5-2_期权定价的二叉树模型

41
表3-1 路径、概率及最高价
路径
概率
最高价 172.8 144
uuu
uud udu
duu
q3
q 2 (1 q ) q 2 (1 q ) q 2 (1 q ) q(1 q) 2 q(1 q) 2 q(1 q) 2 (1 q )3
129.6
129.6 108 100 120 100
39
例：
S0 100, d 0.9, u 1.2, r 0.05
以一个月为一个时间段，得三个月的股价树， 见图4-21。
2015/11/29
40
172.8
144
120 100 108
129.6
90
81
97.2
72.9
t 0
1
2
3
图4-21 回望期权的股价二叉树
2015/11/29
2.02
3.9
0 0 0 28.1
21.12
15.85
11.87
2.02
3.9
2.81
0 0 0
t 0
1
2
3
图4-11 完整的期权二叉树图
美式看跌期权，若：
S0 100, X 100, u 1.1, d 0.9, r 0.05
期权到期时间为
t 3
。
2015/11/29
21
2.81
0 0 0 28.1
21.12
15.85
2.81
0
3.9
0 0 0 28.1
21.12
15.85
11.40
0
3.9
2.81
0 0 0
t 0
1
2
3
图4-20 敲出期权的节点输入值序列
作为验证：
e
0.053
E 所有路径
e
0.15
0.7564
3
28.1 2 0.7564 0.2436 3.9
动，障碍期权较之普通期权的价格越便宜。
2015/11/29
37
回望期权：
回望期权(lookback options)的收益依附于期权有效 期内标的资产达到的最大或最小价格。欧式回望看涨期 权的收益等于最后标的资产价格超过期权有效期内标的
资产达到的最低价格的那个量。欧式回望看跌期权的收
益等于期权有效期内标的资产价格达到的最高价格超过 最后标的资产价格的那个量。
2
2源自文库
S0
duS0
dS0
d 2 S0
dudS 0 pq2 d 2uS0 pq
d S0
3
2
pq 2 dudS0 pq 2 d 2 uS 0
q 3d 3 S0
q
3
Total E S3
图4-2 股票价格的二叉树展开图
2015/11/29
3 2 2 3 E S3 pu 3qd pu 3 qd pu qd S0
2
11.4
2015/11/29
36
注意：
对K期期权定价而言，有2K条路径，当K较小时，路径计
算法在期数和路径较少的情况下是简单易行的，但当K较
大时，计算却十分困难，因为将生效的期权从失效的期 权中分离出来是很困难的。
敲出障碍期权比标准欧式期权要便宜，当障碍的设置越
接近于正常价格时，障碍期权越不可能克服日常价格波
2
2015/11/29
48
S 1 t E S pu 1 p d 0 S t E S 1 t 0
2
p1 p u d
3
t 0
1
2
图4-3 股票价格的二叉树压缩图
2015/11/29
7
二、连锁法和期望值 连锁法（后向推导）
u 3 S0
u 2 dS 0
ud 2 S 0
d 3 S0
t 0
1
2
3
图4-４ 股票价格二叉树压缩图的最后一列
2015/11/29
8
a x
b
图4-5 股票价格二叉树的一个分枝图
2015/11/29 9
2015/11/29 11
p pu 3 S 0 qu 2 dS 0 q pu 2 dS 0 qud 2 S 0
u 3 S0
pu 3 S0 qu 2 dS0
u 2 dS 0
X
pu 2 dS0 qud 2 S 0
ud 2 S 0
pud 2 S 0 qd 3 S 0
pu qd S0
3
E S k 1 pu qd E S k
E Sk 1 pu qd S0
k
2015/11/29
（4-1）
6
u 2 S0
uS 0
S0
u 3 S0
u 2 dS 0
udS 0
dS 0
d 2 S0
ud 2 S 0
d 3 S0
2015/11/29 4
一、二叉树的重新安排
股票价格 概率 乘积
u 3 S0
p3
p 3u 3 S0
u 2 S0
uS0
udS0
u 2 dS0 p 2 q p 2 qu 2 dS0 uduS0 p 2 q p 2 qu 2 dS0
2 2 pq ud S0 ud S0 pq 2 2 2 2 p qdu S0 du S 0 p q
连锁法 立即执行值 最大输入值
10.9
27.1
图4-15 节点处不同方案值的表示法
2015/11/29 26
14.12
19 100 81
10.9
19
27.1
图4-16 美式看跌期权一个节点的完整表示
2015/11/29
27
0 0 0
0.59
0 0
0
2.74 0.59 6.22 10
2.53
2
S 2 t E S 1 t 0
2015/11/29

47
如果随机变量 X 服从伯努利分布，则
E X pa (1 p)b D X p1 p a b
将此应用于图4-22的股价二叉树，得
第五章（下）：期权定价的二叉树模型
第一节 股票价格模型 第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
第三节 美式期权定价
第四节 敲出期权定价 第五节 回望期权定价 第六节 实证数据下二叉树模型分析 第七节 N期二叉树模型的定价和对冲风险
1
假设股票的价格在单位时间内只能够沿着两个方
向变动。图4-1和图4-2采用二叉树的形式列出了可能变
（1）立即执行（在
t 2）；
（2）继续持有到下一期 t
3再执行。
策略：计算每一种方案的价值，再选择最大的。
2015/11/29
24
10.9
V
27.1
图4-14 期权二叉树的分枝图
e
2015/11/29
0.05
10.9 0.7564 27.1 0.2436 14.12
25
动的两个方向，将来的价格等于现值与相应收益率的乘 积。
2015/11/29
2
u 1, d 1,0 p 1
p
uS0
S0
1 p
t=0
dS0
t=1
图4-1 股票价格二叉树
2015/11/29 3
E S1 puS0 qdS0 pu dq S0
pu qd 1, 股票价格向上漂移 pu qd 1, 股票价格向下漂移 pu qd 1, 股票价格没有漂移
42
dud
ddu
udd ddd
2015/11/29
E V3 115.314
V0 E V3 e =113.88
2015/11/29 43
0.053/12
金融（或其他领域）中用的数学模型是为了帮助在分析
现在的基础上预测未来。如果模型是成功的，那么模型就应
该与实际相符。 如何确定p 、 u 和d ？
3.9 108.9 105
0 0
t 0
1
2
3
图4-19 敲出期权价格二叉树
2015/11/29 33
第二步： 连锁法计算期权价值 障碍法则
同样的操作：运用连锁法则和贴现的方法计算出期权的价
格。
不同的操作：对于障碍(虚线)下方的节点输入值为0。
2015/11/29
34
21.12
28.1
3.9
连锁法：
若x是股票未来价格a和b的期望值，则
x pa qb
2015/11/29
10
u 3 S0
pu 3 S0 qu 2 dS 0
u 2 dS 0
pu 2 dS 0 qud 2 S 0
ud 2 S 0
pud 2 S 0 qd 3 S 0
d 3 S0
t 0
1
2
3
图4-6 列示二列的股票价格二叉树图
1
0 2.74
2.53
10.9
10
14.12
19 19
27.1
图4-17 完整的美式看跌期权二叉树图
障碍期权(barrier option) 一般分为两类，即敲出期权和敲入期权。
敲出期权：
当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。 敲入期权：
向上敲出 敲出期权 向下敲出 向上敲入 敲入期权 向下敲入
133.1
121
110 100
108.9
99 90
81
72.9
89.1
t 0
1
2
3
图4-12 股票价格二叉树图
2015/11/29
22
0
0
10.9 100 89.1
27.1 100 72.9
t 0
1
2
3
图4-13 美式看跌期权价格二叉树
2015/11/29
23
如图4-14所示的分枝图，在节点处有两个选择：
如何证明？
k
2015/11/29
13
简要提示： 归纳法 路径依赖
2015/11/29
14
若
S0 100, X 105, u 1.1, d 0.9, r 0.05
期权到期时间为 t 3 ，试对期权进行定价。
2015/11/29
15
首先构造一个三期的股票价格二叉树模型，如图4-8所 示。
17
由无套利定价原则得
e S0 Sd q Su S d
r
e d q ud q 0.7564
2015/11/29
r
（4-2）
18
a x
b
图4-10 期权价格二叉树的一个分枝图
2015/11/29
19
21.12
28.1
3.9
2.81
0 0 0 28.1
21.12
15.85
2.81
2015/11/29
30
如何为敲出期权定价？ 第一步

画出股票、期权二叉树图
标明障碍线
2015/11/29
31
133.1
121
110 100
108.9
99 90
81
72.9
89.1
t 0
1
2
3
图4-18 设置敲出障碍的股票价格二叉树图
2015/11/29 32
28.1 133.1 105
2015/11/29
38
若有一个三个月到期的回望期权，在三个月后，
期权的买方有权得到以过去三个月中最高股价来计算 的偿付。所谓回望的含义就体现在这里。应注意，为 了确定期权的到期价格，需要知道的不仅仅是股票的 最终价格，还需要知道股票过去每个时间点的价格(除 了一些极端的情况)。
2015/11/29
波动率 ：相对回报率的不确定性。
2 S 2 E 1 t t S 0
2015/11/29 46
平均相对回报率：
S S t E 1 E S0 S0
平均股价比率：
1 t
当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。
2015/11/29
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欧式看涨期权： S
0
100, X 105, u 1.1,
d 0.9, r 0.05
期权到期时间为
t 3
。
根据题意：考察的期权是一个欧式看涨期权，在3年后到 期、执行价是105美元。 若是敲出期权，在价格为95美元处设置了一个障碍，即一 旦股票价格低于95美元，无论其到期的价格是多少，该期权都 不再有任何价值。
p pu 2 dS0 qud 2 S0 q pud 2 S0 qd 3 S 0
t 0
d 3 S0
1
2
3
图4-7 列示三列的股票价格二叉树图
将节点输入值中的股票价格因子分离出来，则
节点输入值= 节点股票价格 pu qd
如何证明？
剩余列数
E Sk S0 pu qd
希望通过股价行为中的重要因素来估计上面这些参数
漂移率、波动率
2015/11/29
44
第六节 实证数据下二叉树模型分析
p
uS0
S0
1 p
dS0
图4-22 股票价格二叉树
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第六节 实证数据下二叉树模型分析
漂移率 ：单位时间内股价的平均变化幅度。
S E 1 t S0
133.1
121
110 100
108.9
99 90
81
72.9
89.1
t 0
1
2
3
图4-8 股票价格二叉树图
2015/11/29 16
三期的期权价格二叉树模型
28.1 133.1 105
3.9 108.9 105
0 0
t 0
1
2
3
图4-9 列示最后一列的期权价格二叉树
2015/11/29