安徽大学期末试卷MK_10-11年《量子力学》试题及答案.pdf

安徽大学2010—2011学年第 一 学期

《 量子力学 》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准

一、简答题（每小题5分，共10分）

1. 二电子体系中，总自旋 21s s S += ，写出（z S S ,2

）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。

解：（2

,z S S ）的归一化本征态记为S SM χ，则 自旋单态为

]00(1)(2)(1)(2)χαββα=

- 自旋三重态为

]111011(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)

χααχαββαχββ-=⎧⎪

⎪

=+⎨⎪

⎪=⎩

2. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为)12(+j 条（偶数）的现象称为反常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

二、填空题（每小题5分，共30分）

3. 一粒子的波函数()()z y x r ,,ψψ=

，则粒子位于dx x x +~间的几率为()⎰⎰+∞

∞

-+∞

∞-=2,,z y x dz dy dx P ψ。

4. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨

⎧><∞<<=a

x x a

x x V 2,0,

20,

0)(中运动，其状态波函数为

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤<<=a

x x a x a

x

n a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ，能级表达式为 ,3,2,1,82

2

22==n a

n E n μπ。

5. 粒子在一维δ势阱)0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，则)(x ψ'的跃变条件为

)0(2)0()0(2ψγ

ψψ

m -

='-'-+。若势阱改为势垒()()(0)V x x γδγ=>，则)(x ψ'的跃变条件为

2

2(0)(0)(0)m γ

ψψ+-''-=

。 6. 给出如下对易关系：

[],0,,,2,y z z y x z

y z x

x p z p i y L i x

i L p i p σσσ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦

7. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=2,2,,

r r s r z ψψψ，则表示电子自旋向上、位置在r

处的几率密度表达式为

()22/, r ψ，表示电子自旋向下的几率的表达式为()

2

32/,⎰-

r r d ψ。

8. 一维谐振子升、降算符a a 、+

的对易关系式为[,]1a a +

=；粒子数算符N 与a a 、+

的关系是N a a +

=；哈密顿量H 用N 或a a 、+

表示的式子是1122H a a N +

⎛⎫⎛⎫

=+

=+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

；N （亦即H ）的归一化本征态为0)(!

1

n a n n +=

。 三、证明题（每小题8分，共16分）

9. 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下， 0=t

d A

d 。

证：设束缚定态为ψ ，即有

ψψE H =，

ψψE H = ，

[

]t

A H A i t d A d ∂∂+=ψψ,1

。 因A 不显含时间t ，所以

0=∂∂t

A

，因而

[

]()ψψψψHA AH i H A i t d A d -==

1

,1 (

)()[

][]011

=-=-=

ψψψψψψψψA E A E i HA AH i

。 10. 已知L 、s 分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，s L J +=为电子的总角动量。()z 2

J J L , ，2的

共同本征态为j m j l φ。证明j m j l φ是L s

⋅的本征态，并就21+=l j 和21-=l j 两种情况分别求出其相应的本征值。

解： L s L L s s L J

⋅++=⋅++=24322

22

2

2

()

432

1222

--=⋅L J L s

()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+-+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=--=⋅)0(21,)1(2

21,2

43)1()1(243212

2

22

22l l j l l j l l l j j L J L s j j j

j j m j l m j l m j l m j l m j l φφφφφ 四、计算题

11. 一维运动中，哈密顿量 )(22

x V m

p H +=，求[][]?,?

,==H p H x （8分）

解： [][]

dx d m m p i p i m

p x m H x 22

==2⋅21=21= ,,，

[][])()(,,x V dx

d

i x V p H p

-==。 12. 一个质量为m 的粒子在势)(x V 作用下作一维运动。假定它处在22

2E m

α= 的能量本征态

221/4

2

2

()x x e

ααψπ-⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，

① 求粒子的平均位置； ② 求粒子的平均动量；

③ 求)(x V ； ④ 求粒子的动量在dp p p +→间的几率。（12分）

解：①

22

1/2

2*

()()0x x x x x dx x e dx ααψψπ+∞+∞

--∞-∞⎛⎫=== ⎪

⎝⎭⎰⎰。

②

22

221/222

20x x d p e

i e dx dx αααπ+∞

---∞

⎛⎫

⎛⎫=-= ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

⎰ 。 ③ 由S.eq ： )()()(22

22x E x x V dx d m ψψ=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+- ， （1） 而 22

22

22

2422

2()x x d e

x e dx

αα

αα--=-+ ， （2）

注意到 2

22E m α=

， （3）

将式（2）、（3）代入（1），可解得