20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质 125

第15讲:极点与极线的性质

极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.

定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”.

特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.

[位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线

G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:

l l l P M P A D M P

N C N B

[配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P.

证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为

p:ax p x+b

2

y

x x y p p ++cy p y+d

2

p x x ++e

2

p y y ++f=0,q:ax Q x+b

2

y

x x y Q Q ++cy Q y+d

2

Q x x ++e

2

Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ⇔ax p x Q +b

2

Q

p Q p y x x y ++cy p y Q +d

2

p

Q x x ++e 2

p

Q y y ++f=0⇔点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b

2

y x x y Q Q ++cy Q y+d

2

Q x x ++e

2

Q y y +

+f=0上⇔点Q 的极线也通过点P.

推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;

证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二

点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.

推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.

证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共

点;同理可证:共点线的极点必共线.

推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点.

证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

0y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上⇒ax 02+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0+λ=0⇒λ=-(ax 02

+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0)⇒直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

0y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0⇒ ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

0y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点.

[比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b

2

00y

x x y ++ 126 第15讲:极点与极线的性质

cy 0y+d

20x x ++e 2

y y ++f=0交于点Q,则|PA||QB|=|QA||PB|. 证明:设直线l:⎩⎨

⎧+=+=θ

θsin cos 00t y y t x x (t 为参数),代入ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20

y y ++f=0得:(2ax 0cos θ+bx 0sin θ

+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+2(ax 02

+bx 0y 0+cy 02

+dx 0+ey 0+f)=0⇒t 0=-2θ

θθθsin 2cos sin cos 20000002

00020cy by bx ax f ey dx cy y bx ax ++++++++;代入ax 2

+bxy+

cy 2+2dx+2ey+f=0得:(acos 2θ+bcos θsin θ+csin 2θ)t 2+(2ax 0cos θ+bx 0sin θ+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+(ax 02+bx 0y 0+cy 02

+dx 0 +ey 0+f)=0⇒t 1+t 2=-θ

θθθθ

θθθ220000sin cos sin cos sin 2cos sin cos 2c b a cy by bx ax +++++,t 1t 2=

θ

θθθ2200200020sin cos sin cos c b a f

ey dx cy y bx ax +++++++⇒t 0=

2

12

12t t t t +;而|PA||QB|= |QA||PB|⇔|t 1||t 2-t 0|=|t 1-t 0||t 2|⇔t 0=

2

12

12t t t t +成立. [面积定理]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线为l,过点P 的直线与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,分别过点A 、B 的两

条平行线与直线l 交于点D 、C,记△APD 、△CPD 、△BPC 的面积分别为S 1,S 2,S 3,则:S 22

=4S 1S 2.

证明:以椭圆G:

2

2a x +

2

2b y =1(a>b>0)为例,设P(x 0,y 0),则极线l:

12

02

0=+

b y y a x x .设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),并分别过点A 、B

作l 的垂线,垂足分别为D 1、C 1,则|

|||11BC AD =|1||1|22022021

02

1

0-+-+

b

y y a x x b y y a x x =||||2220220222102102b a y y a x x b b a y y a x x b -+-+(注意到:a 2b 2=b 2x 12+a 2y 12,a 2b 2=b 2x 22+a 2y 2) =

|

|||2222222022022

12212102102y a x b y y a x x b y a x b y y a x x b --+--+=

|

)()(||)()(|0222022201120112y y y a x x x b y y y a x x x b -+--+-(注意到:

0101x x y y --=0202x x y y --=k)=||||0201x x x x --⋅|

||

|22221212x b ky a x b ky a ++.又因||||BP AP =||||0201x x x x --,以下只需证||||22221212x b ky a x b ky a ++=1,即|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2x 2|,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222222221221

2b

a y a x

b b a y a x b ⇒b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2

(y 1- y 2)(y 1+y 2)=0⇒b 2(x 1+x 2)+a 2k(y 1+y 2)=0⇒a 2ky 1+b 2x 1=-(a 2ky 2+b 2x 2)⇒|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2

x 2|⇒||||BP AP =|

||

|11BC AD ,由△ADD 1∽△BCC 1⇒

||||BC AD =||||BP AP ,设AC 与BD 交于点Q,由AD ∥BC ⇒||||BC AD =||||QC AQ ⇒||||BP AP =

|

||

|QC AQ ⇒PQ ∥BC ∥AD ⇒S △BAC =S △BDC ,两边同减S △BQC 得S △QAB =S △QDC ,又因S △PQA =S △PQD ,S △PQB =S △PQC ⇒S △PCD =S △QCD +S △PQD +S △PQC =S △QCD +S △PQA +S △PQB =S △QCD +S △QAB =2S △QAB ⇒S △QAD =S △PAD =S 1,S

△QBC

=S △PBC =S 3,S △QAB =

21S △PCD =2

1S 2,注意到:QAB QBC QAB QAD S S S S ∆∆∆∆⋅=||||||||QA QC QB QD ⋅=1⇒2

QAB S ∆=S △QAD S △QBC ⇒S 22=4S 1S 2. 例1:极点与极线的位置关系.