ex, y
方程
未知量
例题：First Knight
[优化]
满足i < x－1或i = x－1且j < y的方程
Ei , j Pi ,(1) Ei 1, j Pi ,( 2) Ei , j 1 Pi ,(3) Ei 1, j Pi ,( 4) Ei , j 1 1 j j j j
1
0.5 2 1 1 4 0.5 3
Fi , j
( i , k )E
P
i ,k
Fk , j 1 Wi
但若将这张有向图稍作修改
引入模型
可以得到如下的递推式 并按照拓扑序来递推
1
1 2 1 0.5 3 0.5 4
Fi , j
( i , k )E
P
i ,k
Fk , j 1 Wi
Fk , j 1 Wi
引入模型
Fi , j
( i , k )E
Pi,k Fk , j 1 Wi
2
1
1 1 0.5 3
若Fi,j当 j→∞时收敛，设 0.5 4 收敛于Fi 那么答案即为Fs。 可以利用迭代求出满足精度要求的解， 但是时间复杂度无法接受。
引入模型
方程形式：
E (Y ) E ( E (Y | X )) P( X xi ) E (Y | X xi )
i
E(Y | X = 2)=3 P(X = 2)=0.4
E(Y | X = 1)=4
P(X = 1)=0.6
E(Y)=0.4×3 + 0.6×4 = 3.6
引言
一、利用递推或动态规划解决 二、建立线性方程组解决
m, n ≤ 40Accept?
时间复杂度O(m3n3)
Time limit exceeded
例题：First Knight
第i行第j列的格子表示了方程：
[优化]
Ei , j Pi ,(1) Ei 1, j Pi ,( 2) Ei , j 1 Pi ,(3) Ei 1, j Pi ,( 4) Ei , j 1 1 j j j j
但若将这张有向图稍作修改 图存在环。
引入模型
所以对于一般的有向图，可 以设Fi,j为从顶点i出发，经 过j步所走路径的路径权 期望。 那么有： Fi , 0 Wi 当j > 0时
1
1 2 1 0.5 3 0.5 4来自Fi , j
( i , k )E
P
i ,k
Fk , j 1 Wi
方程
未知量
例题：First Knight
Ei , j
[优化]
第i行第j列的格子表示了未知量：
方程
未知量
例题：First Knight
[优化]
同样为了避免回代，可以以逆序也就是 Em, n到E1, 1的顺序进行消元。
…… 方程
3
2
1
未知量
例题：First Knight
[优化]
对于方程而言，若当前要消去的未知量 为Ex, y。
y y
x
x
Ex, y
方程
未知量
例题：First Knight
[时空复杂度]
时间复杂度O(n3m3) →O(n3m)。 空间复杂度可优化至O(n2m)。
x x
y
y
Ex, y
方程
未知量
总结
期望模型
有环 无环
有限递推
近似解，效率低
无限递推 方程组 高斯消元
精确解，效率高
总结
具体问题 期望模型
不包含当前要消的和之前消去的未知量
y y
x
x
Ex, y
方程
未知量
例题：First Knight
[优化]
所以最多与n个方程进行消元。
y
y
x
x
Ex, y
方程
未知量
例题：First Knight
[优化]
消元顺序最后的未知量为Ex-2, y。 所以对于增广矩阵来说，每次消元最多 只需要对n行和其中的2n+1列进行操作。
引入模型
所以对于一般的情况，可 以设Fi,j为从顶点i出发，经 过j步所走路径的路径权 若Fi,j当 j→∞时收敛，设 期望。 收敛于F
i
1
1 2 1 0.5 3 0.5 4
那么答案即为Fs。 那么有： Fi , 0 Wi 当j > 0时
Fi , j
( i , k )E
P
i ,k
对应
总结
具体问题
对应
期望模型
选择
解决方法
特点
处理优化
对于这种不存在环的有向图。 0.5 设Fi表示从顶点i出发的路 2 径权期望。 可以分成两类情况。 从顶点i出发经过相邻顶点k的路 径权期望为Fk +Wi ，概率Pi, k 。 停止行动路径权Wi 。
1
0.5 1 1 4 3
引入模型
可以得到如下的递推式 并按照拓扑序来递推
浅析竞赛中一类数学期望问题 的解决方法
福建省福州第八中学 汤可因
预备知识
[什么是数学期望] 如果X是一个离散的随机变量，输出值 为 x1, x2, ...， 和输出值相应的概率为 p1, p2, ... （概率和为1）, 那么期望值
E ( X ) pi xi
i
预备知识
[全期望公式]
例题：First Knight
列出方程直接求解？ Ei, j表示从(i, j)出发的步数期望。
[分析]
Ei , j Pi ,(1) Ei 1, j Pi ,( 2) Ei , j 1 Pi ,(3) Ei 1, j Pi ,( 4) Ei , j 1 1 j j j j
引入模型
例如这张有向图， s = 1 。 0.5 W1 = W2 = W3 = 1，W4 = 0。 2 可以看到有两条路径。两 条路径权分别为3和2，而 走这两条路径的概率均为0.5。 所以得到的期望为 2.5 = 0.5×3 + 0.5×2 。
1
0.5 1 1 4 3
引入模型
Fi
( i , j )E
P
i, j
( F j Wi , j )
例题：First Knight
[问题描述]
题目来源：SWERC 08 一个m×n的棋盘，左上至右下编号为 (1, 1)至 (m, n)，并给定每个格子到周 (k ) 围四个格子的概率 Pi , j 。 一个骑士从(1, 1)开始，按照给定概率 走，问到达(m, n)的期望步数。 题目保证从任一格开始到(m, n)的概率 均为1 。
模型 例题：First Knight 例题：Mario
引入模型
给出一张有向图G = (V, E)。 顶点i的权值为Wi 。 给出Pu, v表示顶点u经过边(u, v)到顶点v 的概率。若某点i发出边概率和为Pi ， 那么在顶点i时有1－Pi的概率停止行动。 定义路径权为这条路径上所有点权之和。 问从一个顶点s开始，在每次按照指定 的概率走的前提下，到某一顶点停止行 动时所走的路径权的期望值。
1
Fi , j
( i , k )E
P
i ,k
Fk , j 1 Wi
1 2 1
0.5 3 0.5 4
对于右图可以得到如下方程组
F1 F2 1 F F 1 2 3 F3 0.5F1 0.5F4 1 F4 0
引入模型
Fi , j
( i , k )E
Pi,k Fk , j 1 Wi
2
1
1 1 0.5 3 0.5
高斯消元
1 0 -0.5 0 -1 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 -0.5 1 1 1 1 0
4
引入模型
方程组中只含有与s相关的点。 方程组没有唯一解的情况。 可以调整消元顺序让所要求的Fs放在最 后，这样就可以不用回代。 若权在边上而不在点上的话，设边(u, v) 的权值为Wu,v，那么同理方程即为