安徽大学期末试卷MK_10-11年《量子力学》试题及答案.pdf
安徽大学期末试卷MK量子力学题(推荐版本)【含答案】.pdf
写出展开式系数 cn 的表达式。
解：
∫ cn = (ψ n (x) ,ψ (x)) =
ψ
* n
(
x)ψ
(
x)
dx
。
29.
一个电子运动的旋量波函数为
ψ
(
K r
,
sz
)
=
⎜⎜⎝⎛ψψ
( (
K r
,
=
K r
,
−
2)
=2
)⎟⎟⎠⎞
，写出表示电子自旋向上、位置在
K r
=
解： s z
=
, 2
α
=
χ1
2
(s
z
)
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
⎟⎟⎠⎞
；sz
=−=, 2
β
=
χ−1 2 (s z )
=
⎜⎜⎝⎛
0 1
⎟⎟⎠⎞
。
16. 解：
[x , py]= 0
[ ] [ ] z , p z = i=
L x , L z = −i=Ly
[y , Lz ] = i=x
[ ] L2 , L z = 0
=
⎜⎜⎝⎛
0 1
1 0
⎟⎟⎠⎞
,
σy
=
⎜⎜⎝⎛
0 i
−i 0
⎟⎟⎠⎞
,
σ z = ⎜⎜⎝⎛10 −01⎟⎟⎠⎞
12. 电子自旋假设的两个要点。
解：（1）电子具有自旋角动量
K s
，它在空间任意方向的投影只有两个取值：
±
=
2；
K （2）电子具有自旋磁矩 M ，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的 2 倍，即
安徽大学期末试卷MK10-11(1)高数B(三)试卷.pdf
). （D）Y ∼ F (1, n)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 6、二次型 f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 )2 + (x2 + x3 )2 + (x1 + x3 )2 的秩为
答 题勿超装 订 线
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《高等数学 B(三)》 （B 卷） 第 1 页 共 6 页
得分 .
年级
院/系
安徽大学期末试卷
7、设 A, B 为两个随机事件，满足 P( A) = a, P(B) = 0.3, P( A ∪ B) = 0.7 ，若事件 A 与 B 相 互独立，则 a = _________ .
⎡1 0 0⎤
8、设矩阵 A = ⎢⎢2 2 0⎥⎥ ， A∗ 是 A 的伴随矩阵，则 ( A∗)−1 =
（A） A = 0 或 B = 0
（B） A + B = 0
（C） | A |= 0 或| B |= 0
（D）| A | + | B |= 0
得分
2、设 A 为 n 阶方阵，则以下结论中不成立的是( ). （A）若 A 可逆，则矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量也是矩阵 A−1 的属于特征值 1 λ 的特征向量 （B） A 的特征向量即为方程 (λ E − A) X = 0 的全部解 （C）若 A 存在属于特征值 λ 的 n 个线性无关的特征向量，则 A = λE （D） A 与 AT 有相同的特征值
量子力学期末考试试卷及答案范文
量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。
2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。
3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。
4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。
二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。
综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。
2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。
针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。
3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。
谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。
三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。
四、计算题。
1、第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r rπε=-（）)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r E d r e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,43441020********420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起一级修正为（基态03(0)1/210030()Zra Z e a ψπ-=） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<，故102≈-r a Z e 。
量子力学期末考试题
［］
第 2页
12. (本题 3分)(5814)
粒子在外力场中沿 x 轴运动，如果它在力场中的势能分布
U(x)
如附图所示，则对于能量为 E > U0 向右运动的粒子，
U0
(A) 在 x < 0 区域，只有粒子沿 x 轴正向运动的波函数；
在 x > 0 区域，波函数为零．
O
x
(B) 在 x < 0 和 x > 0 区域都只有粒子沿 x 轴正向运动的
［
］
9. (本题 3分)(4528)
一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为 a．应用测不准关系估计势阱中质量
为 m 的粒子的零点能量为 (A) = /(ma 2 ) ．
(B) = 2 /(2ma 2 ) ．
(C) = 2 /(2ma) ．
(D) = /(2ma 2 ) ．
［
］
10. (本题 3分)(4205)
普朗克的量子假说是为了解释_______________________的实验规律而提出
来的．它的基本思想是_________________________________________________
_____________________________________________________________________
波函数．
(C) 在 x <0 区域既有粒子沿 x 轴正向运动的波函数，也有沿 x 轴负方向运
动的波函数；在 x >0 区域只有粒子沿 x 轴正向运动的波函数．
(D) 在 x <0 和 x >0 两个区域内都有粒子沿 x 轴正向和负向运动的波函数．
［
］
13. (本题 3分)(5815)
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。
2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。
3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。
4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。
二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。
综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。
2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。
针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。
3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。
谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。
三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。
四、计算题。
1、第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r rπε=-（）)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r rZe r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起 一级修正为（基态03(0)1/210030()Zra Z ea ψπ-=） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<，故102≈-r a Z e 。
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ*代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。
4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ与*ψ一定等价；D.无任何结论。
5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。
6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧z l B. ih∧zl∧x l ∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。
8．如果一个力学量∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：CA. 一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。
9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒；D.宇称守恒。
10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为，则 n=5能级能量为：D A. ;11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；(N+1)； D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D.z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。
4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ 一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ 与*ψ 一定等价；D.无任何结论。
5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。
6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态；B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。
8．如果一个力学量 ∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。
9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。
10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。
【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
MK_10-11(2)高数A(二)、B(二)试卷
v ∫
L
+
Pdx + Qdy + Rdz ≤ max
( x , y , z )∈Σ
(Q
x
− Py ) + ( Ry − Qz ) + ( Pz − Rx ) ⋅ S
2 2 2
其中 Σ 为以 L 为边界的某曲面， S 为曲面 Σ 的面积．
第 6 页 共 6 页
(−1) n−1 （2）求级数 ∑ 的和． n n =1 n ⋅ 2
∞
第 3 页 共 6 页
[‰Y'•Q~ÜNf^—
⎧ x = uv ∂u ∂v 5． （1）设 ⎨ ，求 , . ∂x ∂x ⎩ y = sin u + cos v
（2）设 sin z − xyz = 0 ，求
∂2 z ． ∂y 2
安徽大学 2010—2011 学年第二学期
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f ( x ) 的 Fourier 级数在 x = 4π 处收敛于
．
5．设 f ( x, y ) = xy 2 在点 (2,1) 处沿方向 (4, −3) 的方向导数等于
得 分
．
院/系
二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
⎧ x2 y , x2 + y2 ≠ 0 ⎪ 2 2 1． 二元函数 f ( x, y ) = ⎨ x + y , 在点 (0, 0) 处 2 2 ⎪ 0, x +y =0 ⎩ A．不连续 B．可微 C．不可微，且偏导数不存在 D．不可微，但偏导数存在．
量子力学期末考试题
U(x)
布如附图所示，对于能量为 E < U0 从左向右运动的粒子， U0
若用 ρ1、ρ2、ρ3 分别表示在 x < 0，0 < x <a，x > a 三个区域
发现粒子的概率，则有
O
ax
(A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0．
(A) L = = ， 2= ， 3= ；
Lz = 0, ± =, ± 2=，± 3= ．
(B) L = 0 ， 2= ， 6= ； Lz = 0, ± =, ± 2= ．
(C) L = 0 ， = ， 2= ；
Lz = 0, ± =, ± 2= ．
(D) L = 2= ， 6= ， 12= ； Lz = 0, ± =, ± 2=，± 3= ．
粒子在一维无限深方势阱中运动．下图为粒子处于某 一能态上的波函数ψ(x)的曲线．粒子出现概率最大的位置 为
(A) a / 2． (B) a / 6，5 a / 6． (C) a / 6，a / 2，5 a / 6． (D) 0，a / 3，2 a / 3，a ．
ψ(x)
x
O
1 3
a
2 3
a
a
［
］
11. (本题 3分)(1903)
［
］
第 3页
二 填空题 (共98分) 17. (本题 3分)(1818)
用文字叙述热辐射的基尔霍夫定律的内容是：__________________________
___________________________________________________________．
安徽大学期末试卷MK_题目及答案.pdf
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!! 电路同步辅导及习题全解
安徽大学期末试卷
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!知识网络图
电路和电路模型 #
%关联
电流和电压的参考方向 非关联
电功率和能量
电路模型和
#电 阻 元 件
电路定律 "电路元件"电容元件
$电 感 元 件
%独立电源
电压源和电流源 受控电源
% 基尔霍夫定律 ’()
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!! 电路同步辅导及习题全解
安徽大学期末试卷
! 课后习题全解
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量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A) 选择题(每题3分共36分)1.黑体辐射中的紫外灾难表明:CA、黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B、黑体在紫外线部分不辐射能量;C、经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D、黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2.关于波函数Ψ的含义,正确的就是:BA、Ψ代表微观粒子的几率密度;B、Ψ归一化后,ψψ*代表微观粒子出现的几率密度;C、Ψ一定就是实数;D、Ψ一定不连续。
3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释就是:DA、偏振光子的一部分通过偏振片;B、偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片;C、偏振光子通过偏振片的几率就是不可知的;D、每个光子以一定的几率通过偏振片。
4.对于一维的薛定谔方程,如果Ψ就是该方程的一个解,则:AA、*ψ一定也就是该方程的一个解;B、*ψ一定不就是该方程的解;C、Ψ与*ψ一定等价;D、无任何结论。
5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的就是:CA、粒子在势垒中有确定的轨迹;B、粒子在势垒中有负的动能;C、粒子以一定的几率穿过势垒;D粒子不能穿过势垒。
6.如果以∧l表示角动量算符,则对易运算],[yxll为:BA、ih∧z lB 、 ih ∧zlC 、i∧x l D 、h∧xl7.如果算符∧A 、∧B 对易,且∧A ψ=Aψ,则:BA 、ψ 一定不就是∧B 的本征态; B 、ψ一定就是 ∧B 的本征态;C 、*ψ一定就是∧B 的本征态;D 、 ∣Ψ∣一定就是∧B 的本征态。
8.如果一个力学量∧A 与H∧对易,则意味着∧A :CA 、 一定处于其本征态;B 、一定不处于本征态;C 、一定守恒;D 、其本征值出现的几率会变化。
9.与空间平移对称性相对应的就是:B A 、 能量守恒; B 、动量守恒; C 、角动量守恒; D 、宇称守恒。
10.如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3、4ev,则 n=5能级能量为:D A 、 -1、51ev; B 、-0、85ev; C 、-0、378ev; D 、 -0、544ev11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为nlm ψ,且 l=N-2n,则在一确定的能量 (N+23)h ω下,简并度为:BA 、)1(21+N N ;B 、)2)(1(21++N N ;C 、N(N+1);D 、(N+1)(n+2)12.判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 就是什么性质:CA 、 自旋单态;B 、自旋反对称态;C 、自旋三态;D 、z σ本征值为1、二 填空题(每题4分共24分)1.如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时,发出的光子能量为:———————————,光的波长为———— ————————。
安徽大学期末试卷MK10-11(1)高数C(三)答案.pdf
∫ ∫ fY
(
y)
=
+∞ −∞
f
(x,
y)dx
=
⎧ ⎪6 ⎨ ⎪⎩
y 0
xdx, 0,
0
<
y
< 1,
=
⎧3 y 2 , ⎨
其它 ⎩ 0,
0 < y < 1, . 其它
(4)因为在 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 内, f (x, y) ≠ fX (x) fY ( y) ,所以, X ,Y 不相互独立。
16. （本小题 14 分）【解】（1） f (x) = ⎧⎪⎨θ1 ， 0 < x < θ， ⎪⎩ 0， 其他.
15. （本小题 12 分）【解】
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ （1）因为1 =
+∞ +∞
f
−∞ −∞
(x, y)dxdy
=
1
A
0
1
xdx dy
x
=
1
A
0
x(1 −
x)dx
=
A[ x2 2
−
x3 3
]
|10
=
A； 6
所以 A = 6 。
1
1
1
∫∫ ∫ ∫ ∫ （2）
P ⎛⎜⎝Y
≤
1⎞ 2 ⎟⎠
=
y
≤
1 2
f
( x,
= C22 ⋅ 4 + C31 ⋅ C21 ⋅ 5 + C32 ⋅ 6 = 13 C52 10 C52 10 C52 10 25
C31 ⋅ C21 ⋅ 5
（2） P(B1
|
A)
=
P( AB1) P( A)
=
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
量子力学期末考试试题整理
量子力学期末考试试题整理一、 填空1. 波尔磁子：2429.274102B e e A m m cμ-==⨯⋅2. 回转磁比率：2zZe e L m cμ=-3. 薛定谔方程表达式：22121(,,)2ni n i iiU r r r t t m ψψψ=∂=-∇+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∑ 4. 算符对易的定义:ˆˆˆˆˆˆ[,]A B ABBA =- 5. 在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动能交换，粒子内部运动状态并无改变，则这种散射称为弹性散射。
如果在散射过程中粒子内部运动状态有所改变，则称为非弹性散射。
6. 散射粒子的方向与入射粒子的方向间的夹角，称为散射角。
7. 我们称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内禀固有属性完全相同的例子为全同粒子。
全通粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
8. 全同粒子的不可区分性：在两个波重叠在一起的区域，无法区分那个是第一个粒子的波，哪个是第二个例子的波。
也就是说，无法区分哪一个是第一个粒子，哪个是第二个粒子，因此，全同离子在量子力学中是不可区分的。
9. 自旋为2奇数倍的粒子称为费米子。
在量子力学中，由费米子组成的体系称为费米—狄拉克统计。
自旋为整数倍的粒子称为波色子。
在量子力学中，由波色子组成的体系称为波色—爱因斯坦统计。
10. 克莱因-戈尔登方程：22222221()0m c ctψψψ∂∇--=∂11. 狄拉克方程：2[]i H i c mc tψψαβψ∂==-⋅∇+∂12. 被填满的负态称为费米海。
如果空穴的能量为0p E +>，质量为0m +>，电荷为0e +>，这种空穴称为正电子。
13. 波函数的量子化称为二次量子化。
14. 概率流守恒定律：0J t ω∂+∇⋅=∂，概率流的定义：**()2i J mψψψψ=-∇-∇15. 光电效应的实验结果表明（1）存在临界频率0ν：当入射光的频率0νν<时，无论光强度多大，都无光电子逸出，只有在0νν≥时，即使光强度较弱，但只要光照到金属面上，几乎在910-s的极短时间内，就能观测到光电子。
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集量子力学期末试题及答案☎✌✆选择题（每题 分共 分）．黑体辐射中的紫外灾难表明：✌ 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； 黑体在紫外线部分不辐射能量；经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
．关于波函数➢ 的含义，正确的是：✌ ➢ 代表微观粒子的几率密度； ➢归一化后，ψψ*代表微观粒子出现的几率密度； ➢一定是实数； ➢一定不连续。
．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：✌ 偏振光子的一部分通过偏振片；偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；每个光子以一定的几率通过偏振片。
．对于一维的薛定谔方程，如果 ➢是该方程的一个解，则：✌✌ *ψ一定也是该方程的一个解；*ψ一定不是该方程的解； ➢ 与*ψ 一定等价；无任何结论。
．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是： ✌ 粒子在势垒中有确定的轨迹； 粒子在势垒中有负的动能； 粒子以一定的几率穿过势垒； 粒子不能穿过势垒。
．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：✌ ♓♒∧z l ♓♒∧zl♓∧x l ♒∧xl．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ✌ψ，则：✌ ψ 一定不是∧B 的本征态； ψ一定是 ∧B 的本征态；*ψ一定是∧B 的本征态； ✁➢✁一定是∧B 的本征态。
．如果一个力学量∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：✌ 一定处于其本征态； 一定不处于本征态；一定守恒；其本征值出现的几率会变化。
．与空间平移对称性相对应的是： ✌ 能量守恒； 动量守恒； 角动量守恒； 宇称守恒。
．如果已知氢原子的 ⏹能级的能量值为 ♏❖，则 ⏹能级能量为： ✌ ♏❖ ♏❖ ♏❖ ♏❖．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlmψ，且 ●☠⏹，则在一确定的能量☎☠23✆♒ω下，简并度为：✌ )1(21+N N ； )2)(1(21++N N ；☠☎☠✆； ☎☠✆☎⏹✆．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：✌ 自旋单态；自旋反对称态； 自旋三态； z σ本征值为 二 填空题（每题 分共 分）．如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ，则电子由⏹ 跃迁到⏹ 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。
量子力学期末考试题
______________________________________________________________．
19. (本题 3分)(1823)
用文字叙述黑体辐射的维恩位移定律的内容是：_____________________
［
］
3. (本题 3分)(4404)
下面四个图中， 哪一个正确 反映黑体单
色辐出度 MBλ(T)随λ 和 T 的变化关系，已知 T2
> T1．
［
］
MBλ (T)
MBλ (T)
(A)
T1
(B)
T2
T2
λ
T1
λ
MBλ (T)
MBλ (T)
T2 (C)
(D) T1
T2
T1 λ
λ
4. (本题 3分)(5810)
________________________________________________________________．
20. (本题 3分)(1824)
一 100 W 的白炽灯泡的灯丝表面积为 5.3×10-5 m2．若将点燃的灯丝看成是
黑体，可估算出它的工作温度为___________________ ． （斯特藩─玻尔兹曼定律常数σ = 5.67×10-8 W/m2·K4）
________________________________________________________________．这种
效应是微观粒子_____________________________的表现．
32. (本题 4分)(4991)
安徽大学大三物理专业量子力学试卷及答案 (8)
安徽大学20XX —20XX 学年度第1学期 《量子力学》期末考试试卷（B 卷）年级 专业 姓名 学号 座位号一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。
写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。
2. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。
3. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。
4. ）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。
6. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。
7. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？8. 对于阶梯形方势场⎩⎨⎧><=ax V a x V x V ,,)(21 ，如果（12V V -）有限，则定态波函数)(x ψ连续否？其一阶导数 )(x ψ'连续否？二、计算证明题9. 设粒子处于一维无限深势阱()⎩⎨⎧><∞<<=ax x a x x V 或0,0,中，求处于定态()x n ψ中的粒子位置x 的平均值。
（10分）10. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A；b 是算符B 的本征态：b b b B =，本征值0≠b。
求在态b 中，算符A 的平均值。
（15分）11. 氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ-+=Y r R Y r R r 。
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安徽大学2010—2011学年第 一 学期《 量子力学 》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准一、简答题（每小题5分，共10分）1. 二电子体系中，总自旋 21s s S += ，写出（z S S ,2）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
解：（2,z S S ）的归一化本征态记为S SM χ，则 自旋单态为]00(1)(2)(1)(2)χαββα=- 自旋三重态为]111011(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)χααχαββαχββ-=⎧⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩2. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。
在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为)12(+j 条（偶数）的现象称为反常塞曼效应。
原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
二、填空题（每小题5分，共30分）3. 一粒子的波函数()()z y x r ,,ψψ=，则粒子位于dx x x +~间的几率为()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=2,,z y x dz dy dx P ψ。
4. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x ax x V 2,0,20,0)(中运动，其状态波函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<=ax x a x axn a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ，能级表达式为 ,3,2,1,82222==n an E n μπ。
5. 粒子在一维δ势阱)0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，则)(x ψ'的跃变条件为)0(2)0()0(2ψγψψm -='-'-+。
若势阱改为势垒()()(0)V x x γδγ=>，则)(x ψ'的跃变条件为22(0)(0)(0)m γψψ+-''-=。
6. 给出如下对易关系：[],0,,,2,y z z y x zy z xx p z p i y L i xi L p i p σσσ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦7. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，则表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式为()22/, r ψ，表示电子自旋向下的几率的表达式为()232/,⎰-r r d ψ。
8. 一维谐振子升、降算符a a 、+的对易关系式为[,]1a a +=；粒子数算符N 与a a 、+的关系是N a a +=；哈密顿量H 用N 或a a 、+表示的式子是1122H a a N +⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；N （亦即H ）的归一化本征态为0)(!1n a n n +=。
三、证明题（每小题8分，共16分）9. 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下， 0=td Ad 。
证：设束缚定态为ψ ，即有ψψE H =，ψψE H = ，[]tA H A i t d A d ∂∂+=ψψ,1。
因A 不显含时间t ，所以0=∂∂tA，因而[]()ψψψψHA AH i H A i t d A d -==1,1 ()()[][]011=-=-=ψψψψψψψψA E A E i HA AH i。
10. 已知L 、s 分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，s L J +=为电子的总角动量。
()z 2J J L , ，2的共同本征态为j m j l φ。
证明j m j l φ是L s⋅的本征态，并就21+=l j 和21-=l j 两种情况分别求出其相应的本征值。
解： L s L L s s L J⋅++=⋅++=243222222()4321222--=⋅L J L s()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+-+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=--=⋅)0(21,)1(221,243)1()1(24321222222l l j l l j l l l j j L J L s j j jj j m j l m j l m j l m j l m j l φφφφφ 四、计算题11. 一维运动中，哈密顿量 )(22x V mp H +=，求[][]?,?,==H p H x （8分）解： [][]dx d m m p i p i mp x m H x 22==2⋅21=21= ,,，[][])()(,,x V dxdi x V p H p-==。
12. 一个质量为m 的粒子在势)(x V 作用下作一维运动。
假定它处在222E mα= 的能量本征态221/422()x x eααψπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，① 求粒子的平均位置； ② 求粒子的平均动量；③ 求)(x V ； ④ 求粒子的动量在dp p p +→间的几率。
（12分）解：①221/22*()()0x x x x x dx x e dx ααψψπ+∞+∞--∞-∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰。
②22221/22220x x d p ei e dx dx αααπ+∞---∞⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 。
③ 由S.eq ： )()()(2222x E x x V dx d m ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- ， （1） 而 22222224222()x x d ex e dxαααα--=-+ ， （2）注意到 222E m α=， （3）将式（2）、（3）代入（1），可解得242()/2V x x m α= 。
（4）④ dp p p dp x p p x ⎰⎰==)()()(ϕψψ， dx x e x p p ipx )()()(ψπψϕ⋅21==-⎰221/422ipx xe edx ααπ+∞---∞⎫=⋅⎪⎭⎰2221/42(2)2x ipx edx αααπ+∞-+-∞⎫=⎪⎭⎰2222221/42()22x ip pee dxααααπ+∞-+--∞⎫=⋅⎪⎭⎰2221/422pe ααπα-⎫=⋅⋅⎪⎭2221/42221pe ααπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭——波函数的动量表象 （5）粒子的动量在dp p p +→间的几率为2221/22221()()pP p dp p dp e dp αϕαπ-⎛⎫== ⎪⎝⎭（6）13. 一质量为m 的粒子在一维势箱a x <<0中运动，其量子态为⎪⎪⎭⎫ ⎝+=a x a x a x ππψ3sin 23sin 212)( ① 该量子态是否为能量算符H 的本征态？② 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ ③ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？（12分） 解：① 在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≥0≤0<<02=ax x a x axn a n 或,,sin πψ,3,2,1,22222==n a n E n μπ对波函数的分析可知 )(23)(21)(31x x x ψψ+=即粒子处在)(1x ψ和)(3x ψ的叠加态，该量子态不是能量算符H 的本征态。
② 由于)(x ψ是能量本征态)(1x ψ和)(3x ψ的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为2223222129,2a E aE μπμπ == 其出现的概率分别为 4323,412122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③ 能量测量的平均值为 22222231272943414341a a E E E μπμπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=+=14. 一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子，受到微扰⎩⎨⎧<<2-122<<02='ax a a x a x a x H /,)(/,/λλ的作用，求基态能量的一级修正。
（12分） 0 2a a解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为,,,,sin ,)()(321=2=2=022220n a x n a a n Ennπψμπ 基态， ax a aEπψμπsin ,)()(2=2=0122201。
基态能量的一级修正为dx x H x H E a )()(02)0(111)1(1⎰'='=ψ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⋅=a a a dx a x a x a dx a x a x a 2220212sin 22sin 2λπλπ。
作变换： du adx aux axu πππ===,,；dv adx ava x axv ππππ-=-=-=,,。
代入上式完成积分：()vdvv udu u E ⋅--⋅=⎰⎰ππλπλππ2022222)1(1sin 4sin 4λππλπ⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅=⎰2222221sin 8udu u ，λπμπ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=2222)1(1)0(112212a EEE 。