高考理科数学压轴题及答案汇编

高考理科数学压轴题

(21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点

的距离的最大值为 3,最小值为 1.

(I) 求椭圆 C 的标准方程 ;

(II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭

圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 .

(22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0.

1

(I) 当 b

时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ;

2

(II)求函数 f (x)的极值点 ;

1 1 1

(III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 .

n n n

22

xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0)

ab

2

a c 3,a c 1，a 2,c 1,

b 2 3 22

x 2

y 2 1.

43

Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD

1，

y

kx m

(II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2

x

2 y

得

1

4

3

2 2 2

(3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2

3)

2 2 2 64m 2 k 2 16(

3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk

2 ,x 1 x 2

2 4(m 2 3)

3 4k 2

y 1 y 2

2

(kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2)

m 2

3(m 2 4k 2) 3 4k 2

y 1 y 2 x 1 2 x 2

1， y 1y 2 x 1x 2 2(x 1 x 2) 4 0，

3 4k 2 7m 2

16mk m 1 2k,m 2 当m 2k 时，

当

m 2k

时

7

综上可知，直

线 (22)

解： (I) 函数 f f '(x) 2x 22

3(m 2

4k 2) 4(m 2 3) 16mk 4

3 4k 2 3 4k 2 4

4k 2 0 ，解得

2k

，且满足 3 4k 2

0，

0.

l : y k(x 2) ，直线过定点

l : y k(x 2

) ，直线过定点

2 l 过定点，定点坐标为 ( ,0). (x) 2 x 2 bln(x 1)的定义域为 (2,0), 与已知矛盾；

2

(7

,0).

1,

令 g(x) g(x)min

b x1 2x 2 2x g( 1

12) 1 当 b 1 时，

2 g(x)min g(x) 2x 2

2x b f (x) 0, 2x 2

2x b ， x1 b ， 则 g(x) 在

b . 12 b

0 在 1, 0

，

上恒成立 .

1 即当 b 时,函数 f (x) 在定义域

2 分以下几种情形

讨

论： 1 I )知当 b 时函数 f (x) 无极值点 . 2

II )

1) 上递增，在

1, 上单调递增。

2)

1

b 时， f '(x) 2

2(x 12

)2

x1 1, 21

时， f '(x)

0,

1

1, 上递减，

2

1,

2,

时，f '(x) 0,

1

2时，函数f(x) 在1, 上无极值点。

3) 当b 12

时，解f (x) 0 得两个不同解x1

1 1 2b

2 x2

1 1 2b

2

当b 0

时，x1

1 1 2b

2 1 ，x2

1 2b1 ，

2 1 ，

x1 1, ,x2 1,

此时 f (x) 在1, 上有唯一的极小值

点x2

1 1 2b

2

当0 b 12时，x1,x2

2 1 2

1

,

f ' (x) 在1,x1, x2, 都大于0 ，f '(x)在(x1,x2)上小于0 ，

此时f (x) 有一个极大值点x1 1 1 2b 和一个极小值点x2 1 2b

2

综上可知，b0时，f (x) 在1, 上有唯一的极小值点x21 1 2b

；

；

0 b 1时，

2 f (x) 有一个极大值点x1

1 1 2b和一个极小值点

2 x2

1 1 2b

；

2；

b 1时，函数

2 f (x) 在1, 上无极值

点。

III )当b 1时，f(x) 2

x2 ln(x 1). 令h(x) x3 f(x) x3 x2ln(x 1),则

h(x)

32

3x3 (x 1)2在0, x1 上恒

正，

h(x) 在0, 上单调递

增，

0, 时，恒有h(x) h(0) 0. 即当x 0, 时，有x3 x2 ln(x 1) 0, ln(x 1) x2 3 x，

11

对任意正整数n，取x 得ln( 1)

nn 1

23 nn