高三数学第二轮专题讲座复习：分类讨论思想

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教师版南莫中学高三数学专题复习策略专题分类讨论

第3讲分类讨论思想1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．面的位置关系等．同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要使用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数实行分类讨论．(2)对所讨论的对象实行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.类型一由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论例1 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．答案 (1)14 (2)－34解析 (1)讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意． (2)当a >0时，1－a <1,1＋a >1.这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32. 不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34. 综上可知，a 的值为－34. 应用指数、对数函数时往往对底数是否大于1实行讨论，这是由它的性质决定的．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选择相对应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．已知圆的方程x 2＋y 2＝1，则过点P (1,2)的圆的切线方程为________．答案 x ＝1或3x －4y ＋5＝0解析当k 不存有时，直线为x ＝1，也是切线，当k 存有时，设直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.∴圆心(0,0)到直线的距离d ＝|2－k |k 2＋1＝1，解得k ＝34. ∴直线方程为3x －4y ＋5＝0.∴切线方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.类型二由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论例2 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．解 ①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数y ＝－2x ＋43，它在[0,1]上是减函数，所以y max ＝f (0)＝43. ②当4－3m ≠0，即m ≠43时，y 是二次函数．当4－3m >0，即m <43时，二次函数y 的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m >0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(因为此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m <43，即23≤m <43时，y max ＝m . 当m <2－2m ，又m <43，即m <23时，y max ＝2(1－m )．当4－3m <0，即m >43时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝14－3m<0，所以函数y 在[0,1]上是减函数，于是y max ＝f (0)＝m .由①、②可知，这个函数的最大值为y max ＝⎩⎨⎧ 2－2m ，m <23，m ，m ≥23.求解相关几何问题中，因为几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征实行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1>PF 2，则PF 1PF 2的值为________．答案 2或72解析若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43， ∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2＝2或72. 类型三由参数变化引起的分类讨论例3 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x(0<a <1)，讨论函数f (x )的单调性．解 f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1. (1)若0<a <12，则x 2>x 1. 当0<x <1或者x >1a－1时，f ′(x )<0；当1<x <1a－1时，f ′(x )>0. 故此时函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1，1a －1. (2)若a ＝12，则x 1＝x 2，此时f ′(x )≤0恒成立，且仅在x ＝12处等于零，故此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)若12<a <1，则0<x 2<x 1，当0<x <1a－1或者x >1时，f ′(x )<0；当1a－1<x <1时，f ′(x )>0. 故此时函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，1. 含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围实行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则．设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )． (1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)由已知x >0，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x，因为曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1，所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a 2＝1，所以a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0，故曲线f (x )在(2，f (2))处的切线方程为x －y －2＝0.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x. ①当0<a <1时，若x ∈(0，a )，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若x ∈(a,1)，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12； ②当a ＝1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0，若x ＝1，f ′(x )＝0，若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，所以函数f (x )在定义域内单调递增，此时f (x )没有极值点，也无极值．③当a >1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若x ∈(1，a )，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；若x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ；综上，当0<a <1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )无极值；当a >1时，f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a .分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集的讨论．(2)函数：对数或指数函数中的底数a ，一般应分a >1和0<a <1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n >1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论．(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论．(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．(7)(理排列、组合、)概率中的分类计数问题．(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．答案 43或833解析分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________．答案 1或－12解析当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1(1－q 3)1－q ＝21，解之得，q ＝－12. 3．若x >0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________．答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)解析当x >1时，y ＝lg x ＋log x 10＝lg x ＋1lg x ≥2lg x ·1lg x＝2；当0<x <1时，y ＝lg x ＋log x 10＝－⎣⎡⎦⎤(－lg x )＋⎝⎛⎭⎫－1lg x ≤－2(－lg x )⎝⎛⎭⎫－1lg x ＝－2. 所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．4．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条．答案 3解析由2x 2－y 2＝2，得x 2－y 22＝1. 当l 无斜率时，AB ＝2b 2a＝4，符合要求．当l 有斜率时，若A 、B 两点都在右支上，则AB >4不符合要求．A 、B 在左、右两支上，有两条．所以共3条．5．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,4]解析因为函数f (x )的定义域为一切实数，所以mx 2＋mx ＋1≥0对一切实数恒成立，当m ＝0时，原不等式即1≥0对一切实数恒成立，当m ≠0时，则需⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上，实数m 的取值范围是[0,4]．6．已知线段AB 和平面α，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为________．答案 1或2解析此题分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况，答案为1或2.7． (2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点，若点P ，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．答案 10，－1解析 P A 2＝(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2ax －2a 1x ＋2a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2a ＋2a 2－2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x －a 2＋a 2－2由x >0，得x ＋1x ≥2，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2a 2－2＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a <2(2－a )2＋a 2－2＝8解得a ＝10，或a ＝－1.8．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n .(2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘q ，得qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n＋1(q －1)2 (q ≠1).若方程242||20x x x a a ---++=恰有两个不同的实数解，求a 的范围.。

高三数学第二轮专题讲座复习：综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题

张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题高考要求函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力重难点归纳在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件学法指导怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识(一)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑高考试题涉及5个方面 (1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中 (三)把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换 (四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识典型题例示范讲解例1设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41); (2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→ 命题意图本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力知识依托认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝f (x 1)·f (x 2) 错解分析不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x xx x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键解因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x x x x f f f +=≥, x ∈［0,1］又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2 f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2 又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21, f (41)=a 41 (2)证明依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即 f (x )=f (2－x ),x ∈R 又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R ∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R 将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21)=［f (n 21)］n =a 21∴f (n21)=a n 21 又∵f (x )的一个周期是2 ∴f (2n +n 21)=f (n 21), ∴a n =f (2n +n 21)=f (n 21)=a n 21因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n 例2甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ,固定部分为a 元(1)把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力知识依托运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法错解分析不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件技巧与方法四步法 (1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价解法一 (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS ,全程运输成本为y =a ·v S +bv 2·v S =S (v a +bv ) ∴所求函数及其定义域为y =S (va +bv ),v ∈(0,c ] (2)依题意知，S 、a 、b 、v 均为正数 ∴S (va +bv )≥2S ab ① 当且仅当v a =bv ,即v =b a 时，①式中等号成立若b a ≤c 则当v =b a 时，有y min ＝2S ab ；若b a >c ,则当v ∈(0,c ]时，有S (v a +bv )－S (ca +bc ) =S ［(v a －c a )+(bv －bc )］=vcS (c －v )(a －bcv )∵c －v ≥0,且c >bc 2, ∴a －bcv ≥a －bc 2>0 ∴S (v a +bv )≥S (c a +bc ),当且仅当v =c 时等号成立，也即当v =c 时，有y min ＝S (ca +bc )；综上，为使y 最小，当b ab ≤c 时，行驶速度应为v =b ab , 当b ab >c 时速度应为v =c 解法二 (2)∵函数y =S (v a +bv ), v ∈(0,+∞),当x ∈(0, ba )时，y 单调减小，当x ∈(b a ,+∞)时y 单调增加，当x =b a 时y 取得最小值，而全程运输成本函数为y =Sb (v +vb a), v ∈(0,c ∴当b a ≤c 时，则当v =b a 时，y 最小，若ba >c 时，则当v =c 时，y 最小例3 设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=－4(1)求证 f (x )为奇函数；(2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值(1）证明令x =y =0,得f (0)=0令y =－x ,得f (0)=f (x )+f (－x ),即f (－x )=－f (x )∴f (x )是奇函数(2）解 1°,任取实数x 1、x 2∈［－9,9］且x 1＜x 2,这时，x 2－x 1>0,f (x 1)－f (x 2)=f ［(x 1－x 2)+x 2］－f (x 2)=f (x 1－x 2)+f (x 2)－f (x 1)=－f (x 2－x 1)因为x >0时f (x )＜0,∴f (x 1)－f (x 2)>0∴f (x )在［－9，9］上是减函数故f (x )的最大值为f (－9),最小值为f (9)而f (9)=f (3+3+3)=3f (3)=－12,f (－9)=－f (9)=12∴f (x )在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12 学生巩固练习1 函数y =x +a 与y =log a x 的图象可能是( )2定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)其中成立的是( )A①与④B②与③C①与③D②与④3若关于x的方程22x+2x a+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是____4设a为实数，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值参考答案:1解析分类讨论当a>1时和当0＜a＜1时答案 C2解析用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b)即①与③成立答案 C3解析设2x=t>0，则原方程可变为t2+at+a+1=0 ①方程①有两个正实根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>-=+≥+-=∆1)1(421212attattaa解得a∈(－1,2－22]4解(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)2+|－x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a2+1,f(－a)=a2+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a)此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)①当x≤a时，函数f(x)=x2－x+a+1=(x－21)2+a+43,若a≤21,则函数f(x)在(－∞,a]上单调递减，从而，函数f(x)在(－∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1若a>21,则函数f(x)在(－∞,a]上的最小值为f(21)=43+a,且f(21)≤f(a)②当x≥a时，函数f(x)=x2+x－a+1=(x+21)2－a+43;当a≤－21时，则函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(－21)=43－a,且f(－21)≤f(a)若a>－21,f(x)在［a,+∞)上单调递增，f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1综上，当a≤－21时，函数f(x)的最小值是43－a,当－21＜a≤21时，函数f(x)的最小值是a2+1;当a>21时，函数f(x)的最小值是a43。

高三数学第二轮专题讲座复习求解函数解析式的几种常用方法试题

卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法高考要求求解函数解析式是高考重点考察内容之一，需引起重视本节主要帮助考生在深入理解函数定义的根底上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成才能，并培养考生的创新才能和解决实际问题的才能重难点归纳求解函数解析式的几种常用方法主要有1待定系数法，假设函数解析式的构造时，用待定系数法；2换元法或者配凑法，复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3消参法，假设抽象的函数表达式，那么用解方程组消参的方法求解f (x );另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法典型题例示范讲解例1(1)函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a --(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式(2)二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式此题主要考察函数概念中的三要素定义域、值域和对应法那么，以及计算才能和综合运用知识的才能知识依托利用函数根底知识，特别是对“f 〞的理解，用好等价转化，注意定义域错解分析此题对思维才能要求较高，对定义域的考察、等价转化易出错技巧与方法(1)用换元法；(2)用待定系数法解(1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),那么x =a t因此f (t )=12-a a (a t －a －t) ∴f (x )=12-a a (a x －a －x)(a >1,x >0;0<a <1,x <0)(2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或者－1，所以所求函数为f (x )=2x 2－1或者f (x )=－2x 2+1或者f (x )=－x 2－x +1或者f (x )=x 2－x －1或者f (x )=－x 2+x +1或者f (x )=x 2+x －1例2设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一局部是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象此题主要考察函数根本知识、抛物线、射线的根本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维才能因此，分段函数是今后高考的热点题型知识依托函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线错解分析此题对思维才能要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱技巧与方法合理进展分类，并运用待定系数法求函数表达式解(1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0)∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2(2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1∴f (x )=－x 2+2(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2综上可知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成例3f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1)解法一(换元法〕∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1令u =2－cos x (1≤u ≤3),那么cos x =2－u∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3)∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4)解法二(配凑法〕f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x 〕+5∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4)学生稳固练习1假设函数f (x )=34 x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,那么m 等于() A 3B 23C －23 D －32设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,那么x >1时f (x )等于()A f (x )=(x +3)2－1B f (x )=(x －3)2－1C f (x )=(x －3)2+1D f (x )=(x －1)2－13f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________ 4f (x )=ax 2+bx +c ,假设f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,那么f (x )=_________5设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式6设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x－3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式假设矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值7动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示PA 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图8函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数获得最小值，最小值为－5(1)证明f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式； (3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式参考答案1解析∵f (x )=34-x mx ∴f ［f (x )］=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3答案A 2解析利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1,最小值为－1，又y =f (x )关于x =1对称，故在x >1上，f (x )的对称轴为x =3且最小值为－1答案B3解析由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x )=3x1 由上面两式联立消去f (x 1)可得f (x )=x 2－x 答案f (x )=x2－x4解析∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0又f (x +1)=f (x )+x +1,∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b 〕x +a +b =bx +x +1故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x 答案21x 2+21x 5解f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解，f (x )=178722++x x 6解设x ∈［1,2］,那么4－x ∈［2,3］,∵f (x )是偶函数，∴f (x )=f (－x ),又因为4是f (x )的周期，∴f (x )=f (－x )=f (4－x )=－2(x －1)2+4(2)设x ∈［0，1］，那么2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=－2(x －1)2+4,又由(1〕可知x ∈［0,2］时，f (x )=－2(x －1)2+4,设A 、B 坐标分别为(1－t ,0〕,(1+t ,0)(0＜t ≤1),那么|AB |=2t ,|AD |=－2t 2+4,S 矩形=2t (－2t 2+4)=4t (2－t 2),令S 矩=S ，∴82S =2t 2(2－t 2)·(2－t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764, 当且仅当2t 2=2－t 2,即t =36时取等号∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max =96167解(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，PA =x ;当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD可得PA =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得PA =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时，PA =4－x ,故f (x )的表达式为f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43( 4)32( 106)21( 22)10( 22x x x x x x x x x x(2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进展分类求解如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0；当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =21AB ·BP =21(x －1〕；当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21·1·1=21；当P 在DA 上时，即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x )故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 0x x x x x x8(1)证明∵y =f (x )是以5为周期的周期函数，1124321oyxDPCDPCA∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0(2)解当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4)(3)解∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0, 又y =f (x )(0≤x ≤1)是一次函数， ∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3,f (1)=k ·1=k ,∴k =－3∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15, 当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x。

2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第19讲分类讨论思想

1 综上所述：＝时不能构成等差数列；＝－综上所述：当q＝1时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列；当q＝－2时， Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2能构成等差数列．能构成等差数列．
拓展提升——开阔思路拓展提升开阔思路提炼方法分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；分母是否为；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于；时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论．要进行分类讨论．
题型二运算需要分类讨论
项和，【例2】已知在等比数列 n}中，a1＝1，Sn是其前项和，且ak＋1，】已知在等比数列{a 中，是其前n项和 ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列． ∈ 成等差数列．成等差数列 (1)求数列 n}的公比；求数列{a 的公比的公比；求数列 (2)试判断 k＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列，并说明理由．试判断S 是否也构成等差数列，试判断 ∈ 是否也构成等差数列并说明理由．解：(1)设等比数列 n}的公比为 ≠0)，则ak＋1＝qk，ak＋3＝qk 2，ak＋2＝qk 1，设等比数列{a 的公比为的公比为q(q≠ ，设等比数列 1 ＋＋依题意得2q 由于q 依题意得 k 2＝qk＋qk 1，由于 k≠0，所以 2－q－1＝0，解得＝1或q＝－2. ，所以2q －＝，解得q＝或＝－ (2)当q＝1时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，显然 k＋1＋Sk＋2＝当＝时＋＋，＋，＋，显然S k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列；＋＋＋＝＋ ≠ 不能构成等差数列；

2012届高三数学第二轮复习《分类讨论思想》专题二

2012届高三数学第二轮复习【分类讨论】专题二题型一根据数学概念分类讨论【例题1】在△ABC 中，已知sin B ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长．．题型二根据公式、定理、性质的条件分类讨论【例题2】数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则其通项n a ＝．题型三根据变量或参数的取值情况分类讨论【例题3】解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax .题型四根据图形位置或形状变化分类讨论【例题4】在△ABC 中，AB =（2，3），AC =（1,k ），若△ABC 是RT △，求k 的值.1．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,2都不与3相邻的六位数的个数是 ( )A ．384B ．288C ．240D ．1442．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为 ( ) A.53 B.52 C.52或153 D.53或543．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为 ( )A ．－112，0 B.112，－112 C.112，0 D.14，－1124．一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（）A. x y +-=70B. 250x y -=C. x y x y +-=-=70250或D. x y y x ++=-=70250或5．不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) 6．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的P 点的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．67．若132log <a ，则a 的取值范围为______________． 8．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }，当A 中至多有一个元素时，求a 的取值范围．9．求到两定点()()(),0,,00A a B a a ->的斜率之积为定值()0k k ≠的点M 的轨迹。

高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)九、分类讨论思想含解析

分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。

一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。

二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。

三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。

由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。

由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。

5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。

由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。

高三数学第二轮专题讲座复习：化归思想

a
46
2(1
4 4 )(a
4 6)
a
例 3 一条路上共有 9 个路灯，为了节约用电，拟关闭其中 3 个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为
解析 9 个灯中关闭 3 个等价于在 6 个开启的路灯中，选 3 个间隔（不包括两端外边的
C
3 5
=10
10
2
2
故 P 的坐标为 ( a ,
2
)
2a
2
2
2
(2)∵在△ ABP 中，｜ AB｜ =2 a b ，高为
,
a
∴ S(a)
1 2
a2
b2
2
2
a
2(1
4 a4
)
∵ a＞ b＞0,b=
2 a
∴ a＞ 2 ,即 a＞ a
2
,得
0＜
4 a4
＜1
于是 0＜ S（ a）＜ 2 ，故△ ABP 的面积函数 S(a)的值域为 (0, 2 )
例 2 设椭圆
C1 的方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a＞ b＞ 0)，曲线 C2 的方程为 y= 1 ，且曲线 C1 与 x
C2 在第一象限内只有一个公共点 P （ 1）试用 a 表示点 P 的坐标；
（ 2）设 A、B 是椭圆 C1 的两个焦点，当 a 变化时，求△ ABP 的面积函数 S(a)的值域；（ 3 ）记 min{ y1,y2,…… ,yn} 为 y1,y2,…… ,yn 中最小的一个设 g(a)是以椭圆 C1 的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数 f(a)=min{ g(a), S(a)} 的表达式
命题意图本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力

2020.2.8分类讨论、转化与化归思想

的取值范围是( D ).
( A) (, 1) (B) (0, 1) (C) (,0) (D) (0, )
e
e
例 2.( P8 例 3) 在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为
a、b、c, 已知 a

5, △ABC
的面积 S△ABC

25 4
3
,
且 b2 c2 a2 ac cosC c2 cos A, 则 sin B sinC (C ).
3. 若关于 x 的方程 x2 1 x2 kx 0 在 (0, 2) 上有两个不同的实数解,则实数 k 的取值范围为_(_1_,_72. )
4.( P5 对 2)已知抛物线 x2 2 y 上一点 P 到焦点 F 的距离为 1， M、N 是直线 y 2 上的两点，且 MN 2 ，
分类讨论、转化与化归思想
专题点拔(3分钟）及学生练习(15分钟）
例1(7分钟）
例2(7分钟）
补充练习1，2，3，4
补充练习5，6，7
分类讨论、转化与化归思想
分类讨论，就是对研究对象进行分类讨论求解的思想。
转化与化归,就是利用各种转化处理问题的思想。
注:1.能不分类就不分;分类先易后难、标准统一、层次分明.
2.不通思变、化陌生为熟悉；能简则简、化难为易.
数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”.
思考: P6 对 3、 P8 例 3
例 1.( P6 对 3) 若函数 f ( x) ae x x 2a 有两个零点，则实数 a
(D) 2 3 3
6.已知函数 f ( x) ( x 1)ln x a( x 1) . 2x y 2 0

高三数学复习学案：第3讲分类讨论思想

1．分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．变式训练1 设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．题型二根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n ＝1,2,3，…)．(1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小．变式训练2 在等比数列{a n }中，设前n 项和为S n ，x ＝S 2n ＋S 22n ，y ＝S n (S 2n ＋S 3n )，求证：x ＝y .题型三根据变量式参数的取值情况分类讨论例3 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．变式训练3已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a >0. (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．第3讲分类讨论思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条．3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m <n )．。

9-3分类讨论思想

专题9 第3讲分类讨论思想一、选择题1．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x ||x －3|<a ，x ∈R }，若A ⊇B ，那么a 的取值范围是( )A ．0≤a ≤1B ．a ≤1C ．a <1D ．0<a <1[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2．若方程x 2k －4－y 2k ＋4＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为( )A ．(2k,0)，(－2k,0)B ．(0，－2k ，)(0，－－2k )C ．(2|k |，0)，(－2|k |，0)D ．由k 值确定[答案] D[解析] 由(k －4)(k ＋4)>0得k <－4或k >4，当k <－4时，集点在y 轴上；当k >4时，集点在x 轴上．故选D.3．“直线l 在y 轴上的截距是它在x 轴上的截距的2倍”是“直线l 的斜率等于－2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若直线l 的斜率等于－2，则直线l 在y 轴上的截距一定是它在x 轴上的截距的2倍；但当直线l 在y 轴上的截距是它在x 轴上的截距的2倍时，其斜率不一定等于－2，因为直线l 可以经过原点，其斜率可以为任意值．所以“直线l 在y 轴上的截距是它在x 轴上的截距的2倍”是“直线l 的斜率等于－2”的必要不充分条件．4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 等于( ) A ．－3 B ．－38C ．3 D.38或－3 [答案] D[解析] 当a <0时，在x ∈[－3,2]上，当x ＝－1时取最大值，∴a ＝－3；当a >0时，在x ∈[－3,2]上，当x ＝2时取得最大值，∴a ＝38.∵a 等于－3或38，故选D.5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC 等于( ) A ．32 3 B ．16C ．323或16D ．323或16 3[答案] D[解析] 由正弦定理得sin B ＝32，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°.当∠B ＝60°时，S △ABC ＝12×8×83＝323；当∠B ＝120°时，S △ABC ＝16 3.6．(2011·滨州模拟)已知函数f (x )＝33x －1ax 2＋ax －3的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a >13B ．－12<a <0C ．－12<a ≤0D ．a ≤13[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立，当a ＝0时，－3≠0成立；当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．7．(2011·石家庄质检)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( )A.53B.52C.52或153D.53与54[答案] D[解析] 由双曲线的渐近线方程知，当b a ＝34时，c 2－a 2a 2＝916，∴e ＝54；当a b ＝34时，解得e ＝53，故选D.8．(2011·武汉二模)正三棱柱的侧面展开图是两边长分别为2和4的矩形，则它的体积为( )A.89 3 B.493 C.29 3 D.493或893 [答案] D[解析] 设正三棱柱底面边长为a ，高为h ，当3a ＝2，h ＝4时，S 底＝34×⎝⎛⎭⎫232＝39， ∴V ＝39×4＝493，当3a ＝4，h ＝2时，S 底＝34×⎝⎛⎭⎫432＝493， ∴V ＝493×2＝89 3.故选D.二、填空题9．(2011·潍坊模拟)若椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.[答案] 1或16[解析] 解答本题要注意由于椭圆焦点位置不确定．由条件当m <4时，由题意得：32＝1－m4⇒m ＝1，当m >4时有32＝1－4m⇒m ＝16，故m 的取值为1或16.10．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值集合为________．[答案] {1，－3}[解析] f (x )＝kx 2－2kx ＝k (x －1)2－k ，(1)当k >0时，二次函数开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，即f (3)＝3k ＝3，解之得k ＝1；(2)当k <0时，二次函数开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，即f (1)＝－k ＝3，解之得k ＝－3；(3)当k ＝0时，显然不成立．11．若a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，则p 、q 的大小关系是________． [答案] p >q[解析] 当0<a <1时，y ＝a x 和y ＝log a x 在其定义域上均为减函数，又∵a 3＋1<a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即p >q .当a >1时，y ＝a x 和y ＝log a x 在其定义域上均为增函数． ∴a 3＋1>a 2＋1.∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．即p >q . 综上p >q .12．(文)(2011·辽宁五校模拟)抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的P 点的个数为________．[答案] 4[解析] 当|PO |＝|PF |时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时，点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形，点P 不存在．事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则|FO |＝p ，|FP |＝(x －p )2＋y 2，若(x －p )2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，这与点P 在抛物线上，△OPF 为等腰三角形矛盾．所以符合要求的P 点一共有4个．(理)若函数f (x )＝|x 2x 2＋1－a |＋4a 的最小值等于3，则实数a 的值等于________．[答案] 34[解析] 令x 2x 2＋1＝t ，则t ∈[0,1)．若a ≥1，则f (x )＝|t －a |＋4a ＝5a －t 不存在最小值；若0≤a <1，则f (x )＝|t －a |＋4a ，当t ＝a 时取到最小值4a ，于是4a ＝3，得a ＝34，符合题意；当a <0时，f (x )＝|t －a |＋4a ＝t ＋3a ，当t ＝0时取到最小值3a ，于是3a ＝3，得a ＝1，不符合题意．综上所述，a ＝34.三、解答题13．解不等式(x ＋4a )(x －6a )2a ＋1>0(a 为常数，a ≠－12)．[解析] 当a >0时，(x ＋4a )(x －6a )>0，解得x <－4a 或x >6a ；当a ＝0时，x 2>0，解得x ≠0；当－12<a <0时，(x ＋4a )(x －6a )>0，解得x <6a 或x >－4a ；当a <－12时，(x ＋4a )(x －6a )<0，解得6a <x <－4a .综上所述，当a >0时，原不等式的解集为{x |x <－4a 或x >6a }；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当－12<a <0时，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－4a }；当a <－12时，原不等式的解集为{x |6a <x <－4a }．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和P n . [解析] 由S n ＝32n －n 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －n 2－32(n －1)＋(n －1)2＝33－2n ；当n ＝1时，a 1＝S 1＝31，也适合上式． ∴a n ＝33－2n .令a n ≥0，则33－2n ≥0，n ≤16.5. ∵n ∈N *，∴n ≤16时，a n >0；n ≥17时，a n <0. ∴本题P n 的求值问题应分两种情况讨论．当n ≤16时，P n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝S n ＝32n －n 2.当n ≥17时，P n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 16|＋|a 17|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 16－a 17－a 18－…－a n＝(－a 1－a 2－…－a 16－a 17－a 18－…－a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 16) ＝－S n ＋2(a 1＋a 2＋…＋a 16)＝－S n ＋2S 16.∵S 16＝32×16－162＝16×16＝256，S n ＝32n －n 2， ∴P n ＝512－32n ＋n 2. ∴数列{|a n |}的前n 项和P n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32n －n 2， n ≤16，512－32n ＋n 2， n ≥17.15．已知函数f (x )＝sin x cos x －m (sin x ＋cos x )． (1)若m ＝1，求函数f (x )的最值；(2)若函数f (x )在区间[π4，π2]上的最小值等于2，求实数m 的值．[解析] (1)当m ＝1时，f (x )＝sin x cos x －(sin x ＋cos x )，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝t 2－12，所以f (x )＝g (t )＝12t 2－t －12＝12(t －1)2－1. 由于t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，所以－2≤t ≤ 2.于是当t ＝－2时函数f (x )取得最大值2＋12；当t ＝1时函数f (x )取得最小值－1. (2)设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝t 2－12，所以f (x )＝g (t )＝12t 2－mt －12＝12(t －m )2－12m 2－12，又因为x ∈[π4，π2]，t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，所以1≤t ≤ 2.当m <1时，g (t )在[1，2]上单调递增，当t ＝1时g (t )取得最小值，得－m ＝2，所以m ＝－2，符合题意；当m >2时，g (t )在[1，2]上单调递减，当t ＝2时，g (t )取得最小值，得12－2m ＝2，所以m ＝－324，与m >2矛盾；当1≤m ≤2时，g (t )在t ＝m 处取得最小值，得－12m 2－12＝2，所以m 2＝－5，无解．综上，当函数f (x )在区间[π4，π2]上的最小值等于2时，实数m 的值等于－2.。

高三数学第二轮复习专题讲座人教版

高三数学第二轮复习专题讲座人教版专题一函数考点高考要求 1 映射的概念了解 2 函数的概念理解 3 函数的单调性的概念了解 4 简单函数单调性的判断掌握 5 函数的奇偶性了解 6 反函数的概念了解 7 互为反函数的函数图象间的关系了解 8 简单函数的反函数的求法掌握 9 分数指数幂的概念理解 10 有理数指数幂的运算性质掌握 11 指数函数的概念、图象和性质掌握 12 对数的概念理解 13 对数的运算法制掌握 14 对数函数的概念、图象和性质掌握 15运用函数的性质解决简单的实际问题掌握说明：1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用；2．理解和掌握：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题；3．灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能够运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．（以下两点分析主要针对的是2004年全国各地的高考试题，共15套）二、高考考点分析：在2004年全国各地的高考题中，考查函数的试题或与函数有关的试题大约有56道，在150分中约占25分到30分．对函数，常常从以下几个方面加以考查．1知识点函数的解析式定义域和值域（包括最大值和最小值）函数的单调性函数的奇偶性和周期性函数的反函数题量27335函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如：例1．（重庆市）函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ D ）A 、[1,)+∞B 、23(,)+∞C 、23[,1]D 、23(,1]例2．（天津市）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是（ D ）A 、)31(log 13≥+=x x yB 、)31(log 13≥+-=x x yC 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y也有个别小题的难度较大，如例3．（北京市）函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．2．对数形结合思想、函数图象及其变换的考查．对图象的考查有6道试题，也以小题为主，难度为中等．例4．（上海市）设奇函数f (x )的定义域为[-5，5]．若当x ∈[0，5]时f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解是]5,2()0,2( -．例5．（上海市）若函数y =f (x )的图象可由函数y =lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）为（ A ） A 、10-x-1 B 、10x-1 C 、1-10-xD 、1-10x3．对函数思想的考查．利用函数的图象研究方程的解；利用函数的单调性证明不等式（常常利用函数的导数来判断和证明函数的单调性）；利用函数的最值说明不等式恒成立等问题．在全部考题中，有7道小题考查了用函数研究方程或不等式的问题，有14道大题考查了函数与方程、不等式、数列等的综合问题．例6．（1）（浙江省）已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]23,(-∞．（2）（全国卷3）设函数2(1),1,()41, 1,x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为（ A ）A 、(-∞,-2][0,10]B 、(-∞,-2][0,1]C 、(-∞,-2][1,10] D 、[-2,0][1,10]例7．（上海市）已知二次函数y =f 1（x ）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y =f 2（x ）的图象与直线y =x 的两个交点间距离为8，f （x ）= f 1（x ）+ f 2（x ）．（1）求函数f （x ）的表达式；（2）证明：当a >3时，关于x 的方程f (x )= f (a )有三个实数解．解：（1）由已知,设f 1(x )=ax 2，由f 1(1)=1，得a =1，故f 1(x )= x 2．设f 2(x )=xk(k >0)，它的图象与直线y =x 的交点分别为A (k ，k )、B (－k ,－k ) 由AB =8，得k =8，故f 2(x )=x 8．所以f (x )=x 2+x8．（2）证法一：由f （x ）=f （a ）得x 2+x 8=a 2+a 8，即x 8=－x 2+a 2+a 8．在同一坐标系内作出f 2(x )=x 8和f 3(x )= －x 2+a 2+a8的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以(0，a 2+a8)为顶点，开口向下的抛物线．因此,，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即f (x )=f (a )有一个负数解．又因为f 2(2)=4,，f 3(2)= －4+a 2+a8 当a >3时，f 3(2)－f 2(2)= a 2+a8－8>0, 所以当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f (2))在f 2(x )图象的上方．所以f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )=f (a )有两个正数解．因此，方程f (x )=f (a )有三个实数解．证法二：由f (x )=f (a )，得x 2+x 8=a 2+a 8，即(x －a )(x +a －ax8)=0，得方程的一个解x 1=a ．方程x +a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0，由a >3，∆=a 4+32a >0，得 x 2=a a a a 23242+--， x 3=aa a a 23242++-，因为x 2<0, x 3>0, 所以x 1≠ x 2，且x 2≠ x 3．若x 1= x 3，即a =aa a a 23242++-，则3a 2=a a 324+， a 4=4a ，得a =0或a =34，这与a >3矛盾，所以x 1≠ x 3．故原方程f (x )=f (a )有三个实数解．例8．（福建高考题）已知f (x )=2324()3x ax x x +-∈R 在区间[－1，1]上是增函数．（Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；（Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x )=4+2,22x ax - ∵f (x )在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立． ①设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ ⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A ={a |－1≤a ≤1}.方法二：①⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 0≤a ≤1或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1．∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0， ∴A ={a |－1≤a ≤1}．（Ⅱ）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0，∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2，从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ． ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3．要使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm +1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt +(m 2－2)，方法一：②⇔ g (－1)=m 2－m －2≥0且g (1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m =0时，②显然不成立；当m ≠0时，②⇔m >0，g (－1)=m 2－m －2≥0 或m <0，g (1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}.说明：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．三、高考热点分析函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系．对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等．在复习过程中，以下几点值得重视：1．重视对函数概念和基本性质的理解．包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、反函数、图象变换、基本初等函数（常常是载体）等．研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象（形）的作用．对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题直接考查函数某一方面的性质外，常常是对函数综合的类型较多（中等难度题，以小题和前三道大题为主），包括函数内部多种知识的综合，函数同方程、不等式、数列的综合．例1．（北京市）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A . a ∈-∞(,]1B . a ∈+∞[,)2C . a ∈[,]12D . a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 说明：涉及二次函数的单调性、反函数的概念、充分必要条件等知识．例2．（福建省）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f —1(x )，则函数y = f —1(1－x )的图象是（ C ）例3．（全国高考题3）已知函数y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=3x -1，设f (x )的反函数是y =g (x )，则g (-8)=___-2_____．例4．（湖北省）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ B ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4例5．（北京市）在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最大值（填“大”或“小”），且该值为-3．例6．（湖南省）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、4例7．（江苏省）设k >1，f (x )=k (x -1)(x ∈R ) ．在平面直角坐标系xOy 中，函数y =f (x )的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y =f -1(x )的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A 、3B 、32C 、43D 、65例8．（上海市）记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ．（1）求A ；（2）若B ⊆A , 求实数a 的取值范围．解：（1）2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， x <－1或x ≥1，即A =(－∞，－1) [1，+ ∞)．（2）由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．因为a <1，所以a +1>2a ，故B =(2a ，a +1)．因为B ⊆A ，所以2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1，所以21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2] [21，1)．例9．（2003年全国理科高考题）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式|2|1|2| 1.x x c R y x x c +->⇔=+-R 的解集为函数在上恒大于 22,2,|2|2,2,1|2|2.|2|121.211,,0.,, 1.(0,][1,).22x c x c x x c c x c y x x c c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞R 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为 2．重视利用导数研究函数的单调性等性质，进而证明一些不等式或转化一些不等式恒成立问题．例10．（全国高考题1）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 分析：函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上递减等价于0)(≤'x f 恒成立．解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f当0)(≤'x f （x ∈R ）时，)(x f 是减函数.23610()ax x x +-≤∈R .3012360-≤⇔≤+=∆<⇔a a a 且所以，所求a 的取值范围是（].3,-∞-说明：这类问题在2004年全国各地的高考题中大量出现，需重视．例11．（重庆市）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ；并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ；（2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围．解：（1）.)1(23)(2a x a x x f ++-='.0)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（2）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f ：.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x ，代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.02522≥+-a a.0)()(,2,.)(212:21成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥x f x f a a a 例12．（2003年江苏高考题）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k kn x a --)(，所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数nn n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+ ).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>- 即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+四、二轮复习建议（正文用宋体五号字）1．进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练（在函数性质和函数与其他知识的小综合上要多加训练，这是关键）．2．在二轮复习过程中，做两件事情：一是分专题讲解“函数、导数与不等式”（重点）、“函数与数列”，二是在整个复习过程中，不断渗透函数的思想方法和数形结合的思想方法．一些备选例题：1．（2000年春季）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则（ A ）A 、b ∈(-∞，0)B 、 b ∈(0,1)C 、 b ∈(1,2)D 、 b ∈(2,+∞) 分析：显然，（想方程）方程f (x )=0的根为0、1、2，所以，可以设f (x )=ax (x -1)(x -2)，与f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 比较可得：b =-3a ．（想不等式）又x >2时，有f （x ）>0，于是有a >0，故b <0.2．（2000年上海）已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈[)+∞,1.（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意的x ∈[)+∞,1,f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围．分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用．当a =21时，f (x )=221++xx ≥222212+=+⋅x x ，当且仅当22,21==x x x 即时等号成立，而[)∞+∉122，也就是说这个最小值是取不到的．解：(1)当a =21时，f (x )=221++xx ，函数f (x )在区间[)+∞,1上为增函数（证明略），所以当x =1时，取到最小值f (1)=3.5.(2)解法一：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，而函数g (x )=x 2+2x +a 在[)+∞,1上增函数，所以当x =1时，g (x )取到最小值3+a ，故3+a >0，得：a >-3．解法二：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，即a >-x 2-2x 恒成立，这只要a 大于函数-x 2-2x 的最大值即可．而函数-x 2-2x 在[)+∞,1上为减函数，当x =1时，函数-x 2-2x 取到最大值-3，所以a >-3．说明：函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题．3．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W （吨）与时间t （小时，且规定早上6时t ＝0）的函数关系为W ＝100t ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?分析：本题主要考查由实际问题建立函数关系式、并利用函数关系解决实际问题.解本题时, 在建立函数关系式后,根据题意应有0＜y ≤300对t 恒成立（注意区分不等式恒成立和解不等式的关系）．解：设进水量选第x 级，则t 小时后水塔中水的剩余量为y ＝100＋10xt －10t －100t ，且0≤t ≤16．根据题意0＜y ≤300，∴0＜100＋10xt －10t －100t ≤300．0 1 2 xy由左边得x ＞1＋10（t t11-）＝1＋10〔－2)211(-t ＋41〕，当t ＝4时，1＋10〔－2)211(-t ＋41〕有最大值3．5．∴x ＞3．5．由右边得x ≤t t 1020+＋1，当t ＝16时，tt 1020+＋1有最小值4．75，∴x ≤4．75．综合上述，进水量应选为第4级．说明：a 为实数，函数f (x )定义域为D ，若a >f (x )对x D ∈恒成立，则a >f (x )的最大值；若a <f (x )对x D ∈恒成立，则a <f (x )的最小值．4．设()x f 是定义在[-1，1]上的偶函数，()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称．且当[]3,2∈x 时，()()()()为实数a x x a x g 32422---⋅=（1）求函数()x f 的表达式；（2）在(]6,2∈a 或()+∞,6的情况下，分别讨论函数()x f 的最大值，并指出a 为何值时，()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．分析：（1）注意到()x g 是定义在区间[]3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出()x f 在区间[]0,1-上的解析式，()x f 在区间[]1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．简答：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+-=1024012433x ax x x ax x x f（2）因为()x f 为偶函数，所以，()x f （11≤≤-x ）的最大值，必等于()x f 在区间[]1,0上的最大值．故只需考虑10≤≤x 的情形，此时，()ax x x f 243+-=．对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，可以求函数()x f 的导数．简答：如果()+∞∈,6a 可解得：8=a ；如果(]6,2∈a ，可解得：61833>=a ，与(]6,2∈a 矛盾．故当8=a 时，函数()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．说明：（1）函数的单调性为研究最值提供了可能；（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上． 5．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+ (b 、c 为常数),(Ⅰ) 若()f x 在x =1和x =3处取得极值，试求b 、c 的值；(Ⅱ)若()f x 在12(,),(,)x x x ∈-∞+∞上单调递增且在12(,)x x x ∈上单调递减,又满足211x x ->，求证：22(2)b b c >+；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小，并加以证明．解： (Ⅰ)'2()(1)f x x b x c =+-+，由题意得:1和3是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，113,1 3.b c -=+⎧∴⎨=⨯⎩解得3,3.b c =-⎧⎨=⎩ (Ⅱ)由题得:当12(,),(,)x x x ∈-∞+∞时，'()0f x >；12(,)x x x ∈时, '()0f x <．12,x x ∴是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，则12121,,x x b x x c +=-=222121212212122212(2)24[1()]2[1()]4()41() 1.b bc b b cx x x x x x x x x x x x ∴-+=--=-+--+-=+--=--211x x ->,2221()10,2(2)x x b b c ∴-->∴>+.(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,由上一问知212(1)()(),x b x c x x x x +-+=-- 即212()(),x bx c x x x x x ++=--+所以2112112()()()(1),t bt c x t x t x t x t x t x ++-=--+-=-+-2121111,10,0,0,x x t t x t x t x >+>+∴+-<<<∴-<又 2121()(1)0,.t x t x t bt c x ∴-+->++>即。

3-26分类讨论思想

数学（理）第30页
新课标· 高考二轮总复习
[解]
(1)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，则 ak＋ 1
＋＋
＝qk，ak＋3＝qk 2，ak＋2＝qk 1，依题意得 2qk 2＝qk＋qk 1，由于 qk≠0，所以 2q2－q 1 －1＝0，解得 q＝1 或 q＝－ . 2 (2)当 q＝1 时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3， Sk＋ 2＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋ 2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋
1 3 1 (3)当 a≥ 时，如图(3)知，y≥f ＝＋a. 2 2 4
1 3 综上所述：当 a≤－时，值域为[ －a，＋∞)；当－ 2 4 1 1 1 3 <a< 时，值域为[a2＋1，＋∞)；当 a≥ 时，值域为[ ＋ 2 2 2 4 a，＋∞)．
数学（理）第28页
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第三部分
高考专题讲解
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第二十六讲分类讨论思想
数学（理）第2页
新课标· 高考二轮总复习
考情分析
分类讨论思想是指在数学中，根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的分类思考方法，它是一种重要的思想方法，同时也是一种重要的解题策略．在近年的高考试题中频繁出现，已成为高考的一个
数学（理）第20页
新课标· 高考二轮总复习
[解]
f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a) ＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]．
令 f′(x)＝0，得 x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0. ①当 Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a＝a(a－4)>0，即 a<0 或 a>4 时，方程 x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0 有两个不同的实根 x1，x2，不妨设 x1<x2.

高三数学第二轮专题讲座复习：分类讨论思想

高三数学第二轮专题讲座复习：分类讨论思想高考要求分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 ” 重难点归纳分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是1 由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类2 由公式条件分类如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等3 由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论典型题例示范讲解例1已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和（1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立命题意图本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力知识依托解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质错解分析第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案解（1）由S n =4(1–n 21），得221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ①所以23S k –2≥23S 1–2=1又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N *)得23S k –2＜23S k +1–2 故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立当c =3时，因为S 1=2，S 2=3，所以当k =1，k =2时，c ＜S k 不成立，从而①不成立因为c S >=-4132233又23S k –2＜23S k +1–2所以当k ≥3时，23S k –2＞c 从而①成立综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+c S c S k k 成立例2给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系命题意图本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力知识依托求动点轨迹的基本方法步骤椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点错解分析本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型技巧与方法精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式巧妙地利用角平分线的性质解法一依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x a b y -+-= 由x –a ≠0，得ax y a b -+-=)1( ② 将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0若y ≠0，则 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+--- ④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段解法二如图, 设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0 由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a x a y EA DA CE BD +-=⋅= ∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD∴COACOA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵x y COA ||tan = )1(||||||tan a x a y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a )以下同解法一解法三设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x ab y -+-= ∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ, ∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan k k -=-=θθθ 又tan2θ=–b ∴–b =212k k - ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x ab kx -+-= ② 由①、②消去b ，得)(12)1(2a x kk kx a --=+ ③ 又x y k =代入③，有)(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+整理得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④ 当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段；当a =1时，④表示抛物线弧段A E CB D o yx例3若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为解析即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解当a –1=0时，满足当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0 答案 252252+-<<--a 或a =1 例 4 设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求函数f (x )的最小值解 (1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1 f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a )此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数（2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ) ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43 若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ；当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1；当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a 43。

高三数学第二轮复习知识点归纳

高三数学第二轮复习知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高三数学第二轮复习策略

高三数学第二轮复习策略(一)1.继续强化对基础知识的理解，掌握抓住重点知识抓住薄弱的环节和知识的缺陷，全面搞好基础知识全面搞好基础知识的复习。

(备考指南与知识点总结)中学数学的重点知识包括：(1)集合、函数与导数。

此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

(2)三角函数、平面向量和解三角形。

此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。

(3)数列。

此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。

(4)立体几何。

此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。

(5)解析几何。

此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。

突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。

(6)概率与统计、算法初步、复数。

此专题中概率统计是重点，以摸球、射击问题为背景理解概率问题。

(7)不等式、推理与证明。

此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。

2、对基础知识的复习应突出抓好两点：(1)深入理解数学概念，正确揭示数学概念的本质，属性和相互间的内在联系，发挥数学概念在分析问题和解决问题中的作用。

(2)对数学公式、法则、定理、定律务必弄清其来龙去脉，掌握它们的推导过程，使用范围，使用方法(正用逆用、变用)熟练运用它们进行推理，证明和运算。

3、系统地对数学知识进行整理、归纳、沟通知识间的内在联系，形成纵向、横向知识链，构造知识网络，从知识的联系和整体上把握基础知识。

例如以函数为主线的知识链。

又如直线与平面的位置关系中“平行”与“垂直”的知识链。

4、认真领悟数学思想，熟练掌握数学方法，正确应用它们分析问题和解决问题。

数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，在平时的做题中必须提炼出其中的数学思想方法，并以之指导自己的解题。

数学思想数学在高考中涉及的数学思想有以下四种:(1)分类讨论思想：分类讨论思想是以概念的划分，集合的分类为基础的解题思想，是一种逻辑划分的思想方法。

[名校联盟]2012届高三数学二轮复习01讲分类讨论思想

试确定实数m的取值范围. 解（1）当m≠0时，mx2+mx+2>0对于一切实数x
m 0, 解得 0 m 8 . 2 m 8m 0
恒成立的充要条件是
（2）当m=0时，原不等式为2>0,显然对一切实数x
恒成立. 综合（1）、（2）可得，当0≤m<8时，对一切实
数x不等式恒成立.
图1 （1）当a≤2≤b时，如图1所示，函数f(x)的最小值
显然，其对称轴为x=2.
为1，∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1.
又a≤x≤b,
此时，函数f(x)在［a，b］上的最大值为f(1)或
f(b).
f (1) 7 4 2 b 时 ,∴f(b)为最大值.
又由于f(x)在［1,b］上的值域为［1,b］， ∴f（b）=b.
变式训练2
分析
已知m∈R，求函数f(x)=(4-3m)x2-
2x+m在区间［0，1］上的最大值. 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m≠0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下求最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况去讨论.
解
（1）当4-3m=0,即m 时，函数 y 2 x ,
值，故不需讨论区间与对称轴的关系）.
f(0)=m,f(1)=2-2m.
当m≥2-2m,又 m , 即
3 4 2 3 m 4 3 时， y max m ;
当m<2-2m, m 4 , 即 m 2 时， y
3 4 3 3
max
2 2m.
②若4-3m<0，即 m 时，时，二次函数y的图象开
的结果综合起来概述.
2.需要分类讨论的知识点大致有：绝对值的概念；根式的性质；一元二次方程的判

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