2021年平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差

平均数、众数、中位数、极差、方

差、标准差

欧阳光明（2021.03.07）

说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）的内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略.

首先，结合简单实例认真把握这6个基本统计量的内涵。

一、平均数、众数、中位数是刻画一组数据的“平均水平”的数据代表。（八上《第八章数据的代表》）

平均数分算术平均数和加权平均数，算术平均数是指n个数据的和的平均值，学生理解与计算都不成问题，只要注意细心运算就是其中的取标准值后的简便算法也都是在小学早已熟练的（公式：

x=1/n(x1+x2+x3+……+xn)；而加权平均数是一组数据里的各个数据乘各自的“权”之后的平均数。此处理解“权”的概念可能产生很大困难，因为“权”的理解的确不易，若是照搬教材直接给出其定义，学生会迷惑成团，再进行应用更是不可思议。所以应对措施：讲好、用好加权平均数就要先举例、后分析、再给出定义，比如：某同学的一次考试各科成绩如下：语文110、数学105、英语106、物理

95、化学90、政治86、历史98、地理66、生物89，你可以先让学生算算各科的平均数，再按中考计分法将语、数、英各取120%，物、化、政各取100%，史、地、生各取40%后的平均值算出，两个结果一比较，学生就会很容易发现不同的原因是加入了所谓的“权”，这样，不仅通俗易懂，而且对“权”内涵的理解和应用就不再困难。

众数是一组数据中出现次数最多的数。其内涵很好理解和掌握，就是结合实际应用也顺理成章，如商店老板进货号多大的男鞋好？那当然是“众数”（调查数据最多的号）所代表的。

中位数顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所以要注意强调取中位数的方法。教材上给出的内涵很好：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。如一组数据1.5,1.5,1.6,1.65,1.7,1.7,1.75,1.8的中位数是1/2

（1.65+1.7），即1.675。教学过程中可能出现的困难是学生不排序就直接找中间数，应对措施：还可多举几例加强对排序的理解，防止出现错误。

二、极差、方差、标准差是刻画数据离散程度的统计量。（八下第五章《数据的收集与处理》）

极差好理解，是指一组数据中最大数据与最小数据的差。极差越大，表示这组数据越分散。

重点和难点是方差的内涵：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即（公式），单纯概念的叙述就有些模糊，计算起来困难更大。所以，在教授这一概念时应首先复习“平均数”的定义，后牢记公式，关键要简化例题，如取一组有代表性的简单数据1,2,3,4,5的方差是1/5(1+2+3+4+5)=2，另一组数8,9,10,11,12,的方差是1/5(8+9+10+11+12）=2，……还可多举几例，学生从这几个简单数据的举例中很快就理解并记住了方差的内涵和计算，而且在此基础上总结其中的几个规律也就非常容易了，如连续五个整数的方差都是2、一组数据中每个数据增加相同数后的方差变不变？怎样变？（平均数变，方差不变）；每个数据都扩大相同倍数后方差怎样变化？（平均数变相同倍数而方差变为平方倍）等等。

至于标准差就好理解了---标准差就是方差的算术平方根。，即

标准差也可以用来表征一组数据波动情况。

在实际问题中，极差和方差经常结合起来共同去更全面地描述一组数据的波动情况。一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。

其次，借助计算器帮助计算出现的困难。上述6个基本统计量在生活中的应用是很广泛的，而通过生活中的简单数据的举例，会帮助

学生理解其不简单的内涵，甚至可以做到事半功倍，教材中出现的各类问题（复杂的可借助计时器）肯定也会迎刃而解。